Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1chủ đề 2 ứng dụng tập giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và
Chứng minh bất đẳng thức
I Kiến thức cơ bản
Bài toán 1 ứng dụng tập giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
phơng pháp chung
Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
a Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số nếu:
f(x)M với xDf f(x0)=M với ít nhất một giá trị x0D
Ta ký hiệu M=Maxy
b Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số nếu:
f(x)m với xDf f(x0)=m với ít nhất một giá trị x0D
Ta ký hiệu m=Miny
Vậy: Miny=myM=Maxy
Do đó từ tập giá trị I dễ dàng suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
Ví dụ 1 (Đề 67): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y=
4 x sin x cos 2
3 x sin 2 x cos
với -<x<x<x<
Giải
Đặt t=tg
2
x
, vì <x<x<x<
-2
<x<
2
x
<x<
2
do đó t nhận giá trị trên toàn R, thì:
y=
4 t 1
t 2 t
1
) t 1
(
2
3 t 1
t 4 t 1
t 1
2 2
2
2 2
2
=
3 t t
2 t 2 t
2 2
Để tìm miền giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình
3 t
t
2 t
2
t
2
2
=y có nghiệm đối với ẩn t
Phơng trình (y-1)t2-(y+2)t-3y-2=0 (1) Trờng hợp 1: y=1
Khi đó:
(1) -3t+1=0 t=
3
1 Trờng hợp 2: y1
Phơng trình (1) có nghiệm
0 1
y
0 ) 2 y 3 )(
1 y ( 4 ) 2 y ( 1 y
2 y 11 2 0 y
11
2 y2. Vậy:
ymax=2 đạt đợc t=
) 1 y ( 2
2 y
=4 tg
2
x
=4=tg x=2+2k kZ
27
Trang 2Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số
ymin=
11
2
đạt đợc t=
) 1 y ( 2
2 y
=-3
8 tg
2
x
=-3
8
= tg x=2+2k kZ
Bài toán 2 ứng dụng tập giá trị của hàm số để chứng minh bất đẳng thức.
phơng pháp chung
Ta có các kết quả sau:
Để chứng minh f(x)<x<B luôn đúng Chứng minh Maxf(x)<x<B
Để chứng minh f(x)>B luôn đúng Chứng minh Minf(x)>B
Do đó có thể ứng dụng tập giá trị của hàm số để chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 2 (Đề 139): CMR với mọi x và mọi a ta có:
2 x 3 cos
1 x sin a x cos
3
a 1
1 2 Giải
Xét hàm số y=
2 x 3 cos
1 x 3 sin a x 3 cos
Hàm số xác định với mọi x
Để tìm miền giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình
2 x 3 cos
1 x 3 sin a x
3
cos
=y có nghiệm đối với ẩn x
Phơng trình asin3x+(1-y)cos3x=2y-1 (1)
Pt (1) có nghiệm
a2+(1-y)2 (2y-1)2 3y2-2y-a20
3
a 1
3
a
1
1 2
Vậy, |y|
3
a 1
1 2 (đpcm)
II Các bài toán chọn lọc
Bài 1 (ĐHGT/Đề 2-97): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=1+
x cos 2
x sin 3
bài giải
Ta đi tìm y để phơng trình y=1+
x cos 2
x sin 3
có nghiệm đối với ẩn x
Phơng trình 3sinx+(1-y)cosx=2(y-1) (1)
Pt (1) có nghiệm
32+(1-y)2 4(y-1)2 3y2-6y-60 1- 3 y1+ 3
Vậy:
ymax=1+ 3 đạt đợc khi 3sinx- 3 cosx=2 3 x=
3
2
+2k, kZ
ymin=1- 3 đạt đợc khi 3sinx+ 3 cosx=-2 3
x=-3
2
+2k, kZ
Bài 2 (ĐHSP QN-99): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y=
x cos 2
