toán 8 sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức

SKKN: “ Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” - Tên sáng kiến: ‘Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức’ -1 SKKN: “ Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” Phần 1.Lý chọn đề tài: 1.1 Cơ sở khoa học: Trong chương trình tốn học phổ thông, tất phân môn: Số học, Đại số, Hình học, Giải tích thường gặp tốn bất đẳng thức Đây dạng toán hay khó Để giải tốn ta sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, mức độ khó, phạm vi kiến thức liên quan tốn phong phú đa dạng Chính điều tạo nên đặc thù cho dạng toán bất đẳng thức, học bất đẳng thức khó mà dạy cịn khó Thế mà, biết vấn đề thường xuất đề thi học sinh giỏi hay vào trường cao hàng năm Vì thế, giáo viên dạy tốn, tơi ln trăn trở để học sinh khơng cịn “sợ” tiếp cận dạng toán cách tự tin Một công việc thường gặp giáo viên việc đề cho học sinh, đề bất đẳng thức lại đòi hỏi nhiều sáng tạo Từ tích lũy nhiều năm học tốn dạy tốn tơi nhận thấy rằng: Có nhiều cách để sáng tạo bất đẳng thức, việc sử dụng hình học hướng sáng tạo độc đáo cho ta nhiều tốn hay Vì tơi chọn đề tài: “Sử dụng tính chất hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” 1.2 Cơ sở thực tiễn: Bất đẳng thức dạng tốn khó kể giải hay đề Việc giúp cho giáo viên hay học sinh tự đề giải nguồn lực lớn để giáo viên em học sinh tự tin, tạo tâm tốt giải bất đẳng thức Việc vận dụng tính chất hình học vừa giúp em củng cố kiến thức hình đồng thời tạo mối liên hệ vận dụng tốt linh hoạt đại số hình học để giải tốn cụ thể -2 SKKN: “ Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” Phần Giải vấn đề 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.1 Các cơng thức tính diện tích a Tam giác 1 S = ab.sin C = bc.sin A = ac.sin B 2 abc S= 4R S = pr S= p ( p − a ) ( p − b) ( p − c) b Tứ giác Hình vng, hình chữ nhật Hình thoi Hình bình hành 2.2 Áp dụng 2.2.1 Xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tam giác Bài tốn dẫn xuất Cho số thực a, b, c ∈ [ 0;1] Chứng minh rằng: a ( 1− b) + b ( 1− c) + c ( 1− a) ≤ Bạn đọc đưa khơng cách giải khác nhau, nhiên, ta giải tốn theo hướng áp dụng hình học Tóm tắt lời giải Xét tam giác ABC đều, có cạnh Trên AB, BC, CA lấy M, N, P hình vẽ Đặt a = AM, b = CP, c = BN -3 SKKN: “ Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” Ta có đánh giá S1 + S + S3 ≤ S 1 1 a ( − b ) sin 600 + b ( − c ) sin 600 + c ( − a ) sin 600 ≤ 1.1sin 600 2 2 ⇔ a ( − b ) + b ( − c ) + c ( − a ) ≤ (dpcm) ⇔ Dấu đẳng thức xảy tam giác MNP suy biến tức số a, b, c có số số Lời bình: Xuất phát từ việc phân chia tam giác ta có ý tưởng đánh giá diện tích chứng minh toán Ý tưởng giúp ta phát triển để sáng tác nhiều toán tương tự Chẳng hạn số toán sau: Bài Cho số thực a, b, c ∈ [ 0; 2] Chứng minh rằng: Bài Cho số thực Bài Cho số thực a ( − b) + b ( − c) + c ( − a) ≤ a, b, c ∈ [ 0;3] Chứng minh rằng: a ( − b) + b ( − c) + c ( − a) ≤ x, y, z ∈ [ 0; a ] , a > -4 SKKN: “ Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” Chứng minh rằng: x ( a − y ) + y ( a − z ) + z ( a − x ) ≤ a2 Bây ta thử với tam giác vng có cạnh 3, 4, ta xây dựng tốn mà vai trị biến khơng giống sau: Bài tốn dẫn xuất 2: Cho số thực a ∈ [ 0;3] , b ∈ [ 0;5] , c ∈ [ 0; 4] 4a ( − b ) + 3b ( − c ) + 5c ( − a ) ≤ 60 Chứng minh rằng: Quan sát bất đẳng thức khơng người có cảm giác ban đầu phương hướng Tuy nhiên biết ý tưởng tốn giải đơn giản