skkn một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOA LƯ TRƯỜNG THCS ĐINH TIÊN HOÀNG SÁNG KIẾN MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THCS THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Tác giả: Dương Đặng Phương Hoa- Phó Hiệu trưởng, Cử nhân Toán học Mai Thị Loan- Giáo viên, Cử nhân Toán học Đặng Thị Tuyết- Giáo viên, Cử nhân Toán học Vũ Thị Hương- Giáo viên, Cử nhân Toán Đơn vị:Trường THCS Đinh Tiên Hoàng Thị trấn Thiên Tôn, Huyện Hoa Lư, Tỉnh Ninh Bình Hoa lư tháng năm 2016 MỤC LỤC I Tên sở yêu cầu công nhận sáng kiến: Sở GD&ĐT Ninh Bình II Đồng tác giả III.Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng IV Nội dung sáng kiến .1 Giải pháp cũ thường làm .1 1.2 Thực trạng dạy học toán cực trị hình học lớp bồi dưỡng học sinh giỏi 1.3 Thống kê số tiết dạy theo PPCT hình học THCS có toán cực trị .5 Giải pháp thực 2.1 Một số kiến thức thường dùng để giải toán cực trị hình học .6 2.1.1 Quan hệ đường vuông góc đường xiên, hình chiếu 2.1.2 Quan hệ cạnh góc tam giác, bất đẳng thức tam giác, qui tắc điểm .6 2.1.3 Bất đẳng thức đường tròn 2.1.4 Bất đẳng thức đại số 2.1.5 Hệ thức lượng tam giác 2.2 Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho hs bậc THCS giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học .7 2.2.1 Biện pháp 1: Xác định hướng tiếp cận khác để giải toán cực trị hình học 2.2.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng tư sáng tạo kết hợp với hoạt động trí tuệ khác 12 2.2.2.1 Rèn luyện khả phân tích, tổng hợp toán 12 2.2.2.2 Rèn luyện khả kiểm tra lời giải toán .16 2.2.2.3 Rèn luyện khả định hướng xác định đường lối giải toán mang tính tổng quát .17 2.2.3 Biện pháp : Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua rèn luyện khả phát vấn đề giải vấn đề 20 2.2.3.1 Rèn luyện khả nhận biết, tìm tòi phát toán liên quan sáng tạo toán 20 2.2.3.2 Rèn luyện khả nhìn nhận giải toán nhiều góc độ khác 23 2.2.3.3 Rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn 26 Tổ chức nội dung thực nghiệm .29 3.1 Tổ chức thực nghiệm 29 3.2 Nội dung thực nghiệm .30 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 32 3.4 Kết luận chung thực nghiệm sư phạm 33 V Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt 33 Hiệu kinh tế 33 Hiệu xã hội 34 VI Điều kiện khả áp dụng 34 I Tên sở yêu cầu công nhận sáng kiến: Sở GD&ĐT Ninh Bình II Đồng tác giả Tỷ lệ(%) Trình độ đóng góp chuyên vào việc tạo môn sáng kiến ĐH 35% Toán Số TT Họ tên Ngày tháng năm sinh Dương Đặng Phương Hoa 27/4/1975 THCS Đinh Tiên Hoàng PHT Đặng Thị Tuyết 23/05/198 THCS Đinh Tiên Hoàng Giáo viên ĐH Toán 25% Mai Thị Loan 14/11/196 THCS Đinh Tiên Hoàng Giáo viên ĐH Toán 20% Vũ Thị Hương 15/11/197 THCS Đinh Tiên Hoàng Giáo viên ĐH Toán 20% Nơi công tác Chức danh III.Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng Tên sáng kiến: Một số biện pháp nhằm phát triển tư sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạy học giải toán cực trị hình học phẳng Lĩnh vực áp dụng : Tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi cho trường THCS IV Nội dung sáng kiến Giải pháp cũ thường làm Để có tranh trình dạy học toán cực trị hình học trường THCS tiến hành dự giờ, điều tra phiếu hỏi 18 giáo viên dạy Toán (10 giáo viên Toán trường THCS Đinh Tiên Hoàng, giáo viên Toán THCS Trường Yên) 120 học sinh lớp 7, 8, trường THCS Đinh Tiên Hoàng có 30 học sinh học đội tuyển Toán 7,8,9 Kết thu sau: 1.1 Thực trạng dạy học toán cực trị hình học lớp đại trà Bảng 1: Bảng thống kê mức độ dạy toán cực trị hình học trường THCS Nội dung Dạy kiến thức lý thuyết Mức độ Dạy kỹ Dạy lướt qua Không dạy gv 10 gv 02 gv Giao tập nhà Thường xuyên Không thường Không giao xuyên 06gv 08 gv 04 gv Chữa hết Thithoảng chữa Không chữa 03gv 08 gv 07 gv Chữa tập nhà Thường xuyên Ít Không liên hệ 04 gv 06 gv Liên hệ với thực tế 08gv Mở rộng, nâng cao, khai thác, phát Thường xuyên Không thường Không thực triển