Chủ đề: Cực trị của hàm số mũ và logarit

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN V: NG DNG O HM B. CC TR CA HM S Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức phụ trách. 1 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số chủ đề 5 cực trị của hàm số mũ và logarit I. Kiến thức cơ bản Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số logarit. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Tìm miền xác định của hàm số. Bớc 2 : Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y'=0, giả sử có nghiệm x=x 0 . Bớc 3 : Xét hai khả năng: a. Khả năng 1. (Nếu xét đợc dấu của y'). Khi đó: Lập bảng biến thiên rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 2 b. Khả năng 2. (Nếu không xét đợc dấu của y'). Khi đó: Tìm đạo hàm y''. Tính y''(x 0 ) rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 3. Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số y=x.e x . Giải. Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'= e x +x. e x y'=0 e x +x. e x =0 e x (1+x)=0 x=-1. Giới hạn: x lim y=0 và + x lim y =+. Bảng biến thiên (lu ý dấu của y' chỉ phụ thuộc vào dấu của 1+x) x - -1 + y' - 0 + y 0 CT -e -1 + Vậy: - Hàm số đồng biến trong khoảng (-1, +). - Hàm số nghịch biến trong khoảng (-, -1). - Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 và giá trị cực tiểu y CT =- e 1 . Ví dụ 2: Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số y=x-lnx. Giải. Miền xác định D=(0, +). Đạo hàm: y'= 1- x 1 y'=0 x=1. Giới hạn: x lim y= + x lim y =+. Bảng biến thiên x - 0 1 + y' - 0 + + CT + 2 Chủ đề 5: Cực trị của hàm số mũ và logarit y 1 Vậy: - Hàm số đồng biến trong khoảng (1, +). - Hàm số nghịch biến trong khoảng (0, 1). - Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và giá trị cực tiểu y CT =1. Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị phơng pháp chung Ta có: Miền xác định D. Đạo hàm: y' & y''. a. Hàm số có cực trị hệ phơng trình sau có nghiệm thuộc D = 0''y 0'y . b. Hàm số có cực tiểu hệ phơng trình sau có nghiệm thuộc D > = 0''y 0'y . c. Hàm số có cực đại hệ phơng trình sau có nghiệm thuộc D < = 0''y 0'y . Chú ý : Nếu xét đợc dấu của y' ta nên sử dụng điều kiện có cực trị dựa trên định lý 2 trong phần mở đầu. Ví dụ 3: Hãy xác định a, b để hàm số y=ax 2 +6x+blnx đạt cực tiểu tại x=1 và cực đại tại x=2. Giải. Miền xác định D=(0, +). Đạo hàm: y'=2ax+6+ x b , y''=2a- 2 x b . Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và cực đại tại x=2 3 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số <= >= 0)2(''y&0)2('y 0)1(''y&0)1('y < =++ > =++ 0ba8 0b12a8 0ba2 0b6a2 = = 4b 1a . Vậy với a=-1 & b=-4 thoả mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 4: Cho hàm số y= 2 1 x 2 -mlnx. Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị hàm số. Giải. Miền xác định D=(0, +). Đạo hàm: y'=x- x m = x mx 2 y'=0 x 2 -m=0. (1) y"=1+ 2 x m Trờng hợp 1. Với m0 Khi đó y'0 xD hàm số không có cực trị. Trờng hợp 2. Với m>0 Phơng trình (1) có nghiệm x 1 = m & y"( m )=1>0 Vậy, hàm số đạt cực tiểu tại x 1 . Kết luận: Với m0, hàm số không có cực trị. Với m>0, hàm số đạt cực tiểu tại x 1 = m . II.Các bài toán chọn lọc Bài 1 (ĐHKT-2000): Hãy xác định các khoảng tăng, giảm, các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số y=xe -3x . bài giải Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'=e -3x -3xe -3x = e -3x (1-3x), y'=0 e -3x (1-3x)=0 x= 3 1 . Giới hạn: x lim y=-, + x lim y =0. Bảng biến thiên x - 1/3 + y' + 0 - y - 1/3e 0 Vây: 4 Chủ đề 5: Cực trị của hàm số mũ và logarit - Hàm số đồng biến trên khỏang (-, 3 1 ). - Hàm số nghịch biến trên khỏang ( 3 1 , +). - Hàm số đạt cực đại tại x= 3 1 và giá trị cực đại y max =y( 3 1 )= e3 1 . Bài 2 Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị hàm số : y= 2 1 (m-1)x 2 -mx+lnx. bài giải Miền xác định D=(0, +). Đạo hàm: y'=(m-1)x-m+ x 1 = x 1mxx)1m( 2 + y'=0 (m-1)x 2 -mx+1=0. (1) y"=m-1- 2 x 1 Trờng hợp 1. Với m-1=0 m=1 Phơng trình (1) có nghiệm x=1 & y"(1)=-1<0. Vậy, hàm số đạt cực đại tại x=1. Trờng hợp 2. Với m-1>0 m>1 Phơng trình (1) có nghiệm x 1 =1 x 2 = 1m 1 . Ta xét các khả năng: Khả năng 1. Nếu x 1 =x 2 1= 1m 1 m=2 (1) có nghiệm kép hàm số không có cực trị. Khả năng 2. Nếu x 1 >x 2 m>2. Ta có bảng xét dấu: x - 0 x 2 x 1 + y' 0 + 0 - 0 + Vậy, hàm số đạt cực tiểu tại x 1 & cực đại tại x 2 . Khả năng 3. Nếu x 1 <x 2 m<2. Ta có bẳng xét dấu: x - 0 x 1 x 2 + y' 0 + 0 - 0 + Vậy, hàm số đạt cực đại tại x 1 & cực tiểu tại x 2 . Trờng hợp 3. Với m-1<0 m<1 Phơng trình (1) có nghiệm x 1 =1 x 2 = 1m 1 (loại) & y"(1)=-1<0 Vậy, hàm số đạt cực đại tại x=1. Kết luận: Vớ m1, hàm số đạt cực đại tại x=1. 5 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số Vớ 1<m<2, hàm số đạt cực đại tại x 1 =1 & cực tiểu tại x 2 = 1m 1 . Vớ m=2, hàm số không có cực trị Vớ m>2, hàm số đạt cực tiểu tại x 1 =1 & cực đại tại x 2 = 1m 1 . III.Bài tập đề nghị Bài tập 1. Hãy xác định các khoảng tăng, giảm, các điểm cực đại và cực tiểu của các hàm số: a. y=x 2 -lnx. b. y=(x+1)e x . c. y= x xln . d. y= x e x . e. y= xx 2 e + . f. y= 2/x 2 e . Bài tập 2. Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị các hàm số: a. y= mx2 2 x 2 e + . b. y= 2 1 mx 2 -2x+(m+2)lnx. 6 . hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức phụ trách. 1 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số chủ đề 5 cực trị của hàm số mũ và logarit. 2 Chủ đề 5: Cực trị của hàm số mũ và logarit y 1 Vậy: - Hàm số đồng biến trong khoảng (1, +). - Hàm số nghịch biến trong khoảng (0, 1). - Hàm số đạt cực