Chủ đề: Cực trị của hàm số hữu tỉ

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN V: NG DNG O HM B. CC TR CA HM S Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức phụ trách. 1 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số chủ đề 3 cực trị của hàm hữu tỉ và các bài toán liên quan I. Kiến thức cơ bản 1. Cực trị của hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số y= edx cbxax 2 + ++ . phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Miền xác định D=R\{- d e }. Bớc 2 : Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y'=0. Bớc 3 : Lập bảng biến thiên rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 1 Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số y= 1x 2x2x 2 + . Giải. Miền xác định D=R\{1}. Đạo hàm: y'= 2 2 )1x( x2x y'=0 x 2 -2x=0 x =0 hoặc x=2. Giới hạn: x lim y= 1x lim y=- ; + x lim y = + 1x lim y= +. Bảng biến thiên x - 0 1 2 + y' + 0 - - 0 + y - CĐ -2 + - 2 CT + Vậy: - Hàm số đồng biến trong các khoảng (-, 0) và (2, +). - Hàm số nghịch biến trong các khoảng (0, 1) và (1, 2). - Hàm số đạt cực đại tại x=0 và giá trị cực đại y CĐ =-2. - Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và giá trị cực tiểu y CT =2. Nhận xét: Trong trờng hợp hàm phân thức có cực đại và cực tiểu thì y CĐ < y CT , điều này khẳng định sự khác biệt giữa khái niệm về cực đại, cực tiểu và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . Bài toán 2. Cho hàm số y=f(x, m)= edx cbxax 2 + ++ . Tìm điều kiện để hàm số có cực trị phơng pháp chung Ta có: 2 Chủ đề 3: Cực trị của hàm hữu tỉ và các bài toán liên quan Miền xác định D=R\{- d e }. Đạo hàm: y'= 2 2 )edx( cdbeaex2adx + ++ = 2 2 )edx( CBxAx + ++ , y'=0 g(x)=Ax 2 +Bx+C=0 (1) Dấu của đạo hàm là dấu của tam thức g(x). a. Hàm số không có cực trị. Ta xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1 . Nếu A=0. Khi đó: y'= 2 )edx( CBx + + . Điều kiện là y' không đổi dấu = 0C 0B . Trờng hợp 2 . Nếu A0. Điều kiện là y' không đổi dấu g 0. b. Hàm số có cực trị Trờng hợp 1 . Nếu A=0. Khi đó: y'= 2 )edx( CBx + + . Điều kiện là B0. Trờng hợp 2 . Nếu A0. Điều kiện là phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt > 0 0A . c. Hàm số có cực đại, cực tiểu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác - d e > 0)d/e(g 0 0A . d. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mãn điều kiện K. Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1 : Hàm số có cực đại, cực tiểu 3 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác - d e > 0)d/e(g 0 0A . Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức Viet Bớc 2 : Kiểm tra điều kiện K. e. Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác - d e trong khoảng I. f. Hàm số có cực đại trong khoảng I. Ta xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1 . Nếu A=0. Khi đó: (1) Bx+C=0. (2) Điều kiện là (2) có nghiệm duy nhất khác - d e thuộc I và qua đó y' đổi dấu từ dơng sang âm < I B C d e 0B . Trờng hợp 2 . Nếu A0. Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1 : Hàm số có cực đại phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt > 0 0A . Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 <x 2 . Bớc 2 : Tuỳ theo A ta lập bảng biến thiên của hàm số. Từ bảng biến thiên suy ra hoành độ điểm cực đại: x CĐ . Bớc 3 : Hàm số có cực đại trong khoảng I x CĐ I. Tơng tự cho trờng hợp cực tiểu. g. Hàm số có cực đại, cực tiểu và x CĐ <x CT 4 Chủ đề 3: Cực trị của hàm hữu tỉ và các bài toán liên quan (1) có hai nghiệm phân biệt khác - d e và A>0 > > 0)d/e(g 0 0A . h. Hàm số có cực đại, cực tiểu và x CĐ >x CT (1) có hai nghiệm phân biệt khác - d e và A<0 > < 0)d/e(g 0 0A . i. Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 > = 0)x(''y 0)x('y Dx 0 0 0 . j. Hàm số đạt cực đại tại x 0 < = 0)x(''y 0)x('y Dx 0 0 0 . Ví dụ 2: Cho hàm số y= 1mx 2mxx 2 + . Xác định m để: a. Hàm số có cực trị. b. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mãn x 1 +x 2 =4x 1 x 2 . c. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dơng. Giải. Miền xác định D=R\{ m 1 }. Đạo hàm: 5 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số y'= 2 2 )1mx( mx2mx + , y'=0 f(x)=mx 2 -2x+m=0. (1) a. Xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1 . Nếu m=0. Khi đó: y'=-2x , y'=0 x=0. Vì qua x=0 y' đổi dấu, do đó m=0 thoả mãn. Trờng hợp 2 . Nếu m0. Điều kiện là phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt > 0' 0a > 0m1 0m 2 < 1|m| 0m . b. Trớc hết hàm số có cực đại, cực tiểu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác m 1 > 0)m/1(f 0' 0a > 0m/1m 0m1 0m 2 < 1|m| 0m . (*) Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn: = =+ 1x.x m 2 xx 21 21 . Vậy: x 1 +x 2 =4x 1 x 2 m 2 =4 m= 2 1 thoả mãn điều kiện (*). c. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dơng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt dơng khác m 1 6 Chủ đề 3: Cực trị của hàm hữu tỉ và các bài toán liên quan < > > 0)m/1(f 2/S0 0)0(af 0' 0a > > > 0m/1m 0m/1 0m 0m1 0m 2 2 0<m<1. Ví dụ 3: Cho hàm số y= mx 1mxx 2 + ++ . Xác định m để: a. Hàm số có cực tiểu trong khoảng (0, m) với m>0. b. Hàm số đạt cực đại tại x=2. Giải. Miền xác định D=R\{-m}. Đạo hàm: y'= 2 22 )mx( 1mmx2x + ++ , y'=0 f(x)=x 2 +2mx+m 2 -1=0 (1) y''= 4 )mx( m2x2 + + . a. Trớc hết hàm số có cực đại, cực tiểu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -m > 0)m(f 0' > 01 01 m. Khi đó: (1) có hai nghiệm phân biệt: x 1,2 =-m1. Bảng biến thiên: x - x 1 -m x 2 + y' - 0 + + 0 - y + CT + - CĐ - Hàm số có cực đại trong khoảng (0, m) 0<-m+1<m 2 1 <m<1. b. Hàm số đạt cực đại tại x=2 < = 0)2(''y 0)2('y D2 <+ =++ 0m24 03m4m m2 2 m=-3. Vậy với m=-3 hàm số đạt cực đại tại x=2. 7 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số Định lí 4. (Đề 127): Cho hàm số y= )x(v )x(u . CMR nếu y'(x 0 )=0 và v'(x 0 )0 thì ta có: y(x 0 )= )x(v )x(u 0 0 = )x('v )x('u 0 0 Chứng minh. Ta có: y'= )x(v )x('v)x(u)x(v)x('u 2 , y'(x 0 )=0 )x(v )x('v)x(u)x(v)x('u 0 2 0000 =0 u'(x 0 ).v(x 0 )= u(x 0 ).v'(x 0 ) (vì v'(x 0 )0) )x('v )x('u 0 0 = )x(v )x(u 0 0 = y(x 0 ) Chú ý. Kết quả của định lí 4 đợc áp dụng cho các bài toán dạng sau: Bài toán 3. Cho hàm số y= edx cbxax 2 + ++ . Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số . phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Tìm miền xác định của hàm số. Bớc 2 : Tính đạo hàm y', thiết lập phơng trình y'=0, giả sử là f(x)=0. (1) Bớc 3 : Hàm số có cực đại và cực tiểu (1) có hai nghiệm phân biệt khác - d e > 0)d/e(f 0 0ad . Bớc 4 : Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . Ta có lập luận: Gọi (x 0 , y 0 ) là toạ độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì y'(x 0 )=0. Do đó: y 0 =y(x 0 )= edx cbxax 0 0 2 0 + ++ = d bax2 0 + . Thấy ngay toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thoả: y= d bax2 + . Vậy đờng thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị có dạng: y= d bax2 + . 8 Chủ đề 3: Cực trị của hàm hữu tỉ và các bài toán liên quan Ví dụ 4: Cho hàm số y= mx mmx2x 2 + + . Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. Giải. Miền xác định D=R\{-m}. Đạo hàm: y'= 2 22 )mx( mm2mx2x + + , y'=0 f(x)=x 2 +2mx-2m 2 -m=0 (1) Hàm số có cực đại và cực tiểu (1) có hai nghiệm phân biệt khác -m > 0' 0)m(f >+ 0mm3 0mm3 2 2 < > 3 1 m 0m . Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . Ta có lập luận: - Gọi (x 0 , y 0 ) là toạ độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì y'(x 0 )=0. Do đó: y 0 =y(x 0 )= mx mmx2x 0 0 2 0 + + =2x 0 -2m. - Toạ độ các điểm cực đại và cực tiểu cùng thoả mãn y=2x-2m. Vậy đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị có dạng y=2x-2m. Bài toán 4. Cho hàm số y= edx cbxax 2 + ++ = )x(v )x(u . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu thoả mãn tính chất K. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Tìm miền xác định của hàm số. Bớc 2 : Tính đạo hàm y', thiết lập phơng trình y'=0, giả sử là f(x)=0. (1) Bớc 3 : Hàm số có cực đại và cực tiểu (1) có hai nghiệm phân biệt khác - d e > 0)d/e(f 0 0ad . Bớc 4 : Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn : + 21 21 xx xx (Viét). 9 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số Bớc 5 : Toạ độ các điểm cực đại và cực tiểu là: A(x 1 , )x('v )x('u 1 1 ); B(x 2 , )x('v )x('u 2 2 ). Bớc 6 : Kiểm tra A, B thoả mãn tính chất K. Ví dụ 5 (Đề 127): Chứng tỏ rằng nếu hàm số y= 2x 2mx3x2 2 + ++ đạt cực đại tại x 1 và cực tiểu tại x 2 thì ta có: |y(x 1 )- y(x 2 )|=4|x 1 -x 2 |. Giải. Miền xác định D=R\{-2}. Đạo hàm: y'= 2 2 )2x( 8mx8x2 + ++ y'=0 f(x)=2x 2 +8x-m+8=0 (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có hai nghiệm phân biệt khác -2 > 0' 0)2(f > 0m2 0m m>0. Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . Ta có: - Nếu (x 0 , y 0 ) là toạ độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì y'(x 0 )=0. Do đó: y 0 =y(x 0 )= )x(v )x(u 0 0 = )x('v )x('u 0 0 =4x 0 +3 y(x 1 )=4x 1 +3 và y(x 2 )=4x 2 +3. Từ đó: |y(x 1 )- y(x 2 )| = |4x 1 -4x 2 | = 4|x 1 -x 2 | (đpcm). Ví dụ 6: Cho hàm số y= m2x m3mx2x 22 + . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm về hai phía đối với trục Ox. Giải. Miền xác định D=R\{1}. Đạo hàm: y'= 2 22 )m2x( mmx4x + y'=0 f(x)=x 2 -4mx+m 2 =0. (1) Hàm số có cực trị phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt > 0' 0)m2(f > 0m3 0m3 2 2 m0. (2) 10 . y'=2x -3- 2 x m y'=0 2x -3- 2 x m =0 2x 3 -3x 2 =m (1) Hàm số có ba điểm cực trị (1) có ba nghiệm phân biệt đồ thị hàm số y=2x 3 -3x 2 cắt đờng. 2 + c. y= 2x3x 1 2 + d. y= 2 x 1x . e. y= 1x 2x 2 + . f. y= 3xx2 3x4x 2 2 + . g. y= 1xx2 2x3x 2 2 + + h. y= 1x 4x4x 2 + i. y= 2x3x 1x3 2 + . j. y=