toán xuyên 05 gv 10 gv 03 gv Bảng 2: Bảng thống kê mức độ học tập toán cực trị hình học học sinh đại trà Nội dung Mức độ Tích cực Việc học lý thuyết Không tích cực Không học 70 hs 30 hs Làm tập nhà Phát triển toán Mạnh dạn trao đổi với thày cô 20 hs Làm hết Làm Không làm 10 hs 72 hs 38 hs Thường xuyên Ít Không 01 hs 05 hs 114 hs Thường xuyên Ít Không hệ 01 hs liên 114 hs 05 hs Qua số liệu bảng bảng thấy việc dạy toán cực trị trường THCS chưa quan tâm mức Đối với lớp dạy đại trà phần lớn việc dạy lí thuyết dừng mức giới thiệu giao cho học sinh nhà đọc Việc chữa trí có giáo viên không giao không chữa tập phần Một số giáo viên dừng lại việc chữa hướng dẫn cho học sinh giỏi nhà làm chưa quan tâm đến việc khai thác, phát triển toán Đặc biệt kiểm tra định kỳ có nội dung cực trị hình học Đối với học sinh đa số học sinh không thích học sợ học toán cực trị Nhiều em không học không làm tập giao nhà Số lượng học sinh mạnh dạn trao đổi với thày cô tìm tòi, đề xuất toán ít, 1.2 Thực trạng dạy học toán cực trị hình học lớp bồi dưỡng học sinh giỏi Bảng 3: Bảng điều tra thực trạng dạy toán cực trị hình học chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS Nội dung Mức độ Có hệ Nhắc lại Không thống lại dạy Hệ thống nội dung kiến thức lý thuyết trình chữa sử dụng Dạy tập Liên hệ với thực tế gv Sử dụng nhiều phương pháp gv gv Thường xuyên gv Ít gv Thường Mở rộng, nâng cao, khai thác, phát xuyên triển toán không thường xuyên gv Chỉ chữa gv gv Không thường xuyên Không liên hệ gv Không thực gv gv gv Bảng 4: Điều tra ý thức học tập học sinh giỏi học toán cực trị hình học Nội dung Mức độ Nắm vững Chưa vững Không nhớ 20 hs hs hs Làm hết Làm Không làm 10 hs 12 hs hs Thường xuyên Ít Không hs 15 hs 11 hs Thường xuyên Ít Không liên hệ Nắm kiến thức lý thuyết Làm tập nhà Phát triển toán Mạnh dạn trao đổi với thày cô hs 10 hs 12 hs Từ kết bảng thấy việc dạy chuyên đề toán cực trị hình học cho học sinh giỏi chưa thực có hiệu Số lượng giáo viên dạy bản, quan tâm đến việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh Nhiều giáo viên không dạy phần Đối với học sinh giỏi, số lượng em đam mê, tìm tòi, khám phá chưa nhiều, nhiều em làm cho xong chưa nghĩ đến tìm cách giải khác Còn phận không nhỏ em không làm 1.3 Thống kê số tiết dạy theo PPCT hình học THCS có toán cực trị Số tiết dạy Lớp Tên Quan hệ đường vuông góc đường xiên, đường xiên hình chiếu 02 Bất đẳng thức tam giác 02 Đối xứng tâm, đối xứng trục 02 Quan hệ đường kính dây cung 02 Liên hệ cung dây, liên hệ dây hoảng cách từ tâm đến dây Như vậy, qua khảo sát nhận thấy: 02 - Do số tiết học lớp ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mở rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo kiến thức học chưa triệt để sâu sắc Điều ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức học sinh, hạn chế đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh học tập, đối tượng học sinh giỏi - Trong chương trình toán THCS, số lượng dạng toán phần cực trị hình học đề cập hạn chế, nằm rải rác phận sách tham khảo, toán phần cực trị hình học chủ đề toán khó thường hay xuất kỳ thi học sinh giỏi Do học sinh giáo viên tiếp cận với dạng toán nói thực tế giáo viên thờ việc thực dạy học chủ đề Điều dẫn đến việc giải tập cực trị hình học học sinh tỏ lúng túng, chưa rèn luyện kỹ giải toán, chưa kích thích ham mê tìm tòi khám phá học sinh, từ học sinh tiếp thu kiến thức cách hình thức hời hợt Việc tiến hành bồi dưỡng cho đội ngũ học sinh giỏi chưa tiến hành cách thường xuyên từ đầu Chính trình bồi dưỡng kiến thức toán học theo hướng nâng cao chủ đề cực trị hình học cho HS chưa liên mạch chưa có hệ thống, có kỳ thi thi vào trường chuyên, lớp chọn, HS giỏi giáo viên học sinh thực nhảy vào Chính điều làm cho HS dễ hụt hẫng kiến thức, khai thác toán gặp nhiều khó khăn, việc dạy học giáo viên chủ yếu dựa vào kinh nghiệm thân Hơn nữa, hệ thống tập sách tham khảo đa dạng phong phú