6 Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là giao đ
Trang 1Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số
y=ax4 +bx2 +c và ứng dụng
Lê Văn Hoàng -12A1-PT Nguyễn Mộng Tuân
I.Cơ sở lý thuyết
Xét hàm số y=ax4 +bx2 +c (a≠0) trên R
Ta có y’=4ax3 +2bx=2x(2ax2+b)
Suy ra y’=0
0 ) 1 ( 0
2 2
x b ax
Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi y’=0
có ba điểm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ab<0 (*)
Với điều kiện (*) ,đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A(0,c)
,B(-a
b c a
b
4
, 2
2
) và C(
a
b c a
b
4
, 2
2
)
Khi đó AB =AC = 4 2
16
8
a
ab
b và BC= a2b Sau đậy là một số tính chất thường gặp của các điểm cực trị này
Vì AB=AC nên tam giác ABC cân tại A suy ra ABC là tam giác vuông khi
và chỉ khi BAC=90 hay tam giác ABC vuông cân tại A.Khi đó
BC=AB 2 BC2 =2AB2
16
8
2
2
a
ab b
a
b3+8a =0
Tính chất 1.Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông khi và chỉ khi ab<0 và b3 +8a=0
Ta có ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB=AC=BC AB2 =BC2
16
2
4
a b
a
b a
ab
b
Tính chất 2.Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi ab<0 và b3 +24a=0
Trường hợp 1 90
Khi đó ABC là tam giác tù Vì tam giác ABC cân tại A nên
Trang 2BC2 =AB2 +AC2 -2AB.AC.cosBAC BC2=2AB2(1-cos )
8
2
2
2
4
a
ab b
a
b
-16a =(b3-8a)(1-cos )
b3+ 8a –(b3 -8a)cos =0
Trường hợp 2. 90 (đã xét ở t/c 1)
Trường hợp 3. 90
+Nếu B C thì A 180 2 ,suy ra cos
2 cos )
2 180
cos(
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC có
BC2 =AB2 +AC2 -2AB.AC.cosBAC BC2 = 2AB2 (1+cos2 )
<=> 16 (1 cos2 )
8
2
2
2
4
a
ab b
a
b
-16a =(b3-8a)(1+cos 2 )
b3 +8a+ (b3-8a)cos 2 =0
+ Nếu A thì tương tự trường hợp 1, ta có b3 +8a-(b3-8a)cos2 =0
Tính chất 3.Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị A,B,C tạo thành
ba đỉnh của một tam giác cân cân có một góc cho trước khi và chỉ khi ab<0 và
Hoặc b3+ 8a –(b3 -8a)cos =0 nếu 90
Hoặc b3 +8a=0 nếu 90
Hoặc b3 +8a+ (b3-8a)cos 2 =0 nếu 90
Ta có BC=OA BC2 = OA2 -2 2
c a
b
ac2 +2b =0
Tính chất 4 Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba điểm cực trị A,B,C thảo mãn điều kiện =OA (với O là gốc tọa độ) khi và chỉ khi ab<0 và ac2 +2b =0
diện tích tam giác đó
Gọi H là giao điểm của BC với trục Oy thì AH là đường cao của tam giác ABC Khi đó
H(0,c-a
b
4
2
) Suy ra AH = 4b a2 4b a2 Vậy SABC =12 BC.AH= . a b
2
1
4b a
2
5
32a
b
Tính chất 5 Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi ab<0 và S=
3
5
32a
b
Trang 36) Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là giao điểm của BC với trục Oy Khi đó H(0,
c-a
b
4
2
) Suy ra AH = 4b a2 4b a2
Từ tam giác vuông AHC ,ta có :
AB
AH AC
AH ACH
Áp dụng định lí Sin vào tam giác ABC được
16
8
a a
ab b
AH
AB ACH
8
3
b a
a b
Tính chất 6 Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c có ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R khi và chỉ khi ab<0 và R= 8 .
8
3
b a a
b
II,Ứng dụng
Ví dụ 1 Cho hàm số y=x4 -2mx2 -3 (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải : Áp dụng tính chất 6 ,đồ thị hàm số (1) có ba cực trị và bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị là R khi và chỉ khi
m
m R
m m
m R
m b
a
a
b
R
ab
2 1
0 )
2 ( 8
8 ) 2 (
0 2 8
8
0
3 3
3
Suy ra R= ( 1)
2
m
m Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ,ta có
2
1 2
1 3 2
1 ) 2
1 2
1
(
2
1
m m
m m
m
4
3 4
1 2
3
Vậy min R= 3 2
4
3
2
1 2
1
m
Ví dụ 2 Cho hàm số y=x4-2mx2+1 (1) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1
Trang 4Lời giải :Áp dụng tính chất 6 ,đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường
tròn đi qua ba điểm này có bán kính R khi và chỉ khi
b
a
a
b
R
ab
8
8
0
3
m
m R
m
2 1
0
3
Theo đề bài R=1 suy ra 1=
m
m
2
1
3
0 ) 1 )(
1 ( 0 1
3
2
5 1
1
m
m
đối chiếu với điều kiện m>0 ta được m=1 ,m=
2
5
1
Ví dụ 3.Cho hàm số y= 4 2 2 2
x Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có ột góc bằng 30
Lời giải : theo tính chất 3 ,đò thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh
của một tam giác cân có một góc =30 khi và chỉ khi ta có hai trường hợp sau
Nếu góc ở đỉnh =30 thì
0 cos ) 8 ( 8
0
3 3
a b a
b
ab
0 30 cos ) 8 8 ( 8 8
0 2
3
m
m
0 3 2 ) 3
2
(
0
3
m m
3 ( 2 3 ) 2
Nếu góc ở đáy =30 thì
0 2 cos ) 8 ( 8
0
3 3
a b a
b
ab
0 60 cos ) 8 8 ( 8 8
0 2
3
m
m
3
1 0
1 3
0
m m
m
Vậy m=-313 hoặc m=-3 ( 2 3 ) 2
Bài tập
1) Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m -1 (1), với m là tham số thực Xác định các giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời các giá trị của hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
Trang 52) Cho hàm số y = x4 - 8m2x2 + 1 (1), với m là tham số thực Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có 3 cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 64
3) Cho hàm số y = x4 – 2(1 – m2)x2 + m + 1 (1) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất
4) Cho hàm số y = x4 + 2mx2 + m2 + m Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 120
5) Cho hàm số: y = x4 – 2x2 + m + 2 (Cm) Xác định giá trị của tham số
m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm? 6) Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m (1), m là tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại