Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG PT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THCS THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Tác giả: Lê Thị Quang Đơn vị: Trường Phổ Thơng Triệu Sơn, Triệu Sơn, Thanh Hóa Triệu Sơn, tháng năm 2018 MỤC LỤC I Tên sở yêu cầu công nhận sáng kiến II Đồng tác giả III.Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng IV Nội dung sáng kiến 1 Giải pháp cũ thường làm 1.1 Thực trạng dạy học tốn cực trị hình học lớp đại trà .1 1.2 Thực trạng dạy học tốn cực trị hình học lớp bồi dưỡng học sinh giỏi 1.3 Thống kê số tiết dạy theo PPCT hình học THCS có tốn cực trị .4 Giải pháp thực 2.1 Một số kiến thức thường dùng để giải tốn cực trị hình học 2.1.1 Quan hệ đường vng góc đường xiên, hình chiếu 2.1.2 Quan hệ cạnh góc tam giác, bất đẳng thức tam giác, qui tắc điểm 2.1.3 Bất đẳng thức đường tròn .7 2.1.4 Bất đẳng thức đại số 2.1.5 Hệ thức lượng tam giác 2.2 Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho hs bậc THCS giỏi thơng qua dạy học giải tốn cực trị hình học 16 2.2.1 Biện pháp 1: Xác định hướng tiếp cận khác để giải toán cực trị hình học .16 2.2.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng tư sáng tạo kết hợp với hoạt động trí tuệ khác 16 2.2.2.1 Rèn luyện khả phân tích, tổng hợp toán .16 2.2.2.2 Rèn luyện khả kiểm tra lời giải toán 16 2.2.2.3 Rèn luyện khả định hướng xác định đường lối giải tốn mang tính tổng qt 17 2.2.3 Biện pháp : Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua rèn luyện khả phát vấn đề giải vấn đề .20 2.2.3.1 Rèn luyện khả nhận biết, tìm tòi phát toán liên quan sáng tạo toán 20 2.2.3.2 Rèn luyện khả nhìn nhận giải tốn nhiều góc độ khác 23 2.2.3.3 Rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn .26 Tổ chức nội dung thực nghiệm 29 3.1 Tổ chức thực nghiệm 29 3.2 Nội dung thực nghiệm 30 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 32 3.4 Kết luận chung thực nghiệm sư phạm: 33 V Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt .33 Hiệu kinh tế 33 Hiệu xã hội 34 VI Điều kiện khả áp dụng 34 I Tên sở u cầu cơng nhận sáng kiến: Sở GD&ĐT Thanh Hóa II Tác giả: Lê Thị Quang, Giáo viên Toán, Trường PT Triệu Sơn III.Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng Tên sáng kiến: Một số biện pháp nhằm phát triển tư sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạy học giải tốn cực trị hình học phẳng Lĩnh vực áp dụng : Tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi cho trường THCS IV Nội dung sáng kiến Giải pháp 1.1 Thực trạng dạy học tốn cực trị hình học lớp đại trà Qua khảo sát thực tế thấy việc dạy toán cực trị trường THCS chưa quan tâm mức Đối với lớp dạy đại trà phần lớn việc dạy lí thuyết dừng mức giới thiệu giao cho học sinh nhà đọc Việc chữa trí có giáo viên không giao không chữa tập phần Một số giáo viên dừng lại việc chữa hướng dẫn cho học sinh giỏi nhà làm chưa quan tâm đến việc khai thác, phát triển toán Đặc biệt kiểm tra định kỳ có nội dung cực trị hình học Đối với học sinh đa số học sinh khơng thích học sợ học tốn cực trị Nhiều em không học không làm tập giao nhà Số lượng học sinh mạnh dạn trao đổi với thày tìm tòi, đề xuất tốn ít, khơng có 1.2 Thực trạng dạy học tốn cực trị hình học lớp bồi dưỡng học sinh giỏi Qua khảo sát thực tế thấy việc dạy chuyên đề tốn cực trị hình học cho học sinh giỏi chưa thực có hiệu Số lượng giáo viên dạy bản, quan tâm đến việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh Nhiều giáo viên không dạy phần Đối với học sinh giỏi, số lượng em đam mê, tìm tòi, khám phá chưa nhiều, nhiều em làm cho xong chưa nghĩ đến tìm cách giải khác Còn phận không nhỏ em không làm 1.3 Thống kê số tiết dạy theo PPCT hình học THCS có tốn cực trị Số tiết dạy Lớp Tên Quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu 02 Bất đẳng thức tam giác 02 Đối xứng tâm, đối xứng trục 02 Quan hệ đường kính dây cung 02 Liên hệ cung dây, liên hệ dây hoảng cách từ tâm đến dây Như vậy, qua khảo sát nhận thấy: 02 - Do số tiết học lớp ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mở rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo