1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Chủ đề: Hàm số chẵn - Trục đối xứng

10 708 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 10
Dung lượng 181 KB

Nội dung

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

chủ đề 5 hàm số chẵn - Trục đối xứng của đồ thị I.Kiến thức cơ bản 1. Trục đối xứng thẳng đứng của đồ thị Định nghĩa 1: Đờng thẳng x=a là trục đối xứng của đồ thị y=f(x) với phép biến đổi toạ độ: = = yY axX = += Yy aXx hàm số Y=F(X) là hàm số chẵn. Bài toán 1 CMR đồ thị hàm số y=f(x) nhận đờng thẳng x=a làm trục đối xứng. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Với phép biến đổi toạ độ = = yY axX = += Yy aXx hàm số có dạng: Y=f(X+a) Y=F(X) (1) Bớc 2 : Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số chẵn. Bớc 3 : Vậy, đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x=a làm trục đối xứng. Ví dụ 1 (Đề 149): Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y=x 4 -4x 3 -2x 2 +12x-1 có một trục đối xứng. Từ đó tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành. Giải. Giả sử đồ thị hàm sốtrục đối xứng là x=a. Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: = = yY axX = += Yy aXx hàm số Y=(X+a) 4 -4(X+a) 3 -2(X+a) 2 +12(X+a)-1 là hàm số chẵn. Ta có:Y=(X+a) 4 -4(X+a) 3 -2(X+a) 2 +12(X+a)-1 =X 4 +4a 2 X 2 +a 4 +4aX 3 +2a 2 X 2 +4a 3 X-4(X 3 +3X 2 a+3X a 2 +a 3 )- -2(X 2 +2Xa+a 2 )+12(X+a)-1 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 43 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số = X 4 +4(a-1)X 3 +2(3a 2 -6a-1)X 2 +4(a 3 -3a 2 -a+3)X+a 4 -4a 3 -2a 2 +12a-1 (1) Hàm số (1) là hàm số chẵn =+ = 0)3aa3a(4 0)1a(4 23 a=1. Vậy, đồ thị hàm số có một trục đối xứng x=1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình: x 4 -4x 3 -2x 2 +12x-1=0 (2) Đặt x=X+1, phơng trình (2) có dạng: X 4 -8X 2 +6=0 X 2 =4 10 X= 104 x=1 104 . Vậy đồ thị hàm số cắt Ox tại bốn điểm có hoành độ x=1 104 . Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y=f(x) nhận đờng thẳng x=a làm trục đối xứng. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Với phép biến đổi toạ độ = = yY axX = += Yy aXx hàm số có dạng: Y=f(X+a) Y=F(X) (1) Bớc 2 : Đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x=a làm trục đối xứng hàm số (1) là hàm số chẵn tham số . Bớc 3 : Kết luận. Ví dụ 2 (Đề 27): Xác định m để đồ thị hàm số y=x 4 +4mx 3 -2x 2 -12mx có trục đối xứng song song với Oy. Giải. Giả sử đồ thị hàm sốtrục đối xứng song song với Oy là x=a (a0). Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: = = yY axX = += Yy aXx hàm số Y=(X+a) 4 +4m(X+a) 3 -2(X+a) 2 -12m(X+a) là hàm số chẵn. Ta có: Y=(X+a) 4 +4m(X+a) 3 -2(X+a) 2 -12m(X+a) =X 4 +4a 2 X 2 +a 4 +4aX 3 +2a 2 X 2 +4a 3 X+4m(X 3 +3X 2 a+3X a 2 +a 3 )- -2(X 2 +2Xa+a 2 )-12m(X+a) =X 4 +4(a+m)X 3 +2(3a 2 +6am-1)X 2 +4(a 3 +3ma 2 -a-3m)X+ 44 Chủ đề 5: Hàm số chẵn _- Trục đối xứng của đồ thị +a 4 +4ma 3 -2a 2 -12ma (1) Hàm số (1) là hàm số chẵn =+ =+ 0)m3ama3a(4 0)ma(4 23 m=1. Vậy, với m=1 đồ thị hàm sốtrục đối xứng song song với Oy. 2. Trục đối xứng dạng y=ax+b của đồ thị Định nghĩa 2: Đờng thẳng y=ax+b là trục đối xứng của đồ thị hàm số y=f(x) các đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng y=ax+b (có dạng y=- a 1 x+m) nếu cắt đồ thị tại A và B thì trung điểm I của AB phải thuộc đờng thẳng y=ax+b. Bài toán 3. CMR đờng thẳng (d): y=ax+b là trục đối xứng của đồ thị hàm số y=f(x). phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Gọi ()(d): y=ax+b phơng trình đờng thẳng (): y=- a 1 x+m. Bớc 2 : Giả sử () cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B. Khi đó hoành độ của A, B là nghiệm của phơng trình: f(x)= - a 1 x+m f(x)+ a 1 x-m=0 (1) Sử dụng hệ thức viét ta đợc + BA BA xx xx . Bớc 3 : Gọi I là trung điểm AB, ta có += + = mx a 1 y 2 xx x II BA I . Thay toạ độ của I vào (d) nhận xét I(d). 45 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số Bớc 4 : Vậy, đờng thẳng (d): y=ax+b là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Chú ý. Trong bài toán này ta không cần tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình (1) có nghiệm. Ví dụ 3 (Đề 114): Cho hàm số y= 1x 1x + . CMR đờng thẳng y=x+2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Giải. Đờng thẳng y=x+2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số các đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng y=x+2 (có dạng y=-x+m) nếu cắt đồ thị tại A và B thì trung điểm I của AB phải thuộc đờng thẳng y=x+2. Hoành độ giao điểm A, B là các nghiệm của phơng trình: 1x 1x + =-x+m x 2 -(m-2)x-1-m=0 (1) Giả sử x A , x B là các nghiệm của (1) thì: = =+ 1mxx 2mxx BA BA . Gọi I là trung điểm của AB, ta có: I += + = mxy 2 xx x II BA I I + = = 2 2m y 2 2m x I I . Thay toạ độ của I vào phơng trình đờng thẳng y=x+2, ta đợc: 2 2m + = 2 2m +2 0=0 (luôn đúng) I thuộc đờng thẳng y=x+2 Vậy, đờng thẳng y=x+2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Bài toán 4. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y=f(x) đối xứng qua đờng thẳng (d) có phơng trình: y=ax+b. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Tìm miền xác định D của hàm số y=f(x). Bớc 2 : Gọi ()(d): y=ax+b phơng trình (): y=- a 1 x+m. 46 Chủ đề 5: Hàm số chẵn _- Trục đối xứng của đồ thị Bớc 3 : Giả sử () cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B. Khi đó hoành độ của A, B là nghiệm của phơng trình: f(x)= - a 1 x+m f(x)+ a 1 x-m=0 (1) Để tồn tại A, B thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc D tham số . Sử dụng hệ thức viét ta đợc + BA BA xx xx . Bớc 4 : Gọi I là trung điểm AB, ta có += + = mx a 1 y 2 xx x II BA I . - Hai điểm A, B đối xứng qua đờng thẳng (d) I(d) m. - Thay m vào (1) ta có đợc hoành độ A, B là x A , x B . - Khi đó: A(x A , - a 1 x A +m) & B(x B , - a 1 x B +m). Ví dụ 4 (Đề 48/ĐHHH-99): Cho hàm số y= 1x x 2 . Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng thẳng (d): y=x-1. Giải. Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đờng thẳng (d) AB(d) và trung điểm I của AB thuộc (d). Vì AB(d): y=x-1 (AB): y=-x+m. Hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phơng trình: 1x x 2 =-x+m g(x)=2x 2 -(m+1)x+m=0 (1) Để A, B tồn tại thì phơng trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt g >0 (m+1) 2 -8m>0 m 2 -6m+1>0 m>3+ 8 hoặc m<3- 8 . Khi đó, giả sử x A , x B là các nghiệm của (1) thì: 47 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số = + =+ 2/mxx 2 1m xx BA BA . Gọi I là trung điểm của AB, ta có: I: += + = mxy 2 xx x II BA I I = + = 4 1m3 y 4 1m x I I . Điểm I(d) 4 1m3 = 4 1m + -1 m=-1. Với m=-1: (1) 2x 2 -1=0 = = 2/1x 2/1x B A + ) 2 1 1, 2 1 (B ) 2 1 1/, 2 1 (A . Bài toán 5. Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với (C): y=f(x) qua đờng thẳng y=a. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Gọi (H) là đờng cong đối xứng với (C): y=f(x) qua đờng y=a. Bớc 2 : Khi đó, với mỗi M(x, y)(H) M 1 (x 1 , y 1 )(C) sao cho M đối xứng với M 1 qua đờng thẳng y=a x 1 , y 1 thoả mãn: =+ = = a2yy xx )x(fy 1 1 11 (I) Bớc 3 : Khử x 1 , y 1 từ hệ (I) ta đợc phơng trình của đờng cong (H). Ví dụ 5 (HVKTQS - 99): Cho hàm số : y= 2x 2xx 2 + . Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với đồ thị hàm số (C) qua đờng thẳng y=2. 48 Chủ đề 5: Hàm số chẵn _- Trục đối xứng của đồ thị Giải. Gọi (H) là đờng cong đối xứng với (C) qua đờng thẳng y=2. Khi đó, với mỗi M(x, y)(H) M 1 (x 1 , y 1 )(C) với: y 1 = 2x 2xx 1 1 2 1 + (1) sao cho M đối xứng với M 1 qua đờng thẳng y=2 x 1 , y 1 thoả mãn: =+ = 4yy xx 1 1 = = y4y xx 1 1 . (I) Thay (I) vào (1), ta đợc:: y= 2x 6x3x 2 + . Vậy, đờng cong (H) có phơng trình : y= 2x 6x3x 2 + . II.Các bài toán chọn lọc Bài 1 (Đề 93): Tìm m để đồ thị hàm số y=x 4 +4x 3 +mx 2 có trục đối xứng song song với Oy. bài giải Giả sử đồ thị hàm sốtrục đối xứng song song với Oy là x=a (a0). Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: = = yY axX = += Yy aXx hàm số Y=(X+a) 4 +4(X+a) 3 +m(X+a) 2 là hàm số chẵn. Ta có: Y=(X+a) 4 +4(X+a) 3 +m(X+a) 2 =X 4 +4(a+1)X 3 +2(3a 2 +6a+m)X 2 +2(2a 3 +6a 2 +am)X+a 4 +4a 3 +ma 2 (1) Hàm số (1) là hàm số chẵn =++ =+ 0)ama6a2(2 0)1a(4 23 m=4. Vậy, với m=4 đồ thị hàm sốtrục đối xứng song song với Oy. 49 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số Bài 3 (ĐHY Hải phòng - 2000): Cho hàm số y= 1x x 2 + . Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng thẳng (d): y=x+1. bài giải A, B đối xứng nhau qua (d) AB(d) và trung điểm I của AB thuộc (d). Vì AB(d): y=x+1 (AB): y=-x+m. Hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phơng trình: 1x x 2 + =-x+m g(x)=2x 2 -(m-1)x-m=0 (1) Để A, B tồn tại thì phơng trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác -1 > 0)1(g 0 )g( (m-1) 2 +8m>0 m 2 +6m+1>0 < +> 83m 83m . Khi đó, giả sử x A , x B là các nghiệm của (1) thì: = =+ 2 m xx 2 1m xx BA BA . Gọi I là trung điểm của AB, ta có: I += + = mxy 2 xx x II BA I I = = 4 1m3 y 4 1m x I I . Điểm I(d) 4 1m3 = 4 1m +1 m=1. Với m=-1, (1) 2x 2 -1=0 = = 2 1 x 2 1 x B A + ) 2 1 1, 2 1 (B ) 2 1 1, 2 1 (A . 