Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số
PHẦN V: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
B CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2chủ đề 3
cực trị của hàm hữu tỉ
và các bài toán liên quan
I Kiến thức cơ bản
1 Cực trị của hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất
Bài toán 1 Tìm cực trị của hàm số y=
e dx
c bx
ax2
phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Miền xác định
D=R\{-d
e }
Bớc 2: Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y'=0
Bớc 3: Lập bảng biến thiên rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 1
Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số y=
1 x
2 x
x2
Giải
Miền xác định D=R\{1}
Đạo hàm:
2
) 1 x
(
x 2 x
y'=0 x2-2x=0 x =0 hoặc x=2
Giới hạn:
xlim y=
1
xlim y=- ;
xlim y =
1
xlim y= +.
Bảng biến thiên
Vậy:
- Hàm số đồng biến trong các khoảng (-, 0) và (2, +)
- Hàm số nghịch biến trong các khoảng (0, 1) và (1, 2)
- Hàm số đạt cực đại tại x=0 và giá trị cực đại yCĐ=-2
- Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và giá trị cực tiểu yCT=2
Nhận xét: Trong trờng hợp hàm phân thức có cực đại và cực tiểu thì yCĐ
< yCT , điều này khẳng định sự khác biệt giữa khái niệm về cực đại, cực tiểu và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Bài toán 2 Cho hàm số y=f(x, m)=
e dx
c bx
ax2
Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
phơng pháp chung
Ta có:
Miền xác định
D=R\{-d
e }.
Đạo hàm:
2
) e dx (
cd be aex 2 adx
2
) e dx (
C Bx Ax
,
Dấu của đạo hàm là dấu của tam thức g(x)
Trang 3a Hàm số không có cực trị Ta xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1 Nếu A=0
) e dx (
C Bx
Điều kiện là y' không đổi dấu
0 C 0
Trờng hợp 2 Nếu A0
Điều kiện là y' không đổi dấu g0
b Hàm số có cực trị
Trờng hợp 1 Nếu A=0
) e dx (
C Bx
Điều kiện là B0
Trờng hợp 2 Nếu A0
Điều kiện là phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
0 0 A
c Hàm số có cực đại, cực tiểu
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác
-d e
0 ) d / e ( g
0 A
d Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mãn điều kiện K Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác
-d e
0 ) d / e ( g 0 A
Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức Viet Bớc 2: Kiểm tra điều kiện K
e Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác
-d
e trong khoảng I
f Hàm số có cực đại trong khoảng I Ta xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1 Nếu A=0
Khi đó:
Điều kiện là (2) có nghiệm duy nhất khác
-d
e thuộc I và qua đó y' đổi dấu
từ dơng sang âm
I B C d
e
0
B
Trờng hợp 2 Nếu A0
Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Hàm số có cực đại
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
0 0
Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1<x2
Trang 4Bớc 2: Tuỳ theo A ta lập bảng biến thiên của hàm số.
Từ bảng biến thiên suy ra hoành độ điểm cực đại: xCĐ
Bớc 3: Hàm số có cực đại trong khoảng I xCĐI
Tơng tự cho trờng hợp cực tiểu
g Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ<xCT
(1) có hai nghiệm phân biệt khác
-d
e
và A>0
0 ) d / e ( g
0 A
h Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ>xCT
(1) có hai nghiệm phân biệt khác
-d
e
và A<0
0 ) d / e ( g
0 A
i Hàm số đạt cực tiểu tại x0
0 )
x ( ' y
0 )
x ( ' y
D x
0 0
j Hàm số đạt cực đại tại x0
0 )
x ( ' y
0 )
x ( ' y
D x
0 0
Ví dụ 2: Cho hàm số y=
1 mx
2 mx
x2
Xác định m để:
a Hàm số có cực trị
b Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mãn x1+x2=4x1x2
c Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dơng
Giải
Miền xác định D=R\{
m
1 }
Đạo hàm:
2
) 1 mx
(
m x mx
, y'=0 f(x)=mx2-2x+m=0 (1)
a Xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1 Nếu m=0
Khi đó: y'=-2x , y'=0 x=0
Vì qua x=0 y' đổi dấu, do đó m=0 thoả mãn
Trờng hợp 2 Nếu m0
Điều kiện là phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
0 ' 0 a
0 m 1 0 m
2
1
| m
|
0 m
b Trớc hết hàm số có cực đại, cực tiểu
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác
m 1
0 ) m / 1 ( 0 ' 0 a
0 m / 1 m
0 m
1
0 m
1
|
m
|
0
m
Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn:
1 x
.
