Chủ đề: Các dạng giới hạn của hàm số

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN II: GII HN CA HM S Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức 1 Phần II: Giới hạn của hàm số chủ đề 2 các dạng giới hạn của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. Giới hạn dạng 0 0 Bài toán 1. Tính giới hạn dạng 0 0 phơng pháp chung Bản chất của việc khử dạng không xác định 0 0 là làm xuất hiện nhân tử chung để : - Hoặc là khử nhân tử chung để đa về dạng xác định. - Hoặc đa giới hạn về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc đã biết rõ kết quả hoặc cách giải. Ghí chú: Nếu phơng trình f(x) = 0 có nghiệm x 0 thì f(x) = (x x 0 ).g(x). Liên hợp của biểu thức: a b là a + b a b là a + b . 3 a b là 3 2 a + b 3 a + b 2 3 a + b là 3 2 a b 3 a + b 2 ). 1.1. Nếu )x(g )x(f là hàm đại số Ví dụ 1: Tính giới hạn 1x lim 1x 1x 2 . Giải. Phân tích để khử dạng 0 0 . Ta có: 1x lim 1x 1x 2 = 1x lim 1x )1x)(1x( + = 1x lim (x + 1) = 2. Ví dụ 2: Tính giới hạn 1x lim 3x2x 38x 2 + + . Giải. Nhân liên hợp cho tử số và phân tích mẫu số để khử dạng 0 0 . Ta có: 1x lim 3x2x 38x 2 + + = 1x lim )3x)(1x)(38x( 1x +++ = 1x lim )3x)(38x( 1 +++ = 24 1 Ví dụ 3: Tính giới hạn 2x lim 2x 2x4 3 . 2 Chủ đề 2: Các dạng giới hạn của hàm số Giải. Nhân liên hợp bậc ba để khử dạng 0 0 . Ta có: 2x lim 2x 2x4 3 = 2x lim )2x](4x4)x4[( 8x4 3 2 3 ++ = 2x lim 4x42)x4( 4 3 2 3 ++ = 3 1 . Chú ý : Trong các bài tập khó, trong các đề thi tuyển vào đại học, các hạng tử cấu thành nhân tử chung thờng thiếu vắng. Để giải quyết bài toán, điểm mẫu chốt là khôi phục các hạng tử thiếu vắng đó. Việc khôi phục, gọi lại các hạng tử đó bằng phơng pháp có tên là phơng pháp gọi hằng số vắng. Bài toán 2. Phơng pháp gọi số hạng vắng phơng pháp chung Ta có hai phơng pháp Phơng pháp 1. (Phơng pháp hệ số bất định) Giả sử F(x) = )x(g )x(f . Thuật toán tìm số hạng vắng trong của giới hạn dạng 0 0 của hàm chứa căn thức gồm hai bớc: Bớc 1. Phân tích F(x) = )x(g )x(f = )x(g c)x(f 1 )x(g c)x(f 2 . Bớc 2. (Tìm c). Gọi x 1 , ., x k là nghiệm của g(x) = 0. Khi đó c là nghiệm của hệ: == == 0)x(f& .&0)x(f 0)x(f& .&0)x(f k212 k111 . Với c tìm đợc thì: 0 xx lim )x(g c)x(f 1 và 0 xx lim )x(g c)x(f 2 hoặc là dạng xác định, hoặc là dạng quen thuộc. Việc tìm các giới hạn này đơn giản. Chú ý. Bằng cách đặt ẩn phụ t = n ax1 + , dễ dàng chứng minh 0x lim x 1ax1 n + = n a . (*) Phơng pháp 2. 