Hướng dẫn học sinh khắc phục những sai lầm khi giải toán về cực trị của hàm số trong chương trình giải tích 12

MỤC LỤC Mở đầu………………………………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………….1 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….1 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………1 Nội dung……………………………………………………………… 2.1 Cơ sở lí luận………………………………………………….… 2.2 Thực trạng đề tài………………………………………… ….4 2.3 Biện pháp thực hiện………………………… ……………… … 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……………………… … 14 Kết luận……….………………………………………………… …….17 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………18 Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đạt giải…………………………………19 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12, cực trị hàm số vấn đề quan trọng, có nhiều ứng dụng thường xuất đề thi trung học phổ thơng (THPT) quốc gia Trong q trình giảng dạy nhận thấy em học sinh hay gặp khó khăn mắc phải sai lầm giải toán liên quan đến cực trị Các em thường mắc sai lầm mà em không tự khắc phục khơng có hướng dẫn người thầy Trong sách giáo khoa (SGK) chương trình chuẩn thời lượng để giáo viên cung cấp kiến thức toán cực trị hàm số Mặt khác có nhiều học sinh có tư tưởng xem nhẹ khơng thích giải loại toán Qua thực tế giảng dạy, dự đồng nghiệp, chấm kiểm tra học sinh, nhiều học sinh làm chưa tốt nội dung Nguyên nhân em không nắm chất vấn đề, chưa có kinh nghiệm việc giải tốn tìm tham số thỏa mãn điều kiện toán cho trước Để khắc phục điểm yếu trên, tơi cố gắng đưa số tốn, từ sai lầm thường gặp dạng toán này, giúp em học sinh trung bình yếu tích lũy dần kinh nghiệm giải Ngoài em học sinh khá, giỏi có thêm tài liệu tham khảo dạng tốn nằm ngồi sách giáo khoa, từ giúp em xử lí tốt tiếp cận với đề thi THPT quốc gia Nhằm giúp học sinh nắm kiến thức cực trị hàm số giải tốt tập cực trị, chọn đề tài "Hướng dẫn học sinh khắc phục sai lầm giải toán cực trị hàm số chương trình Giải tích 12" 1.2 Mục đích nghiên cứu Thiết kế, xây dựng giáo án ví dụ cụ thể giúp học sinh khắc phục sai lầm giải toán cực trị hàm số chương trình Giải tích 12 nhằm phát huy tính tích cực khơi dậy hứng thú học tập học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số ví dụ minh họa giúp học sinh khắc phục sai lầm giải toán cực trị hàm số chương trình Giải tích 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu cơng trình nghiên cứu đổi phương pháp dạy học (PPDH) theo hướng tích cực hóa việc học học sinh - Nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình Giải tích 12 1.4.2 Phương pháp chuyên gia Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến đồng nghiệp để làm sở cho việc nghiên cứu đề tài 1.4.3 Phương pháp thực tập sư phạm Thực nghiệm sư phạm trường THPT Thọ Xuân, tiến hành theo quy trình đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu đề tài nghiên cứu 1.4.4 Phương pháp thống kê toán học Sử dụng phương pháp thống kê toán học để thống kê, xử lý, đánh giá kết thu 2 Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận Nội dung cực trị hàm số (chương I - Giải tích 12 - Cơ bản) Học sinh cần nắm số vấn đề sau (liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) Các định lí điều kiện đủ để hàm số có cực trị y  f  x K   x0  h; x0  h  Định lí 1: Giả sử hàm số liên tục khoảng có K \  x0 đạo hàm K , với h  f ' x   x  h; x0  f ' x  khoảng a Nếu khoảng  x0; x0  h x0 điểm cực đại hàm số y  f  x f ' x   x  h; x0  f ' x  0trên khoảng b Nếu khoảng  x0; x0  h x0 điểm cực tiểu hàm số y  f  x y  f  x  Định lí 2: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai khoảng  x0  h; x0  h , với h  Khi đó: f ' x  f '' x  x a Nếu , điểm cực tiểu f ' x  f '' x  x b Nếu , điểm cực đại Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số dựa hai định lí * Quy tắc 1: + Tìm tập xác định (x) Tìm điểm xi (i  1, 2, , n) mà f � (x)  hay f � (x) + Tính f � khơng xác định + Lập bảng biến thiên + Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị * Quy tắc 2: + Tìm tập xác định (x) Giải phương trình f � (x)  tìm nghiệm xi (i  1, 2, , n) + Tính f � � (xi ) � (x) f � + Tính f � + Kết luận 2.2 Thực trạng đề tài Trong thực tế, học sinh học phần cực trị hàm số - chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải khó khăn sau: - Không nắm vững định nghĩa khái niệm liên quan đế cực trị hàm số - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 - Nhầm lẫn cực trị giá trị lớn nhất, nhỏ 2.3 Biện pháp thực Để khắc phục sai lầm mà học sinh thường gặp phải, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: Phân tích sai