rời rạc, thiếu liên kết với chủ đề, đặc biệt thị trường tìm vài sách tham khảo viết dành riêng cho phần cực trị hình học thể chuyên môn hoá hiếm, điều dẫn đến tình trạng GV HS thiếu hệ thống tài liệu tham khảo để phục vụ cho công tác dạy học Trong thực tế, cách dạy phổ biến GV với tư cách người điều khiển đưa kiến thức giải thích chứng minh, sau đưa số tập áp dụng, làm cho HS cố gắng tiếp thu vận dụng Rõ ràng với cách dạy GV thấy chưa thoả mãn dạy mình, HS thấy chưa hiểu cội nguồn vấn đề mà học cách máy móc, làm cho em có hội phát triển tư sáng tạo, có hội khai thác tìm tòi Giải pháp thực 2.1 Một số kiến thức thường dùng để giải toán cực trị hình học 2.1.1 Quan hệ đường vuông góc đường xiên, hình chiếu Trong đường xiên đường vuông góc hạ từ điểm đến đường thẳng - Đường vuông góc đường ngắn - Đường xiên có hình chiếu lớn lớn hơn, hình chiếu lớn có đường xiên lớn 2.1.2 Quan hệ cạnh góc tam giác, bất đẳng thức tam giác, qui tắc điểm - Trong tam giác, đối diện với cạnh lớn góc lớn ngược lại - Bất đẳng thức tam giác: Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại - Qui tắc điểm: cho n điểm A1, A2 ,… An Ta có: A1 An ≤ A1 A2 + A2 A3 +… + An-1 An, dấu “=” xảy ⇔ A1, A2… An thẳng hàng xếp theo thứ tự 2.1.3 Bất đẳng thức đường tròn - Trong tất dây cung đường tròn, đường kính dây lớn - Trong đường tròn, dây cung có độ dài ngắn có khoảng cách đến tâm lớn ngược lại - Trong hai cung nhỏ đường tròn, cung lớn góc tâm lớn - Trong hai cung nhỏ đường tròn, cung lớn dây trương cung lớn 2.1.4 Bất đẳng thức đại số - Giả sử ta có trị nhỏ nhất, a a với a > 0, a không đổi, đạt giá trị lớn b đạt giá b b a đạt giá trị nhỏ b đạt giá trị lớn b - Nếu x + y số tích x y lớn ⇔ x = y x y số tổng x + y nhỏ ⇔ x = y - Bất đẳng thức Cauchy: cho số a, b không âm ta có: a +b ≥ ab Dấu “=” xảy ⇔ a = b Tổng quát: cho n số không âm a1, a2… an ta có: a1 + a2 + + an ≥ n n a1 a2 an Dấu “=” xảy ⇔ a1 = a2 = … = an - Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho số thực: a, b, x, y ta có: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 +y2) Dấu “=” xảy ⇔ ay = bx 2.1.5 Hệ thức lượng tam giác - Hệ thức cạnh góc tam giác vuông: Trong tam giác vuông: Mỗi cạnh góc vuông cạnh huyền nhân với sin góc đối cos góc kề cạnh góc vuông nhân với tan góc đối cotg góc kề - Định ký Pitago: Trong tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vuông 2.2 Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho hs bậc THCS giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học 2.2.1 Biện pháp 1: Xác định hướng tiếp cận khác để giải toán cực trị hình học Hướng Ta vẽ hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay điều kiện đại lượng đại lượng tương đương (có phải chọn đại lượng hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ ẩn số với đại lượng khác hình, đại lượng đầu cho sẵn, ta làm xuất trình tìm lời giải toán Biểu thị ẩn số theo đại lượng biết, đại lượng không đổi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm để cuối xác định giá trị đại lượng cần tìm, từ suy vị trí hình để đạt cực trị) Thường dùng cách đầu cho dạng: “Tìm hình thoả mãn điều kiện cực trị toán” Ví dụ 1: Trong tam giác có đáy diện tích tam giác có chu vi nhỏ ? ’ B • Lời giải (Hình 1) Xét tam giác có chung đáy BC = a có diện tích S Gọi AH đường cao tương ứng với đáy BC Ta có: 2S 2S S = AH BC ⇒ AH = = (không BC a d  A’ • B• Hình A • C đổi) Suy ra: A di động đường thẳng d //BC cách BC khoảng 2S a ⇒ Ta cần xác định vị trí A đường thẳng d để chu vi ∆ ABC có giá trị nhỏ Chu vi ∆ ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a Vì a không đổi nên chu vi ∆ ABC nhỏ ⇔ AB + AC nhỏ Gọi B’ điểm đối xứng B qua d, B’C cắt d A’ Xét ∆ AB’C ta có: AB’ + AC ≥ B’C (1) Thay AB’ = AB, A’B’ = A’B vào (1) ta có: AB + AC ≥ A’B + A’C (2) Dấu “=” xảy B ’, A, C thẳng hàng Khi A ≡ A’ Vì A’B = A’B’ = A’C nên ∆ A’BC cân A’ Vậy tam giác có đáy diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ Nhận xét: Khi giải toán cho ta thay điều kiện toán điều kiện tương đương tìm tam giác cân thoả mãn điều kiện cực trị toán Ví dụ 10: Tìm tam giác có diện tích lớn nội tiếp đường tròn (O, R) cho trước? A • Quá trình mò mẫm dự đoán: Giả sử có tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) cho trước (Hình 11) Vì toán chứa đựng yếu tố quan trọng diện tích tam giác ABC ta phải tạo yếu tố phụ đường cao AH ∆ ABC Lúc diện tích tam giác ABC: o x • B H C K S∆ABC = AH BC Có thể nói “Chìa Hình 11 khoá” để ta tiếp tục trình tìm tòi, mò mẫm, dự đoán để phát vấn đề.Thật ta cố định đoạn BC diện tích tam giác ABC lớn AH lớn nhất, lúc A nằm cung BC tam giác ABC cân A.Tương tự ta tiếp tục cho cố định đoạn AB diện tích tam giác ABC lớn tam giác ABC cân C Vì từ điều phân tích mà ta đến dự đoán S ∆ABC lớn ∆ ABC tam giác Dễ thấy tứ giác OB A’C hình bình hành (Hình 12) Suy ra: AH = A 3R BC = R Nên S∆ABC = 3R R B Từ gợi cho ta thực phép chứng minh H C A’ S∆ABC ≤ O 3.R Hình 12 Cách giải 1: (Hình 11 + Hình 12) Với tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) kẻ AH OK vuông góc với BC Đặt OK = x (0 ≤ x < R) Ta có BC = R − x mà AH ≤ AK ≤ OA + OK = R + x 21 Do đó: S∆ABC = = 3  3R    1 AH BC ≤ (R + x) 2  R − x  +  ( 3x R − x = R R − x + x R − x ) R2 − x2 áp dụng BĐT Côsi cho số không âm dẫn đến:   3R  + R − x  + 3x + R − x S∆ABC ≤ 2  ( S∆ABC ≤ ) 3 R2 Dấu “=” xảy  H ≡ K  ⇔ O n»mgiữa A vµ K   R = R2 − x2 =  ⇔  AB = AC  o ∠BAC = 60 x Tức ∆ ABC có cạnh R Trong trình tiếp cận giải toán cực trị hình học đó, HS không nhìn toán từ góc độ mà phải xem xét toán theo quan điểm toàn diện, không chấp nhận cách giải quen thuộc nhất, từ luôn suy nghĩ, tìm tòi đề xuất nhiều cách giải khác cho toán nhằm rèn luyện tính linh hoạt, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo tư Tức rèn luyện khả từ hoạt động trí tuệ sang trí tuệ khác, nhìn nhận đối tượng toán học, vấn đề, toán nhiều góc độ khác nhau, nhìn mối tương quan với tượng khác, tìm cách giải mới, sáng tạo Mặt khác, tìm nhiều lời giải cho toán giúp HS có cách nhìn toàn diện, biết hệ thống hoá sử dụng kiến thức, kỹ phương pháp giải toán cách chắn, mềm dẻo, linh hoạt Đó yếu tố đặc trưng tư sáng tạo Ta có số cách giải khác cho toán xét sau: Cách giải 2: Nếu ta cố định cạnh BC Suy S ∆ABC lớn ⇔ ABC cân A Trong lý luận cách giải thứ ta lập luận tìm tam giác ABC nội tiếp thoả mãn yêu cầu toán tam giác chứng minh 3 R2 S∆ABC ≤ 22 Nhưng cách giải ta nhìn toán góc độ khác từ S ∆ABC lớn ⇔ ∆ ABC cân A (theo lập luận cách 1) Trong tam giác ABC cân nội tiếp (O, R) cho trước Ta tìm tam giác có diện tích lớn Thật vậy: Theo lập luận cách Ta có: S∆ABC = (R + x) R2 − x2 Từ ta có: S∆ABC = ( R + x ) ( R − x ) = 3 ( R + x) ( R + x) ( R + x) (3R − x) ≤ ( R + x + R + x + R + x + 3R − x ) 4 3 R2 (không đổi) = Dấu “=” xảy ⇔ R + x = 3R - 3x ⇔ x = ⇔ BC = R ⇔ Sđ = 1200 ⇔ R = 600 ⇔ ∆ ABC Cách giải 3: Theo lập luận cách ta có: S∆ABC = (R + x) R2 − x2 , ( R + x) ( R − x ) = S∆ABC= ( (R ) )( + Rx + x 3R − x R + Rx + x + 3R − x = − x + Rx + R ≤ 3 ( ) )   R  9R   9R  R   9R 3 R2  + − x−   ≤ =  = −  x − Rx + =         4 Dấu “=” xảy ⇔ x = R ⇔ BC = R ⇔ Sđ = 120o ⇔ = 60o ⇔ ∆ABC 2.2.3.2 Rèn luyện khả nhìn nhận giải toán nhiều góc độ khác Con người giải vấn đề nảy sinh sống cách vận dụng kiến thức, kỹ học, rèn luyện nhà trường Nhưng trường học lại chưa trọng bồi dưỡng cho HS nhiều kiến thức để sau vận dụng 23 Khi giải vấn đề HS phải thực tập xem xét đánh giá thông tin, lựa chọn phương thức giải hợp lý, xử lý liệu cách khách quan, xác, từ hình thành thái độ học tập Năng lực giải vấn đề bao gồm khả trình bày giả thuyết, xác định cách thức giải lập kế hoạch giải vấn đề, khảo sát khía cạnh khác Trong việc dạy cho HS kiến thức khoa học cần coi trọng dạy cho HS lực nhìn nhận vấn đề nhiều góc độ khác Xem kỹ thuật giải vấn đề vừa công cụ nhận thức, đồng thời mục tiêu việc dạy học theo định hướng phong