Chủ đề: Hàm số chẵn - Trục đối xứng

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

chủ đề 5 hàm số chẵn - Trục đối xứng của đồ thị I.Kiến thức cơ bản 1. Trục đối xứng thẳng đứng của đồ thị Định nghĩa 1: Đờng thẳng x=a là trục đối xứng của đồ thị y=f(x) với phép biến đổi toạ độ: = = yY axX = += Yy aXx hàm số Y=F(X) là hàm số chẵn. Bài toán 1 CMR đồ thị hàm số y=f(x) nhận đờng thẳng x=a làm trục đối xứng. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Với phép biến đổi toạ độ = = yY axX = += Yy aXx hàm số có dạng: Y=f(X+a) Y=F(X) (1) Bớc 2 : Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số chẵn. Bớc 3 : Vậy, đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x=a làm trục đối xứng. Ví dụ 1 (Đề 149): Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y=x 4 -4x 3 -2x 2 +12x-1 có một trục đối xứng. Từ đó tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành. Giải. Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x=a. Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: = = yY axX = += Yy aXx hàm số Y=(X+a) 4 -4(X+a) 3 -2(X+a) 2 +12(X+a)-1 là hàm số chẵn. Ta có:Y=(X+a) 4 -4(X+a) 3 -2(X+a) 2 +12(X+a)-1 =X 4 +4a 2 X 2 +a 4 +4aX 3 +2a 2 X 2 +4a 3 X-4(X 3 +3X 2 a+3X a 2 +a 3 )- -2(X 2 +2Xa+a 2 )+12(X+a)-1 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 43 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số = X 4 +4(a-1)X 3 +2(3a 2 -6a-1)X 2 +4(a 3 -3a 2 -a+3)X+a 4 -4a 3 -2a 2 +12a-1 (1) Hàm số (1) là hàm số chẵn =+ = 0)3aa3a(4 0)1a(4 23 a=1. Vậy, đồ thị hàm số có một trục đối xứng x=1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình: x 4 -4x 3 -2x 2 +12x-1=0 (2) Đặt x=X+1, phơng trình (2) có dạng: X 4 -8X 2 +6=0 X 2 =4 10 X= 104 x=1 104 . Vậy đồ thị hàm số cắt Ox tại bốn điểm có hoành độ x=1 104 . Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y=f(x) nhận đờng thẳng x=a làm trục đối xứng. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Với phép biến đổi toạ độ = = yY axX = += Yy aXx hàm số có dạng: Y=f(X+a) Y=F(X) (1) Bớc 2 : Đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x=a làm trục đối xứng hàm số (1) là hàm số chẵn tham số . Bớc 3 : Kết luận. Ví dụ 2 (Đề 27): Xác định m để đồ thị hàm số y=x 4 +4mx 3 -2x 2 -12mx có trục đối xứng song song với Oy. Giải. Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy là x=a (a0). Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: = = yY axX = += Yy aXx hàm số Y=(X+a) 4 +4m(X+a) 3 -2(X+a) 2 -12m(X+a) là hàm số chẵn. Ta có: Y=(X+a) 4 +4m(X+a) 3 -2(X+a) 2 -12m(X+a) =X 4 +4a 2 X 2 +a 4 +4aX 3 +2a 2 X 2 +4a 3 X+4m(X 3 +3X 2 a+3X a 2 +a 3 )- -2(X 2 +2Xa+a 2 )-12m(X+a) =X 4 +4(a+m)X 3 +2(3a 2 +6am-1)X 2 +4(a 3 +3ma 2 -a-3m)X+ 44 Chủ đề 5: Hàm số chẵn _- Trục đối xứng của đồ thị +a 4 +4ma 3 -2a 2 -12ma (1) Hàm số (1) là hàm số chẵn =+ =+ 0)m3ama3a(4 0)ma(4 23 m=1. Vậy, với m=1 đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy. 2. Trục đối xứng dạng y=ax+b của đồ thị Định nghĩa 2: Đờng thẳng y=ax+b là trục đối xứng của đồ thị hàm số y=f(x) các đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng y=ax+b (có dạng y=- a 1 x+m) nếu cắt đồ thị tại A và B thì trung điểm I của AB phải thuộc đờng thẳng y=ax+b. Bài toán 3. CMR đờng thẳng (d): y=ax+b là trục đối xứng của đồ thị hàm số y=f(x). phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Gọi ()(d): y=ax+b phơng trình đờng thẳng (): y=- a 1 x+m. Bớc 2 : Giả sử () cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B. Khi đó hoành độ của A, B là nghiệm của phơng trình: f(x)= - a 1 x+m f(x)+ a 1 x-m=0 (1) Sử dụng hệ thức viét ta đợc + BA BA xx xx . Bớc 3 : Gọi I là trung điểm AB, ta có += + = mx a 1 y 2 xx x II BA I . Thay toạ độ của I vào (d) nhận xét I(d). 