Hướng dẫn học sinh khắc phục những sai lầm khi giải toán về cực trị của hàm số trong chương trình giải tích 12

MỤC LỤC Mở đầu………………………………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………….1 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….1 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………1 Nội dung……………………………………………………………… 2.1 Cơ sở lí luận………………………………………………….… 2.2 Thực trạng đề tài………………………………………… ….4 2.3 Biện pháp thực hiện………………………… ……………… … 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……………………… … 14 Kết luận……….………………………………………………… …….17 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………18 Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đạt giải…………………………………19 1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12, cực trị hàm số vấn đề quan trọng, có nhiều ứng dụng thường xuất đề thi trung học phổ thơng (THPT) quốc gia Trong q trình giảng dạy nhận thấy em học sinh hay gặp khó khăn mắc phải sai lầm giải toán liên quan đến cực trị Các em thường mắc sai lầm mà em không tự khắc phục khơng có hướng dẫn người thầy Trong sách giáo khoa (SGK) chương trình chuẩn thời lượng để giáo viên cung cấp kiến thức toán cực trị hàm số Mặt khác có nhiều học sinh có tư tưởng xem nhẹ khơng thích giải loại toán Qua thực tế giảng dạy, dự đồng nghiệp, chấm kiểm tra học sinh, nhiều học sinh làm chưa tốt nội dung Nguyên nhân em không nắm chất vấn đề, chưa có kinh nghiệm việc giải tốn tìm tham số thỏa mãn điều kiện toán cho trước Để khắc phục điểm yếu trên, tơi cố gắng đưa số tốn, từ sai lầm thường gặp dạng toán này, giúp em học sinh trung bình yếu tích lũy dần kinh nghiệm giải Ngoài em học sinh khá, giỏi có thêm tài liệu tham khảo dạng tốn nằm ngồi sách giáo khoa, từ giúp em xử lí tốt tiếp cận với đề thi THPT quốc gia Nhằm giúp học sinh nắm kiến thức cực trị hàm số giải tốt tập cực trị, chọn đề tài "Hướng dẫn học sinh khắc phục sai lầm giải toán cực trị hàm số chương trình Giải tích 12" 1.2 Mục đích nghiên cứu Thiết kế, xây dựng giáo án ví dụ cụ thể giúp học sinh khắc phục sai lầm giải toán cực trị hàm số chương trình Giải tích 12 nhằm phát huy tính tích cực khơi dậy hứng thú học tập học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số ví dụ minh họa giúp học sinh khắc phục sai lầm giải toán cực trị hàm số chương trình Giải tích 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu cơng trình nghiên cứu đổi phương pháp dạy học (PPDH) theo hướng tích cực hóa việc học học sinh - Nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình Giải tích 12 1.4.2 Phương pháp chuyên gia Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến đồng nghiệp để làm sở cho việc nghiên cứu đề tài 1.4.3 Phương pháp thực tập sư phạm Thực nghiệm sư phạm trường THPT Thọ Xuân, tiến hành theo quy trình đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu đề tài nghiên cứu 1.4.4 Phương pháp thống kê toán học Sử dụng phương pháp thống kê toán học để thống kê, xử lý, đánh giá kết thu Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận Nội dung cực trị hàm số (chương I - Giải tích 12 - Cơ bản) Học sinh cần nắm số vấn đề sau (liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) Các định lí điều kiện đủ để hàm số có cực trị y = f ( x) K = ( x0 − h; x0 + h)  Định lí 1: Giả sử hàm số liên tục khoảng có K \ { x0} h> K đạo hàm trên , với f '( x) > ( x0 − h; x0 ) f '( x) < a Nếu khoảng khoảng y = f ( x) ( x0; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f '( x) < ( x0 − h; x0 ) f '( x) > b Nếu khoảng khoảng y = f ( x) ( x0; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số y = f ( x)  Định lí 2: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai khoảng ( x0 − h; x0 + h) h> , với Khi đó: f '( x) = f ''( x) > x0 a Nếu , điểm cực tiểu f '( x) = f ''( x) < x0 b Nếu , điểm cực đại Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số dựa hai định lí * Quy tắc 1: + Tìm tập xác định xi (i = 1, 2, , n) f ′(x) f ′(x) = f ′(x) + Tính Tìm điểm mà hay không xác định + Lập bảng biến thiên + Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị * Quy tắc 2: + Tìm tập xác định + Tính f ′(x) Giải phương trình f ′′(xi ) f ′′(x) + Tính + Kết luận f ′(x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, , n) 2.2 Thực trạng đề tài Trong thực tế, học sinh học phần cực trị hàm số - chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải khó khăn sau: - Khơng nắm vững định nghĩa khái niệm liên quan đế cực trị hàm số - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 - Nhầm lẫn cực trị giá trị lớn nhất, nhỏ 2.3 Biện pháp thực Để khắc phục sai lầm mà học sinh thường gặp phải, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: Phân tích sai lầm thơng qua số ví dụ minh họa Sai lầm thứ nhất: Không phân biệt khái niệm liên quan đến cực trị y = − x + 3x + Ví dụ 1: Điểm cực tiểu đồ thị hàm số xCT = −1 xCT = ( −1;0 ) ( 1;4 ) A ; B ; C ; D Trong ví dụ học sinh dễ nhầm lẫn phương án A phương án C f ( x) x0 x0 Nếu hàm số đạt cực tiểu gọi điểm cực tiểu hàm số; M ( x0 ; f ( x0 ) ) f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số, điểm gọi điểm cực tiểu đồ thị hàm số Bởi phương án phải C Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x = 3; B Hàm số đạt cực đại x = −2; C Hàm số đạt cực đại D Hàm số đạt cực đại Trong ví dụ học sinh dễ nhầm lẫn phương án A phương án B Nguyên nhân sai lầm: Không nắm vững khái niệm cực trị Cách khắc phục: Nắm vững khái niệm sau: y = f ( x) x0 Cho hàm số điểm cực trị hàm số thì: x0 x0 Hàm số đạt cực trị ( điểm cực trị hàm số) x = 2; x = f ( x0 ) Giá trị cực trị hàm số Điểm cực trị đồ thị hàm số M ( x0 ; f ( x0 ) ) Bài tập tương tự Bài 1: Điểm cực đại đồ thị hàm số xCÐ = yCÐ = A ; B ; Sai lầm thứ hai: Phương trình khơng có cực trị Ví dụ 3: Tìm cực trị hàm số Sai lầm thường gặp: y ' = f '( x) = Ta có: y = x3 − 3x + C ( 2; −3) f ' ( x) = ; D ( 0;1) vô nghiệm kết luận hàm số y = f ( x ) = ( x − 2) 2 33 x − f '( x) = ⇔ =0 33 x − Suy (vô nghiệm) nên hàm số khơng có cực trị Tuy nhiên, lập bảng biến thiên hàm số ta Do hàm số có cực trị (đạt cực tiểu x = 2) Nguyên nhân sai lầm: Ngộ nhận kết quả: Hàm số đạt cực trị x0 f '( x0 ) = f ( x) = ' Cách khắc phục: Khi gặp toán tìm cực trị mà phương trình nghiệm ta phải lập bảng biến thiên hàm số Sai lầm thứ ba: Hàm số khơng có đạo hàm tại điểm Ví dụ 4: Tìm cực trị hàm số Đồ thị hàm số y = f ( x) y = f ( x) x0 vơ khơng đạt cực trị có bảng biến thiên sau: có điểm cực trị? A ; B ; C ; D Trong ví dụ học sinh không nắm vững chọn phương án B nhiên hàm số đạt cực trị x = Suy hàm số y = f ( x) có ba nhiêu điểm cực trị x0 Nguyên nhân sai lầm: Ngộ nhận kết quả: Hàm số đạt cực trị hàm số phải có đạo hàm điểm x0 Cách khắc phục: Khi gặp tốn tìm cực trị mà hàm số khơng có đạo x0 hàm ta phải lập bảng biến thiên hàm số Bài tập tương tự Bài 1: Cho hàm số hình vẽ y = f ( x) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên Mệnh đề đúng? A Hàm số có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn nhất; B