lầm thơng qua số ví dụ minh họa Sai lầm thứ nhất: Không phân biệt khái niệm liên quan đến cực trị Ví dụ 1: Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y   x  3x  A xCT  1 ; B xCT  1; C  1;0  ; D  1;4  Trong ví dụ học sinh dễ nhầm lẫn phương án A phương án C Nếu hàm số f  x  đạt cực tiểu x0 x0 gọi điểm cực tiểu hàm số; M  x0 ; f  x0   gọi giá trị cực tiểu hàm số, điểm gọi điểm cực tiểu đồ thị hàm số Bởi phương án phải C f  x0  Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên sau: Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x  3; C Hàm số đạt cực đại x  2; B Hàm số đạt cực đại x  2; D Hàm số đạt cực đại x  Trong ví dụ học sinh dễ nhầm lẫn phương án A phương án B Nguyên nhân sai lầm: Không nắm vững khái niệm cực trị Cách khắc phục: Nắm vững khái niệm sau: Cho hàm số y  f  x  x0 điểm cực trị hàm số thì: Hàm số đạt cực trị x0 ( x0 điểm cực trị hàm số) Giá trị cực trị hàm số f  x0  Điểm cực trị đồ thị hàm số M  x0 ; f  x0   Bài tập tương tự Bài 1: Điểm cực đại đồ thị hàm số y  x  x  A xCÐ  ; B yCÐ  ; C  2; 3 ; D  0;1 ' Sai lầm thứ hai: Phương trình f  x   vơ nghiệm kết luận hàm số khơng có cực trị Ví dụ 3: Tìm cực trị hàm số Sai lầm thường gặp: Ta có: y '  f ' x  y  f  x   ( x  2) 2 x2 f ' x  � 0 x2 (vơ nghiệm) nên hàm số khơng có cực trị Suy Tuy nhiên, lập bảng biến thiên hàm số ta Do hàm số có cực trị (đạt cực tiểu x = 2) Nguyên nhân sai lầm: Ngộ nhận kết quả: Hàm số đạt cực trị x0 f '( x0 )  ' Cách khắc phục: Khi gặp toán tìm cực trị mà phương trình f  x   vơ nghiệm ta phải lập bảng biến thiên hàm số Sai lầm thứ ba: Hàm số khơng có đạo hàm x0 khơng đạt cực trị điểm Ví dụ 4: Tìm cực trị hàm số y  f  x có bảng biến thiên sau:   có điểm cực trị? Đồ thị hàm số A ; B ; C ; D Trong ví dụ học sinh khơng nắm vững chọn phương án B nhiên hàm số đạt cực trị x = y f x Suy hàm số y  f  x có ba nhiêu điểm cực trị Nguyên nhân sai lầm: Ngộ nhận kết quả: Hàm số đạt cực trị x0 hàm số phải có đạo hàm điểm Cách khắc phục: Khi gặp tốn tìm cực trị x0 mà hàm số khơng có đạo hàm x0 ta phải lập bảng biến thiên hàm số Bài tập tương tự Bài 1: Cho hàm số hình vẽ y  f  x xác định, liên tục � có bảng biến thiên Mệnh đề đúng? A Hàm số có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn nhất; B Hàm số có điểm cực trị; C Hàm số có hai điểm cực trị; D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ 3 Bài 2: Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên sau: Mệnh đề sai? A Hàm số không đạt cực tiểu điểm x  ; B Hàm số đạt cực đại điểm x  1; 1;  C Điểm cực đại đồ thị hàm số  ; D Giá trị cực đại hàm số y  ' Sai lầm thứ tư: Nếu x0 nghiệm phương trình f  x   kết luận x0 điểm cực trị hàm số Ví dụ 5: Hàm số f  x   x  có điểm cực trị? A 0; B 1; C 2; D Trong ví dụ học sinh dễ sai lầm lựa chọn đáp án B tính đạo hàm f ' x  x   hàm số cho có nghiệm x  Tuy nhiên đây, x  nghiệm kép, đạo hàm f '  x  không đổi dấu qua x  nên hàm số không đạt cực trị điểm Phương án A Học sinh quan sát bảng biến thiên sau để thấy rõ Ví dụ 6: Hàm số f  x   x  x  x  10 có điểm cực trị? A 0; B 1; C 2; D Trong ví dụ học sinh dễ sai lầm lựa chọn đáp án C tính đạo hàm hàm số cho f '  x   x  12 x  có hai nghiệm x  x  2 Tuy nhiên đây, x  nghiệm kép, đạo hàm f '  x  không đổi dấu qua x  nên hàm số không đạt cực trị điểm Phương án B Nguyên nhân sai lầm: Nhầm lẫn loại điều kiện Khi mệnh đề: " A � B " (nếu có A có B ) đúng, học sinh ngộ nhận kết quả: Khẳng định " B � A" (nếu có B có A ) Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm điểm x  x0 đạt cực trị điểm f '  x0   Tuy nhiên, khẳng định sau sai: Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm điểm x  x0 f '  x0   hàm số đạt cực trị điểm x  x0 Cách khắc phục: Lập bảng biến thiên hàm số Dấu f '  x  không đổi x qua x0 x0 nghiệm bội chẵn phương trình f '  x0   nên x0 điểm cực trị hàm số Bài tập tương tự y  x  x  3x  có cực trị? Bài 1: Hàm số A ; B ; C ; D Bài 2: [THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018] Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số có điểm cực trị? A ; B ; Bài 3: Cho hàm số hàm số A ; y  f  x y  f  x C ; D � liên tục �, có đạo hàm f ( x)  x  x 1  x   Hỏi có điểm cực trị? B ; C ; D Sai lầm thứ năm: Nếu x0 điểm cực đại hàm số y  f  x  f ''( x0 )  (tương tự cho cực tiểu) y  f  x   x  mx Ví dụ 7: Cho hàm số Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x  ? A m �0 ; B m  ; C m �0 ; D m  Cách giải sai: � f� x   x  2mx f� x   12 x  2m   +) Ta có: �f �    �0  �� �m0 � � � f  m    � � +) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x  là: +) Vậy m