trào phát triển tư sáng tạo, phát hướng giải vấn đề thông qua việc tìm mối liên hệ yếu tố giả thiết kết luận, liên tưởng đến vấn đề biết để tìm đường lối giải vấn đề Khi HS nhận hiểu rõ vấn đề, GV tổ chức cho HS tiến hành hoạt động như: Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá đặc biệt hoá… để tìm cách giải vấn đề C J Ví dụ 11: Xét toán: Cho tam giác ABC vuông cân A, có BC = a Các điểm D, E di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí D E để DE đạt giá trị nhỏ nhất? I H A o 30 Phân tích toán: Dựa vào điều kiện toán ta có mối quan hệ yếu tố phải tìm yếu tố cho nhờ áp dụng định lý Pitago tam giác vuông ADE ABC Vì AB = AC không đổi nên ta đặt AB = AC = b Từ ta biểu thị DE qua x b dạng tổng biểu thức không âm đại lượng không đổi B K o Hình 13 Vận dụng bất đẳng thức đại số ta tìm cực trị DE Cách giải (Hình 14) A Đặt AB = AC = b, BD = AE = x, áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ADE ABC ta có: DE2 = x2 + (b - x)2 = 2(x 2b2 = a2 ⇒ b2= b b2 ) + 2 x E D (1) x C B a2 (2) 24 Hình 14 Từ (1) (2) ⇒ DE2 ≥ a a2 ⇒ (DE) = ⇔ D trung điểm AB E trung điểm AC - Hướng dẫn HS khai thác lời giải cách ta có min(DE) = BC nên ta nghĩ đến việc chứng minh DE = AM, AM đường trung tuyến tam giác vuông ABC vận dụng bất đẳng thức tam giác tìm điều kiện để DE nhỏ Từ ta có cách giải Cách giải (Hình 15) Gọi M trung điểm BC, I trung điểm DE Ta có: ∆ BDM = ∆ AME · = 900 BMA ⇒ DE (c.g.c) ⇒ · = ·AME BMD = DI + IE = AI + IM ≥ ⇒ A · = DME AM E D a ⇒ (DE) = AM = ⇔ I trung điểm AM ⇔ I B D trung điểm AB E trung điểm AC C M Hình 15 Tiếp tục phân tích cách giải toán ta có: Từ cách giải có (DE) = AM làm ta nghĩ đến có điểm M thuộc đoạn BC, ta phải chứng minh DE = AM Vận dụng quan hệ đường xiên đường vuông góc ta tìm điều kiện để AM nhỏ Từ ta có cách giải khác sau: A Cách giải 3: (Hình 16) Dựng DM ⊥ AB, ⇒ ∆ DBM vuông cân D ⇒ ∆ ADM = ⇒ ∆ ABC ⇔ ∆ DAE DE nhỏ x (M ∈ BC) (c.g.c) ⇔ AM ⇒ DE E đường cao Do (DE) = AM = D = AM x B BC a = 2 C M Hình 16 D trung điểm AB E trung điểm AC Tóm lại: Qua toán HS phải biết nhìn toán cách khái quát để định hướng lựa chọn phương pháp giải, nhiều lần thực hoạt động phân tích toán, liên kết yếu tố cho với yếu tố chưa biết toán để từ lựa chọn công cụ thích hợp khai thác tìm cách giải khác toán Như HS biết nhìn toán nhiều khía cạnh khác nhau, để từ huy động kiến thức, phương pháp, công cụ phù hợp tìm nhiều cách giải toán, biết so sánh lời giải để tìm cách giải tối ưu 25 Với toán giải HS nhìn toán theo nhiều khía cạnh riêng biệt để tìm cách đưa toán dạng quen thuộc dạng toán vận dụng hệ thức lượng tam giác, bất đẳng thức đại số (cách giải 1), dạng toán vận dụng bất đẳng thức tam giác (cách giải 2), dạng toán vận dụng quan hệ đường xiên đường vuông góc (cách giải 3) Với cách làm kết hợp cách hữu với hoạt động trí tuệ từ giúp HS rèn luyện yếu tố tư sáng tạo 2.2.3.3 Rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn Tất kiến thức toán học nói riêng khoa học khác nói chung không ứng dụng vào thực tế sống kết cuối việc học tập HS thực tiễn Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy , khẳng định vị trí toán thực tiễn “Khi có kiến thức toán học rồi, luôn nghĩ đến việc vận dụng kiến thức vào việc giải toán thực tiễn, đặc biệt kỹ thuật, lao động sản xuất quản lý thực tế” Trong đời sống thực tế có nhiều toán đòi hỏi phải giải cho có lợi nhất, đạt hiệu kinh tế cao Các toán cần đưa chúng vào “toán học hoá thực tế” Lúc công việc chủ yếu người làm toán vận dụng kiến thức liên quan học phương pháp suy nghĩ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị trị nhỏ hay nói cách khác tìm cách tối ưu đặt sống Điều hoàn toàn phù hợp với quan điểm chủ nghĩa Mác - Lênin đường nhận thức loài người “Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ tư trừu tượng đến thực tiễn” điều phù hợp với phương hướng cải cách giáo dục nước tăng cường giáo dục kỹ thuật tổng hợp, liên hệ học với hành, học vận dụng kiến thức * Các bước tiến hành để tổ chức cho HS làm tập thực tiễn a Tổ chức HS tìm hiểu nội dung toán thực tiễn b Xây dựng mô hình toán học toán thực tiễn (Toán học hoá tình thực tiễn) c Giải toán toán học d Tổ chức kiểm chứng kết toán với kết thực tiễn 26 Ví dụ 11: Xét toán:Một kênh có hai bờ thẳng song song cách khoảng a Hai xã A B hai phía Hai bên cần bắc cầu qua kênh đắp đường để lại hai xã A B Hãy xác định xem xây dựng cầu vị trí để đường từ xã A đến xã B ngắn Biết cầu xây dựng phải vuông góc với bờ kênh Lời giải: (Hình 17) A Giả sử hai bờ kênh hai đường thẳng d d’ C, D hai đầu cầu (C M ∈ d, D ∈ d’) Vẽ hình bình hành C’ d ACDM → AM ⊥ d, AM = a ⇒ M cố định C a ’ d Xét điểm: M, D, B ta có: MD + DB ≥ MB D D’ Hình 17 Do AC + CD + DB = (AC + DB) + CD = (MD + DB) + a • B ≥ MB + a (không đổi) Dấu “=” xảy ⇔ D giao điểm MB d’ Vậy đường ngắn AC’D’B (Hình vẽ 17) Cách dựng: - Vẽ tia Ax ⊥ d - Trên tia Ax lấy điểm M cho AM = a • - Nối MB cắt d’ D’ - Dựng D’C’ ⊥ d (C’ ∈ d) Suy ra: C’D’ vị trí cầu cần xây dựng Ví dụ 12: Xét toán: Một cửa sổ hình chữ nhật với hình tròn phía trên, chu vi hình 6m Tìm kích thước cửa sổ để ánh sáng lọt vào nhiều nhất? Lời giải: (Hình 18) Gọi bán kính đường tròn x • x • y (x > 0) chiều cao hình chữ nhật y (y < 3) Ta có chu vi cửa sổ là: π x + 2y + 2x = (1) Để cửa sổ nhận nhiều ánh sáng diện tích cửa sổ lớn 27 • Hình 18 π x2 Diện tích cửa sổ là: S = 2xy + (2) π +4 Từ (1) (2) suy ra: S = -  ÷ x + 6x   S==≤ ( π + 4)   ( π + 4) 12 x − π + x = −   ( π + )  x −    36 36  x+ − x − 2  π +4 ( π + ) ( π + )   2 π + 4)  (  36   18 x − =− ÷ − ÷+ π +4 π +4  π +4 ( π + )   18 18 Vậy diện tích lớn cửa sổ π +8 π +4 Đặt x = Suy ra: y = π +4 Vậy từ ta có câu trả lời cho toán π +4 Ví dụ 13: Xét toán: Một người vị trí A muốn bờ sông d để gánh nước tưới rau vị trí B Hỏi người nên lấy nước vị trí bờ sông để quãng đường phải ngắn ? Lời giải (Hình 19) Vì A, B phía bờ sông nên lấy A ’ đối xứng với A qua d Ta có: MA = MA’ Quãng đường mà người gánh nước phải MA + MB tức MA ’ + MB Xét điểm A’, M, B A B Ta có: MA’ + MB ≥ A’B Dấu “=” xảy vào A ’, M, B thẳng hàng Lúc M ≡ I I Vậy vị trí cần tìm bờ sông điểm I A’ • M d Hình 19 (I giao điểm d với đoạn A’B) Ví dụ 14: Xét toán: Có số vật liệu để xây dựng 80m bờ bao vườn trường Hỏi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật cần rào để rào diện tích vườn trường lớn Biết chiều dài vườn trường mặt sau dãy lớp học, không cần rào 28 Lời giải: (Hình 20) Ta gọi chiều rộng vườn trường cần rào x (x > 0) chiều dài vườn trường cần rào y Ta có: 2x + y = 80 ⇒ y = 80 - 2x x S Theo đầu ta phải tìm x để diện tích S = x.y đạt giá trị lớn S = x (80 - 2x) áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 2x 80 - x ta có 2x + (80 - 2x) ≥ 2 x ( 80 − x ) y Hình 20 hay 80 ≥ 2 x ( 80 − x ) ⇔ S ≤ (20 )2 hay S ≤ 800 Vậy giá trị lớn diện tích 800m Đạt 2x = 80 - 2x ⇔ x = 20 Như trình vận dụng phương pháp giải toán cực trị hình học vào thực tiễn đời sống giúp HS nhận thức vật trình vận động, biến đổi, phát mâu thuẫn vật, từ toán học hoá tình kết việc giải toán học mà tìm lời giải toán thực tiễn Mặt khác song song với điều nói thấy hiệu kinh tế công việc Thông qua giải toán thực tiễn đặt ứng dụng phát triển số loại hình tư thao tác trí tuệ tiến tới hình thành phẩm chất muốn ứng dụng tri thức phương pháp toán học để giải thích, phê phán giải yêu cầu đặt sống Đây đòi hỏi thực tiễn Tổ chức nội dung thực nghiệm 3.1 Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THCS Đinh Tiên Hoàng Đây trường có bề dày thành tích công tác bồi dưỡng học sinh giỏi huyện Hoa Lư Trước tiến hành làm thực nghiệm, trao đổi kỹ với GV dạy lớp thực nghiệm mục đích, nội dung, cách thức kế hoạch cụ thể cho đợt thực nghiệm Qua tham khảo kiểm tra chất lượng đầu năm môn Toán khối 9, nhận thấy chất lượng học Toán hai lớp 9B 9C tương đối Vì chọn hai lớp để tiến hành thực nghiệm sư phạm nhờ hai GV dạy