kiến thức học chưa triệt để sâu sắc Điều ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức học sinh, hạn chế đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh học tập, đối tượng học sinh giỏi - Trong chương trình tốn THCS, số lượng dạng tốn phần cực trị hình học đề cập hạn chế, nằm rải rác phận sách tham khảo, tốn phần cực trị hình học chủ đề tốn khó thường hay xuất kỳ thi học sinh giỏi Do học sinh giáo viên tiếp cận với dạng tốn nói thực tế giáo viên thờ việc thực dạy học chủ đề Điều dẫn đến việc giải tập cực trị hình học học sinh tỏ lúng túng, chưa rèn luyện kỹ giải tốn, chưa kích thích ham mê tìm tòi khám phá học sinh, từ học sinh tiếp thu kiến thức cách hình thức hời hợt Việc tiến hành bồi dưỡng cho đội ngũ học sinh giỏi chưa tiến hành cách thường xun từ đầu Chính q trình bồi dưỡng kiến thức toán học theo hướng nâng cao chủ đề cực trị hình học cho HS chưa liên mạch chưa có hệ thống, có kỳ thi thi vào trường chuyên, lớp chọn, HS giỏi giáo viên học sinh thực nhảy vào Chính điều làm cho HS dễ hụt hẫng kiến thức, khai thác tốn gặp nhiều khó khăn, việc dạy học giáo viên chủ yếu dựa vào kinh nghiệm thân Hơn nữa, hệ thống tập sách tham khảo đa dạng phong phú rời rạc, thiếu liên kết với chủ đề, đặc biệt thị trường tìm vài sách tham khảo viết dành riêng cho phần cực trị hình học thể chun mơn hố hiếm, điều dẫn đến tình trạng GV HS thiếu hệ thống tài liệu tham khảo để phục vụ cho công tác dạy học Trong thực tế, cách dạy phổ biến GV với tư cách người điều khiển đưa kiến thức giải thích chứng minh, sau đưa số tập áp dụng, làm cho HS cố gắng tiếp thu vận dụng Rõ ràng với cách dạy GV thấy chưa thoả mãn dạy mình, HS thấy chưa hiểu cội nguồn vấn đề mà học cách máy móc, làm cho em có hội phát triển tư sáng tạo, có hội khai thác tìm tòi Giải pháp thực 2.1 Một số kiến thức thường dùng để giải toán cực trị hình học 2.1.1 Quan hệ đường vng góc đường xiên, hình chiếu Trong đường xiên đường vng góc hạ từ điểm đến đường thẳng - Đường vng góc đường ngắn - Đường xiên có hình chiếu lớn lớn hơn, hình chiếu lớn có đường xiên lớn 2.1.2 Quan hệ cạnh góc tam giác, bất đẳng thức tam giác, qui tắc điểm - Trong tam giác, đối diện với cạnh lớn góc lớn ngược lại - Bất đẳng thức tam giác: Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại - Qui tắc điểm: cho n điểm A1, A2 ,… An Ta có: A1 An  A1 A2 + A2 A3 +… + An-1 An, dấu “=” xảy  A1, A2… An thẳng hàng xếp theo thứ tự 2.1.3 Bất đẳng thức đường tròn - Trong tất dây cung đường tròn, đường kính dây lớn - Trong đường tròn, dây cung có độ dài ngắn có khoảng cách đến tâm lớn ngược lại - Trong hai cung nhỏ đường tròn, cung lớn góc tâm lớn - Trong hai cung nhỏ đường tròn, cung lớn dây trương cung lớn 2.1.4 Bất đẳng thức đại số - Giả sử ta có trị nhỏ nhất, a a với a > 0, a không đổi, đạt giá trị lớn b đạt giá b b a đạt giá trị nhỏ b đạt giá trị lớn b - Nếu x + y số tích x y lớn  x = y x y số tổng x + y nhỏ  x = y - Bất đẳng thức Cauchy: cho số a, b không âm ta có: ab � ab Dấu “=” xảy  a = b Tổng quát: cho n số khơng âm a1, a2… an ta có: a1  a2   an n � a1 a2 an Dấu “=” xảy  a1 = a2 = … = an n - Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho số thực: a, b, x, y ta có: (ax + by)2  (a2 + b2) (x2 +y2) Dấu “=” xảy  ay = bx 2.1.5 Hệ thức lượng tam giác - Hệ thức cạnh góc tam giác vng: Trong tam giác vng: Mỗi cạnh góc vng cạnh huyền nhân với sin góc đối cos góc kề cạnh góc vng nhân với tan góc đối cotg góc kề - Định ký Pitago: Trong tam giác vng bình phương độ dài cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng 2.2 Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho hs bậc THCS giỏi thơng qua dạy học giải tốn cực trị hình học 2.2.1 Biện pháp 1: Xác định hướng tiếp cận khác để giải tốn cực trị hình học Hướng Ta vẽ hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay điều kiện đại lượng đại lượng tương đương (có phải chọn đại lượng hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ ẩn số với đại lượng khác hình, đại lượng đầu cho sẵn, ta làm xuất trình tìm lời giải toán Biểu thị ẩn số theo đại lượng biết, đại