Chủ đề: Cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN V: NG DNG O HM B. CC TR CA HM S Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức phụ trách. 1 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số chủ đề 7 cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối I. Kiến thức cơ bản Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối phơng pháp chung Sử dụng mở rộng của định lí 2 để tìm cực trị của hàm số: định lí 2 vẫn còn đúng nếu ta thay giả thiết bằng "f(x) liên tục tại x 0 và có đạo hàm trong các khoảng (a, x 0 ) và (x 0 , b) ". Cụ thể: x - a x 0 b + y' - m + y CT x - a x 0 b + y' + M - y CĐ Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số y=|-2x 2 +3x+5|. Giải. Hàm số: y=|-2x 2 +3x+5|= <> ++ 1xhoac2/5xkhi5x3x2 2/5x1khi5x3x2 2 2 . Miền xác định D=R. Hàm số liên tục tại x=-1 và x= 2 5 . Đạo hàm trong khoảng (-1, 2 5 ) là: y'=-4x+3 y'=0 -4x+3=0 x= 4 3 . Bảng xét dấu x - -1 3/4 5/2 + y' + 0 - Đạo hàm trong khoảng (-, -1) & ( 2 5 , +) là y'=4x-3. Ta có: y'<0 x(-, -1). 2 Chủ đề 7: Cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối Ta có: y'>0 x( 2 5 , +). Giới hạn: x lim y= + x lim y =+. Bảng biến thiên x - -1 3/4 5/2 + y' - + 0 - + y + CT 0 CĐ 49/8 CT 0 + Vậy: - Hàm số nghịch biến trên khoảng (-, -1)( 4 3 , 2 5 ). - Hàm số đồng biến trên khoảng (-1, 4 3 )( 2 5 , +). - Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1, x= 2 5 và giá trị cực tiểu y CT =0. - Hàm số đạt cực đại tại x= 4 3 và giá trị cực đại y CĐ = 8 49 . Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị phơng pháp chung Thực hiện phép xét dấu các biểu thức trong dấu trị tuyệt đối đa bài toán về các trờng hợp riêng. Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=2x+|x 2 -4x+4m| có cực đại. Giải. Nhận xét rằng hàm số y=ax 2 +bx+c có cực đại a<0 Xét g(x)= x 2 -4x+4m , ta có: '=4(1-m). Ta đi xét các trờng hợp sau: Trờng hợp 1 : '0 1-m 0 m1. Khi đó g(x)0 x, vậy hàm số có dạng: y=x 2 -2x+4m. Hàm số không thể có cực đại. Vậy không thoả mãn điều kiện đầu bài. Trờng hợp 2 : '>0 1-m >0 m<1. Khi đó phơng trình g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt là: x 1 , 2 =22 m1 . Ta có bảng xét dấu của g(x) nh sau: x - x 1 x 2 + g(x) + 0 - 0 + 1. Nếu xx 1 hoặc xx 2 hàm số có dạng y=x 2 -2x+4m. Miền xác định D=(-, x 1 ][x 2 , +). Hàm số không thể có cực đại. Vậy không thoả mãn điều kiện đầu bài. 3 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số 2. Nếu x 1 <x<x 2 hàm số có dạng y=-x 2 +6x-4m. Miền xác định D=(x 1 , x 2 ). Đạo hàm: y'=-2x+6 y'=0 -2x+6=0 x=3. Hàm số có cực đại khi x 1 <3<x 2 2-2 m1 <3<2+2 m1 2 1 < m1 m< 4 3 . Kết luận: với m< 4 3 hàm số có cực đại. II.Các bài toán chọn lọc Bài 1 Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số y=|x 2 +4x+3|. bài giải Hàm số: y=|x 2 +4x+3|= <>++ 3xhoac1xkhi3x4x 1x3khi3x4x 2 2 . Miền xác định D=R. Hàm số liên tục tại x=-1 và x=-3. Đạo hàm trong khoảng (-3, -1) là: y'=-2x-4 y'=0 -2x-4=0 x=-2. Bảng xét dấu x - -3 -2 -1 + y' + 0 - Đạo hàm trong khoảng (-, -3) & (-1, +) là y'=2x+4. Ta có: y'<0 x(-, -3). Ta có: y'>0 x(-1, +). Giới hạn: x lim y= + x lim y =+. Bảng biến thiên x - -3 -2 -1 + y' - + 0 - + y + CT 0 CĐ 1 CT 0 + Vậy: - Hàm số nghịch biến trên khoảng (-, -3)(-2, -1). - Hàm số đồng biến trên khoảng (-3, 2)(-1, +). - Hàm số đạt cực tiểu tại x=-3, x=-1 và giá trị cực tiểu y CT =0. 4 Chủ đề 7: Cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối - Hàm số đạt cực đại tại x=-2 và giá trị cực đại y CĐ =1. Bài 2 (Đề 112) : Tìm m để hàm số y=x+|x 2 -2x+m| có cực đại và số cực đại y CĐ <13. bài giải Nhận xét rằng hàm số y=ax 2 +bx+c có cực đại a<0 Xét g(x)= x 2 -2x+m , ta có: '=1-m. Ta đi xét các trờng hợp sau: Trờng hợp 1 : '0 1-m 0 m1. Khi đó g(x)0 x, vậy hàm số có dạng: y=x+x 2 -2x+m y=x 2 -x+m. Hàm số không thể có cực đại. Vậy không thoả mãn điều kiện đầu bài. Trờng hợp 2 : '>0 1-m >0 m<1. Khi đó phơng trình g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt là: x 1 =1- m1 và x 2 =1+ m1 . Ta có bảng xét dấu của g(x) nh sau: x - x 1 x 2 + g(x) + 0 - 0 + 1. Nếu xx 1 hoặc xx 2 hàm số có dạng y=x 2 -x+m. Miền xác định D=(-, x 1 ][x 2 , +). Hàm số không thể có cực đại. Vậy không thoả mãn điều kiện đầu bài. 2. Nếu x 1 <x<x 2 hàm số có dạng y=-x 2 +3x-m. Miền xác định D=(x 1 , x 2 ). Đạo hàm: y'=-2x+3 y'=0 -2x+3=0 x=3/2. Trớc hết hàm số có cực đại khi x 1 < 2 3 <x 2 1- m1 < 2 3 <1+ m1 2 1 < m1 m< 4 3 . Khi đó y CĐ =y( 2 3 )= 4 9 -m y CĐ <13 4 9 -m<13 m>- 4 43 . Kết luận: với - 4 43 <m< 4 3 hàm số có cực đại và số cực đại y CĐ <13. III. Bài tập đề nghị Bài tập 1. Tìm cực trị, nếu có, của các hàm số: a. y=|2x 2 -x-3|. b. y=|x 2 +3x+2|. 5 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số c. (Đề 96) : y= 1|x| 2|x|2x 2 + . Bài tập 2. Tìm m để hàm số y=|12x 2 +2(a+3)x+a | có cực tiểu. Bài tập 3. Tìm m để hàm số y=|mx 2 -2(m-1)x+m-2| có cực tiểu. Bài tập 4. Tìm m để hàm số y=x+|x 2 +2x+2m| có cực đại và số cực đại y CĐ <10. 6 . Đức phụ trách. 1 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số chủ đề 7 cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối I. Kiến thức cơ bản Bài toán 1 & ( 2 5 , +) là y'=4x-3. Ta có: y'<0 x(-, -1). 2 Chủ đề 7: Cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối Ta có: y'>0 x( 2 5 , +).