Hướng dẫn học sinh khắc phục những sai lầm khi giải toán về tính đơn điệu của hàm số trong chương trình giải tích 12

MỤC LỤC Mở đầu………………………………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………….1 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….1 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………1 Nội dung……………………………………………………………… 2.1 Cơ sở lí luận………………………………………………….… 2.2 Thực trạng đề tài………………………………………… ….4 2.3 Biện pháp thực hiện………………………… ……………… … 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……………………… … 12 Kết luận……….………………………………………………… …….15 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………16 Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đạt giải…………………………………17 1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12, tính đơn điệu hàm số vấn đề quan trọng, có nhiều ứng dụng thường xuất đề thi tốt nghiệp THPT Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy em học sinh hay gặp khó khăn mắc phải sai lầm giải toán liên quan đến tính đơn điệu Các em thường mắc sai lầm mà em khơng tự khắc phục khơng có hướng dẫn người thầy Trong sách giáo khoa (SGK) chương trình chuẩn thời lượng để giáo viên cung cấp kiến thức tốn tính đơn điệu hàm số Mặt khác có nhiều học sinh cịn có tư tưởng xem nhẹ khơng thích giải loại tốn Qua thực tế giảng dạy, dự đồng nghiệp, chấm kiểm tra học sinh, nhiều học sinh làm chưa tốt nội dung Nguyên nhân em không nắm chất vấn đề, chưa có kinh nghiệm việc giải tốn tìm tham số thỏa mãn điều kiện toán cho trước Để khắc phục điểm yếu trên, tơi cố gắng đưa số tốn, từ sai lầm thường gặp dạng toán này, giúp em học sinh trung bình yếu tích lũy dần kinh nghiệm giải Ngoài em học sinh khá, giỏi có thêm tài liệu tham khảo dạng tốn nằm ngồi sách giáo khoa, từ giúp em xử lí tốt tiếp cận với đề thi tốt nghiệp THPT Nhằm giúp học sinh nắm kiến thức tính đơn điệu hàm số giải tốt tập tính đơn điệu, chọn đề tài "Hướng dẫn học sinh khắc phục sai lầm giải tốn tính đơn điệu hàm số chương trình Giải tích 12" 1.2 Mục đích nghiên cứu Thiết kế, xây dựng giáo án ví dụ cụ thể giúp học sinh khắc phục sai lầm giải toán tính đơn điệu hàm số chương trình Giải tích 12 nhằm phát huy tính tích cực khơi dậy hứng thú học tập học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số ví dụ minh họa giúp học sinh khắc phục sai lầm giải toán tính đơn điệu hàm số chương trình Giải tích 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu cơng trình nghiên cứu đổi phương pháp dạy học (PPDH) theo hướng tích cực hóa việc học học sinh - Nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình Giải tích 12 1.4.2 Phương pháp chuyên gia Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến đồng nghiệp để làm sở cho việc nghiên cứu đề tài 1.4.3 Phương pháp thực tập sư phạm Thực nghiệm sư phạm trường THPT Thọ Xuân 4, tiến hành theo quy trình đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu đề tài nghiên cứu 1.4.4 Phương pháp thống kê toán học Sử dụng phương pháp thống kê toán học để thống kê, xử lý, đánh giá kết thu Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận Nội dung tính đơn điệu hàm số (chương I - Giải tích 12 - Cơ bản) Học sinh cần nắm số vấn đề sau (liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) Định nghĩa tính đơn điệu hàm số K Kí hiệu y = f (x) khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số xác định  Hàm số K y = f (x) đồng biến K với x1 x2 , thuộc K mà x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2 )  Hàm số y = f (x) nghịch biến K với x1 x2 , thuộc K mà x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2 ) Các định lí điều kiện đủ để hàm số có tính đơn điệu  Định lí 1: y = f (x) Cho hàm số f '(x) > a Nếu với f '(x) < b Nếu với ∀x ∈ K ∀x ∈ K có đạo hàm khoảng f (x) hàm số ∀x ∈ K a Nếu với f (x) K hàm số đồng biến đồng biến K f (x) hàm số  Định lí (mở rộng định lí 1): K khoảng f '(x) ≥ K nghịch biến K y = f (x) Cho hàm số có đạo hàm f '(x) = số hữu hạn điểm f '(x) ≤ ∀x ∈ K b Nếu với f (x) K hàm số nghịch biến [3] f '(x) = số hữu hạn điểm Quy tắc tìm khoảng đơn điệu hàm số + Tìm tập xác định xi (i = 1, 2, , n) f ′(x) f ′(x) = + Tính Tìm điểm mà khơng xác định + Lập bảng biến thiên + Từ bảng biến thiên suy khoảng đơn điệu hàm số.[3] hay f ′(x) 2.2 Thực trạng đề tài Trong thực tế, học sinh học phần tính đơn điệu hàm số - chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải khó khăn sau: - Không nắm vững định nghĩa khái niệm liên quan đế tính đơn điệu hàm số - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng - Khơng nắm vững định lí tính đơn điệu hàm số - Vận dụng sai tính chất tính đơn điệu hàm số 2.3 Biện pháp thực Để khắc phục sai lầm mà học sinh thường gặp phải, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: Phân tích sai lầm thơng qua số ví dụ minh họa Sai lầm thứ nhất: Khơng xác định khoảng đơn điệu hàm số y= Ví dụ 1: Hàm số A ( −∞; +∞ ) x−3 x−2 B đồng biến khoảng đây? R \ { 3} C ( −∞; ) ∪ (2; +∞) D ( −∞; ) (2; +∞) Lời giải sai là: Tập xác định: y' = Ta có: D = R \ { 2} ( x − 2) y ' > ⇔ x ∈ (−∞; 2) ∪ (2; +∞) Nên chọn đáp án C Phân tích: Lời giải sai phần kết luận Nguyên nhân sai lầm: Không nắm vững định nghĩa hàm số đồng biến nghịch biến Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm sai lầm cách chọn x1 , x2 mà x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2 ) Lời giải là: Tập xác định: y' = Ta có: D = R \ { 2} ( x − 2) y ' > ⇔ x ∈ (−∞; 2) ∪ (2; +∞) Chọn đáp án D Cách khắc phục: Cần nắm vững định nghĩa hàm số đồng biến nghịch biến Chú ý hàm số đồng biến nghịch biến hai tập chưa thể kết luận hàm số đồng biến nghịch biến hợp hai tập f Ví dụ 2: Cho hàm số ( x) có bảng biến thiên sau: Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A ( −1; ) B ( 0;1) C ( −1;1) D ( −1;0 ) Trong ví dụ học sinh học yếu dễ nhầm lẫn phương án A phương án D Nguyên nhân sai lầm: Nhầm giá trị hàm số giá trị ẩn số x Cách khắc phục: Hàm số đơn điệu khoảng ẩn số Bài tập tương tự y= Bài 1: Hàm số x+3 x−2 ( −∞; +∞ ) A nghịch biến khoảng đây? B R \ { 3} y = f ( x) Bài 2: Cho hàm số sau đúng? C ( −∞; ) ∪ (2; +∞) D ( −∞; ) (2; +∞) có bảng biến thiên hình Mệnh đề A.Hàm số cho đồng biến