lượng không đổi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm để cuối xác định giá trị đại lượng cần tìm, từ suy vị trí hình để đạt cực trị) Thường dùng cách đầu cho dạng: “Tìm hình thoả mãn điều kiện cực trị tốn” Ví dụ 1: Trong tam giác có đáy diện tích tam giác có chu vi nhỏ ? ’ B • Lời giải (Hình 1) Xét tam giác có chung đáy BC = a có diện tích S Gọi AH đường cao tương ứng với đáy BC Ta có: 2S 2S S = AH BC  AH = = (khơng BC a d  A’ • B• Hình A • C đổi) Suy ra: A di động đường thẳng d //BC cách BC khoảng 2S a  Ta cần xác định vị trí A đường thẳng d để chu vi  ABC có giá trị nhỏ Chu vi  ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a Vì a khơng đổi nên chu vi  ABC nhỏ  AB + AC nhỏ Gọi B’ điểm đối xứng B qua d, B’C cắt d A’ Xét  AB’C ta có: AB’ + AC ≥ B’C (1) Thay AB’ = AB, A’B’ = A’B vào (1) ta có: AB + AC ≥ A’B + A’C (2) Dấu “=” xảy B’, A, C thẳng hàng Khi A  A’ Vì A’B = A’B’ = A’C nên  A’BC cân A’ Vậy tam giác có đáy diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ Nhận xét: Khi giải toán cho ta thay điều kiện tốn điều kiện tương đương tìm tam giác cân thoả mãn điều kiện cực trị toán Hướng Ta đưa hình vẽ (theo yêu cầu đầu bài) chứng minh hình khác có chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn bé yếu tố tương ứng hình đưa Thường dùng cách chứng minh hình dạng hình có cực trị nói rõ đầu Ví dụ 2: Chứng tam giác có đáy diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất? Phân tích tốn: Đây tốn ta đề cập ví dụ 1, đầu nói rõ hình phải chứng minh tam giác cân, nên đưa tam giác cân A’BC (Hình 1) xét tam giác khơng cân ABC có đáy BC, đỉnh A chạy đường thẳng d // BC, ta việc chứng minh: Chu vi  ABC ≥ chu vi  A’BC tức AB + AC ≥ A’B + A’C Hướng Thay việc tìm cực đại đại lượng hình học việc tìm cực tiểu đại lượng khác ngược lại Ví dụ 3: Chứng minh tam giác có đáy diện tích, tam giác cân có bán kính đường tròn nội tiếp lớn Lời giải (Hình 2) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh  ABC, r bán kính đường tròn nội tiếp, S diện tích  ABC.Ta có: S = SAIB + SBIC + SCIA = 1 r cr + ar + br = (a + b + c) 2 2 2S  r = a+b+c Vì S khơng đổi, ta suy r lớn  (a + b + c) có giá trị nhỏ nhất, theo kết ví dụ 2, tam giác cân Nhận xét: Để chứng minh bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cân lớn nhất, ta đưa việc chứng minh chu vi tam giác nhỏ (ví dụ 2) cách biểu thị bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cân qua diện tích chu vi Hướng Trong tốn cực trị, thường có điểm di chuyển hình định hình có cho đề bài, có tìm tốn quỹ tích Đó là: Vận dụng quỹ tích để giải tốn cực trị =  Tam giác có diện tích Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC = a, lớn nhất? Lời giải (Hình 3) Xét tam giác ABC có BC = a, =  Khi A’ A A nằm cung chứa góc  dựng cạnh BC a tam giác ABC Gọi A’ điểm cung chứa góc nói Kẻ AH  BC, A’H’  BC B Hiển nhiên AH  A’H’ Do SABC  SA 'BC Vậy •o H tam giác nói tam giác cân có diện tích lớn C H’ Hình Hướng Trong tốn cực trị hình học giải phương pháp đại số, ta thường chọn đại lượng làm biến (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tỷ số lượng giác góc ), có trường hợp ta nên chọn hai biến, đồng thời ý đến đại lượng không đổi để làm biến cho hợp lý Tiếp cận theo hướng ta gọi là: Chọn biến để giải tốn cực trị hình học Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có góc B, C nhọn, BC = a, đường cao AH = h, xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M  BC, N  AC, P, Q  BC Hình chữ nhật MNPQ vị trí diện tích có giá trị lớn nhất? Lời giải (Hình 4) A Đặt MQ = x, MN = y M Ta có: SAMN + SBMNC = SABC Suy ra: y ( h  x ) x (a  y )   a.h 2 h-x N y x B Q H P Hình C Tóm lại: Song song với hoạt động trên, em làm quen với phép suy luận, phép chứng minh, quan hệ, lập luận có trình bày mạch lạc tn theo quy luật quy tắc suy luận, quy luật logic hình thức Nói cách chủ quan rằng, HS sau vận dụng thành thạo nội dung trình bày góp phần vào việc rèn luyện, phát triển tư logic sử dụng ngơn ngữ xác cho HS 2.2.3 Biện pháp : Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua rèn luyện khả phát vấn đề giải vấn đề Như phân tích trên, nét đặc trưng bật tư sáng tạo tạo Qua việc giải hệ thống tập thiết kế, chọn lọc, HS rèn luyện nhiều khả tìm hướng (có thể tìm nhiều lời giải khác cho tốn), khả tìm kết (có thể khai thác kết toán xem xét khía cạnh khác tốn) Khả phát vấn đề giải vấn đề khả quan trọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng cho HS, khả thể rõ nét chỗ đề xuất tốn tốn hồn tồn mới, mở rộng, đào sâu tốn biết Để góp phần có thêm khả đó, tác giả quan tâm bồi dưỡng cho HS số vấn đề sau: 2.2.3.1 Rèn luyện khả nhận biết, tìm tòi phát toán liên quan sáng tạo tốn Thơng qua hoạt động dạy học giải tập, HS lôi vào hoạt động, hội tìm tòi, khám phá phát vấn đề việc làm cần thiết Với cách dạy học đề cao vai trò chủ thể người thầy HS có hội số luyện tập hạn chế HS phát vấn đề mà thường lập lại phát vấn đề GV đưa ra, HS thường bị động tiếp nhận kiến thức từ phía GV Cách dạy học làm hạn chế khả tìm kiếm, tự phát vấn đề HS, điều trái với quan điểm việc học theo xu hướng hoạt động hoá người học, lấy người học làm trung tâm, việc hoà biến đổi thân để trở nên có kiến thức mới, phương pháp tư thực phê bình, để tự hiểu thân Chính điều mà dạy học, người GV phải biết trọng công tác bồi dưỡng HS lực nhận biết tìm tòi, phát triển vấn đề để giúp HS rèn luyện kỹ tư vào thói quen phát triển tìm tòi, thơng qua số thao tác trí tuệ Việc thường xuyên rèn luyện cho HS lực tạo cho HS thói quen ln ln tích cực 17 khám phá kiến thức lúc, nơi Muốn làm tốt điều đòi hỏi HS phải trải qua q trình tìm tòi, mò mẫm, dự đốn, suy xét nhiều góc độ để thử nghiệm Ví dụ 10: Tìm tam giác có diện tích lớn nội tiếp đường tròn (O, R) cho trước? A  Q trình mò mẫm dự đốn: Giả sử có tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) cho trước (Hình 11) Vì toán chứa đựng yếu tố quan trọng diện tích tam giác ABC ta phải tạo yếu tố phụ đường cao AH  ABC B Lúc diện tích tam giác ABC: SABC = o x  H AH BC Có thể nói “Chìa C K Hình 11 khố” để ta tiếp tục q trình tìm tòi, mò mẫm, dự đốn để phát vấn đề.Thật ta cố định đoạn BC diện tích tam giác ABC lớn AH lớn nhất, lúc A nằm cung BC tam giác ABC cân A.Tương tự ta tiếp tục cho cố định đoạn AB diện tích tam giác ABC lớn tam giác ABC cân C Vì từ điều phân tích mà ta đến dự đốn S ABC lớn  ABC tam giác Dễ thấy tứ giác A OB A’C hình bình hành (Hình 12) 3R Suy ra: AH  BC = R Nên SABC = 3R Từ gợi cho ta thực phép chứng minh SABC ≤ R 3.R B O H C A’ Hình 12 Cách giải 1: (Hình 11 + Hình 12) 18 Với tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) kẻ AH OK vng góc với BC Đặt OK = x (0 ≤ x < R) Ta có BC = R  x mà AH ≤ AK ≤ OA + OK = R + x Do đó: SABC = = 3  3R    1 AH BC ≤ (R + x) 2  R  x     3x R  x = R R  x + x R  x  R2  x2 áp dụng BĐT Côsi cho số không âm dẫn đến:   3R   R  x   3 x  R  x  SABC ≤ 2  SABC ≤ 3 R2 Dấu “=” xảy   H K  A vµ K   O n»m   R  R2  x  x    AB  AC  o  BAC  60 Tức  ABC có cạnh R Trong q trình tiếp cận giải tốn cực trị hình học đó, HS khơng nhìn tốn từ góc độ mà phải xem xét tốn theo quan điểm tồn diện, khơng chấp nhận cách giải quen thuộc nhất, từ ln ln suy nghĩ, tìm tòi đề xuất nhiều cách giải khác cho tốn nhằm rèn luyện tính linh hoạt, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo tư Tức rèn luyện khả từ hoạt động trí tuệ sang trí tuệ khác, nhìn nhận đối tượng toán học, vấn đề, toán nhiều góc độ khác nhau, nhìn mối tương quan với tượng khác, tìm cách giải mới, sáng tạo Mặt khác, tìm nhiều lời giải cho tốn giúp HS có cách nhìn tồn diện, biết hệ thống hoá sử dụng kiến thức, kỹ phương pháp giải toán cách chắn, mềm dẻo, linh hoạt Đó yếu tố đặc trưng tư sáng tạo Ta có số cách giải khác cho toán xét sau: Cách giải 2: Nếu ta cố định cạnh BC Suy S ABC lớn  ABC cân A Trong lý luận cách giải thứ ta lập luận tìm tam giác ABC nội 19 tiếp thoả mãn yêu cầu toán tam giác chứng minh 3 R2 SABC ≤ Nhưng cách giải ta nhìn tốn góc độ khác từ S ABC lớn   ABC cân A (theo lập luận cách 1) Trong tam giác ABC cân nội tiếp (O, R) cho trước Ta tìm tam giác có diện tích lớn Thật vậy: Theo lập luận cách Ta có: SABC = (R + x) R2  x2 Từ ta có: SABC =  R  x   R  x  = 3 ( R  x) ( R  