Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị

Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số

Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa O HM V NG DNG CC TR CA HM S Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu I Vấn đề 2: Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu II Vấn đề 3: Tìm cực trị của hàm số chứa tham số Vấn đề 4: Điều kiện để hàm số có cực trị Vấn đề 5: Tìm điều kiện để các điểm cực trị của đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trớc Vấn đề 6: Đờng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 1 cực trị của hàm số A. Tóm tắt lí thuyết 1. định nghĩa a. Điểm x 0 gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận nào đó của điểm x 0 ta có : f(x) < f(x 0 ) (với x x 0 ). Lúc đó ta nói hàm số đạt cực đại tại x 0 , f(x 0 ) gọi là giá trị cực đại của hàm số, còn M(x 0 , f(x 0 )) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. (Hình a) b. Điểm x 0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận nào đó của điểm x 0 ta có : f(x) > f(x 0 ) (với x x 0 ) Lúc đó ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x 0 , f(x 0 ) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, còn M(x 0 , f(x 0 )) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. (Hình b) c. Hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm x 0 gọi là đạt cực trị tại điểm đó và x 0 gọi là điểm cực trị còn f(x 0 ) gọi là giá trị cực trị của hàm số. Ghi chú : Một hàm số có thể có một hay nhiều điểm cực trị hoặc không có điểm cực trị nào. Chẳng hạn : y = x + 1 tăng trên R nên không có cực trị. 2. điều kiện cần để hàm số có cực trị Định lí 1 : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f'(x 0 ) = 0. ý nghĩa hình học của định lí : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì tiếp tuyến của đờng cong y = f(x) tại điểm M(x 0 , f(x 0 )) phải cùng phơng với Ox. Chú ý : Định lí 1 chỉ nêu điều kiện cần để hàm số có cực trị. Điều này có nghĩa là tại điểm nào đó mà đạo hàm bằng không thì hàm số cha chắc đạt cực trị. Chẳng hạn, hàm số y = x 3 có đạo hàm y' = 3x 2 triệt tiêu tại x = 0, nhng hàm số đó không đạt cực trị tại x = 0, vì rằng : y < 0 với x < 0 y = 0 với x = 0 y > 0 với x > 0 Điều đó vi phạm định nghĩa. Hề quả: Mọi điểm cực trị của hàm số y = f(x) đều là điểm tới hạn của hàm số đó. 2 O y x M f(x) f(x 0 ) x 0 x (a) O y x M f(x) f(x 0 ) x 0 x (b) y = f(x)M y x Ox 0 f(x 0 ) x' 0 3. điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 2 : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). a. Nếu qua x 0 đạo hàm đổi dấu từ âm sang dơng, tức là f'(x) < 0 nếu x < x 0 và f'(x) > 0 nếu x > x 0 (với x đủ gần x 0 ), thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . b. Nếu qua x 0 đạo hàm đổi dấu từ dơng sang âm, tức là f'(x) > 0 nếu x < x 0 và f'(x) < 0 nếu x > x 0 (với x đủ gần x 0 ), thì hàm số đạt cực đại tại x 0 . Ta tóm tắt định lí 2 trong các bảng biến thiên sau : x a x 0 b + y' 0 + y CT x a x 0 b + y' + 0 y CĐ Chú ý : Trong trờng hợp phơng trình y' = 0 có nghiệm nhng không xét dấu đợc y' ta sử dụng định lí sau : Định lí 3 : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai tại điểm x 0 và f '(x 0 ) = 0, f "(x 0 ) 0 thì x 0 là điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa : a. Nếu f ''(x 0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 . b. Nếu f ''(x 0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 . B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu I Ta thực hiện theo các bớc : Bớc 1: Miền xác định. Bớc 2: Tính đạo hàm y', rồi tìm các điểm tới hạn (thông thờng là việc giải phơng trình y' = 0). Bớc 3: Tính các giới hạn (nếu cần). Bớc 4: Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đây