x sin
với x[0,
Trang 3Chủ đề 2: ứ ng dụng tập giá trị của hàm số
để tìm gián trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và chứng minh bất đẳng thức
]
bài giải
Ta đi tìm y để phơng trình y=
x cos 2
x sin
có nghiệm đối với ẩn x
Phơng trình sinx-ycosx=2y (1) Phơng trình (1) có nghiệm
12+y2 4y2
-3
1
y
3
1
Mặt khác vì x[0, ] y0, do đó điều kiện là 0y
3
1 Vậy:
ymax=
3
1
đạt đợc khi
sinx-3
1 cosx=
3
2
sin(x-6
)=1 x=
3 2
ymin=0 đạt đợc khi sinx=0 x=0 hoặc x=
Bài 3 (HVCNBCVT/Đề 1-99): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sin2x+4sinx.cosx+ 5
bài giải
Ta đi tìm y để phơng trình 2sin2x+4sinx.cosx+ 5 =y có nghiệm với ẩn x Phơng trình 2sin2x-cos2x=y-1- 5 (1) Phơng trình (1) có nghiệm
22+12 (y-1- 5 )2 3y21 1y1+2 5
Vậy ymin=1 đạt đợc khi
2sin2x-cos2x=- 5
x=-4
+k, kZ, với cos2=
5
2
Bài 4 (HVNH TPHCM-98): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=
1 x 2 x 3
3 x 10 x 20
2 2
bài giải
Ta đi tìm y để phơng trình y=
1 x 2 x 3
3 x 10 x 20
2 2
có nghiệm với ẩn x
Phơng trình (3y-20)x2+2(y-5)x+y-3=0 (1) Trờng hợp 1: y=
3
20 Khi đó:
(1)
3
10
x+
3
11
=0
x=-10
11
Trờng hợp 2: y
3
20 Khi đó (1) có nghiệm
0 ' 3
20 y
0 ) 20 y )(
3 y ( ) 5 y ( 3 20 y
7 y 2 5 3 20 y
Từ đó, (1) có nghiệm khi
2
5
y7
Vậy:
Trang 4Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số
ymax=7 đạt đợc khi
x=-20 y 3
5 y
=-2
ymin=
2
5
đạt đợc khi
x=-20 y 3 5 y
=-5
1
Bài 5 (ĐHQG-96): Cho hàm số : y=
2 x sin x cos
1 k x cos k 2
a Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số với k=1
b Xác định k sao cho giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
bài giải
Ta đi tìm y để phơng trình
2 x sin x cos
1 k x cos k 2
=y có nghiệm đối với ẩn x Phơng trình ysinx+(y-2k)cosx=k+1-2y (1) Phơng trình (1) có nghiệm
y2+(y-2k)2 ( k+1-2y)2 2y2-4y-3k2+2k+10
1-2
1
2 k 4 k
6 2 y1+
2
1
2 k 4 k
Vậy: ymax=1+
2
1
2 k 4 k
6 2 & ymin
=1-2
1
2 k 4 k
a Với k=1, thì:
ymax=2 đạt đợc khi 2sin2 sin1
x=-2
+2k, kZ
ymin=0 đạt đợc khi -2cosx=2 cosx=-1 x=+2k, kZ
b Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
6k2-4k+2 nhỏ nhất k=
12
4
= 3
1
Vậy, với k=
3
1 thì giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
III.Bài tập đề nghị
Bài tập 1 Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:
a (Đề 31) y=
2 ix cos x sin
x cos 2
b y=x2+2x+2 2
x x 2
c (Đề 115) y=
4 / 3 2
36 x
) a x ( x 12
Bài tập 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a y=
4 x sin x cos
2
3 x sin 2 x cos
3 x 2 x
20 x 10 x 3
2 2
Bài tập 3 (Đề 34): Tìm K để giá trị nhỏ nhất của hàm số y=
2 x cos
1 x sin K
nhỏ hơn -1
Bài tập 4 Cho hàm số : y=
2 x sin x cos
k x sin k 2
a Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số với k=1
b Xác định k sao cho giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất