Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị

Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số

Bản quyền thuộc Nhúm Cự Mụn của Lờ Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều cỏc em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhúm Cự Mụn luụn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời cỏc thắc mắc − Đăng kớ “Học tập từ xa”

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu I

Vấn đề 2: Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu II

Vấn đề 3: Tìm cực trị của hàm số chứa tham số

Vấn đề 4: Điều kiện để hàm số có cực trị

Vấn đề 5: Tìm điều kiện để các điểm cực trị của đồ thị hàm số

thoả mãn điều kiện cho trớc

Vấn đề 6: Đờng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

Học Toỏn theo nhúm (từ 1 đến 6 học sinh) cỏc lớp 9, 10, 11, 12

Giỏo viờn dạy: Lấ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngừ 86 − Đường Tụ Ngọc Võn − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kớ học cho con liờn hệ 0936546689

cực trị của hàm số

A Tóm tắt lí thuyết

1 định nghĩa

a Điểm x0 gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc

một lân cận nào đó của điểm x0 ta có :

f(x) < f(x0) (với x ≠ x0)

Lúc đó ta nói hàm số đạt cực đại tại x0,

f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm số, còn

M(x0, f(x0)) gọi là điểm cực đại của đồ thị

hàm số (Hình a)

b Điểm x0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc

một lân cận nào đó của điểm x0 ta có :

f(x) > f(x0) (với x ≠ x0)Lúc đó ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x0,

f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, còn

M(x0, f(x0)) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị

hàm số (Hình b)

c Hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm x0 gọi là đạt cực trị tại điểm

đó và x0 gọi là điểm cực trị còn f(x0) gọi là giá trị cực trị của hàm số.

Ghi chú : Một hàm số có thể có một hay nhiều điểm cực trị hoặc không có

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại

điểm x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì tiếp

tuyến của đờng cong y = f(x) tại điểm

M(x0, f(x0)) phải cùng phơng với Ox

Chú ý : Định lí 1 chỉ nêu điều kiện cần để hàm số có cực trị Điều này có

nghĩa là tại điểm nào đó mà đạo hàm bằng không thì hàm số cha chắc đạt cực trị Chẳng hạn, hàm số y = x3 có đạo hàm y' = 3x2 triệt tiêu tại x = 0, nhng hàm số đó không đạt cực trị tại x = 0, vì rằng :

f(x0)

x0x

x0x

(b)

y = f(x)

xO

x0f(x0)

x'0

b Nếu qua x0 đạo hàm đổi dấu từ dơng sang âm, tức là f'(x) > 0 nếu x < x0

và f'(x) < 0 nếu x > x0 (với x đủ gần x0), thì hàm số đạt cực đại tại x0

Ta tóm tắt định lí 2 trong các bảng biến thiên sau :

Định lí 3 : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai tại điểm x0

và f '(x0) = 0, f "(x0) ≠ 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số Hơn nữa :

a Nếu f ''(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

b Nếu f ''(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

a Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số

b Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:

Giải

a Ta lần lợt có :

2) = + ∞B¶ng biÕn thiªn:

a T×m c¸c kho¶ng t¨ng, gi¶m, cùc trÞ cña hµm sè

b Chøng tá r»ng víi mäi α ph¬ng tr×nh :

x2 + 2x + 2sinα + 2 1 + cos 2 α − 3 = 0 (1) lu«n cã nghiÖm

1

− 2x

3)] = − ∞B¶ng biÕn thiªn :

a T×m c¸c kho¶ng t¨ng, gi¶m, cùc trÞ cña hµm sè.

b BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh :

0 x

.Giíi h¹n :

 Víi m + 1 = 1 ⇔ m = 0, ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt

0 x

.Giới hạn :

1) = 

x khi x khi

.Bảng biến thiên :

Suy ra với mọi m∈[ − 2, 2] luôn có − 1 ≤ m2 − 1 ≤ 3

Do đó, dựa vào bảng biến thiên ta kết luận phơng trình luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 5: Cho hàm số :