x) ( R  x) (3R  3x) ≤  R  x  R  x  R  x  3R  x  4 3 R2 (không đổi)  Dấu “=” xảy  R + x = 3R - 3x  x =  BC = R  Sđ = 1200  R = 600   ABC Cách giải 3: Theo lập luận cách ta có: SABC = (R + x)  R  x  R  x   SABC= ≤ R2  x2 ,  R   Rx  x 3R  3x  R  Rx  x  3R  x   x  Rx  R 2 3   2   R  9R   9R  R   9R 3 R    x   ≤   =    x  Rx     2      4 Dấu “=” xảy  x = R  BC = R  Sđ = 120o  = 60o  ABC 2.2.3.2 Rèn luyện khả nhìn nhận giải tốn nhiều góc độ khác 20 Con người giải vấn đề nảy sinh sống cách vận dụng kiến thức, kỹ học, rèn luyện nhà trường Nhưng trường học lại chưa trọng bồi dưỡng cho HS nhiều kiến thức để sau vận dụng Khi giải vấn đề HS phải thực tập xem xét đánh giá thông tin, lựa chọn phương thức giải hợp lý, xử lý liệu cách khách quan, xác, từ hình thành thái độ học tập Năng lực giải vấn đề bao gồm khả trình bày giả thuyết, xác định cách thức giải lập kế hoạch giải vấn đề, khảo sát khía cạnh khác Trong việc dạy cho HS kiến thức khoa học cần coi trọng dạy cho HS lực nhìn nhận vấn đề nhiều góc độ khác Xem kỹ thuật giải vấn đề vừa công cụ nhận thức, đồng thời mục tiêu việc dạy học theo định hướng phong trào phát triển tư sáng tạo, phát hướng giải vấn đề thơng qua việc tìm mối liên hệ yếu tố giả thiết kết luận, liên tưởng đến vấn đề biết để tìm đường lối giải vấn đề Khi HS nhận hiểu rõ vấn đề, GV tổ chức cho HS tiến hành hoạt động như: Phân tích, tổng hợp, khái qt hố đặc biệt hố… để tìm cách giải vấn đề C J Ví dụ 11: Xét tốn: Cho tam giác ABC vng cân A, có BC = a Các điểm D, E di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí D E để DE đạt giá trị nhỏ nhất? I H A 30o Phân tích toán: Dựa vào điều kiện toán ta có mối quan hệ yếu tố phải tìm yếu tố cho nhờ áp dụng định lý Pitago tam giác vng ADE ABC Vì AB = AC khơng đổi nên ta đặt AB = AC = b Từ ta biểu thị DE qua x b dạng tổng biểu thức không âm đại lượng khơng đổi B K o Hình 13 Vận dụng bất đẳng thức đại số ta tìm cực trị DE Cách giải (Hình 14) A Đặt AB = AC = b, BD = AE = x, áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ADE ABC ta có: x E D x B 21 C Hình 14 DE2 = x2 + (b - x)2 = 2(x 2 2b = a Từ (1) (2)  (1) a2 b= 2 DE2  b b2 ) + 2  (2) a a2  (DE) =  D trung điểm AB E trung điểm AC - Hướng dẫn HS khai thác lời giải cách ta có min(DE) = BC nên ta nghĩ đến việc chứng minh DE = AM, AM đường trung tuyến tam giác vuông ABC vận dụng bất đẳng thức tam giác tìm điều kiện để DE nhỏ Từ ta có cách giải Cách giải (Hình 15) Gọi M trung điểm BC, I trung điểm DE Ta có:  BDM =  AME � = 900 BMA  (c.g.c)  � = � BMD AME DE = DI + IE = AI + IM  A � = DME  AM E D a  (DE) = AM =  I trung điểm AM  I B D trung điểm AB E trung điểm AC C M Hình 15 Tiếp tục phân tích cách giải tốn ta có: Từ cách giải có (DE) = AM làm ta nghĩ đến có điểm M thuộc đoạn BC, ta phải chứng minh DE = AM Vận dụng quan hệ đường xiên đường vng góc ta tìm điều kiện để AM nhỏ Từ ta có cách giải khác sau: A Cách giải 3: (Hình 16) Dựng DM  AB,   DBM vuông cân D   ADM =   ABC   DAE DE nhỏ x (M  BC)  (c.g.c)  E D DE = AM AM đường cao Do (DE) = AM = x B BC a = 2 C M Hình 16 D trung điểm AB E trung điểm AC Tóm lại: Qua tốn HS phải biết nhìn tốn cách khái quát để định hướng lựa chọn phương pháp giải, nhiều lần thực hoạt động phân tích toán, liên kết yếu tố cho với yếu tố chưa biết 22 toán để từ lựa chọn cơng cụ thích hợp khai thác tìm cách giải khác tốn Như HS biết nhìn tốn nhiều khía cạnh khác nhau, để từ huy động kiến thức, phương pháp, cơng cụ phù hợp tìm nhiều cách giải toán, biết so sánh lời giải để tìm cách giải tối ưu Với tốn giải HS nhìn tốn theo nhiều khía cạnh riêng biệt để tìm cách đưa toán dạng quen thuộc dạng toán vận dụng hệ thức lượng tam giác, bất đẳng thức đại số (cách giải 1), dạng toán vận dụng bất đẳng thức tam giác (cách giải 2), dạng toán vận dụng quan hệ đường xiên đường vng góc (cách giải 3) Với cách làm kết hợp cách hữu với hoạt động trí tuệ từ giúp HS rèn luyện yếu tố tư sáng tạo 2.2.3.3 Rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn Tất kiến thức tốn học nói riêng khoa học khác nói chung khơng ứng dụng vào thực tế sống kết cuối việc học tập HS thực