khoảng B.Hàm số cho đồng biến khoảng    − ; +∞ ÷   ( −∞;3) C.Hàm số cho nghịch biến khoảng ( 3; +∞ ) D.Hàm số cho nghịch biến khoảng 1   −∞; − ÷ 2  ( 3; +∞ ) Sai lầm thứ hai: Tìm điểm tới hạn sai Ví dụ 3: Hàm số ( −2 y = f ( x ) = x − 16 − x 2; 2 ) A B ( −4; −2 ) đồng biến khoảng đây? C (−2 2; 4) D ( −4; −2 ) (2 2; 4) Trong ví dụ học sinh tìm điểm tới hạn sai chọn phương án D Nguyên nhân sai lầm: Tính sai điểm tới hạn trình bày sau: Lời giải sai là: D = [- 4; ] Tập xác định: x y ' = 1+ 16 − x Ta có: y ' = ⇔ 1+  x = −2 = ⇔ 16 − x = − x ⇔ 16 − x = x ⇔  16 − x  x = 2 x Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, dấu, x y' f ' ( 0) > f '( x) giữ nguyên nên ta có bảng biến thiên sau: -4 - 2 - Suy ra: Hàm số đồng biến khoảng 2 + ( −2 2; 2 ) - Chọn A Phân tích: Khơng nắm vững cách giải phương trình chứa Lời giải là: D = [- 4; ] Tập xác định: x y ' = 1+ 16 − x Ta có: y ' = ⇔ 1+ x ≤ = ⇔ 16 − x = − x ⇔  ⇔ x = −2 2 16 − x = x 16 − x  x Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, dấu, f ' ( 0) > ln giữ ngun nên ta có bảng biến thiên sau: -4 x y' f '( x) - 2 - ( −2 2; + ) Hàm số đồng biến khoảng Chọn C Cách khắc phục: Cần nắm vững cách giải phương trình chứa Bài tập tương tự Bài 1: Hàm số A ( −5;5) Bài 2: Hàm số A y = f ( x ) = x − + 50 − x B ( −5 2;5 y = f ( x ) = x − x2 − ( −∞;3) B ( 3; +∞ ) ) nghịch biến khoảng C ( 5;5 ) D ( −5 2;5 đồng biến khoảng C ( −2 3; −3 ) D (2 3; +∞ ) ) Sai lầm thứ ba: Áp dụng sai định lí tìm điều kiện để hàm số đơn điệu tập hợp x3 y = − x + x + 2019 Ví dụ 4: Cho hàm số Mệnh đề sau A Hàm số cho đồng biến B Hàm số cho đồng biến C Hàm số cho đồng biến D Hàm số cho đồng biến R ( −∞;1) ( −∞;1) ( 1;+∞ ) ( 1; +∞ ) nghịch biến nghịch biến ( 1;+∞ ) ( −∞;1) Lời giải sai là: y′ = x − x + Ta có Bảng xét dấu: y′ = ⇔ x = - ¥ x y' đồng biến +¥ + ( −∞;1) ( 1; +∞ ) + Hàm số cho Do chọn đáp án B Phân tích sai lầm: Khơng áp dụng định lí Lời giải là: y ′ = x − x + = ( x − 1) ≥ 0, ∀x Ta có Do hàm số cho đồng biến y′ = ⇔ x = (tại hữu hạn điểm) R 10 Nên chọn đáp án A Cách khắc phục: Cần áp dụng định lí Ví dụ 5: Cho hàm số Hàm số y = f ( x) A ( −∞;1) y = f ( x) liên tục R có f ′( x) = ( 1− x) ( x + 1) ( − x ) đồng biến khoảng đây? B ( −1;1) C ( −1;3) D ( 3; + ∞ ) Trong ví dụ học sinh thường nhầm phương án B C Phân tích sai lầm: Khơng áp dụng định lí Lời giải là:  x =1 f ′ ( x ) = ⇔ ( − x ) ( x + 1) ( − x ) = ⇔  x = −1  x = 3 Ta có: Bảng xét dấu: Hàm số đồng biến khoảng ( −1;3) Do chọn đáp án C Cách khắc phục: Lập bảng biến thiên hàm số f '( x ) x0 x0 x Dấu không đổi qua nghiệm bội chẵn f ' ( x0 ) = phương trình Áp dụng định lí 11 Ví dụ 6: Có giá trị nguyên tham số f ( x) = x + mx + x + 3 đồng biến R cho hàm số A m B C D Trong ví dụ học sinh áp dụng định lí chọn phương án C Ngun nhân sai lầm: Khơng áp dụng định lí Lời giải sai là: Ta có f ′( x) = x + 2mx + R Hàm số cho đồng biến f ′( x) > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ' < Ta có ⇔ ∆ ' = m2 − < f ′( x) > 0, ∀x ∈ R ⇔ −2 < m < Vì m∈¢ nên m ∈ { −1; 0;1} , có giá trị nguyên m thỏa mãn Lời giải là: Ta có f ′( x) = x + 2mx + ¡ Hàm số cho đồng biến hữu hạn điểm) f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ' ≤ Ta có ⇔ ∆ ' = m2 − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ (Dấu ‘=’ xảy 12 Vì m∈¢ nên m ∈ { −2; − 1;0;1; 2} , có m giá trị nguyên thỏa mãn Cách khắc phục: Cần áp dụng định lí Bài tập tương tự y = − x3 − mx2 + ( 4m+ 9) x + Bài 1: Cho hàm số , với m tham số Hỏi có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng A B C m Bài 2: Số giá trị nguyên tham số y = mx + mx + ( m + 1) x − nghịch biến 200 R 99 ( −∞; +∞ ) D đoạn [ −100;100] Ví dụ 7: Hàm số ( −∞; +∞ ) A x2 − x + x −1 để hàm số là: 100 A B C Sai lầm thứ tư: Khơng tìm tập xác định hàm số y= D 201 nghịch biến tập sau ? B R \ { 1} C ( 0; ) D ( 1; ) Lời giải sai là: x2 − x f ′( x) = ( x − 1) Ta có f ′( x ) = ⇔ x = x2 − 2x = ⇔ x − x = ⇔ x = ( x − 1)  Bảng xét dấu: x y' - ¥ + +¥ - + 13 Do chọn đáp án C Phân tích sai lầm: Khơng tìm tập xác định hàm số Lời giải là: D = R \ { 1} Ta có : Tập xác định : x = x2 − 2x x2 − 2x ′ f ( x ) = ⇔ = ⇔ x − x = ⇔ ′ f ( x) = x = 2 ( x − 1) ( x − 1)  Bảng xét dấu: - ¥ x Do + y' P - +¥ - chọn đáp án D + Cách khắc phục: Cần tìm tập xác định Bài tập tương tự y= Bài 1: Hàm số ( −∞; +∞ ) A Bài 2: Hàm số + x4 y= x ( −∞; +∞ ) A x + 3x + x+3 đồng biến tập sau ? B R \ { −2} C ( −5; −1) D ( −3; −1) đồng biến tập sau ? B  1  − ; ÷ ÷  3 C  1  0; ÷ 3÷   D  1  −∞; − ÷ 3÷   2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Tôi chọn lớp 12A4 lớp thực nghiệm dạy học theo phương pháp mới, hướng dẫn học sinh khắc phục sai lầm giải tốn tính đơn điệu hàm số cịn lớp 12A5 lớp đối chứng dạy theo phương pháp truyền thống Kết thực nghiệm sau cho hai lớp làm tập khảo sát sau: 14 Các tập khảo sát: y = f ( x) Bài Cho hàm số có bảng biến thiên sau Hàm số đồng biến khoảng sau ? ( −∞; ) A B ( 1;5) f ( x) C Bài Cho hàm số có đạo hàm biến khoảng sau ? ( −∞; −3) A B ( −3; −1) Bài Hỏi có số nguyên nghịch biến khoảng A B y= Bài Hàm số x2 − 2x + x−2 ( −∞; +∞ ) A f ′ ( x ) = ( x + 1) m ( −∞; +∞ ) ( 0; ) D ( x − ) ( x + 3) C để hàm số ( −3; ) ( 2; +∞ ) Hàm số nghịch D ( 2; +∞ ) y = ( m2 − 1) x3 + ( m − 1) x − x + C D nghịch biến tập sau ? B R \ { 2} C ( 1;3) D ( 2;3) 15 y = f ( x) Bài Cho hàm số có đạo hàm hình vẽ Mệnh đề đúng? ¡ đồ thị hàm số y = f ′( x) ¡ y x O A Hàm số B Hàm số C Hàm số y = f ( x) y = f ( x) y = f ( x) đồng biến khoảng nghịch biến khoảng; đồng biến khoảng nghịch biến khoảng; đồng biến khoảng nghịch biến khoảng; y = f ( x) D Hàm số đồng biến khoảng nghịch biến khoảng Kết khảo sát Điểm số Xi Lớp n 10 TN 41 0 0 9 ĐC 39 0 Bảng phân bố tần số khảo sát xi 10 16 TN (%) ĐC (%) 0.0 0.00 0.0 0.00 7.30 12.1 21.9 21.9 19.54 17.07 0.0 0.00 0.0 15.3 17.9 23.0 20.5 12.8 7.69 2.56 Bảng phân bố tần suất khảo sát Từ bảng số liệu phân tích điểm số qua khảo sát cho thấy: Lớp TN: - Tỷ lệ HS đạt điểm khá, giỏi chiếm 80,00% - HS trung bình 20,00%, khơng có yếu Lớp ĐC: - Tỷ lệ HS đạt điểm khá, giỏi chiếm 43,61% - Tỷ lệ HS đạt điểm trung bình 41,01% - Tỷ lệ HS đạt điểm yếu 15,38% Thông qua tỷ lệ chứng tỏ kết học tập HS lớp