Chủ đề: Cực trị của hàm số vô tỉ

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số

PHẦN V: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

B CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

chủ đề 4

cực trị của hàm vô tỉ

I Kiến thức cơ bản

Bài toán 1 Tìm cực trị của hàm vô tỉ.

phơng pháp chung

Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Tìm miền xác định của hàm số

Bớc 2: Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y'=0, giả sử có nghiệm x=x0 Bớc 3: Xét hai khả năng:

a Khả năng 1 (Nếu xét đợc dấu của y') Khi đó:

Lập bảng biến thiên rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 1

b Khả năng 2 (Nếu không xét đợc dấu của y') Khi đó:

 Tìm đạo hàm y''

 Tính y''(x0) rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 2

Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số y= 2

x x 2

3   Giải

Ta có điều kiện 3-2x-x20  -3x1

Vậy: D=[-3,1]

Đạo hàm: y'=

2

x x 3

x 1









suy ra y'=0  -1-x=0  x=-1

Bảng biến thiên

Vậy:

- Hàm số đồng biến trong khoảng (-3,-1)

- Hàm số nghịch biến trong khoảng (-1, 1)

- Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và giá trị cực đại yCĐ=2

Bài toán 2 Tìm m để hàm số y= ax2 bx c



 có cực trị

phơng pháp chung

Ta có:

 Tìm miền xác định D

 Đạo hàm: y'=

c bx ax 2

b ax 2

2  



, y'=0  f(x)=2ax+b=0 (1)

a Hàm số không có cực trị Ta xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1 Nếu a=0

Khi đó: y'=

c bx 2

b

 không đổi dấu

Vậy a=0 thoả mãn

Trờng hợp 2 Nếu a0

Khi đó (1) 

x=-a 2

b

Điều kiện là

-a 2

b không thuộc D

b Hàm số có cực trị  phơng trình (1) có nghiệm duy nhất thuộc D

 









D a 2 b 0 a

c Hàm số có cực tiểu  phơng trình (1) có nghiệm và qua đó y' đổi dấu từ

âm sang dơng

 









D a 2 b 0 a

d Hàm số có cực đại  phơng trình (1) có nghiệm và qua đó y' đổi dấu từ dơng sang âm

 









D a b 0 a

Ví dụ 2: Cho hàm số y=

1 x

a x

2

 Tìm a để:

a Hàm số không có cực trị

b Hàm số có cực trị

c Hàm số có cực tiểu

d Hàm số có cực đại

Giải

Miền xác định D=R

Đạo hàm: y'=

1 x ) 1 x (

1 ax

2





suy ra y'=0  1-ax=0 (1)

a Hàm số không có cực trị  phơng trình (1) vô nghiệm  a=0

b Hàm số có cực trị  phơng trình (1) có nghiệm  a0

c Hàm số có cực tiểu  phơng trình (1) có nghiệm và qua đó y' đổi dấu từ

âm sang dơng  a<0

d Hàm số có cực đại  phơng trình (1) có nghiệm và qua đó y' đổi dấu từ

d-ơng sang âm  a>0

Ví dụ 3: Cho hàm số y=-x+1-m 2

x

4  Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị hàm số

Giải

Miền xác định D=[-2, 2]

Đạo hàm:

y'=-1+

2

x 4

mx

) x 4 (

m 4

x

4  =mx  







4 x ) 1 m ( 0 mx

2

2  









 1 m 2 x

0 mx

2 (1) Trờng hợp 1 Với m=0,

Khi đó (1) có nghiệm x=2D, nhng hàm số không đạt cực trị tại x=2 bởi khi đó y''=0 x

Trờng hợp 2 Với m>0

Phơng trình (1) có nghiệm x1=

1 m

2

2

 D và y''(x1)>0

Vậy, hàm số đạt cực tiểu tại x1

Trờng hợp 3 Với m<0

Phơng trình (1) có nghiệm x2

=-1 m

2

2 D và y''(x2)<0

Vậy, hàm số đạt cực đại tại x1

Chú ý Phơng pháp đợc mở rộng cho lớp hàm: y=x++ ax2 bxc

Bài toán 3 Tìm m để hàm số y= x++ ax2 bxc có cực trị

phơng pháp chung

Ta đi:

 Tìm miền xác định D

 Đạo hàm: y'=+

c bx ax 2

b ax 2

2  



; y''=

3 2

2

) c bx ax ( 2

) b ac 4 (









a Hàm số không có cực trị

Ta xét hai khả năng:

Khả năng 1 Phơng trình y'=0 không có nghiệm thuộc D

Khả năng 2 y''=0  (4ac-b2)=0

b Hàm số có cực trị

 hệ 



 0 ) x ( ' y

0 ) x ( ' y

có nghiệm xD

c Hàm số có cực tiểu

 hệ 



 0 ) x ( ' y

0 ) x ( ' y

có nghiệm xD

d Hàm số có cực đại

 hệ 



 0 ) x ( ' y

0 ) x ( '

II.Các bài toán chọn lọc

Bài 1 (Đề 14): Tìm cực trị của hàm số y=-2x+3 x2 1

bài giải

Miền xác định: D=R

Đạo hàm:

y'=-2+3

1 x

x

2



=

1 x

1 x 2 x 3

2 2





y'=0  2 x2 1 =3x  x=

5

5

y''= 2 3/2

) 1 x

(

3

5

5

2 )>0

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=

5

2

và không có cực đại

Bài 2 (Đề 147): Tìm m để hàm số y=-2x+2+m x2  x5 có cực đại

bài giải

Miền xác định D=R

Đạo hàm:

y'=-2+m

5 x x

2 x

2  



và y''= 2 3/2

) 5 x x (

m



Dấu y'' phụ thuộc m nên điều kiện cần để hàm số có cực đại là m<0 Khi

đó hàm số có cực đại  phơng trình y'=0 có nghiệm

Ta có:

y'=0  2 x2  x5 = m(x-2)

 















2 2

2 x 5 ) m ( x 2 )

x

(

4

0 ) 2 x

(

m

 













4 ) 2 x )(

4 m ( 0 2 x

2

Do đó y'=0 có nghiệm



4 m

4

2  >0  







 2 m 2 m

Vậy hàm số có cực đại khi: m<-2

Khi đó hoành độ điểm cực đại là

x=2-4 m

2

2

III.Bài tập đề nghị

Bài tập 1. Tìm cực trị, nếu có, của các hàm số:

a y= x2  x5





c y=x+ x2 1

x

x 

e y=

1 x x

1 x



Bài tập 2. Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị các hàm số

a y=

1 x

a

x

2





b y=x+3-m x2 1

c y= x2  2mx1+2-m

Bài tập 3. (ĐHAN - 97) Xác định m để hàm số y=-2x+m x2 1 không có cực trị