sau: Tóm tắt lời giải: Xét tam giác vng ABC có AB = BC = 4, AC = Đặt a = AM, b = CP, c = BN Ta có đánh giá S1 + S2 + S3 ≤ S 1 1 a ( − b ) sin A + b ( − c ) sin C + c ( − a ) sin B ≤ 4.3 2 2 1 ⇔ a ( − b ) + b ( − c ) + c ( − a ) ≤ 4.3 5 2 ⇔ 4a ( − b ) + 3b ( − c ) + 5c ( − a ) ≤ 60 ( dpcm) ⇔ -5 SKKN: “ Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” Sau xin đưa số toán tương tự Bài Cho số thực a ∈ [ 0;5] , b ∈ [ 0;12] , c ∈ [ 0;13] Chứng minh rằng: Bài Cho số thực 12a ( 13 − b ) + 5b ( 12 − c ) + 13c ( − a ) ≤ 5.12.13 a ∈ [ 0;1] , b ∈ [ 0;2] , c ∈ 0;  2a Chứng minh rằng: ( ) − b + b ( − c ) + 5c ( − a ) ≤ Bài Cho số thực dương thỏa mãn mãn x ∈ [ 0; a ] , y ∈ [ 0; b] , z ∈ [ 0; c ] Chứng minh rằng: a + b2 = c Chứng minh rằng: số thực x, y, z thỏa cx ( b − y ) + ay ( c − z ) + bz ( a − x ) ≤ abc x ∈ [ 0; a ] , y ∈ [ 0; c ] , z ∈ [ 0; c ] Bài Cho số thực dương thỏa mãn mãn a = 2c số thực x, y, z thỏa cx ( c − y ) + ay ( c − z ) + cz ( a − x ) ≤ ac Đến ta tiếp tục xây dựng tốn dựa mơt tam giác thường Trước tiên xét toán: Bài toán dẫn xuất 3: Cho số thực Chứng minh rằng: a ∈ [ 0;4] , b ∈ [ 0;5] , c ∈ [ 0;6] 6a ( − b ) + 4b ( − c ) + 5c ( − a ) ≤ 120 Tóm tắt lời giải: Xét tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, BC = hình vẽ sau -6 SKKN: “ Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” Đặt a = AM, b = CN, c = BP Ta có đánh giá S1 + S2 + S3 ≤ S ⇔ 1 4.5.6 a ( − b ) sin A + b ( − c ) sin C + c ( − a ) sin B ≤ 2 4R 4.5.6 a ( − b) + b ( − c) + c( − a) ≤ 2R 2R 2R 4R ⇔ 6a ( − b ) + 4b ( − c ) + 5c ( − a ) ≤ 120 (dpcm) ⇔ Lời bình Quá trình cho ta nhìn thấy hướng tổng quát toán, bắt đầu việc xây dựng toán dựa tam giác tam giác vuông cuối tam giác Là giáo viên dạy tốn, việc nhìn hướng tổng qt để xây dựng toán tương tự nhằm tạo cho thân ngân hàng đề cần thiết Như bạn cần thay đổi số đo cạnh có nhiều tập hay Sau số ví dụ phát triển theo hướng tổng quát dựa vào tam giác thường: Bài Cho số thực a ∈ [ 0;5] , b ∈ [ 0;6] , c ∈ [ 0;7 ] Chứng minh rằng: 6a ( − b ) + 5b ( − c ) + 7c ( − a ) ≤ 210 -7 SKKN: “ Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” Bài Cho a, c số thực dương số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x ∈ [ 0; a ] , y ∈ [ 0; c ] , z ∈ [ 0; c ] Chứng minh rằng: Bài Cho số thực cx ( c − y ) + ay ( c − z ) + cz ( a − x ) ≤ ac a ∈  0;  , b ∈ 0;  , c ∈  0;  5a Chứng minh rằng: ( ) − b + 2b ( ) − c + 3c ( ) − a ≤ 30 Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác số thực x, y, z thỏa mãn x ∈ [ 0; a ] , y ∈ [ 0; b] , z ∈ [ 0; c ] Chứng minh rằng: cx ( b − y ) + ay ( c − z ) + bz ( a − x ) ≤ abc Các bạn thử Tiếp theo ta nhìn vấn đề sang tứ giác 2.2.2 Xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tứ giác Bài tốn dẫn xuất Cho số Chứng minh rằng: a, b, c, d ∈ [ 0;1] a ( − b ) + b ( − c ) + c ( − d ) + d (1 − a ) ≤ Tóm tắt lời giải Xét hình vng ABCD có cạnh 1, lấy M, N, P, Q hình vẽ -8 SKKN: “ Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” Đặt a = QA, b = MB, c = NC, d = PD Ta có đánh giá sau S1 + S + S3 + S ≤ S 1 1 a ( − b) + b ( 1− c) + c ( − d ) + d ( 1− a) ≤ 2 2 ⇔ a ( − b ) + b ( − c ) + c ( − d ) + d ( − a ) ≤ (dpcm) ⇔ Dấu đẳng thức xảy a = c = 1; b = d = 0… Lời bình Cũng xuất phát từ việc phân chia hình vng sử dụng đánh giá diện tích ta xây dựng bất đẳng thức Hồn tồn tương tự ta sáng tạo nhiều tốn khác Cũng thay việc xét hình vng thành việc xét hình thoi mà ta có lời giải