tiễn Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy , khẳng định vị trí tốn thực tiễn “Khi có kiến thức tốn học rồi, ln ln nghĩ đến việc vận dụng kiến thức vào việc giải toán thực tiễn, đặc biệt kỹ thuật, lao động sản xuất quản lý thực tế” Trong đời sống thực tế có nhiều tốn đòi hỏi phải giải cho có lợi nhất, đạt hiệu kinh tế cao Các toán cần đưa chúng vào “tốn học hố thực tế” Lúc cơng việc chủ yếu người làm toán vận dụng kiến thức liên quan học phương pháp suy nghĩ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị trị nhỏ hay nói cách khác tìm cách tối ưu đặt sống Điều hoàn toàn phù hợp với quan điểm chủ nghĩa Mác - Lênin đường nhận thức loài người “Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ tư trừu tượng đến thực tiễn” điều phù hợp với phương hướng cải cách giáo dục nước tăng cường giáo dục kỹ thuật tổng hợp, liên hệ học với hành, học vận dụng kiến thức * Các bước tiến hành để tổ chức cho HS làm tập thực tiễn a Tổ chức HS tìm hiểu nội dung tốn thực tiễn b Xây dựng mơ hình tốn học tốn thực tiễn (Tốn học hố tình thực tiễn) c Giải toán toán học 23 d Tổ chức kiểm chứng kết toán với kết thực tiễn Ví dụ 11: Xét tốn:Một kênh có hai bờ thẳng song song cách khoảng a Hai xã A B hai phía Hai bên cần bắc cầu qua kênh đắp đường để lại hai xã A B Hãy xác định xem xây dựng cầu vị trí để đường từ xã A đến xã B ngắn Biết cầu xây dựng phải vng góc với bờ kênh Lời giải: (Hình 17) A Giả sử hai bờ kênh hai đường thẳng d d’ C, D hai đầu cầu (C  d, D  d’) Vẽ hình bình hành ACDM  AM  d, AM = a  M cố M C’ d C a định Xét điểm: M, D, B ta có: MD + DB ≥ MB d’ Do AC + CD + DB = (AC + DB) + CD = (MD + DB) + a D D’ Hình 17  B ≥ MB + a (không đổi) Dấu “=” xảy  D giao điểm MB d’ Vậy đường ngắn AC’D’B (Hình vẽ 17) Cách dựng: - Vẽ tia Ax  d - Trên tia Ax lấy điểm M cho AM = a  - Nối MB cắt d’ D’ - Dựng D’C’  d (C’  d) Suy ra: C’D’ vị trí cầu cần xây dựng  Ví dụ 12: Xét tốn: Một cửa sổ hình chữ nhật với hình tròn phía trên, chu vi hình 6m Tìm kích thước cửa sổ để ánh sáng lọt vào nhiều nhất? x  y Lời giải: (Hình 18) Gọi bán kính đường tròn x (x > 0) chiều cao hình chữ nhật y (y < 3) Ta có chu vi cửa sổ là:  x + 2y + 2x = (1) Để cửa sổ nhận nhiều ánh sáng diện tích cửa sổ lớn  Hình 18 24  x2 Diện tích cửa sổ là: S = 2xy + (2) �  � Từ (1) (2) suy ra: S = - � �x + 6x �2 � S==≤    4 �2 12 x  � �  4     ��x  � � � � � �    4 x �  � �2 36 36 � x 2 x  � 2 �           � � � � 2   4 �  � 36 � � 18 �x  �  � �   �    4 �  4�  4 � � 18 18 Vậy diện tích lớn cửa sổ  8  4 Đặt x = Suy ra: y =  4 Vậy từ ta có câu trả lời cho tốn  4 Ví dụ 13: Xét tốn: Một người vị trí A muốn bờ sơng d để gánh nước tưới rau vị trí B Hỏi người nên lấy nước vị trí bờ sông để quãng đường phải ngắn ? Lời giải (Hình 19) Vì A, B phía bờ sơng nên lấy A ’ đối xứng với A qua d Ta có: MA = MA’ Quãng đường mà người gánh nước phải MA + MB tức MA ’ + MB Xét điểm A’, M, B A B Ta có: MA’ + MB ≥ A’B Dấu “=” xảy vào A ’, M, B thẳng hàng Lúc M  I Vậy vị trí cần tìm bờ sơng điểm I I A’  M d Hình 19 (I giao điểm d với đoạn A’B) Ví dụ 14: Xét tốn: Có số vật liệu để xây dựng 80m bờ bao vườn trường Hỏi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật cần rào để rào diện tích vườn trường lớn Biết chiều dài vườn trường mặt sau dãy lớp học, không cần rào 25 Lời giải: (Hình 20) Ta gọi chiều rộng vườn trường cần rào x (x > 0) chiều dài vườn trường cần rào y Ta có: 2x + y = 80  y = 80 - 2x x S Theo đầu ta phải tìm x để diện tích S = x.y đạt giá trị lớn S = x (80 - 2x) áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 2x 80 - x ta có 2x + (80 - 2x) ≥ 2 x  80  x  y Hình 20 hay 80 ≥ 2 x 80  x   S ≤ (20 )2 hay S ≤ 800 Vậy giá trị lớn diện tích 800m Đạt 2x = 80 - 2x  x = 20 Như trình vận dụng phương pháp giải tốn cực trị hình học vào thực tiễn đời sống giúp HS nhận thức vật trình vận động, biến đổi, phát mâu thuẫn vật, từ tốn học hố tình kết việc giải tốn học mà tìm lời giải tốn thực tiễn Mặt khác song song với điều nói thấy hiệu kinh tế công việc Thơng qua giải tốn thực tiễn đặt ứng dụng phát triển số loại hình tư thao tác trí tuệ tiến tới hình