Toán hai lớp cô giáo Đặng Thị Tuyết cô giáo Mai Thị Loan thực công việc thực nghiệm 29 Thời gian thực nghiệm tiến hành vào 21/ 9/2015 đến 30/11/2015 - Lớp thực nghiệm: 9B - Lớp đối chứng: 9C GV dạy lớp thực nghiệm: Cô giáo Đặng Thị Tuyết GV dạy lớp đối chứng: Cô giáo Mai Thị Loan 3.2 Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành dạy chuyên đề “Cực trị hình học” bám sát theo phân phối chương trình chương trình hình học Ở lớp thực nghiệm 9B, thực dạy học theo biện pháp đề tài đề Ở lớp đối chứng, GV tiến hành dạy học bình thường Để đánh giá kết rút kết sơ ban đầu sau dạy thực nghiệm, tiến hành cho HS hai lớp 9B 9C làm kiểm tra với nội dung kiến thức đưa trình giảng dạy lớp thực nghiệm Nội dung đề kiểm tra (Thời gian làm 90 phút) Câu 1: (3 điểm) Cho góc xOy hai điểm cố định A, B Hãy tìm Ox điểm M Oy điểm N cho độ dài đoạn AMNB ngắn nhất? Câu 2: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn M điểm cạnh BC Gọi E, F hình chiếu B, C đường thẳng AM Xác định vị trí M để tổng BE + CF đạt giá trị lớn nhất? (Hãy giải theo nhiều cách) Câu 3: (3 điểm) Tìm hình chữ nhật nội tiếp đường tròn (O, R) cho trước có diện tích lớn nhất? Hãy tổng quát hoá toán nêu Đề có dụng ý sư phạm sau: - Kiểm tra HS việc nắm sâu sắc kiến thức lý thuyết - Kiểm tra khả nhìn nhận toán nhiều góc độ khác - Kiểm tra thái độ học tập: hứng thú môn học, tự giác học tập - Rèn luyện số thao tác trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hoá… - Rèn luyện số khả phân chia trường hợp riêng Cụ thể: 30 Câu 1: Kiểm tra khả phân chia trường hợp riêng: Qua thực tế kiểm tra hai lớp thấy HS tìm tiêu chí cho phân chia trường hợp riêng a Trường hợp hai điểm A B nằm Lúc M N giao điểm A’B’ với Ox Oy (trong A’ điểm đối xứng điểm A qua trục Ox, B’ điểm đối xứng điểm B qua trục Oy) b Trường hợp điểm nằm góc điểm nằm góc xOy Giả sử A B Lúc đường thẳng AB’ cắt Ox M cắt Oy N (trong B’ điểm đối xứng điểm B qua trục Oy ) c Trường hợp A B nằm khác phía tia Ox Oy Lúc điểm M N phải tìm giao điểm AB với Ox Oy d Trường hợp hai điểm A B nằm hai cạnh trùng với A N trùng với B Dễ dàng nhận M Kết cho thấy: Hầu hết tất HS hai lớp thực nghiệm đối chứng làm A Câu 2: Kiểm tra việc nắm kiến thức lý thuyết nhìn toán nhiều góc độ khác D E Cách giải 1:Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = CF.Tứ giác EDCF hình bình hành có nhật Suy M B C H = 90 nên hình chữ Hình 21 = 900 F BE + CF =BE +ED, suy BD ≤ BC (không đổi) Dấu “=” xảy ⇔ D ≡ C ⇔ E ≡ M ⇔ AM BC Cách giải 2: BE ⊥ AM ⇒ BE ≤ BM, CF BM + MC = BC (không đổi) ⊥ ⊥ BC AM ⇔M ⇒ hình chiếu A CF ≤ MC Do BE + CF ≤ Dấu “ = ” xảy ⇔ E, M, F trùng ⇔ M hình chiếu A BC Cách giải 3: S ABM + S ACM = S ABC ⇒ 1 AM.BE + AM.CF = S ABC 2 31 ⇒ BE + CF = S ABC AM , mà AM ≥ AH (H hình chiếu A BC) ⇒ BE + CF ≤ S ABC AH = BC Cụ thể: Ở lớp thực nghiệm hầu hết tất HS giải đúng, nhiều HS giải từ cách trở lên, lớp đối chứng nhiều em chưa giải được, số lại giải cách Câu 3: Kiểm tra khả phân tích tổng quát toán Vì ABCD hình chữ nhật 2SABD, tròn (0, R) ⇒ = 900 SABCD = = 900 nên DB đường kính đường ⇒ DB = 2R, vẽ AH ⊥ BD Ta có OH ≤ A B O OA = R Do SABCD = 2SABD = AH.BD = H C D AH.BD ≤ R.2R = 2R Vậy SABCD ≤ 2R2 (không đổi) Dấu “ =” xảy ⇔H ≡ Hình 22 O ⇔ ABCD hình vuông Bài toán tổng quát: Tìm tứ giác nội tiếp đường tròn (O, R) cho trước có diện tích lớn ? Cụ thể: Lớp thực nghiệm hầu hết em giải ý 1, ý số em chưa giải nguyên nhân nhiều thời gian làm hai câu Còn lớp đối chứng hầu hết em giải ý 1, ý số lượng em giải nhiều so với lớp thực nghiệm 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm Qua quan sát hoạt động dạy, học lớp thực nghiệm lớp đối chứng, nhận thấy: - Ở lớp thực nghiệm, HS hứng thú tự giác học tập, tích cực hoạt động suy nghĩ, độc lập sáng tạo - So với lớp đối chứng, HS lớp thực nghiệm nhanh nhẹn linh hoạt hơn, hiệu học tập cao Kết kiểm tra cụ thể sau: Điểm Lớp 32 10 SL Thực nghiệm 9B 0 0 12 30 Đối chứng 9C 0 30 Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 60% điểm khá, 17% điểm giỏi Lớp đối chứng có 90% từ trung bình trở lên; có 43% điểm khá, 3,3% điểm giỏi Như vậy: Kết kiểm tra nhìn chung cho thấy kết lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng, khá, giỏi HS lớp thực nghiệm nắm vững kiến thức bản, biết trình bày lời giải rõ ràng, có Thái độ hứng thú tự giác, suy nghĩ độc lập sáng tạo học tập lớp thực nghiệm thấy rõ rệt đa số, lớp đối chứng có số em có hứng thú tự giác, sáng tạo mức độ thấp so với lớp thực nghiệm Nguyên nhân tác động mạnh đến kết lớp thực nghiệm HS GV dạy theo biện pháp khắc sâu mở rộng kiến thức SGK theo hướng bồi dưỡng số yếu tố đặc trưng tư sáng tạo HS học tập 3.4 Kết luận chung thực nghiệm sư phạm Kết thu qua đợt thực nghiệm sư phạm bước đầu cho phép kết luận: “Nếu GV tích cực thực dạy học theo biện pháp khắc sâu mở rộng kiến thức SGK theo hướng bồi dưỡng yếu tố cụ thể tư sáng tạo, rèn luyện khả phát giải vấn đề cho HS học tập góp phần hình hứng thú, tăng cường khả sáng tạo lôi em vào hoạt động tự giác, tích cực học tập môn toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán bậc THCS” V Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt Hiệu kinh tế Đây sáng kiến lĩnh vực giáo dục, việc áp dụng biện pháp sáng kiến giúp tăng cường đổi PPDH, đáp ứng yêu cầu đổi mang tính chất thời sự nghiệp giáo dục Sau thời gian nghiên cứu hệ thống lý luận nêu sáng kiến, đưa trình bày thảo luận tổ, nhóm chuyên môn trường cho thấy đem lại hiệu kinh tế mang tính bền vững lâu dài GV toán nhà trường hiểu, nắm vững cách làm biết cách áp dụng giảng dạy Để làm công tác khảo sát điều tra thực tế, nhóm tác giả dành nhiều công sức, thời gian nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm thực tế, hệ thống toàn 33 toán cực trị hình học THCS giúp cho giáo viên Toán trình bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS có thêm tài liệu, thêm phương pháp để giảng dạy hiệu Với hệ thống phương pháp giảng dạy giúp GV học sinh tiết kiệm thời gian tìm hiểu tổng kết hệ thống lý luận cho thân, tiết kiệm thời gian soạn giáo án trình giảng dạy tăng hiệu kinh tế cho xã hội Hiệu xã hội - Đề tài góp phần làm rõ sở lí luận thực tiễn việc khắc sâu mở rộng kiến thức SGK theo hướng bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho HS trung học sở giỏi - Đề tài cụ thể việc bồi dưỡng yếu tố tư sáng tạo học tập cho HS biện pháp Trong biện pháp có ví dụ minh hoạ với tập cực trị hình học bậc THCS, ví dụ có hướng dẫn, gợi mở GV để HS phát giải vấn đề - Đề tài rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn Trong đời sống thực tế có nhiều toán đòi hỏi phải giải cho có lợi nhất, đạt hiệu kinh tế cao đặc biệt toán cực trị hình học Các toán cần đưa chúng vào “toán học hoá thực tế” Lúc công việc chủ yếu người làm toán vận dụng kiến thức liên quan học phương pháp suy nghĩ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị trị nhỏ hay nói cách khác tìm cách tối ưu đặt sống Điều hoàn toàn phù hợp với quan điểm chủ nghĩa Mác - Lênin đường nhận thức loài người “Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ tư trừu tượng đến thực tiễn” điều phù hợp với phương hướng cải cách giáo dục nước tăng cường giáo dục kỹ thuật tổng hợp, liên hệ học với hành, học vận dụng kiến thức VI Điều kiện khả áp dụng - Đề tài xây dựng hệ thống tập có tác động trực tiếp vào số yếu tố tư sáng tạo với yêu cầu như: Bài tập gồm nhiều mức độ khác vừa sức học HS, vừa mang tính bao quát - Đề tài đề đường khắc sâu mở rộng kiến thức SGK để HS tự học nghiên cứu toán - Đề tài làm tài liệu tham khảo cho GV công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cấp bậc THCS tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi tự nghiên cứu, tự học 34 Thiên Tôn, ngày 24 tháng năm 2016 Xác nhận quan, đơn vị Các tác giả sáng kiến HIỆU TRƯỞNG Dương Đặng Phương Hoa Đặng Thị Tuyết Vũ Hồng Hải Mai Thị Loan Vũ Thị Hương 35