x
m
2 x
x
2 1
2 1
Trang 5
Vậy: x1+x2=4x1x2
m
2
=4 m=
2
1 thoả mãn điều kiện (*)
c Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dơng
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt dơng khác
m 1
0 )
m / 1 (
f
2 / S 0
0 )
0 ( af
0 '
0 a
0 m
/ 1 m
0 m
/
1
0 m
0 m
1
0 m
2
2
0<m<1
Ví dụ 3: Cho hàm số y=
m x
1 mx
x2
Xác định m để:
a Hàm số có cực tiểu trong khoảng (0, m) với m>0
b Hàm số đạt cực đại tại x=2
Giải
Miền xác định D=R\{-m}
Đạo hàm:
2 2
) m x (
1 m mx 2 x
, y'=0 f(x)=x2+2mx+m2-1=0 (1)
) m x
(
m 2 x
a Trớc hết hàm số có cực đại, cực tiểu
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -m
0 ) m (
0 '
0 1 0 1
m
Khi đó: (1) có hai nghiệm phân biệt: x1,2=-m1
Bảng biến thiên:
Hàm số có cực đại trong khoảng (0, m) 0<-m+1<m
2
1
<m<1
b Hàm số đạt cực đại tại x=2
0 )
2 ( ' y
0 )
2 ( ' y
D 2
0 m 2 4
0 3 m 4 m
m 2
m=-3
Vậy với m=-3 hàm số đạt cực đại tại x=2
Định lí 4 (Đề 127): Cho hàm số y=
) x ( v
) x ( u
CMR nếu y'(x0)=0 và v'(x0)0 thì ta có: y(x0)=
) x ( v
) x ( u
0
0 =
) x ( ' v
) x ( ' u
0 0
Chứng minh
Ta có:
y'=
) x ( v
) x ( ' v ) x ( u ) x ( v ) x ( '
u
2
,
y'(x0)=0
) x ( v
) x ( ' v ) x ( u ) x ( v ) x ( ' u
0 2
0 0 0
=0
Trang 6 u'(x0).v(x0)= u(x0).v'(x0) (vì v'(x0)0)
) x (
'
v
) x (
'
u
0
0 =
) x ( v
) x ( u
0
0 = y(x0)
Chú ý Kết quả của định lí 4 đợc áp dụng cho các bài toán dạng sau:
Bài toán 3 Cho hàm số y=
e dx
c bx
ax2
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tìm miền xác định của hàm số
Bớc 2: Tính đạo hàm y', thiết lập phơng trình y'=0, giả sử là f(x)=0 (1) Bớc 3: Hàm số có cực đại và cực tiểu
(1) có hai nghiệm phân biệt khác
-d
e
0 ) d / e (
0 0 ad
Bớc 4: Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Ta có lập luận:
Gọi (x0, y0) là toạ độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì y'(x0)=0
Do đó:
y0=y(x0)=
e dx
c bx ax
0 0
2 0
= d
b ax
2 0
Thấy ngay toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thoả: y=
d
b ax
Vậy đờng thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị có dạng:
y=
d
b ax
Ví dụ 4: Cho hàm số y=
m x
m mx 2
x2
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị Giải
Miền xác định D=R\{-m}
Đạo hàm:
2 2
) m x (
m m 2 mx 2 x
,
Hàm số có cực đại và cực tiểu (1) có hai nghiệm phân biệt khác -m
0 '
0 ) m (
0 m m
3
0 m m
3
2 2
3
1 m
0 m
Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Ta có lập luận:
- Gọi (x0, y0) là toạ độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì y'(x0)=0
Do đó:
y0=y(x0)=
m x
m mx 2 x
0 0
2 0
=2x0-2m
Trang 7- Toạ độ các điểm cực đại và cực tiểu cùng thoả mãn y=2x-2m
Vậy đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị có dạng y=2x-2m
Bài toán 4 Cho hàm số y=
e dx
c bx
ax2
) x ( v
) x ( u Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu thoả mãn tính chất K
phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tìm miền xác định của hàm số
Bớc 2: Tính đạo hàm y', thiết lập phơng trình y'=0, giả sử là f(x)=0 (1) Bớc 3: Hàm số có cực đại và cực tiểu
(1) có hai nghiệm phân biệt khác
-d
e
0 ) d / e (
0 0 ad
Bớc 4: Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn :
2 1 2 1
x x x x
(Viét)
Bớc 5: Toạ độ các điểm cực đại và cực tiểu là: A(x1,
) x ( ' v
) x ( ' u
1
1 ); B(x2,
)
x
(
'
v
)
x
(
'
u
2
2 )
Bớc 6: Kiểm tra A, B thoả mãn tính chất K
Ví dụ 5 (Đề 127): Chứng tỏ rằng nếu hàm số y=
