Khai thác và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 6 bậc THCS

Việc bồi dưỡng học sinh họctoán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thôngqua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biếtrèn l

MỤC LỤC

Trang

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Ngày nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát

triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước

Hướng đổi mới của giáo dục và đào tạo là đào tạo con người năng động, sáng

tạo, chủ động trong trong học tập cũng như trong lao động để thích ứng với cuộc

sống Bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững các nội dung cơ bản về kiếnthức, giáo viên còn phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạocho học sinh có nhu cầu nhận thức trong quá trình học tập Từ nhu cầu nhậnthức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá trình học tập tự giác, tích cực và tự lựctrong học tập để chiếm lĩnh tri thức Những thành quả đạt được sẽ tạo niềm hứngthú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ trở thành “tài sản riêng” củacác em Học sinh không những nắm vững, nhớ lâu mà còn biết vận dụng tốtnhững tri thức đạt được để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong học tập, trongthực tế cuộc sống và lao động mai sau Đồng thời, học sinh có phương pháp họctrên lớp học và phương pháp tự học để đáp ứng được sự đổi mới thường xuyêncủa khoa học công nghệ ngày nay.

Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừutượng cao Đặc biệt là với phân môn số học nó giúp cho học sinh khả năng tínhtoán, suy luận logíc và phát triển tư duy sáng tạo Việc bồi dưỡng học sinh họctoán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thôngqua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biếtrèn luyện khả năng và thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ

sở các kiến thức đã học

Qua nhiều năm công tác và giảng dạy Toán 6 ở trường THCS tôi nhậnthấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh năng lực học toán nói riêng,muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thìviệc cần làm ở mỗi giáo viên đó là giúp học sinh khai thác đề bài toán để từ mộtbài toán ta chỉ cần thêm bớt một số giả thiết hay kết luận ta sẽ có được bài toánphong phú hơn, vận dụng được nhiều kiến thức đã học nhằm phát huy nội lựctrong giải toán nói riêng và học toán nói chung Vì vậy tôi ra sức tìm tòi, giải vàchắt lọc hệ thống lại một số các bài tập mà ta có thể khai thác được đề bài đểhọc sinh có thể lĩnh hội được nhiều kiến thức trong cùng một bài toán

- Với mong muốn được góp một phần công sức nhỏ nhoi của mình trong việcbồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khảnăng sáng tạo trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lựcđộc lập sáng tạo của mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng độingũ học sinh giỏi toán ngày một khả quan hơn Với các lí do trên, tôi xin trình

bày đề tài “Khai thác và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu nhằm

phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 6 bậc THCS” hi vọng

góp phần vào giải quyết vấn đề trên

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giáo viên tìm cách khai thác bài toán ban đầu để giúp học sinh phát triển thành bài toán mới khó hơn, phức tạp hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về việc hướng dẫn như thế nào để giúp học sinh khá, giỏi lớp 6 bậc THCS khai thác và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu : Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sáchgiáo khoa, sách tham khảo,…

- Phương pháp điều tra.

Đặc điểm của lứa tuổi học sinh THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn

tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức Các em có khả năng điềuchỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhaunhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuậtcủa thầy, cô giáo Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo chohọc sinh là một quá trình lâu dài

*Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của HS được thể hiện ở một số mặt sau:

- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tưtưởng rập khuôn, máy móc

- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận mộtvấn đề ở nhiều khía cạnh

- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cáchnào khác nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận còn đúng hay không? …

- Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấnđề

- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết

*Khai thác, phát triển kết quả một bài toán nói chung có nhiều hướng như:

- Nhìn lại toàn bộ các bước giải Rút ra phương pháp giải một loại toánnào đó Rút ra các kinh nghiệm giải toán

- Tìm thêm các cách giải khác

- Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán, đề xuất các bàitoán mới

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy:

- Đa số học sinh, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các

em hài lòng và dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bàitoán, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sángtạo của bản thân

- Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc, lười suy nghĩ, lười

tư duy trong quá trình học tập Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tích cực, độc lập,sáng tạo của bản thân

- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp họctập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tậpchưa cao

- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân học sinh ít được củng cố,khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thứcmới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.

- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển,sáng tạo bài toán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác bồi dưỡnghọc sinh giỏi nói chung

- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau,phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức Quantrọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em học sinh , giúp học sinh có hứngthú hơn khi học toán

- Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương phápdạy và học sao cho phù hợp Trong năm học 2016 – 2017, tôi được giao nhiệm

vụ dạy Toán 6 Khối 6 có 2 lớp với tổng cộng 68 học sinh, số học sinh khá, giỏitoán là 19 em Giữa học kì I của năm học, tôi kiểm tra kiến thức toán của họcsinh với đề kiểm tra khảo sát như sau: (Thời gian: 60 phút)

Bài 1(4 điểm): Tính các tổng sau:

1 3 2

1 2 1

1 3 2 1

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Qua những bài toán mà học sinh đã giải được, tôi định hướng cho các em

tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó Bằng cáchình thức như:

- Kiểm tra kết quả Xem xét lại các lập luận

- Nghiên cứu, tìm tòi, với việc tập trung giải quyết các vấn đề như:Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? từ bài toán đã cho có rút ra đượcbài toán tổng quát không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để đề xuất bài toánmới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác không?

Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kếtquả ba bài toán tính tổng ở lớp 6 quen thuộc Nhằm giúp học sinh thấy được cáihay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong số học nói riêng Từ

đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp học sinhthêm yêu thích môn Toán hơn, nâng cao chất lượng mũi nhọn Đặc biệt kết quảhọc tập môn toán ngày càng được nâng lên rõ rệt

Từ kết quả của một bài toán ban đầu, nếu chịu khó suy xét tiếp thì ta cóthể khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển bài toán, tạo

ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác Sau đây là một vài ví dụ minh hoạ:

1 Dạng 1: Khai thác, phát triển từ một số bài toán liên quan đến tính tổng các số tự nhiên, tổng lũy thừa với các cơ số và số mũ là các số tự nhiên

1.1 Bài toán 1 và các hướng khai thác bài toán 1:

Như vậy: Muốn làm tốt bài toán này ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm số các số hạng dựa theo công thức:

(Số cuối - số đầu) : khoảng cách hai số liên tiếp + 1

Bước 2: Ghép cặp

Có nhiều cách ghép cặp, tuy nhiên thông thường ta nên ghép cặp như sau: sốhạng đầu với số hạng cuối

Bước 3: Tính tổng đã cho bằng cách chuyển tổng cần tìm về tìm tích

Hướng khai thác thứ nhất: Bài toán tổng quát của bài toán 1.

B

ài toán 1.1 : Tính tổng: B = 1 + 2 + 3 + + n (với n  N*)

+

Từ cách giải bài toán 1 ta có công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp

từ 1 đến n (Với n N  *) như sau:

1 + 2 + 3 + + n = n( n2 1) với n

*

N



Vậy dựa theo công thức tổng quát này để tính tổng dãy số cách đều

Hướng khai thác thứ hai: Thay đổi khoảng cách giữa các số hạng trong

dãy của bài toán 1

25 ).

49 1

25 102 2

50 ).

Từ bài toán 1.2 ta có bài toán tổng quát sau :

Bài toán 1.3: Tính tổng: a) 1 + 3 + 5 + +(2n – 1) (Với n N *)

b) 2 + 4 + 6 + + 2n (Với n N *)

Giải

Với cách làm như bài toán 1.2, ta có:

a) Công thức tính tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2n - 1 (Với

Hướng khai thác thứ ba: Thay đổi yêu cầu bài toán

Bài toán 1.4: Tìm số tự nhiên x biết:

x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + + (x + 48) + (x + 49) = 1275

Phân tích bài toán: Thoạt nhiên sẽ có nhiều học sinh lúng túng khi gặp bài này,

nhưng giáo viên có thể gợi ý học sinh bằng câu hỏi: Em hãy nhóm các số hạng

x của vế trái thành một nhóm, các số hạng còn lại thành một nhóm Nếu học sinh không trả lời được giáo viên có thể viết lại bài toán như sau:

50.x = 1275 - 122550.x = 50

x = 1Vậy x = 1

1.2 Bài toán 2 và các hướng khai thác bài toán 2:

* Tính tổng: D = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 99.100

Phân tích bài toán:

Mỗi một hạng tử của tổng là một tích, tích đó có hai thừa số, khoảng cách giữa hai thừa số bằng 1.