thành phẩm chất muốn ứng dụng tri thức phương pháp tốn học để giải thích, phê phán giải yêu cầu đặt sống Đây đòi hỏi thực tiễn Tổ chức nội dung thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành dạy chuyên đề “Cực trị hình học” bám sát theo phân phối chương trình chương trình hình học Ở lớp thực nghiệm 9B, thực dạy học theo biện pháp đề tài đề Ở lớp đối chứng, GV tiến hành dạy học bình thường Để đánh giá kết rút kết sơ ban đầu sau dạy thực nghiệm, tiến hành cho HS hai lớp 9B 9C làm kiểm tra với nội dung kiến thức đưa trình giảng dạy lớp thực nghiệm Nội dung đề kiểm tra (Thời gian làm 90 phút) Câu 1: (3 điểm) 26 Cho góc xOy hai điểm cố định A, B Hãy tìm Ox điểm M Oy điểm N cho độ dài đoạn AMNB ngắn nhất? Câu 2: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn M điểm cạnh BC Gọi E, F hình chiếu B, C đường thẳng AM Xác định vị trí M để tổng BE + CF đạt giá trị lớn nhất? (Hãy giải theo nhiều cách) Câu 3: (3 điểm) Tìm hình chữ nhật nội tiếp đường tròn (O, R) cho trước có diện tích lớn nhất? Hãy tổng qt hố tốn nêu Đề có dụng ý sư phạm sau: - Kiểm tra HS việc nắm sâu sắc kiến thức lý thuyết - Kiểm tra khả nhìn nhận tốn nhiều góc độ khác - Kiểm tra thái độ học tập: hứng thú môn học, tự giác học tập - Rèn luyện số thao tác trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hoá… - Rèn luyện số khả phân chia trường hợp riêng Cụ thể: Câu 1: Kiểm tra khả phân chia trường hợp riêng: Qua thực tế kiểm tra hai lớp thấy HS tìm tiêu chí cho phân chia trường hợp riêng a Trường hợp hai điểm A B nằm Lúc M N giao điểm A ’B’ với Ox Oy (trong A’ điểm đối xứng điểm A qua trục Ox, B’ điểm đối xứng điểm B qua trục Oy) b Trường hợp điểm nằm góc điểm nằm ngồi góc xOy Giả sử A ngồi B Lúc đường thẳng AB’ cắt Ox M cắt Oy N (trong B ’ điểm đối xứng điểm B qua trục Oy ) c Trường hợp A B nằm khác phía tia Ox Oy Lúc điểm M N phải tìm giao điểm AB với Ox Oy d Trường hợp hai điểm A B nằm hai cạnh trùng với A N trùng với B Dễ dàng nhận M 27 Kết cho thấy: Hầu hết tất HS hai lớp thực nghiệm đối chứng làm A Câu 2: Kiểm tra việc nắm kiến thức lý thuyết nhìn tốn nhiều góc độ khác D E Cách giải 1:Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = CF.Tứ giác EDCF hình bình hành có nhật Suy M B C H = 90 nên hình chữ Hình 21 = 900 F BE + CF =BE +ED, suy BD ≤ BC (không đổi) Dấu “=” xảy  D  C  E  M  AM BC Cách giải 2: BE  AM  BE ≤ BM, CF BM + MC = BC (không đổi)   BC AM   M hình chiếu A CF ≤ MC Do BE + CF ≤ Dấu “ = ” xảy  E, M, F trùng  M hình chiếu A BC Cách giải 3: S ABM + S ACM = S ABC  1 AM.BE + AM.CF = S ABC 2  BE + CF = S ABC AM , mà AM ≥ AH (H hình chiếu A BC)  BE + CF ≤ S ABC AH = BC Cụ thể: Ở lớp thực nghiệm hầu hết tất HS giải đúng, nhiều HS giải từ cách trở lên, lớp đối chứng nhiều em chưa giải được, số lại giải cách Câu 3: Kiểm tra khả phân tích tổng qt tốn Vì ABCD hình chữ nhật 2SABD, tròn (0, R)  = 900 SABCD = = 900 nên DB đường kính đường  DB = 2R, vẽ AH  BD Ta có OH ≤ A O OA = R Do SABCD = 2SABD = AH.BD = AH.BD ≤ R.2R = 2R2 Vậy SABCD ≤ 2R2 (khơng đổi) B H C D Hình 22 28 Dấu “ =” xảy  H  O  ABCD hình vng Bài tốn tổng qt: Tìm tứ giác nội tiếp đường tròn (O, R) cho trước có diện tích lớn ? Cụ thể: Lớp thực nghiệm hầu hết em giải ý 1, ý số em chưa giải nguyên nhân nhiều thời gian làm hai câu Còn lớp đối chứng hầu hết em giải ý 1, ý số lượng em giải nhiều so với lớp thực nghiệm 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm Qua quan sát hoạt động dạy, học lớp thực nghiệm lớp đối chứng, nhận thấy: - Ở lớp thực nghiệm, HS hứng thú tự giác học tập, tích cực hoạt động suy nghĩ, độc lập sáng tạo - So với lớp đối chứng, HS lớp thực nghiệm nhanh nhẹn linh hoạt hơn, hiệu học tập cao Kết kiểm tra cụ thể sau: Điểm 10 SL Thực nghiệm 9B 0 0 12 30 Đối chứng 9C 0 30 Lớp Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 60% điểm khá, 17% điểm giỏi Lớp đối chứng có 90% từ trung bình trở lên; có 43% điểm khá, 3,3% điểm giỏi Như vậy: Kết kiểm tra nhìn chung cho thấy kết lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng, khá, giỏi HS lớp thực nghiệm nắm vững kiến thức bản, biết trình bày lời giải