TN tốt lớp ĐC Kết luận chung thực nghiệm Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tốn liên quan ; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm 17 Kết luận Trước hết, đề tài nhằm cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định đạo hàm ứng dụng đạo hàm, với kiến thức liên quan, người học có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho riêng mình; người học quay trở lại để kiểm chứng lí thuyết trang bị để làm tốn Từ thấy lơgic tốn học nói chung chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy đạo hàm công cụ "mạnh" để giải nhiều toán; nữa, tốn giải cơng cụ đạo hàm lời giải tỏ ngắn gọn hơn, đẹp Nói riêng, với học sinh kiến thức đạo hàm tương đối khó, em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học Đó chưa kể sách giáo khoa giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng chí mang tính hàn lâm; nội dung học sinh tiếp cận thêm có hội học sâu (chủ yếu bậc Đại học) 18 Do giới hạn thời gian điều kiện khác nên chưa thực thực nghiệm quy mô lớn Chính mà kết thực nghiệm chắn chưa phải tốt XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Trương Văn Hòa TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bá Kim(2002), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học sư phạm Hà Nội Thư viện: violet.vn › Tốn Sách giáo khoa Giải tích 12 – (NXB Giáo dục) 19 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trương Văn Hòa Chức vụ đơn vị cơng tác: Tổ phó chun mơn trường THPT Thọ Xuân TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Tạo hứng thú học tập môn Tốn Sở GD ĐT cho học sinh thơng qua giải Tỉnh Thanh tập sách giáo khoa Hóa Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại C 2008- 2009 20 Tạo hứng thú học tập mơn Tốn Sở GD ĐT cho học sinh thơng qua giải bìa Tỉnh Thanh tập sách giáo khoa Đại số Hóa 10 nâng cao C 2009- 2010 Tạo hứng thú học tập mơn Tốn Sở GD ĐT cho học sinh thơng qua giải bìa Tỉnh Thanh tập sách giáo khoa Hóa C 2010-2011 Hướng dẫn học sinh sử dụng đạo hàm vào giải số dạng tập lượng giác tam giác Sở GD ĐT Tỉnh Thanh Hóa C 2011- 2012 Rèn luyện kỹ giải phương Sở GD ĐT trình phương pháp sử Tỉnh Thanh dụng tính đơn điệu hàm số Hóa cho học sinh lớp 12 C 2014- 2015 Giúp học sinh lớp 10 giải Sở GD ĐT phương trình vơ tỉ phương Tỉnh Thanh pháp đặt ẩn phụ Hóa C 2015- 2016 Hướng dẫn học sinh sử dụng Sở GD ĐT tích phân vào giải số Tỉnh Thanh tốn thực tế chương trình Hóa Toán lớp 12 C 2019- 2020 21 ... sinh nắm kiến thức tính đơn điệu hàm số giải tốt tập tính đơn điệu, chọn đề tài "Hướng dẫn học sinh khắc phục sai lầm giải tốn tính đơn điệu hàm số chương trình Giải tích 12" 1.2 Mục đích nghiên... thể giúp học sinh khắc phục sai lầm giải toán tính đơn điệu hàm số chương trình Giải tích 12 nhằm phát huy tính tích cực khơi dậy hứng thú học tập học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số ví dụ... đế tính đơn điệu hàm số - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng - Khơng nắm vững định lí tính đơn điệu hàm số - Vận dụng sai tính chất tính đơn điệu hàm số 2.3 Biện pháp thực Để khắc