tương tự Sau toán loại: Bài Cho số Chứng minh rằng: Bài Cho số a, b, c, d ∈ [ 0;2] a ( − b ) + b ( − c ) + c ( − d ) + d (2 − a ) ≤ x, y, z , t ∈ [ 0; a ] , a > -9 SKKN: “ Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” x ( a − y ) + y ( a − z ) + z ( a − t ) + t ( a − x ) ≤ 2a Chứng minh rằng: Bài toán dẫn xuất Cho số a, c ∈ [ 0;1] , b, d ∈ [ 0;2] Chứng minh rằng: Tóm tắt lời giải a ( − b ) + b ( − c ) + c ( − d ) + d (1 − a) ≤ Xét hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 2, AD = 1, lấy M, N, P, Q hình vẽ Đặt a = QA, b = MB, c = NC, d = PD Ta có đánh giá sau S1 + S2 + S3 + S4 ≤ S 1 1 a ( − b) + b ( 1− c) + c ( − d ) + d ( 1− a) ≤ 2 2 ⇔ a ( − b ) + b ( − c ) + c ( − d ) + d ( − a ) ≤ ( dpcm) ⇔ Lời bình Cũng giống tốn dẫn xuất việc phân chia đánh giá diện tích, song tốn ta thấy vai trị a, b, c, d khơng hồn tồn Do dựa vào vai tró a, c b, d ta xét hình chữ nhật Cũng thay việc xét hình chữ nhật thành việc xét hình bình hành mà ta có lời giải tương tự Sau toán loại: 10 -10 SKKN: “ Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” Bài Cho số Chứng minh rằng: Bài Cho số Chứng minh rằng: a, c ∈ [ 0;2] , b, d ∈ [ 0;3] a ( − b ) + b ( − c ) + c ( − d ) + d (2 − a ) ≤ 12 x, z ∈ [ 0; a ] , y , t ∈ [ 0; b ] , a, b > x ( b − y ) + y ( a − z ) + z ( b − t ) + t ( a − x ) ≤ 2ab Xin mời bạn đọc thử nghĩ hướng tổng quát cho tứ giác nội tiếp Cũng trình độ điều kiện thời gian có hạn nên tơi chưa trình bày viết mong bạn đọc thơng cảm Qua ví dụ ta thấy việc sáng tạo chứng minh bất đằng thức cho lời giải ngắn gọn, đơn giản, kĩ đòi hỏi phải linh hoạt, khéo léo 11 -11 SKKN: “ Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” 12 -12 SKKN: “ Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” Phần 3: Kết luận Kết thu 1.1 Về nội dung a) Trình bày phương pháp xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tam giác b) Trình bày phương pháp xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tứ giác 1.2 Kết khảo sát Trên thực tế áp dụng sáng kiến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi mang lại hiệu tích cực đặc biệt thích thú em tự đề Lời kết Bài viết tổng hợp số kinh nghiệm ỏi thân, mong phần giúp bạn đọc đồng nghiệp cảm thấy có ích việc học tập nghiên cứu giảng dạy môn tốn Trong q trình thực chun đề dù cố gắng góp ý đồng nghiệp tổ nhóm chun mơn, song chắn không tránh khỏi hạn chế, mong tiếp tục góp ý bạn đọc đồng nghiệp để viết tơi hồn thiện Tôi xin trân trọng cảm ơn! 13 -13 SKKN: “ Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức” MỤC LỤC Trang Phần 1: Lý chọn đề tài 1.1: Cơ sở khoa học ….…………………………………………………… 1.2: Cơ sở thực tiễn ….…………………………………………………… Phần 2: Giải vấn đề 2.1 Cơ sở lý thuyết………………………………………………………… 2.2 Áp dụng………………………………………………………………… 2.2.1 Xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tam giác……………….3 2.2.2 Xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tứ giác ……………… Phần 3: Kết luận ……………………………………………………… 11 Mục lục: …………………………………………………………………… 12 14 -14 ... nhiều cách để sáng tạo bất đẳng thức, việc sử dụng hình học hướng sáng tạo độc đáo cho ta nhiều tốn hay Vì tơi chọn đề tài: ? ?Sử dụng tính chất hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức? ?? 1.2... -4 SKKN: “ Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức? ?? Chứng minh rằng: x ( a − y ) + y... vẽ -8 SKKN: “ Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo chứng minh bất đẳng thức? ?? Đặt