3 Phần II: Giới hạn của hàm số Để tìm 0 xx lim F(x) với F(x) = )x(g )x(f chúng ta thêm bớt P(x) vào f(x) làm xuất hiện dạng x 1ax1 n + ; đã " xng danh " trong biểu thức giới hạn. Nhân tử chung trong phơng pháp này không giản ớc. Khi tìm giới hạn thì limP(x) là một số xác định. Ví dụ 4: Tìm A = 1x lim F(x) với F(x) = 1x 7xx5 2 3 23 + . Giải. Viết lại giới hạn dới dạng: 1x lim 1x 7xx5 2 3 23 + = 1x lim 1x )27x()2x5( 2 3 23 + = 1x lim ( 1x 2x5 2 3 1x 27x 2 3 2 + ). Trong đó: 1x lim 1x 2x5 2 3 = 1x lim )2x5)(1x( 4x5 32 3 + = 1x lim )2x5)(1x( )1xx( 3 2 ++ ++ = 8 3 . 1x lim 1x 27x 2 3 2 + = 1x lim ]47x2)7x)[(1x( 87x 3 22 3 22 2 ++++ + = 1x lim 47x2)7x( 1 3 22 3 2 ++++ = 12 1 . Vậy, ta đợc A = 8 3 12 1 = 24 11 . Đánh giá: Trong lời giải trên ta đã thêm bớt 2 vào tử thức của F(x). Ba câu hỏi đặt ra: (1). Tại sao phải có số 2 ? (2). Tại sao lại là số 2 ? (3). Tìm số 2 nh thế nào ? Trả lời ba câu hỏi đó ta có phơng pháp giải loại toán này. Trả lời câu hỏi 3: để tìm số 2, ta đa ra thuật toán gọi số hạng vắng: Bớc 1. cR ta có: 1x 7xx5 2 3 23 + = 1x cx5 2 3 1x c7x 2 3 2 + . Bớc 2. Trong các số c đó, ta tìm số c sao cho x 2 1 cùng nhân tử chung với f 1 (x) = 3 x5 c và f 2 (x) = 3 2 7x + c. 4 Chủ đề 2: Các dạng giới hạn của hàm số Điều đó xảy ra khi và chỉ khi c là nghiệm của hệ: = = 0)1(f 0)1(f 2 1 c = 2. Đáp số c = 2 là câu trả lời cho câu hỏi 1 và 2. Ví dụ 5: Tìm A = 0x lim F(x) với F(x) = x 2001x21)2001x( 7 2 + . Giải. Ta có: 0x lim x 2001x21)2001x( 7 2 + = 0x lim [(x 2 + 2001) x 1x21 7 + x] = 7 4002 . Đánh giá: Trong thí dụ trên chúng ta đã thêm bớt P(x) = x 2 + 2001 vào tử thức làm xuất hiện dạng x 1ax1 n + , đây là điểm mẫu chốt của lời giải. Ví dụ 6: Tìm A = 1x lim F(x) với F(x) = 43 4 43 x1x8x4 2 3 x1 3 x 1. 2 x 1.x1 ++ +++ . Giải. Gọi tử thức là T, ta có: T = x1 + 3 2 x 1 + . 4 3 x 1 + 3 2 x 1 + . 4 3 x 1 + + + 3 2 x 1 + . 4 3 x 1 + 4 3 x 1 + + 4 3 x 1 + 1 + 1 4 x1 = 3 2 x 1 + . 4 3 x 1 + ( x1 + 1) + 4 3 x 1 + ( 3 2 x 1 + 1) + ( 4 3 x 1 + 1) ( 4 x1 1) áp dụng (*) ta đợc 1x lim x T = 1. Gọi mẫu thức là M, ta có: M = 2 3 .2. 4 x 1 + 2 3 8 x 1 4 x1 + 5 Phần II: Giới hạn của hàm số = 3( 4 x 1 + 1) 2( 3 8 x 1 1 ( 4 x1 + 1) áp dụng (*) ta đợc 1x lim x M = 24 5 . Cuối cùng A = 1x lim F(x) = 1x lim x/M x/T = 5 24 . 