Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số
PHẦN V: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
B CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2chủ đề 2
cực trị của hàm đa thức bậc bốn
và các bài toán liên quan
I Kiến thức cơ bản
1 Tìm cực trị của hàm số
Bài toán 1 Tìm cực trị của hàm đa thức bậc 4
phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Miền xác định D=R
Bớc 2: Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y'=0 (bằng cách khéo léo
nhẩm đợc một nghiệm x0 rồi đa phơng trình y'=0 về dạng
(x-x0)g(x)=0)
Bớc 3: Lập bảng biến thiên rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 1
Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số y=x4-2x2-1
Giải
Miền xác định D=R
Đạo hàm: y'=4x3-4x, y'=0 4x3-4x=0 x =0 x=1
Giới hạn:
xlim y =+.
Bảng biến thiên
Vậy:
- Hàm số đồng biến trong các khoảng (-1, 0) và (1, +)
- Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-, -1) và (0, 1)
- Hàm số đạt cực đại tại x=0 và giá trị cực đại yCĐ=-1
- Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm:
Tại x=-1 và giá trị cực tiểu yCT=-2
Tại x=1 và giá trị cực tiểu yCT=-2
Chú ý: Nếu hàm số chứa tham số thì sự biến thiên còn phụ thuộc tham số.
Ví dụ 2 (Đề 2): Cho m Z+, hãy tìm cực trị của hàm số: y=xm.(4-x)2
Giải
Miền xác định: D=R
Đạo hàm:
y'= mxm-1.(4-x)2-2 xm.(4-x)= xm-1.(4-x)[4m-(m+2)x],
y'=0 xm-1.(4-x)[4m-(m+2)x]=0
Ta xét các trờng hợp sau:
Trờng hợp 1: m=1
Khi đó: y'=0 (4-x)(4-3x)=0 x1=
3
4 hoặc x2=4
Ta có bảng biến thiên
Vậy:
- Hàm số đạt cực đại tại x1=
3
4
và giá trị cực đại yCĐ=
27
256
- Hàm số đạt cực tiểu tại x2=4 và giá trị cực tiểu yCT=0
Trờng hợp 2: m2
Trang 3Khi đó: y'=0 x1=0, x2=
2 m
m 4
và x3=4 (có x1<x2<x3)
Ta xét hai khả năng:
Khả năng 1: m-1 chẵn
Khi đó dấu của y' là dấu của (4-x)[4m-(m+2)x]
Ta có bảng biến thiên
2 m m 4
Vậy:
- Hàm số đạt cực đại tại x2=
2 m
m 4
và yCĐ= m 2
4 m m
) 2 m (
4 m
- Hàm số đạt cực tiểu tại x3=4 và yCT=0
Khả năng 2: m-1 lẻ
Khi đó dấu của y' là dấu của x(4-x)[4m-(m+2)x]
Ta có bảng biến thiên
2 m m 4
Vậy:
- Hàm số đạt cực đại tại x2=
2 m
m 4
và yCĐ= m 2
4 m m
) 2 m (
4 m
- Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x1=0 và x3=4 và yCT=0
2 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán 2 Cho hàm số y=f(x, m)= ax4+bx3+cx2+dx+e Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
phơng pháp chung
Ta có:
Miền xác định D=R
Đạo hàm: y'=4ax3+3bx2+2cx+d, y'=0 4ax3+3bx2+2cx+d=0 (1)
a Hàm số không có cực trị
y' không đổi dấu
bb00&&c0&0d0 0
a
) 1 (
b Hàm số có cực đại, cực tiểu (hoặc hàm số có ba điểm cực trị)
phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt
Lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1 Nếu (1) (x-x0).g(x)=0 thì điều kiện là: g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt khác x0
0 ) x (
g
0
0 g
Cách 2 Phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt
Đồ thị hàm số y=4ax3+3bx2+2cx+d cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là