45 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số Bớc 4 : Vậy, đờng thẳng (d): y=ax+b là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Chú ý. Trong bài toán này ta không cần tìm điều kiện của tham số m để ph- ơng trình (1) có nghiệm. Ví dụ 3 (Đề 114): Cho hàm số y= 1x 1x + . CMR đờng thẳng y=x+2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Giải. Đờng thẳng y=x+2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số các đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng y=x+2 (có dạng y=-x+m) nếu cắt đồ thị tại A và B thì trung điểm I của AB phải thuộc đờng thẳng y=x+2. Hoành độ giao điểm A, B là các nghiệm của phơng trình: 1x 1x + =-x+m x 2 -(m-2)x-1-m=0 (1) Giả sử x A , x B là các nghiệm của (1) thì: = =+ 1mxx 2mxx BA BA . Gọi I là trung điểm của AB, ta có: I += + = mxy 2 xx x II BA I I + = = 2 2m y 2 2m x I I . Thay toạ độ của I vào phơng trình đờng thẳng y=x+2, ta đợc: 2 2m + = 2 2m +2 0=0 (luôn đúng) I thuộc đờng thẳng y=x+2 Vậy, đờng thẳng y=x+2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Bài toán 4. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y=f(x) đối xứng qua đờng thẳng (d) có phơng trình: y=ax+b. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Tìm miền xác định D của hàm số y=f(x). Bớc 2 : Gọi ()(d): y=ax+b phơng trình (): y=- a 1 x+m. 46 Chủ đề 5: Hàm số chẵn _- Trục đối xứng của đồ thị Bớc 3 : Giả sử () cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B. Khi đó hoành độ của A, B là nghiệm của phơng trình: f(x)= - a 1 x+m f(x)+ a 1 x-m=0 (1) Để tồn tại A, B thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc D tham số . Sử dụng hệ thức viét ta đợc + BA BA xx xx . Bớc 4 : Gọi I là trung điểm AB, ta có += + = mx a 1 y 2 xx x II BA I . - Hai điểm A, B đối xứng qua đờng thẳng (d) I(d) m. - Thay m vào (1) ta có đợc hoành độ A, B là x A , x B . - Khi đó: A(x A , - a 1 x A +m) & B(x B , - a 1 x B +m). Ví dụ 4 (Đề 48/ĐHHH-99): Cho hàm số y= 1x x 2 . Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng thẳng (d): y=x-1. Giải. Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đờng thẳng (d) AB(d) và trung điểm I của AB thuộc (d). Vì AB(d): y=x-1 (AB): y=-x+m. Hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phơng trình: 1x x 2 =-x+m g(x)=2x 2 -(m+1)x+m=0 (1) Để A, B tồn tại thì phơng trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt g >0 (m+1) 2 -8m>0 m 2 -6m+1>0 m>3+ 8 hoặc m<3- 8 . Khi đó, giả sử x A , x B là các nghiệm của (1) thì: 47 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số = + =+ 2/mxx 2 1m xx BA BA . Gọi I là trung điểm của AB, ta có: I: += + = mxy 2 xx x II BA I I = + = 4 1m3 y 4 1m x I I . Điểm I(d) 4 1m3 = 4 1m + -1 m=-1. Với m=-1: (1) 2x 2 -1=0 = = 2/1x 2/1x B A + ) 2 1 1, 2 1 (B ) 2 1 1/, 2 1 (A . Bài toán 5. Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với (C): y=f(x) qua đờng thẳng y=a. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Gọi (H) là đờng cong đối xứng với (C): y=f(x) qua đờng y=a. Bớc 2 : Khi đó, với mỗi M(x, y)(H) M 1 (x 1 , y 1 )(C) sao cho M đối xứng với M 1 qua đờng thẳng y=a x 1 , y 1 thoả mãn: =+ = = a2yy xx )x(fy 1 1 11 (I) Bớc 3 : Khử x 1 , y 1 từ hệ (I) ta đợc phơng trình của đờng cong (H). Ví dụ 5 (HVKTQS - 99): Cho hàm số : y= 2x 2xx 2 + . Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với đồ thị hàm số (C) qua đờng thẳng y=2. 48 Chủ đề 5: Hàm số chẵn _- Trục đối xứng của đồ thị Giải. Gọi (H) là đờng cong đối xứng với (C) qua đờng thẳng y=2. Khi đó, với mỗi M(x, y)(H) M 1 (x 1 , y 1 )(C) với: y 1 = 2x 2xx 1 1 2 1 + (1) sao cho M đối xứng với M 1 qua đờng thẳng y=2 x 1 , y 1 thoả mãn: =+ = 4yy xx 1 1 = = y4y xx 1 1 . (I) Thay (I) vào (1), ta đợc:: y= 2x 6x3x 2 + . Vậy, đờng cong (H) có phơng trình : y= 2x 6x3x 2 + . II.Các bài toán chọn lọc Bài 1 (Đề 93): Tìm m để đồ thị hàm số y=x 4 +4x 3 +mx 2 có trục đối xứng song song với Oy. bài giải Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy là x=a (a0). Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: = = yY axX = += Yy aXx hàm số Y=(X+a) 4 +4(X+a) 3 +m(X+a) 2 là hàm số chẵn. Ta có: Y=(X+a) 4 +4(X+a) 3 +m(X+a) 2 =X 4 +4(a+1)X 3 +2(3a 2 +6a+m)X 2 +2(2a 3 +6a 2 +am)X+a 4 +4a 3 +ma 2 (1) Hàm số (1) là hàm số chẵn =++ =+ 0)ama6a2(2 0)1a(4 23 m=4. Vậy, với m=4 đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy. 49 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số Bài 3 (ĐHY Hải phòng - 2000): Cho hàm số y= 1x x 2 + . Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng thẳng (d): y=x+1. bài giải A, B đối xứng nhau qua (d) AB(d) và trung điểm I của AB thuộc (d). Vì AB(d): y=x+1 (AB): y=-x+m. Hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phơng trình: 1x x 2 + =-x+m g(x)=2x 2 -(m-1)x-m=0 (1) Để A, B tồn tại thì phơng trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác -1 > 0)1(g 0 )g( (m-1) 2 +8m>0 m 2 +6m+1>0 < +> 83m 83m . Khi đó, giả sử x A , x B là các nghiệm của (1) thì: = =+ 2 m xx 2 1m xx BA BA . Gọi I là trung điểm của AB, ta có: I += + = mxy 2 xx x II BA I I = = 4 1m3 y 4 1m x I I . Điểm I(d) 4 1m3 = 4 1m +1 m=1. Với m=-1, (1) 2x 2 -1=0 = = 2 1 x 2 1 x B A + ) 2 1 1, 2 1 (B ) 2 1 1, 2 1 (A . 50 Chủ đề 5: Hàm số chẵn _- Trục đối xứng của đồ thị Bài 4 (ĐHD-2000): Cho hàm số y=f(x)=2x 3 -3(2m+1)x 2 +6m(m+1)x+1 (C m ). Với giá trị nào của m thì đồ thị (C m ) của hàm số có hai điểm cực trị đối xứng qua đờng thẳng (d): y=x+2. bài giải Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'=6x 2 -6(2m+1)x+6m(m+1). y'=0 6x 2 -6(2m+1)x+6m(m+1)=0 f(x)= x 2 -(2m+1)x+m(m+1)=0 (1) Hàm số có cực đại và cực tiểu (1) có hai nghiệm phân biệt >0 (2m+1) 2 -4m(m+1)>0 1>0 luôn đúng. Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt là += = 1mx mx 2 1 . Vậy toạ độ hai điểm cực đại và cực tiểu là: A(m, -m+1+m(m+1)(2m+1)), B(m+1, -m+m(m+1)(2m+1)). Khi đó hệ số góc của đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của hàm số đợc xác định bởi: k (AB) = BA BA xx yy = -1 Đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu vuông góc với đờng thẳng y=x+2. Gọi I là trung điểm AB, ta có: I: + = + = 2 yy y 2 xx x BA I BA I I: +++= + = 2 1 m)1m2)(1m(my 2 1m2 x I I . Để hai điểm cực trị đối xứng qua đờng thẳng (d) I(d) m(m+1)(2m+1)-m+ 2 1 = 2 1m2 + +2 (m+1)(2m 2 +m-2) = = 4 171 m 1m . Chú ý. Trong trờng hợp nghiệm phơng trình (1) chứa căn thức ta nên chọn phơng pháp sau: Thực hiện phép chia đa thức y cho y', ta đợc: y= 6 1 [2x-(2m+1)].y'+-x+1+m(m+1)(2m+1), nên nếu M(x 0 , y 0 ) là điểm cực trị của hàm số thì: y 0 =-x 0 +1+m(m+1)(2m+1). Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị là 51 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số (): y=-x+1+m(m+1)(2m+1). Gọi I là trung điểm AB, ta có: I ++++= + = )1m2)(1m(m1xy 2 xx x II BA I I ++++ + = + = )1m2)(1m(m1 2 1m2 y 2 1m2 x I I III. Bài tập đề nghị Bài tập 1. Xác định m để đồ thị hàm số y=x 4 +4mx 3 -2(m-1)x 2 -2mx+1 có trục đối xứng song song với Oy. Bài tập 2. Cho hàm số y= 2x 1xx 2 ++ . Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng thẳng (d): y=x+1. Bài tập 3. (Đề 66): Cho hàm số y= 2x2 4x3x 2 + . Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng thẳng (d): y=x. Bài tập 4. (ĐHD - 99): Giải thích tại sao phơng trình 1x 2x2x 2 + ++ =m(x+1) với m>1 có hai nghiệm phân biệt có tổng không đổi. 52 . Các bài toán mở đầu về hàm số = X 4 +4(a-1)X 3 +2(3a 2 -6 a-1)X 2 +4(a 3 -3 a 2 -a+3)X+a 4 -4 a 3 -2 a 2 +12a-1 (1) Hàm số (1) là hàm số chẵn =+ = 0)3aa3a(4. đồ thị hàm số y=x 4 -4 x 3 -2 x 2 +12x-1 có một trục đối xứng. Từ đó tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành. Giải. Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là