nhận đợc các điểm cực trị của hàm số. Ví dụ 1: Cho hàm số: (P) : y = x 2 4x + 2. a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x 2 4x + 2 = 2m. (1) Giải a. Ta lần lợt có : 3 Miền xác định D = R. Đạo hàm : y' = 2x 4, y' = 0 2x 4 = 0 x = 2 và f(2) = 2. Giới hạn : x lim y = x lim x 2 (1 x 4 + 2 x 2 ) = + Bảng biến thiên: x 2 + y' 0 + y + CT 2 + b. Số nghiệm của phơng trình (1) bằng số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d) : y = 2m. Dựa vào bảng biến thiên ta nhận đợc kết luận : Với 2m < 2 m < 1, phơng trình (1) vô nghiệm. Với 2m = 2 m = 1, phơng trình (1) có nghiệm kép x = 2. Với 2m > 2 m > 1, phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 2: Cho hàm số : (P) : y = 2 1 x 2 x + 2 3 . a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số. b. Chứng tỏ rằng với mọi phơng trình : x 2 + 2x + 2sin + 2 + 2 cos1 3 = 0. (1) luôn có nghiệm. Giải a. Ta lần lợt có : Miền xác định D = R. Đạo hàm : y' = x 1, y' = 0 x 1 = 0 x = 1 và f( 1) = 2. Giới hạn : x lim y = x lim [ x 2 ( 2 1 + x 1 2 x2 3 )] = Bảng biến thiên : x 1 + y' + 0 y CĐ 2 b. Viết lại phơng trình dới dạng : 4 2 1 x 2 x + 2 3 = sin + + 2 cos1 . Khi đó số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d) : y = sin + + 2 cos1 . Nhận xét rằng : sin + + 2 cos1 pxkiôBunhiac )cos1)(sin11( 22 +++ = 2 tức là, phơng trình (1) luôn có nghiệm. Ví dụ 3: Cho hàm số : (C) : y = 2x 3 3x 2 + 1. a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình : 2x 3 3x 2 m = 0. (1) Giải a. Ta lần lợt có : Miền xác định D = R. Đạo hàm : y' = 6x 2 6x, y' = 0 6x 2 6x = 0 = = 1x 0x . Giới hạn : x lim y = và + x lim y = + . Bảng biến thiên x 0 1 + y' + 0 0 + y 1 0 + b. Viết lại phơng trình dới dạng : 2x 3 3x 2 + 1 = m + 1. Khi đó, số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (C) với đờng thẳng (d) : y = m + 1. Dựa vào bảng biến thiên ta nhận đợc kết luận : Với m + 1 < 0 m < 1, phơng trình (1) có một nghiệm. Với m + 1 = 0 m = 1, phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Với 0 < m + 1 < 1 1 < m < 0, phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt. Với m + 1 = 1 m = 0, phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 5 Với m + 1 > 1 m > 0, phơng trình (1) có một nghiệm. Ví dụ 4: Cho hàm số : (C) : y = x 3 + 3x 2 1. a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số. b. Chứng tỏ rằng với mọi m[ 2, 2] phơng trình : x 3 3x 2 + m 2 = 0. (1) luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt. Giải a. Ta lần lợt có : Miền xác định D = R. Đạo hàm : y' = 3x 2 + 6x, y' = 0 3x 2 + 6x = 0 = = 2x 0x . Giới hạn : x lim y = x lim [ x 3 (1 x 3 + 3 x 1 ) = + + xkhi xkhi . Bảng biến thiên : x 0 2 + y' 0 + 0 y + CT 1 CĐ 3 b. Viết lại phơng trình dới dạng : x 3 + 3x 2 1 = m 2 1. Khi đó, số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (C) với đờng thẳng (d) : y = m 2 1. Ta có nhận xét : m 2 1 1, m. m 2 1 3, m[ 2, 2]. Suy ra với mọi m[ 2, 2] luôn có 1 m 2 1 3. Do đó, dựa vào bảng biến thiên ta kết luận phơng trình luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 5: Cho hàm số : (C) : y = x 4 2x 2 + 1. a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm thuộc khoảng ( 2, 2) của phơng trình : x 4 2x 2 + m = 0. (1) Giải a. Ta lần lợt có : 6 Miền xác định D = R. Đạo hàm : y' = 4x 3 4x, y' = 0 4x 3 4x = 0 4x(x 2 1) = 0 = = 1x 0x . Giới hạn : x lim y = x lim [x 4 (1 2 x 2 + 4 x 1 ) = + . Bảng biến thiên : x 2 1 0 1 2 + y' 0 + 0 0 + y + 9 CT 0 CĐ 1 CT 0 9 + b. Viết lại phơng trình dới dạng : x 4 2x 2 + 1 = 1 m. Khi đó, số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (C) với đờng thẳng (d) : y = 1 m. Dựa vào bảng biến thiên ta nhận đợc kết luận : Với 1 m < 0 m > 1, phơng trình (1) không có nghiệm thuộc ( 2, 2). Với 1 m = 0 m = 1, phơng trình (1) có 2 nghiệm thuộc ( 2, 2). Với 0 < 1 m < 1 0 < m < 1, phơng trình (1) có 4 nghiệm thuộc ( 2, 2). Với 1 m = 1 m = 0, phơng trình (1) có 3 nghiệm thuộc ( 2, 2). Với 1 < 1 m < 9 8 < m < 0, phơng trình (1) có 2 nghiệm thuộc ( 2, 2). Với 1 m 9 m 8, phơng trình (1) không có nghiệm thuộc ( 2, 2). Ví dụ 6: Cho hàm số : (C) : y = 2 1 x 4 x 2 + 2 3 . a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số. b. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất : x 4 + 2x 2 + m = 0. (1) Giải a. Ta lần lợt có : Miền xác định D = R. Đạo hàm : y' = 2x 3 2x, y' = 0 2x 3 2x = 0 2x(x 2 + 1) = 0 x = 0. Giới hạn : 7 x lim y = x lim [ x 4 ( 2 1 + 2 x 1 4 x2 3 ) = . Bảng biến thiên : x 0 + y' + 0 y CĐ 3/2 b. Viết lại phơng trình dới dạng : 2 1 x 4 x 2 + 2 3 = 2 m + 2 3 . Khi đó, số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (C) với đờng thẳng (d) : y = 2 m + 2 3 . Vậy, phơng trình (1) có nghiệm duy nhất 2 m + 2 3 = 2 3 m = 0. Ví dụ 7: Cho hàm số : (C) : y = 1x 1x + . a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị (nếu có) của hàm số. b. Biện luận theo m dấu các nghiệm, nếu có, của phơng trình : 1x 1x + = 2m. (1) Giải a. Ta lần lợt có : Miền xác định D = R\{1}. Đạo hàm : y' = 2 )1x( 2 < 0 xD hàm số luôn nghịch biến. Giới hạn : x lim y = + x lim y = 1. 1x lim y = , + 1x lim y = + Bảng biến thiên : x 0 1 + y' 8 y 1 + 1 b. Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (C) với đờng thẳng (d) : y = 2m. Dựa vào bảng biến thiên ta nhận đợc kết luận : Với 2m < 1 m < 2 1 , phơng trình (1) có một nghiệm dơng. Với 2m = 1 m = 2 1 , phơng trình (1) có nghiệm x = 0. Với 1 < 2m < 1 2 1 < m < 2 1 , phơng trình (1) có một nghiệm âm. Với 2m = 1 m = 2 1 , phơng trình (1) vô nghiệm. Với 2m > 1 m > 2 1 , phơng trình (1) có một nghiệm dơng. Chú ý : Liên quan tới cực trị của các hàm phân thức hữu tỉ chúng ta có định lí quan trọng sau: Định lí : Cho hàm số : y = )x(v )x(u . Chứng minh rằng nếu y'(x 0 ) = 0 và v'(x 0 ) 0 thì ta có : y(x 0 ) = )x(v )x(u 0 0 = )x('v )x('u 0 0 . Chứng minh. Ta có : y' = )x(v )x('v)x(u)x(v)x('u 2 , y'(x 0 ) = 0 )x(v )x('v)x(u)x(v)x('u 0 2 0000 = 0 u'(x 0 ).v(x 0 ) = u(x 0 ).v'(x 0 ) )x('v )x('u 0 0 = )x(v )x(u 0 0 = y(x 0 ), đpcm. Kết quả của định lí trên đợc sử dụng để : 1. Xác định giá trị cực trị của các hàm phân thức hữu tỉ. 2. Lập phơng trình đờng thẳng, đờng cong đi qua các điểm cực trị của các hàm phân thức hữu tỉ. Ví dụ 8: Cho hàm số : 9 (C) : y = x1 4x4x 2 + . a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số. b. Chứng tỏ rằng với mọi m < 0 phơng trình : x 2 (4 m)x + 4 m = 0. (1) luôn có hai nghiệm dơng phân biệt. Giải a. Ta lần lợt có : Miền xác định D = R\{1}. Đạo hàm : y' = 2 2 )x1( xx2 , y' = 0 2x x 2 = 0 = = 2x 0x . Giới hạn : x lim y = + , + x lim y = . 1x lim y = + , + 1x lim y = . Bảng biến thiên : x 0 1 2 + y' 0 + + 0 y + 4 + 0 b. Viết lại phơng trình dới dạng : x 2 4x + 4 = (1 x)m 1x nghiệmlàngôkh = x1 4x4x 2 + = m. Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (C) với đờng thẳng (d) : y = m. Dựa vào bảng biến thiên ta khẳng định với mọi m < 0 phơng trình luôn có hai nghiệm dơng phân biệt. Ví dụ 9: Cho hàm số : (C) : y = 2 x 1x . a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm và dấu các nghiệm của phơng trình : mx 2 x + 1 = 0. (1) Giải a. Ta lần lợt có : Miền xác định D = R\{0}. Đạo hàm : 10 . CA HM S Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu I Vấn đề 2: Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu II Vấn đề 3: Tìm cực trị của hàm số chứa tham số. đạt cực trị tại điểm đó và x 0 gọi là điểm cực trị còn f(x 0 ) gọi là giá trị cực trị của hàm số. Ghi chú : Một hàm số có thể có một hay nhiều điểm cực trị