1.2. Các dạng giới hạn đặc biệt Bài toán 3. Tìm giới hạn của hàm số sử dụng các dạng giới hạn đặc biệt phơng pháp chung Chúng ta đã biết các dạng giới hạn đặc biệt sau : a. 0x lim x xsin = 1. b. 0x lim x )1xln( + = 1. c. 0x lim x 1e x = 1. Việc áp dụng chúng để tìm giới hạn của hàm số trong nhiều tròng hợp cần thực hiện các phép biến đổi phù hợp. Chúng ta đi xem xét các ví dụ sau: Ví dụ 7. Tính các giới hạn: a. 0x lim x2 x3sin . b. 0x lim x tgx c. 0x lim x4tg x3sin . d. 0x lim x5 x2tgx3sin + e. 0x lim 2 x x2cosxcos1 f. 0x lim 2 x x2cosxcosx4cos Giải. a Ta có: 0x lim x2 x3sin = 0x lim x3 x3sin x2 x3 = 2 3 0x lim x3 x3sin = 2 3 . b Ta có: 0x lim x tgx = 0x lim x xsin xcos 1 = 1. c Ta có: 0x lim x4tg x3sin = 4 3 0x lim x3 x3sin x4tg x4 = 4 3 . d Ta có: 0x lim x5 x2tgx3sin + = 0x lim ( x5 x3sin + x5 x2tg ) = 5 3 + 5 2 = 1. e Ta có: 6 Chủ đề 2: Các dạng giới hạn của hàm số 0x lim 2 x x2cosxcos1 = 0x lim 2 x )xcosx3(cos 2 1 1 + = 2 1 0x lim ( 22 x xcos1 x x3cos1 + ) = 2 1 [ 0x lim 2 2 x 2 x3 sin2 + 0x lim 2 2 x 2 x sin2 ] = 2 1 [ 0x lim 4 x9 . 9 4 2 x3 sin2 2 2 + 0x lim 4 x .4 2 x sin2 2 2 ] = 2 5 . f Ta có: 0x lim 2 x x2cosxcosx4cos = 0x lim 2 x x2cosxcos11x4cos + = 0x lim ( 2 2 x x2sin2 + 2 x x2cosxcos1 ) = 8 + 2 5 = 2 11 . Ví dụ 8. Tính các giới hạn: a. 0x lim x ee bxax b. 0x lim x2sin )x31ln( + Giải. a Ta có: 0x lim x ee bxax = 0x lim ( ax 1e a ax bx 1e b bx ) = a b. b Ta có: 0x lim x2sin )x31ln( + = 0x lim ( 2 3 x3 )x31ln( + x2sin x2 ) = 2 3 . Bài toán 4. Sử dụng quy tắc Lôpitan tìm giới hạn dạng 0 0 phơng pháp chung Quy tắc Lôpitan. Nếu f(x), g(x) khả vi ở lân cận x 0 , f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 và g'(x)0 ở lân cận x 0 , đồng thời )x('g )x('f lim 0 xx = A thì )x(g )x(f lim 0 xx = A. Ví dụ 9. Tính giới hạn: 0x lim xsinx x9 3 . Giải. 7 Phần II: Giới hạn của hàm số Ta có: 0x lim xsinx x9 3 = 0x lim xcos1 x9.3 2 = 0x lim xsin x9.3.2 = 2.3.9 = 54. 2. Giới hạn dạng Bài toán 5. Tính giới hạn dạng phơng pháp chung Phơng pháp thờng dùng để xử lý dạng khi gặp các phân thức đại số, ta chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa bậc cao nhất của x có mặt ở phân thức đó. Ví dụ 10: Tính các giới hạn: a. x lim 22 22 )x4()x3)(x2( )x3()x1)(x1( ++ b. x lim 2x 2x 2 + + . Giải. a Chia cả tử và mẫu cho x 6 , ta đợc: x lim 22 22 )x4()x3)(x2( )x3()x1)(x1( ++ = x lim 22 22 )1 x 4 ()1 x 3 )(1 x 2 ( )1 x 3 ()1 x 1 )(1 x 1 ( ++ = 1. b Chia cả tử và mẫu cho x, với lu ý: x 2x 2 + = <+ >+ 0xkhi x 2 1 0xkhi x 2 1 2 2 . Do đó ta xét hai trờng hợp: + x lim 2x 2x 2 + + = + x lim 2 x 