Hàm số y=4ax3+3bx2+2cx+d có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT<0
y'=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và y(x1)y(x2)<0
0 ) x ( y ) x
(
y
0 '
y
2
c Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mãn điều kiện K Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu
phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt
Trang 4Khi đó (1) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thoả mãn hệ thức Viet
Bớc 2: Kiểm tra điều kiện K
d Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I
phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt trong khoảng I
e Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu
phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt và a>0
f Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu
phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt và a<0
g Hàm số chỉ có một cực trị
Nếu (1) (x-x0).g(x)=0 thì điều kiện là:
0 ) x (
g
kep nghiem 0
) x (
g
nghiem vo
0 ) x (
g
0
0 ) x ( g
0
0
g
h Hàm số chỉ có cực đại và không có cực tiểu Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Biến đổi phơng trình (1) về dạng: (x-x0).g(x)=0
Bớc 2: Hàm số chỉ có cực đại và không có cực tiểu
0 ) x ( g 0 0 a
0
i Hàm số đạt cực tiểu tại x0
0 ) x ( ' y
0 ) x ( ' y
0
j Hàm số đạt cực đại tại x0
0 ) x ( ' y
0 ) x ( ' y
0
Ví dụ 3: Cho hàm số y=x4+8mx3+3(1+2m)x2-4 Xác định m để:
a Hàm số có cực đại, cực tiểu với tổng bình phơng các hoành độ bằng 27
b Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ không âm
c (Đề 131): Hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại
Giải
Miền xác định D=R
Đạo hàm: y'= 4x3+24mx2+6(1+2m)x=2x[2x2+12mx+3(1+2m)]
y'=0
) 1 ( 0 ) m 2 1 ( 3 mx 12 x ) x (
0 x
a Trớc hết: hàm số có cực đại, cực tiểu
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0 ) 0 ( 0
0 ) m 2 1 ( 3
0 6 m 12 m
36 2
6
7 1
m
2
1
6
7
1
m
Khi đó: (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:
2 ) m 2 1 ( 3 x x
m 6 x x
2 1
2 1
Tổng bình phơng hoành độ các cực trị bằng 27
x +21 x +022 2=27 (x1+x2)2-2x1x2=27 36m2-3(1+2m)=27
6 / 5 m 1 m
b Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ không âm
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt dơng
Trang 5
0 2
/ S
0 )
0 ( af
0
f
0 m
6
0 ) m 2
1
(
3
0 6 m 12 m
6
7 1 m 2
c Ta xét các trờng hợp sau:
Trờng hợp 1: f(x)0 x
'f 0 36m2-12m-60
6
7
6
7
Khi đó, dấu của y' chỉ phụ thuộc vào dấu của 2x
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại
Trờng hợp 2: f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1<x2
Khi đó hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại x1=0 hoặc x2=0
0 ) 0 (
0 ' f
0 ) m 2 1 ( 3
0 6 m 12 m
36 2
m=-2 1
Trang 6Tóm lại: với
2
1
m
6
7 1 m 6
7 1
hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại
3 Đờng cong đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