Hàm số có điểm cực trị; C Hàm số có hai điểm cực trị; D Hàm số có giá trị lớn Bài 2: Cho hàm số y = f ( x) giá trị nhỏ −3 có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sai? A Hàm số không đạt cực tiểu điểm x = −1; x=2 ; B Hàm số đạt cực đại điểm C Điểm cực đại đồ thị hàm số ( −1; ) x0 ; D Giá trị cực đại hàm số y=2 f ' ( x) = Sai lầm thứ tư: Nếu nghiệm phương trình kết x0 luận điểm cực trị hàm số f ( x ) = x3 − Ví dụ 5: Hàm số có điểm cực trị? A 0; B 1; C 2; D Trong ví dụ học sinh dễ sai lầm lựa chọn đáp án B tính đạo hàm f ' ( x ) = 3x x=0 x=0 hàm số cho có nghiệm Tuy nhiên đây, f '( x ) x=0 nghiệm kép, đạo hàm không đổi dấu qua nên hàm số không đạt cực trị điểm Phương án A Học sinh quan sát bảng biến thiên sau để thấy rõ f ( x ) = x − x + x + 10 Ví dụ 6: Hàm số có điểm cực trị? A 0; B 1; C 2; D Trong ví dụ học sinh dễ sai lầm lựa chọn đáp án C tính đạo hàm f ' ( x ) = x3 − 12 x + x =1 x = −2 hàm số cho có hai nghiệm Tuy nhiên f '( x ) x =1 x =1 đây, nghiệm kép, đạo hàm không đổi dấu qua nên hàm số không đạt cực trị điểm Phương án B Nguyên nhân sai lầm: Nhầm lẫn loại điều kiện " A ⇒ B" A B (nếu có có ) đúng, học sinh ngộ nhận kết " B ⇒ A" B A quả: Khẳng định (nếu có có ) y = f ( x) x = x0 Nếu hàm số có đạo hàm điểm đạt cực trị điểm f ' ( x0 ) = y = f ( x) Tuy nhiên, khẳng định sau sai: Nếu hàm số có đạo hàm f ' ( x0 ) = x = x0 x = x0 điểm hàm số đạt cực trị điểm Cách khắc phục: Lập bảng biến thiên hàm số f '( x ) x0 x0 x Dấu không đổi qua nghiệm bội chẵn f ' ( x0 ) = x0 phương trình nên khơng phải điểm cực trị hàm số Khi mệnh đề: Bài tập tương tự Bài 1: Hàm số y = x − x + 3x − có cực trị? A ; B ; C ; D Bài 2: [THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018] Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số có điểm cực trị? A ; B ; Bài 3: Cho hàm số hàm số y = f ( x) y = f ( x) liên tục C ; ¡ , có đạo hàm D f ′( x ) = x ( x − 1) ( x + 2) Hỏi có điểm cực trị? 10 A ; B ; C ; x0 Sai lầm thứ năm: Nếu điểm cực đại hàm số f ''( x0 ) < (tương tự cho cực tiểu) Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x ) = x − mx x=0 +) Vậy m 0 0 =  f ′ ( ) = ⇔ ⇔m y = f ( x ) = x4 Ta có: Bảng biến thiên: Suy hàm số đạt cực tiểu x = Vậy lời giải sai đâu ? 11 Nhớ rằng, x0 thỏa mãn   f ′ ( x0 ) = ⇒ x0    f ′′ ( x0 ) > x0 ngược lại chưa Vì f ′′ ( x0 ) > điều kiện Lời giải là: +) Ta có: +) Nếu điểm cực tiểu hàm số, điều điểm cực tiểu f ′′ ( x0 ) = điều kiện đủ f ′ ( x ) = x − 2mx m≤0 ta có bảng biến thiên Khi hàm số đạt cực tiểu x = +) Nếu m>0 ta có bảng biến thiên Khi hàm số đạt cực đại x = +) Vậy với m≤0 hàm số đạt cực tiểu y = f ( x ) = mx + x = Phương án A Ví dụ 8: Cho hàm số để hàm số đạt cực đại x=0 Tìm tất giá trị tham số m ? 12 A m0 f ′′ ( x ) = 12mx +) Điều kiện để hàm số đạt cực đại nghiệm m = −1 D , hàm số có dạng y = f ( x ) = − x4 + y ′ = f ′ ( x ) = −4 x = ⇔ x = x=0 hệ vô Ta có: Bảng biến thiên: Suy hàm số đạt cực đại x = Vậy lời giải sai đâu ? Nhớ rằng, x0 thỏa mãn   f ′ ( x0 ) = ⇒ x0    f ′′ ( x0 ) < ngược lại chưa Vì f ′′ ( x0 ) < điều kiện Lời giải là: +) Ta có: x0 điểm cực đại hàm số, điều điểm cực đại f ′′ ( x0 ) = điều kiện đủ f ′ ( x ) = 4mx 13 f ′( x) = m=0 +) Nếu khơng cực trị +) Nếu m≠0  Với Khi hàm số cho hàm y = f ( x) = nên f ′ ( x ) = 4mx = ⇔ x = m>0 ta có bảng biến thiên: Khi hàm số đạt cực tiểu x =  Với m0 A ; B ; C ; D Bài Cho y = x + mx + Tìm tất giá trị tham số m x=0 để hàm số đạt cực tiểu ? m≤0 m=0 A ; B ; C m≥0 ; D m>0 Bài [Mã đề 105 – THQG 