2 1 x 2 1 + + = 1. x lim 2x 2x 2 + + = x lim 2 x 2 1 x 2 1 + + = 1. Tổng quát: Giả sử R(x) = 0 1m 1m m m 0 1n 1n n n b .xbxb a .xaxa +++ +++ , với a n 0 và b m 0. Chứng minh rằng: 8 Chủ đề 2: Các dạng giới hạn của hàm số x lim R(x) = < = > mnkhi0 mnkhi b a mnkhi m n . Chứng minh 1. Nếu n>m. Khi đó: |R(x)| = |x| n m m 01m m n 01n n x b . x b b x a . x a a +++ +++ >|x| n m m n b2 a khi |x| đủ lớn. Vì x lim |x| n m m n b2 a = , nên ta có: x lim R(x) = . 2. Nếu n = m. Khi đó: R(x) = m 01m m n 01n n x b . x b b x a . x a a +++ +++ m n b a khi x. 3. Nếu n<m. Khi đó: |R(x)| = nm |x| 1 m 01m m n 01n n x b . x b b x a . x a a +++ +++ < nm |x| 1 m n b a2 khi |x| đủ lớn. Vì x lim nm |x| 1 m n b a2 = 0, nên ta có: x lim R(x) = 0. Bài toán 6. Sử dụng quy tắc Lôpitan tìm giới hạn dạng phơng pháp chung Quy tắc Lôpitan. Nếu f(x), g(x) khả vi ở lân cận x 0 trừ tại điểm x 0 , thì 0 xx lim f(x) = 0 xx lim g(x) = và g'(x)0 ở lân cận x 0 , đồng thời )x('g )x('f lim 0 xx = A thì )x(g )x(f lim 0 xx = A. Quy tắc vẫn đúng với x. Ví dụ 11. Tính giới hạn: + x lim 9 x xln Giải. 9 Phần II: Giới hạn của hàm số Ta có: + x lim 9 x xln = + x lim 8 x9 x 1 = + x lim 9 x9 1 = 0. 3. Giới hạn dạng 0.; ; 1 ; 0 . Bài toán 7. Tính giới hạn dạng 0.; ; 1 ; 0 . phơng pháp chung Đối với dạng 1 cần nhớ các giới hạn cơ bản sau: a. 0x lim x/1 )x1( + = e. b. x lim (1 + x 1 ) x = e Việc áp dụng chúng để tìm giới hạn của hàm số trong nhiều tròng hợp cần thực hiện các phép biến đổi phù hợp. Chúng ta đi xem xét các ví dụ sau: Ví dụ 12: Tính các giới hạn: a. 0x lim x/1 )x2sin1( + b. x lim x2 1x3 5x3 + . c. + x lim ( x2xx4 2 ). d. 2/x lim ( 2 x)tgx. Giải. a Ta có: x 1 )x2sin1( + = x x2sin x2sin 1 )x2sin1( + = 2 x2 x2sin x2sin 1 )x2sin1( + . Do đó: 0x lim x 1 )x2sin1( + = 0x lim 2 x2 x2sin x2sin 1 )x2sin1( + = e 2 . b Ta có: x2 1x3 5x3 + = x2 1x3 6 1 + , đặt t 1 = 1x3 6 x = 3 1t6 + khi x thì t. Vậy: x2 1x3 5x3 + = 3 1t6 2 t 1 1 + + = t3 )1t6(2 t t 1 1 + + . Do đó: x lim x2 1x3 5x3 + = t lim t3 )1t6(2 t t 1 1 + + = e 4 . c Ta có: + x lim ( x2xx4 2 ) = + x lim x2xx4 )x2xx4)(x2xx4( 2 22 + + 10 . + (1 − cos5x)] = 4 1 (2sin 2 2 x15 + 2sin 2 2 x + 2sin 2 2 x9 + 2sin 2 2 x5 ) = 2 1 (sin 2 2 x15 + sin 2 2 x + sin 2 2 x9 + sin 2 2 x5 ) Do ®ã: 0x lim →. )xcos1( 2 x sin2 2 x sin2 2 2 + = 0x lim → [ 2 2 ) 2 x ( 2 x sin . 2 2 x       . 2 x sin ) 2 x ( 2 2 . 2 ) 2 x ( 1 xcos1 1 + ] = 0. Bµi 16. (§HHH − 20 00)