2 x
2 m x
x2
tại x1 và cực tiểu tại x2 thì ta có: |y(x1)- y(x2)|=4|x1-x2|
Giải
Miền xác định D=R\{-2}
Đạo hàm:
2
) 2 x (
8 m x x
y'=0 f(x)=2x2+8x-m+8=0 (1)
Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có hai nghiệm phân biệt khác -2
0 '
0 ) 2 (
f
0 m 2
0 m
m>0
Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Ta có:
- Nếu (x0, y0) là toạ độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì y'(x0)=0
Do đó:
y0=y(x0)=
) x ( v
) x ( u
0
0 =
) x ( ' v
) x ( ' u
0
0 =4x0+3 y(x1)=4x1+3 và y(x2)=4x2+3
Từ đó:
|y(x1)- y(x2)| = |4x1-4x2| = 4|x1-x2| (đpcm)
Ví dụ 6: Cho hàm số y=
m 2 x
m 3 mx 2
Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm về hai phía đối với trục Ox
Giải
Miền xác định D=R\{1}
Đạo hàm:
Trang 8y'= 2
2 2
) m 2 x (
m mx 4 x
y'=0 f(x)=x2-4mx+m2=0 (1)
Hàm số có cực trị phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
0 '
0 ) m 2 (
0 m 3
0 m 3
2 2
m0
(2) Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:
2 2
1
2 1
m x
.
x
m 4 x x
Ta có: nếu (x0, y0) là toạ độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì y'(x0)=0 Do đó:
y0=y(x0)=
m 2 x
m 3 mx 2 x
0
2 0
2 0
=2x0-2m
y(x1)= 2x1-2m và y(x2)= 2x2-2m
Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục Ox
y(x1)y(x2)<0 (2x1-2m)(2x2-2m)<0 4[xx1.x2-m(x1+x2)+m2] <0
m0
Vậy với m0 thoả mãn điều kiện đầu bài
Chú ý Bài toán trên có thể đợc giải đơn giản hơn bằng cách lập luận:
Ycbt
nghiem vo
0 y
m 2 khac biet phan nghiem hai
co 0 ' y
2 Cực trị của các hàm hữu tỉ khác
Bài toán 5 Tìm cực trị của hàm hữu tỉ khác.
phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tìm miền xác định D
Bớc 2: Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y'=0
Bớc 3: Lập bảng biến thiên rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 1
Ví dụ 7: Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số y=
1 x x
1 x x
2 2
Giải
Miền xác định D=R
Đạo hàm:
2
) 1 x x
(
2 x
y'=0 2x2-2=0 x=1
Giới hạn:
x
lim y=1.
Bảng biến thiên
y -
CĐ
3
1/3 CT
+
Trang 9- Hàm số đồng biến trong các khoảng (-, -1) và (1, +)
- Hàm số nghịch biến trong khoảng (-1, 1)
- Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và giá trị cực đại yCĐ=3
- Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và giá trị cực tiểu yCT=
3
1
Bài toán 6 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
y=
f ex dx
c bx ax
2 2
phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tìm miền xác định D
Bớc 2: Tính đạo hàm y', thiết lập phơng trình y'=0, giả sử là f(x)=0 (1) Bớc 3: Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc D Bớc 4: Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Ta có lập luận:
Gọi (x0, y0) là toạ độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì:
e dx 2
b ax 2 y
f ex dx
c bx ax
y
0 0 0
0 2 0 2
0
b ax 2 y ) e dx
2
(
c bx ax y ) ex dx
(
0 0
0
0 2 0 0
2
(I)
Từ (I) ta rút ra đợc: Ax0+By0+C=0
Thấy rằng toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thoả:
Ax+By+C=0
Vậy đờng thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị có dạng:
Ax+By+C=0
Ví dụ 8: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ
thị hàm số
y=
1 x
1 mx 2 x
2 2
Giải
Miền xác định D=R\{-1, 1}
Đạo hàm:
2
) 1 x (
m 2 x mx 2
, y'=0 -2mx2+4x+2m=0 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
0 '
0 )
1 ( f
0 m
0 m
4 4
0 4 0 m
Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu
Ta có lập luận:
Gọi (x0, y0) là toạ độ điểm cực trị của đồ thị thì:
Trang 10
0 0 0
2 0 2
0
x 2 m 2 x 2 y
1 x
1 mx 2 x y
) 3 ( m
2 x
2
y
x
2
) 2 ( 1 mx 2 x y
)
1
x
(
0 0
0
0 2
0
2
Nhân (3) với
2
x0 rồi trừ cho (2) ta đợc: mx0+y0-1=0
Thấy ngay toạ độ các điểm cực đại và cực tiểu cùng thoả mãn mx+y-1=0 Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị có dạng mx+y-1=0
II Các bài toán chọn lọc
Bài 1 (ĐHCĐ-99): Xác định m để hàm số y=
m x
m mx 2
x2
có cực trị
bài giải
Miền xác định D=R\{-m}
2 2
) m x (
m m 2 mx 2 x
, y'=0 x2+2mx+2m2+m=0
(1)
Hàm số có cực trị phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -m
0 ) m (
0 '
0 m m
0 m m
2 2
-1<m<0
Vậy với -1<m<0 hàm số có cực trị
Bài 2 (ĐHAN/Khối A-99): Cho hàm số y=
1 x
8 m mx
x2
Xác định các giá trị của m để
điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số ở về hai phía đờng thẳng 9x-7y-1=0
bài giải
Miền xác định D=R\{1}
Đạo hàm:
2
) 1 x
(
8 x x
, y'=0 x2-2x-8=0
4 x 2 x
Vậy đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu
Bảng biến thiên
- Hàm số đạt cực tiểu tại x=4 và yCT=m+8, khi đó điểm cực tiểu A(4,m+8)
- Hàm số đạt cực đại tại x=-2 và yCĐ=m-4, khi đó điểm cực đại B(-2,m-4) Hai điểm A, B ở về hai phía đờng thẳng 9x-7y-1=0
(9xA-7yA-1)( 9xB-7yB-1)<0 (9-7m)(-21-7m)<0 -3<m<
7
9
Vậy, với -3<m<
7
9 thoả mãn điều kiện đầu bài
Bài 3 (Đề 145): Cho hàm số y=
m x
m m 4 x ) 1 m (
Trang 11một điểm cực trị thuộc góc phần t thứ (II), một điểm cực trị thuộc góc phần t thứ (IV).
bài giải
Miền xác định D=R\{-m}
3 2
2
) m x (
m 3 x m 2 mx
y'=0 f(x)=mx2+2m2x-3m3=0 (1) Hàm số có hai cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt khác -m
0 ) m ( f
0 ' 0 m
m0
Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1=m, x2=-3m và toạ độ hai
điểm cực trị là: A(m, 3m2+1); B(-3m, 5m2-1)
Để hàm số có một điểm cực trị thuộc góc phần t thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần t thứ (IV) ta phải có:
) IV ( P B
) II ( P A
0 1 m 5
&
0 m 3
0 1 m 3
&
0 m
2 2
-5
1
<m<0
Vậy với
-5
1
<m<0 thoả mãn điều kiện đầu bài
Chú ý Bài toán có thể đợc giải bằng lập luận:
Ycbt
nghiem vo
0 y
m 2 dau trai nghiem 2
co 0 ' y
Bài 4 (Đề 42): Cho hàm số y=
1 x
1 m 2 mx 3
mx2
Xác định các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm về hai phía đối với trục Ox
bài giải
Miền xác định D=R\{1}
Đạo hàm: y'=
2 2
) 1 x (
1 m 5 mx 2 mx
y'=0 mx2-2mx-5m-1=0 (1) Hàm số có cực trị phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
0 )
1 ( f
0 '
0 m
0 1 m 6
0 m m
6
0 m
6
1
m
0
m
Cách 1 áp dụng kết quả của định lí 4
Với điều kiện (2) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả :
m 1 m 5 x
.
x
2 x
x
2
1
2 1
Ta có: nếu (x0, y0) là toạ độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì y'(x0)=0 Do đó: y0=y(x0)=
1 x
1 m 2 mx 3 mx
0 0
2 0
=2x0+3m
y(x1)=2mx1+3m và y(x2)= 2mx2+3m
Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục Ox
y(x1)y(x2)<0 ( 2mx1+3m)( 2mx2+3m)<0
m2[x4x1.x2+6( x1+x2)+9]<0 m2-4m<0 0<m<4 (3) Kết hợp (2) và (3) ta đợc 0<m<4
Vậy với 0<m<4 thoả mãn điều kiện đầu bài
Cách 2 Sử dụng đồ thị.
Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục Ox
y=0 vô nghiệm mx2+3mx+2m+1=0 vô nghiệm (*)
<0 9m2-4m(2m+1)<0 m2-4m<0 0<m<4 (3') Kết hợp (2) và (3') ta đợc 0<m<4
Vậy với 0<m<4 thoả mãn điều kiện đầu bài