Để tính tổng D ta biến đổi D để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau để triệt tiêu dần các hạng tử đó Ta nhân hai vế của D với 3 Thừa số 3 này được viết dưới dạng 3 – 0 ở số hạng thứ nhất, 4 – 1 ở số hạng thứ hai, 5 – 2 ở số hạng thứ ba…

101 – 98 ở số hạng cuối cùng từ đó ta có cách giải bài toán như sau:

Giải

3D = 1.2.(3 – 0 ) + 2.3.(4 – 1 ) + 3.4 (5 – 2) + …+ 99.100 (101 – 98)

= (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …+ 98.99.100 + 99.100.101) – (0.1.2 + 1.2.3 + 2.3.4 + …+ 97.98.99 + 98.99.100) = 99.100.101

= 99.100.101 : 3 = 333300

Vậy D = 333300

* Các hướng khai thác bài toán 2

Hướng khai thác thứ nhất: Bài toán tổng quát của bài toán 2

1 (n n

n

với n  N*

Hướng khai thác thứ hai: Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong

mỗi hạng tử của bài toán 2

Trong bài toán 2.2 ta đã nhân hai vế của E với 3 ( 3 lần khoảng cách

giữa hai thừa số ), trong bài toán 2.2 ta nhân hai vế của F với 6 (3 lần khoảng

cách giữa hai thừa số)

Từ nhận xét đó học sinh có thể làm được các dạng bài theo hướng khai

thác thứ nhất Giáo viên có thể ra bài tập về nhà theo hướng khai thác này như sau:

Tính G1 = 1.4 + 4.7 + 7.10 + … + 97.100 (Gợi ý: nhân hai vế củaG1 với 3 lần khoảng cách )

Tính G2 = 1.5 + 5.10 + 10.15 + …+ 100.105 (Gợi ý: nhân hai vế của G2với 3 lần khoảng cách )

Tính G3 = 2.4 + 4.6 + 6.8 + ….+ 98.100 ( Gợi ý: nhân hai vế của G3 với 3lần khoảng cách )

Bài toán 2.4: Tính tổng: H = 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + … + 196.198 + 198.200

Phân tích bài toán : Ta thấy mỗi số hạng của tổng là tích của 2 số tự nhiên

chẵn liên tiếp Do đó, để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp số hạng với nhau ta nhân cả hai vế của H với 6 Thừa số 6 này được viết dưới dạng: (6 - 0) ở số hạng thứ nhất, (8 - 2) ở số hạng thứ hai, (10 - 4) ở

Phân tích bài toán: Để tính tổng K ta không nhân cả 2 vế với cùng một số thích

hợp mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các tổng khác

mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được

100 99 6

205 100 99 2

100 99 3

101 100 99

Từ bài toán 2.6 ta có bài toán tổng quát sau :

Bài toán 2.7: Tính tổng: M = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + n(n + 2) với n  N*

100 99 3

104 100 99 2

100 99 2 3

101 100 99

Từ bài toán 2.8 ta có bài toán tổng quát sau :

Bài toán 2.9: Tính tổng: P = 1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n + 3) với n  N*

Giải

Với cách làm như bài toán 2.8, ta có công th c:ức:

1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n + 3) = n.(n13)(n5) với n  N*

Hướng khai thác thứ ba: Làm tăng thêm các thừa số trong mỗi hạng tử

của bài toán 1

Từ bài toán 2.10 ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 2.11: Tính tổng: R = 1.2.3 + 2.3.4 + … + n (n + 1)(n + 2) với n  N*

Hướng khai thác thứ tư: Vừa làm thay đổi khoảng cách giữa các thừa

số, vừa làm tăng thêm các thừa số trong mỗi hạng tử của bài toán 2

Bài toán 2 12: Tính tổng: S = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99

Giải

8S = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8

= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) +…+ 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99