2018] Có giá trị nguyên tham số y = x + ( m − ) x − ( m − 16 ) x + hàm số A ; đạt cực tiểu B ; x=0 m để ? C Vô số; D Sai lầm thứ sáu: Xét thiếu trường hợp trình tìm kết cuối mx3 y= − ( m + 1) x + x − m Ví dụ Tập hợp số thực đề hàm số có cực trị ¡ \ { 1} ¡ \ { 0;1} ¡ \ { 0} ¡ A ; B ; C ; D m=0 Trong ví dụ học sinh dễ quên trường hợp , hàm số bậc hai ln có cực m=0 trị, thuộc tập hợp kết Phương án A y = − x + m − m − x − 3m + x − m m Ví dụ 10: Cho hàm số Tìm để x = −2 hàm số đạt cực trị điểm m =1 m =1 m=3 m=3 A ; B ; C ; D Đáp án khác Trong ví dụ học sinh dễ nhầm lẫn phương án B phương án C y ' = − x + ( m − m − ) x − ( 3m + 1) Đạo hàm hàm số: y ' ( −2 ) = x = −2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị ( ) ( ) 15 ⇔ −4 − ( m − m − ) − ( 3m + 1) = m = ⇔ m = Khi giải đến hàm số vội vàng lựa chọn phương án B mà quên việc xét điều x = −2 kiện đủ để hàm số đạt cực trị y ' = − x − x − = − ( x + ) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ m =1 Điều kiện đủ: +, Với Bởi ¡ hàm số nghịch biến nên khơng có cực trị y ' = − x − 16 x − 28 y '' = −2 x − 16 m=3 +, Với y ' ( −2 ) =  ⇒ y '' ( −2 ) = −12 <  x = −2 Khi hàm số đạt cực đại m=3 x = −2 Vậy hàm số đạt cực trị Chọn phương án C Nguyên nhân sai lầm: Xét thiếu trường hợp khơng thể xảy tốn Cách khắc phục: Cần ý xét hết tất trường hợp khơng thể xảy toán Sai lầm thứ bảy: Giá trị cực đại giá trị lớn giá trị cực tiểu giá trị nhỏ hàm số Ví dụ 11: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có giá trị lớn 3; B Hàm số có giá trị nhỏ 0; C Hàm số có giá trị lớn 3và có giá trị nhỏ 0; D Hàm số khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ 16 Trong ví dụ học sinh dễ nhầm lẫn phương án C phương án D Đây sai lầm nghiêm trọng coi giá trị cực tiểu giá trị nhỏ giá trị cực đại giá trị lớn hàm số Điều hàm số có cực trị cực tiểu giá trị cực tiểu giá trị nhỏ hàm số có cực trị cực đại giá trị cực đại giá trị lớn hàm số Nguyên nhân sai lầm: Không nắm vững khái niệm cực trị giá trị lớn nhỏ hàm số Bài tập tương tự y = f ( x) Bài Cho hàm số xác định, liên tục hình vẽ Tìm khẳng định đúng? ¡ A Hàm số có cực trị; B Hàm số đạt cực đại x =1 đạt cực tiểu có bảng biến thiên x=2 ; C Hàm số có giá trị cực tiểu ; D Hàm số có giá trị lớn y = f ( x) Bài Cho hàm số đúng? A yCT = có bảng biến thiên hình vẽ bên Mệnh đề max y = ; B giá trị nhỏ ¡ ; C yC Ð = y = ; D ¡ 17 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Tôi chọn lớp 12A5 lớp thực nghiệm dạy học theo phương pháp mới, hướng dẫn học sinh khắc phục sai lầm giải toán cực trị hàm số lớp 12A6 lớp đối chứng dạy theo phương pháp truyền thống Kết thực nghiệm sau cho hai lớp làm tập khảo sát sau: Các tập khảo sát: Bài Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau Điểm cực đại đồ thị hàm số A xCÐ = ; Bài Cho hàm số hàm số f ( x) B f ( x) A ; Bài yCÐ = Cho hàm số ; C có đạo hàm ( 0;1) f ′ ( x ) = ( x + 1) ; D ( x − ) ( x + 3) ( 2;5 ) Số điểm cực trị B ; y = f ( x ) = x + mx3 + x=0 C ; D Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu m≤0 m=0 m≥0 m>0 A ; B ; C ; D y = − x + m − m − x − 3m + x − m m Bài Cho hàm số Tìm để hàm số x = −2 đạt cực trị điểm ( ) ( ) 18 A m =1 m =1 ; m=3 m=3 B ; C ; D Đáp án khác y = f ( x) y = f ′( x) ¡ ¡ Bài Cho hàm số có đạo hàm đồ thị hàm số hình vẽ Mệnh đề đúng? y x O A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số Kết khảo sát y = f ( x) có điểm cực đại điểm cực tiểu; y = f ( x) có điểm cực đại điểm cực tiểu; y = f ( x) có điểm cực đại điểm