rõ ràng, có Thái độ hứng thú tự giác, suy nghĩ độc lập sáng tạo học tập lớp thực nghiệm thấy rõ rệt đa số, lớp đối chứng có số em có hứng thú tự giác, sáng tạo mức độ thấp so với lớp thực nghiệm Nguyên nhân tác động mạnh đến kết lớp thực nghiệm HS GV dạy theo biện pháp khắc sâu mở rộng kiến thức SGK theo hướng bồi dưỡng số yếu tố đặc trưng tư sáng tạo HS học tập 3.4 Kết luận chung thực nghiệm sư phạm 29 Kết thu qua đợt thực nghiệm sư phạm bước đầu cho phép kết luận: “Nếu GV tích cực thực dạy học theo biện pháp khắc sâu mở rộng kiến thức SGK theo hướng bồi dưỡng yếu tố cụ thể tư sáng tạo, rèn luyện khả phát giải vấn đề cho HS học tập góp phần hình hứng thú, tăng cường khả sáng tạo lôi em vào hoạt động tự giác, tích cực học tập mơn tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán bậc THCS” V Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt Hiệu kinh tế Đây sáng kiến lĩnh vực giáo dục, việc áp dụng biện pháp sáng kiến giúp tăng cường đổi PPDH, đáp ứng yêu cầu đổi mang tính chất thời sự nghiệp giáo dục Sau thời gian nghiên cứu hệ thống lý luận nêu sáng kiến, đưa trình bày thảo luận tổ, nhóm chun mơn trường cho thấy đem lại hiệu kinh tế mang tính bền vững lâu dài GV tốn nhà trường hiểu, nắm vững cách làm biết cách áp dụng giảng dạy Để làm công tác khảo sát điều tra thực tế, nhóm tác giả dành nhiều công sức, thời gian nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm thực tế, hệ thống toàn tốn cực trị hình học THCS giúp cho giáo viên Tốn q trình bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS có thêm tài liệu, thêm phương pháp để giảng dạy hiệu Với hệ thống phương pháp giảng dạy giúp GV học sinh tiết kiệm thời gian tìm hiểu tổng kết hệ thống lý luận cho thân, tiết kiệm thời gian soạn giáo án trình giảng dạy tăng hiệu kinh tế cho xã hội Hiệu xã hội - Đề tài góp phần làm rõ sở lí luận thực tiễn việc khắc sâu mở rộng kiến thức SGK theo hướng bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho HS trung học sở giỏi - Đề tài cụ thể việc bồi dưỡng yếu tố tư sáng tạo học tập cho HS biện pháp Trong biện pháp có ví dụ minh hoạ với tập cực trị hình học bậc THCS, ví dụ có hướng dẫn, gợi mở GV để HS phát giải vấn đề - Đề tài rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn Trong đời sống thực tế có nhiều tốn đòi hỏi phải giải cho có lợi nhất, đạt hiệu kinh tế cao đặc biệt tốn cực trị hình 30 học Các tốn cần đưa chúng vào “toán học hố thực tế” Lúc cơng việc chủ yếu người làm toán vận dụng kiến thức liên quan học phương pháp suy nghĩ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị trị nhỏ hay nói cách khác tìm cách tối ưu đặt sống Điều hồn toàn phù hợp với quan điểm chủ nghĩa Mác - Lênin đường nhận thức loài người “Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ tư trừu tượng đến thực tiễn” điều phù hợp với phương hướng cải cách giáo dục nước tăng cường giáo dục kỹ thuật tổng hợp, liên hệ học với hành, học vận dụng kiến thức VI Điều kiện khả áp dụng - Đề tài xây dựng hệ thống tập có tác động trực tiếp vào số yếu tố tư sáng tạo với yêu cầu như: Bài tập gồm nhiều mức độ khác vừa sức học HS, vừa mang tính bao quát - Đề tài đề đường khắc sâu mở rộng kiến thức SGK để HS tự học nghiên cứu tốn - Đề tài làm tài liệu tham khảo cho GV công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cấp bậc THCS tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi tự nghiên cứu, tự học Triệu Sơn, ngày 10 tháng năm 2018 Xác nhận quan, đơn vị Tác giả sáng kiến HIỆU TRƯỞNG Lê Thị Quang 31 ... tố tư sáng tạo cho HS thơng qua dạy học hình học nói chung dạy học giải tập Cực trị hình học nói riêng cần quan tâm bồi dưỡng cho HS số hoạt động trí tuệ qua tạo cho HS tìm nhiều giải pháp nhiều... cho học sinh THCS thông qua dạy học giải tốn cực trị hình học phẳng Lĩnh vực áp dụng : Tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi cho trường THCS IV Nội dung sáng kiến Giải pháp 1.1 Thực trạng dạy. .. đại số 2.1.5 Hệ thức lượng tam giác 2.2 Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho hs bậc THCS giỏi thông qua dạy học giải tốn cực trị hình học 16 2.2.1 Biện pháp