Bài toán 3: Cho hàm số y=ax4+bx3+cx2+dx+e Giả sử hàm số có ba điểm cực trị Hãy xác định phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số
phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Miền xác định D=R
Bớc 2: Đạo hàm: y'=4ax3+3bx2+2cx+d, y'=0 4ax3+3bx2+2cx+d =0 (1) Bớc 3: Hàm số có ba cực trị (1) có ba nghiệm phân biệt
Bớc 4: Khi đó phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3
Bớc 5: Để xác định phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số, ta thực hiện theo cách sau:
Thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta đợc: y=y'.g(x)+h(x)
Ta có: gọi (x0, y0) là toạ độ điểm cực trị của đồ thị thì y'(x0)=0
Do đó: y0=y(x0)=y'(x0).g(x0)+h(x0)= h(x0)
Thấy ngay rằng toạ độ các điểm cực trị cùng thoả mãn: y0= h(x0) Vậy phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng: y=h(x)
Ví dụ 4: Cho hàm số y=x4+(m+1)x2+1
a Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
b Xác định phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số
Giải
Miền xác định D=R
Đạo hàm: y'=4x3+4(m+1)x
4x(x2+m+1)=0
) 2 ( 0 1 m x ) x (
0 x
2
a Hàm số có cực đại, cực tiểu
(2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m+1<0 m<-1
b Để xác định phơng trình Parabol đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của
đồ thị hàm số, ta thực hiện theo cách sau:
Thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta đợc: y=
4
1 x.y'+
2
1
m
x2+1 Gọi (x0, y0) là toạ độ điểm cực trị của đồ thị thì y'(x0)=0 Do đó:
y0=y(x0)=
4
1 x.y'(x0)+
2
1
0
x +1=
2
1
0
x +1
Thấy ngay rằng toạ độ các điểm cực trị cùng thoả mãn: y=
2
1
m
x2+1
Vậy với mỗi m<-1 các điểm cực trị của đồ thị thuộc Parabol: y=
2
1
m
x2+1
Trang 74 Xác định các thuộc tính của điểm cực trị
Bài toán 4 Cho hàm số y=f(x, m)= ax4+bx3+cx2+dx+e Xác định m để điểm cực trị của đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện K
phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Ta có:
Miền xác định D=R
Đạo hàm: y'=4ax3+3bx2+cx+d, y'=0 4ax3+3bx2+2cx+d =0 (1) Bớc 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có ba nghiệm phân biệt
Khi đó (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thoả mãn hệ thức Viet :
a 4 / d x
x x
a 4 / c 2 x
x x
x x
x
a 4 / b 3 x
x x
3 2 1
1 3 3
2 2
1
3 2
1
Lu ý: Nếu y' phân tích đợc thành y'=(x-x1)(Ax2+Bx+C), ta có:
A / C x x
A / B x
x
3 2 3 2
Bớc 3: Thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta đợc: y=y'.g(x)+h(x)
Do đó: y1=y(x1)=h(x1) , y2=y(x2)=h(x2) & y3=y(x3)=h(x3)
Vậy toạ độ các điểm cực trị là A(x1, y1), B(x2, y2) & C(x3, y3)
Bớc 4: Kiểm tra điều kiện K
Ví dụ 5: Cho hàm số y=x4+4x3-2mx2-12mx
a Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
b Gọi A(x1, y1), B(x2, y2) & C(x3, y3) là các điểm cực trị Xác định m để
y1+y2+y3
-9
1
Giải
Xét hàm số y= x4+4x3-2mx2-12mx
Miền xác định D=R
Đạo hàm: y'=4x3+12x2-4mx-12m,
(x+3)(x2-m)=0
) 2 ( 0 m x ) x (
3 x
2 1
a Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có ba nghiệm phân biệt
(2) có hai nghiệm phân biệt khác -3