cực tiểu; y = f ( x) có điểm cực đại điểm cực tiểu Điểm số Xi Lớp n 10 TN 41 0 0 9 ĐC 39 0 Bảng phân bố tần số khảo sát xi 10 19 TN (%) ĐC (%) 0.0 0.00 0.0 0.00 7.30 12.1 21.9 21.9 19.54 17.07 0.0 0.00 0.0 15.3 17.9 23.0 20.5 12.8 7.69 2.56 Bảng phân bố tần suất khảo sát Từ bảng số liệu phân tích điểm số qua khảo sát cho thấy: Lớp TN: - Tỷ lệ HS đạt điểm khá, giỏi chiếm 80,00% - HS trung bình 20,00%, khơng có yếu Lớp ĐC: - Tỷ lệ HS đạt điểm khá, giỏi chiếm 43,61% - Tỷ lệ HS đạt điểm trung bình 41,01% - Tỷ lệ HS đạt điểm yếu 15,38% Thông qua tỷ lệ chứng tỏ kết học tập HS lớp TN tốt lớp ĐC Kết luận chung thực nghiệm Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, toán liên quan ; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm 20 Kết luận Trước hết, đề tài nhằm cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định đạo hàm ứng dụng đạo hàm, với kiến thức liên quan, người học có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho riêng mình; người học quay trở lại để kiểm chứng lí thuyết trang bị để làm tốn Từ thấy lơgic tốn học nói chung chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy đạo hàm công cụ "mạnh" để giải nhiều toán; nữa, toán giải cơng cụ đạo hàm lời giải tỏ ngắn gọn hơn, đẹp Nói riêng, với học sinh kiến thức đạo hàm tương đối khó, em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học Đó chưa kể sách giáo khoa giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng chí mang tính hàn lâm ; nội dung học sinh tiếp cận thêm có hội học sâu (chủ yếu bậc Đại học) 21 Do giới hạn thời gian điều kiện khác nên chưa thực thực nghiệm quy mơ lớn Chính mà kết thực nghiệm chắn chưa phải tốt XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trương Văn Hòa TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bá Kim(2002), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học sư phạm Hà Nội Sách giáo khoa Giải tích 12 – (NXB Giáo dục) Thư viện: violet.vn › Toán 22 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trương Văn Hòa Chức vụ đơn vị cơng tác: Tổ phó chun mơn trường THPT Thọ Xn 23 TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại Tạo hứng thú học tập mơn Tốn Sở GD ĐT cho học sinh thông qua giải Tỉnh Thanh tập sách giáo khoa Hóa C 2008- 2009 Tạo hứng thú học tập mơn Tốn Sở GD ĐT cho học sinh thơng qua giải bìa Tỉnh Thanh tập sách giáo khoa Đại số Hóa 10 nâng cao C 2009- 2010 Tạo hứng thú học tập mơn Tốn Sở GD ĐT cho học sinh thơng qua giải bìa Tỉnh Thanh tập sách giáo khoa Hóa C 2010-2011 Hướng dẫn học sinh sử dụng đạo hàm vào giải số dạng tập lượng giác tam giác Sở GD ĐT Tỉnh Thanh Hóa C 2011- 2012 Rèn luyện kỹ giải phương Sở GD ĐT trình phương pháp sử Tỉnh Thanh dụng tính đơn điệu hàm số Hóa cho học sinh lớp 12 C 2014- 2015 Giúp học sinh lớp 10 giải Sở GD ĐT phương trình vơ tỉ phương Tỉnh Thanh pháp đặt ẩn phụ Hóa C 2015- 2016 24 ... coi giá trị cực tiểu giá trị nhỏ giá trị cực đại giá trị lớn hàm số Điều hàm số có cực trị cực tiểu giá trị cực tiểu giá trị nhỏ hàm số có cực trị cực đại giá trị cực đại giá trị lớn hàm số Nguyên... cụ thể giúp học sinh khắc phục sai lầm giải toán cực trị hàm số chương trình Giải tích 12 nhằm phát huy tính tích cực khơi dậy hứng thú học tập học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số ví dụ minh... học sinh nắm kiến thức cực trị hàm số giải tốt tập cực trị, chọn đề tài "Hướng dẫn học sinh khắc phục sai lầm giải toán cực trị hàm số chương trình Giải tích 12" 1.2 Mục đích nghiên cứu Thiết