50 Chủ đề 5: Hàm số chẵn _- Trục đối xứng của đồ thị Bài 4 (ĐHD-2000): Cho hàm số y=f(x)=2x 3 -3(2m+1)x 2 +6m(m+1)x+1 (C m ). Với giá trị nào của m thì đồ thị (C m ) của hàm số có hai điểm cực trị đối xứng qua đờng thẳng (d): y=x+2. bài giải Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'=6x 2 -6(2m+1)x+6m(m+1). y'=0 6x 2 -6(2m+1)x+6m(m+1)=0 f(x)= x 2 -(2m+1)x+m(m+1)=0 (1) Hàm số có cực đại và cực tiểu (1) có hai nghiệm phân biệt >0 (2m+1) 2 -4m(m+1)>0 1>0 luôn đúng. Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt là += = 1mx mx 2 1 . Vậy toạ độ hai điểm cực đại và cực tiểu là: A(m, -m+1+m(m+1)(2m+1)), B(m+1, -m+m(m+1)(2m+1)). Khi đó hệ số góc của đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của hàm số đợc xác định bởi: k (AB) = BA BA xx yy = -1 Đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu vuông góc với đờng thẳng y=x+2. Gọi I là trung điểm AB, ta có: I: + = + = 2 yy y 2 xx x BA I BA I I: +++= + = 2 1 m)1m2)(1m(my 2 1m2 x I I . Để hai điểm cực trị đối xứng qua đờng thẳng (d) I(d) m(m+1)(2m+1)-m+ 2 1 = 2 1m2 + +2 (m+1)(2m 2 +m-2) = = 4 171 m 1m . Chú ý. Trong trờng hợp nghiệm phơng trình (1) chứa căn thức ta nên chọn phơng pháp sau: Thực hiện phép chia đa thức y cho y', ta đợc: y= 6 1 [2x-(2m+1)].y'+-x+1+m(m+1)(2m+1), nên nếu M(x 0 , y 0 ) là điểm cực trị của hàm số thì: y 0 =-x 0 +1+m(m+1)(2m+1). Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị là 51 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số (): y=-x+1+m(m+1)(2m+1). Gọi I là trung điểm AB, ta có: I ++++= + = )1m2)(1m(m1xy 2 xx x II BA I I ++++ + = + = )1m2)(1m(m1 2 1m2 y 2 1m2 x I I III. Bài tập đề nghị Bài tập 1. Xác định m để đồ thị hàm số y=x 4 +4mx 3 -2(m-1)x 2 -2mx+1 có trục đối xứng song song với Oy. Bài tập 2. Cho hàm số y= 2x 1xx 2 ++ . Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng thẳng (d): y=x+1. Bài tập 3. (Đề 66): Cho hàm số y= 2x2 4x3x 2 + . Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng thẳng (d): y=x. Bài tập 4. (ĐHD - 99): Giải thích tại sao phơng trình 1x 2x2x 2 + ++ =m(x+1) với m>1 có hai nghiệm phân biệt có tổng không đổi. 52 . Các bài toán mở đầu về hàm số = X 4 +4(a-1)X 3 +2(3a 2 -6 a-1)X 2 +4(a 3 -3 a 2 -a+3)X+a 4 -4 a 3 -2 a 2 +12a-1 (1) Hàm số (1) là hàm số chẵn =+ = 0)3aa3a(4. đồ thị hàm số y=x 4 -4 x 3 -2 x 2 +12x-1 có một trục đối xứng. Từ đó tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành. Giải. Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là

Ngày đăng: 27/08/2013, 12:08

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w