0 ) 3 ( 0 m
0<m9 Khi đó (1) có ba nghiệm phân biệt x1=-3, x2, x3 thoả mãn hệ thức Viet :
m x
x
0 x x
3 2
3
Thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta đợc:
y=(
4
1
x+
4
1 ).y'-(2m+3)x2-8mx+3m
Do đó: y1=y(-3)=9m-27,
y2=y(x2)= -(2m+3) 2
2
x -8mx2+3m ,
y3=y(x3)= -(2m+3) 2
3
x -8mx3+3m
Vậy toạ độ các điểm cực trị là A(x1, y1), B(x2, y2) & C(x3, y3)
b Ta có:
y1+y2+y3
-9
1
x 2 2
x 2 3
x
=9m-27-(2m+3)( 2
2
x + 2 3
x )-8m(x2+x3
)+6m-9
4 (-3)2 2 2
x 2 3
x
Trang 8)+6m-9
4 (-3)2 2 2
x 2 3
x
=9m-27-2m(2m+3)+6m-4m2=21m-27-8m2 Vậy:
(*) 8m2-21m+13=0 m=1 m=
8
13
II.Các bài toán chọn lọc
Bài 1 (ĐH Kiến Trúc-99): Cho hàm số y=kx4+(k-1)x2+1-2k
Xác định các giá trị của tham số k để hàm số chỉ có một điểm cực trị
bài giải
Miền xác định D=R
Đạo hàm: y'= 4kx3+2(k-1)x=2x(2kx2+k-1)
y'=0 2x(2kx2+k-1)=0
0 1 k kx 2 ) x (
0 x
2
Hàm số chỉ có một điểm cực trị
0 ) 0
(
nghiem vo
0 ) x
(
(I)
Trờng hợp 1: f(x)=0 vô nghiệm
Với k=0, ta có f(x)=0 -1=0 mâu thuẫn
Vậy với k=0 phơng trình f(x)=0 vô nghiệm
Với k0, ta có f(x)=0 vô nghiệm
<0 -8k(k-1)<0
0 k 1 k
Vậy hàm số chỉ có một điểm cực trị khi k1 k0
Bài 2 CMR các điểm cực trị của hàm số : y=
4
1
x4-x3-3x2+8x nằm trên một Parabol xác định
bài giải
Miền xác định D=R
Đạo hàm:
y'=x3-3x2-6x+8, y'=0 x3-3x2-6x+8=0 x1=-2, x2=1, x3=4
Đó chính là hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu
Để xác định phơng trình Parabol đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của
đồ thị hàm số, ta thực hiện theo cách sau:
Thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta đợc : y=
4
1
y'(x-1)-4
9
x2+ 2
9 x+2 Gọi (x0, y0) là toạ độ điểm cực trị của đồ thị thì y'(x0)=0 Do đó:
y0=y(x0)=y'(x0).(x0
-1)-4
0
x + 2
9 x+2=-4
0
x +
2
9
x+2
Thấy ngay rằng toạ độ các điểm cực trị cùng thoả mãn phơng trình:
y=-4
9
x2+ 2
9 x+2
Vậy Parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị là:
y=-4
9
x2+ 2
9 x+2
Bài 3 (HVQHQT - 97): Xác định m để hàm số y= x4-2mx2+2m+m4 có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều
Trang 9bài giải
Miền xác định D=R
Đạo hàm:
y'= 4x3-4mx=4x(x2-m),
Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có ba nghiệm phân biệt m>0
Khi đó: (1) có ba nghiệm phân biệt x=0, x= m và toạ độ ba điểm cực trị:
A(0, 2m+m4), B(- m , m4-m2+2m) , C( m , m4-m2+2m)
Ta có: ABC đều
BC AB
) ld ( AC AB
AB2=AC2 m=3 3 Vậy, với m=3 3 thoả mãn điều kiện đầu bài
III Bài tập đề nghị
Bài tập 1 Tìm cực trị, nếu có, của các hàm số:
a y=
4
1
x4-x3+ 3 b y=
2
1
x4-3x2+
2
5
c y=x4-4x3-2x2+12x-1
Bài tập 2 Tìm m để hàm số
a y=x4+(m-1)x2+1-m chỉ có một điểm cực trị
b (Đề 121/ĐHY TP.HCM -94): y=x4+(m+3)x3+2(m+1)x2 có cực đại Chứng minh điểm cực đại của đồ thị không thể có hoành độ dơng
Bài tập 3 (Đề 30): Tìm m để hàm số y=x4+4mx3+3(m+1)x+1 chỉ có một cực tiểu và không có cực đại
Bài tập 4 Tìm m để hàm số y=x4-6x2+4x+6 có 3 cực trị khi đó viết phơng trình Parabol (P) đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số