Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số
PHẦN V: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
B CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2chủ đề 4
cực trị của hàm vô tỉ
I Kiến thức cơ bản
Bài toán 1 Tìm cực trị của hàm vô tỉ.
phơng pháp chung
Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tìm miền xác định của hàm số
Bớc 2: Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y'=0, giả sử có nghiệm x=x0 Bớc 3: Xét hai khả năng:
a Khả năng 1 (Nếu xét đợc dấu của y') Khi đó:
Lập bảng biến thiên rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 1
b Khả năng 2 (Nếu không xét đợc dấu của y') Khi đó:
Tìm đạo hàm y''
Tính y''(x0) rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 2
Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số y= 2
x x 2
3 Giải
Ta có điều kiện 3-2x-x20 -3x1
Vậy: D=[-3,1]
Đạo hàm: y'=
2
x x 3
x 1
suy ra y'=0 -1-x=0 x=-1
Bảng biến thiên
Vậy:
- Hàm số đồng biến trong khoảng (-3,-1)
- Hàm số nghịch biến trong khoảng (-1, 1)
- Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và giá trị cực đại yCĐ=2
Bài toán 2 Tìm m để hàm số y= ax2 bx c
có cực trị
phơng pháp chung
Ta có:
Tìm miền xác định D
Đạo hàm: y'=
c bx ax 2
b ax 2
2
, y'=0 f(x)=2ax+b=0 (1)
a Hàm số không có cực trị Ta xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1 Nếu a=0
Khi đó: y'=
c bx 2
b
không đổi dấu
Vậy a=0 thoả mãn
Trờng hợp 2 Nếu a0
Khi đó (1)
x=-a 2
b
Điều kiện là
-a 2
b không thuộc D
b Hàm số có cực trị phơng trình (1) có nghiệm duy nhất thuộc D
Trang 3
D a 2 b 0 a
c Hàm số có cực tiểu phơng trình (1) có nghiệm và qua đó y' đổi dấu từ
âm sang dơng
D a 2 b 0 a
d Hàm số có cực đại phơng trình (1) có nghiệm và qua đó y' đổi dấu từ dơng sang âm
D a b 0 a
Ví dụ 2: Cho hàm số y=
1 x
a x
2
Tìm a để:
a Hàm số không có cực trị
b Hàm số có cực trị
c Hàm số có cực tiểu
d Hàm số có cực đại
Giải
Miền xác định D=R
Đạo hàm: y'=
1 x ) 1 x (
1 ax
2
suy ra y'=0 1-ax=0 (1)
a Hàm số không có cực trị phơng trình (1) vô nghiệm a=0
b Hàm số có cực trị phơng trình (1) có nghiệm a0
c Hàm số có cực tiểu phơng trình (1) có nghiệm và qua đó y' đổi dấu từ
âm sang dơng a<0
d Hàm số có cực đại phơng trình (1) có nghiệm và qua đó y' đổi dấu từ
d-ơng sang âm a>0
Ví dụ 3: Cho hàm số y=-x+1-m 2
x
4 Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị hàm số
Giải
Miền xác định D=[-2, 2]
Đạo hàm:
y'=-1+
2
x 4
mx
) x 4 (
m 4
x
4 =mx
4 x ) 1 m ( 0 mx
2
2
1 m 2 x
0 mx
2 (1) Trờng hợp 1 Với m=0,
Khi đó (1) có nghiệm x=2D, nhng hàm số không đạt cực trị tại x=2 bởi khi đó y''=0 x
Trờng hợp 2 Với m>0
Phơng trình (1) có nghiệm x1=
1 m
2
2
D và y''(x1)>0
Vậy, hàm số đạt cực tiểu tại x1
Trờng hợp 3 Với m<0
Phơng trình (1) có nghiệm x2
=-1 m
2
2 D và y''(x2)<0
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x1
Chú ý Phơng pháp đợc mở rộng cho lớp hàm: y=x++ ax2 bxc
Bài toán 3 Tìm m để hàm số y= x++ ax2 bxc có cực trị
phơng pháp chung
Trang 4Ta đi:
Tìm miền xác định D
Đạo hàm: y'=+
c bx ax 2
b ax 2
2
; y''=
3 2
2
) c bx ax ( 2
) b ac 4 (
a Hàm số không có cực trị
Ta xét hai khả năng:
Khả năng 1 Phơng trình y'=0 không có nghiệm thuộc D
Khả năng 2 y''=0 (4ac-b2)=0
b Hàm số có cực trị
hệ
0 ) x ( ' y
0 ) x ( ' y
có nghiệm xD
c Hàm số có cực tiểu
hệ
0 ) x ( ' y
0 ) x ( ' y
có nghiệm xD
d Hàm số có cực đại
hệ
0 ) x ( ' y
0 ) x ( '
II.Các bài toán chọn lọc
Bài 1 (Đề 14): Tìm cực trị của hàm số y=-2x+3 x2 1
bài giải
Miền xác định: D=R
Đạo hàm:
y'=-2+3
1 x
x
2
=
1 x
1 x 2 x 3
2 2
y'=0 2 x2 1 =3x x=
5
5
y''= 2 3/2
) 1 x
(
3
5
5
2 )>0
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=
5
2
và không có cực đại
Bài 2 (Đề 147): Tìm m để hàm số y=-2x+2+m x2 x5 có cực đại
bài giải
Miền xác định D=R
Đạo hàm:
y'=-2+m
5 x x
2 x
2
và y''= 2 3/2
) 5 x x (
m
Dấu y'' phụ thuộc m nên điều kiện cần để hàm số có cực đại là m<0 Khi
đó hàm số có cực đại phơng trình y'=0 có nghiệm
Ta có:
y'=0 2 x2 x5 = m(x-2)
2 2
2 x 5 ) m ( x 2 )
x
(
4
0 ) 2 x
(
m
4 ) 2 x )(
4 m ( 0 2 x
2
Do đó y'=0 có nghiệm
4 m
4
2 >0
2 m 2 m
Vậy hàm số có cực đại khi: m<-2
Trang 5Khi đó hoành độ điểm cực đại là
x=2-4 m
2
2
III.Bài tập đề nghị
Bài tập 1. Tìm cực trị, nếu có, của các hàm số:
a y= x2 x5
c y=x+ x2 1
x
x
e y=
1 x x
1 x
Bài tập 2. Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị các hàm số
a y=
1 x
a
x
2
b y=x+3-m x2 1
c y= x2 2mx1+2-m
Bài tập 3. (ĐHAN - 97) Xác định m để hàm số y=-2x+m x2 1 không có cực trị