Trong bài toán 2.10 ta đã nhân hai vế của Q với 4 ( 4 lần khoảng cách

giữa hai thừa số ), trong bài toán 2.12 ta nhân hai vế của S với 8 (4 lần khoảng

cách giữa hai thừa số)

Hướng khai thác thứ năm: Làm thay đổi sự kế tiếp lặp lại của các thừa

số trong bài toán 2 ta có bài toán sau:

= 171650 – 2500 = 169150

Trong bài toán này ta không nhân I với một số hạng mà tách ngay mộtthừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàngtính được

Bài toán 2 14: Tính tổng: U = 1.1 + 2.2 + 3.3 + 4.4 + …+ 99.99

Phân tích bài toán:

Thoạt đầu sẽ có nhiều học sinh lúng túng khi gặp bài này, nhưng giáo viên có thể gợi ý học sinh bằng câu hỏi: Em hãy nhận dạng bài toán này với bài toán 2.5 xem chúng có cùng dạng không? Nếu học sinh không trả lời được giáo viên có thể viết lại bài toán như sau:

? Biểu thức K có thể viết ở dưới dạng nào nữa

Từ đó ta có thể phát triển thành bài toán sau:

Bài toán 2.15: Tính tổng: V = 12 + 22 + 32 + 42 +…+ 992

Bây giờ ta tạm thời quên đi đáp số 328350 ở bài toán 2.14 mà ta biến đổitiếp hiệu 99.100.1013 - 99.2100 như sau:

Từ bài toán 2.15 ta có thể phát triển thành bài toán tổng quát như sau:

Bài toán 2 16 : Tính tổng: X = 12 + 22 + 32 + 42 +…+ n2 với n  N*

Từ bài toán 2.18 ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 2.19: Tính tổng: X3 = 13 + 23 + 33 + … + n3 với n  N*

Giải

Với cách làm như bài toán 2.18, ta có:

X3 = 13 + 23 + 33 + … + n3

= 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 + 43 – 4 + 53 – 5 +…+ n3 – n + ( 1 + 2 + 3 + …+ n ) = 0 + 2( 2 2 – 1 ) + 3( 3 2 – 1 ) + 4( 4 2 – 1 ) + …+ n( n 2 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n )

= 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + … + n )

2

1 4

) 2 )(

1 ( ) 1 ( 2

) 1 ( 4

) 2 )(

1 (

)

1

n n n

n n

) 1 ( ) 1 ( 4

) 2 2 )

1

(       n n n n 

n n n

1 (n n

với n  N*

Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 2.18 ta có bài toán sau: Bài toán 2.20: Tính tổng: X4 = 13 + 33 + 53 + … + 993

Phân tích bài toán: Đây là tổng lập phương của các số lẻ liên tiếp Muốn tính

tổng trên ta lập một tổng là tổng các lập phương của các số tự nhiên liên tiếp rồi trừ đi phần cộng thêm.

Giải

X4 = 13 + 33 + 53 + … + 993 = (13 + 23 + 33+…+ 993) - (23 + 43 + 63+…+983) = (13 + 23 + 33+…+ 993) - 23(13 + 23 + 33 +…+493)

= 4950 8 1225 24502500 12005000 12497500

2

50 49 2 2

100

.

2 3

Từ bài toán 2.20 ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 2.21: Tính tổng: X5 = 13 + 33 + 53 + + (2n + 1)3 với n  N

2 2

3 2

2

1 2

2

1 1 2 2 2

1 2

2

1 1 2 1

Từ cách giải bài toán 2.22 học sinh sẽ biết cách làm bài toán sau:

Bài toán 2.23: Tính tổng: Y1 = 2 + 22 + 23 + 24 + + 2n

ĐS: Y 1 = = 2n+1 – 2

Từ bài toán 2.23 nếu thay cơ số 2 bằng cơ số a bất kì (với aN, a > 1, n  N)

ta được bài toán tổng quát sau:

Bài toán 2.24: Tính tổng: Y2 = 1 + a + a2 + a3 + … + an với aN, a > 1, nN

Giải

Với cách làm như bài toán 2.23, ta có:

a Y2 – Y2 = an+1 – 1 (a – 1) Y2 = an+1 – 1