(C) : y = x4 − 2x2 + 1

a Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số

b Biện luận theo m số nghiệm thuộc khoảng ( − 2, 2) của phơng trình :

Giải

a Ta lần lợt có :

0 x

.Giới hạn :

1) = + ∞

Dựa vào bảng biến thiên ta nhận đợc kết luận :

 Với 1 − m < 0 ⇔ m > 1, phơng trình (1) không có nghiệm thuộc ( − 2, 2)

 Với 1 − m = 0 ⇔ m = 1, phơng trình (1) có 2 nghiệm thuộc ( − 2, 2)

 Với 0 < 1 − m < 1 ⇔ 0 < m < 1, phơng trình (1) có 4 nghiệm thuộc ( − 2, 2)

 Với 1 − m = 1 ⇔ m = 0, phơng trình (1) có 3 nghiệm thuộc ( − 2, 2)

 Với 1 < 1 − m < 9 ⇔ − 8 < m < 0, phơng trình (1) có 2 nghiệm thuộc (− 2, 2)

 Với 1 − m ≥ 9 ⇔ m ≤ − 8, phơng trình (1) không có nghiệm thuộc ( − 2, 2)

a Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số

b Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất :

1 − 4x

3) = − ∞

m + 2

3.Khi đó, số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (C) với đờng thẳng (d) : y =

2

m + 2

3.Vậy, phơng trình (1) có nghiệm duy nhất

⇔

2

m

+ 2

3 = 2

3 ⇔ m = 0

Ví dụ 7: Cho hàm số :

(C) : y =

1x

1x

−

+ .

a Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị (nếu có) của hàm số

b Biện luận theo m dấu các nghiệm, nếu có, của phơng trình :

1x

1x

 Với 2m = − 1 ⇔ m = −

2

1, phơng trình (1) có nghiệm x = 0

 Với − 1 < 2m < 1 ⇔ −

2

1 < m <

2

1, phơng trình (1) có một nghiệm

âm

 Với 2m = 1 ⇔ m =

2

1, phơng trình (1) vô nghiệm

 Với 2m > 1 ⇔ m >

2

1, phơng trình (1) có một nghiệm dơng

Chú ý : Liên quan tới cực trị của các hàm phân thức hữu tỉ chúng ta có định lí

quan trọng sau:

Định lí : Cho hàm số :

y =

)x(v

)x(u Chứng minh rằng nếu y'(x0) = 0 và v'(x0) ≠ 0 thì ta có :

y(x0) =

)x(v

)x(u0

)x('v

)x('u0

)x('v)x(u)x(v)x('u

)x('v)x(u)x(v)x('u

0 2

0 0 0

)x(u0

0

= y(x0), đpcm.Kết quả của định lí trên đợc sử dụng để :

1 Xác định giá trị cực trị của các hàm phân thức hữu tỉ

2 Lập phơng trình đờng thẳng, đờng cong đi qua các điểm cực trị của các hàm phân thức hữu tỉ

Ví dụ 8: Cho hàm số :

(C) : y =

x1

4x

(

x x

.Giíi h¹n :

4x

a T×m c¸c kho¶ng t¨ng, gi¶m, cùc trÞ cña hµm sè

b BiÖn luËn theo m sè nghiÖm vµ dÊu c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh :

y' = 4 2

x

xx

0 x

Giíi h¹n :

Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta cã kÕt luËn :

 Víi m < 0, ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu

 Víi m = 0, ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt x = 1

 Víi 0 < m <

4

1, ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm d¬ng

 Víi m =

4

1, ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp x = 2

 Víi m >

4

1, ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm

VÝ dô 10:T×m c¸c kho¶ng t¨ng, gi¶m, cùc trÞ cña hµm sè :

y =

1xx

2xx2

2

−+

§¹o hµm :

) 1 x x (

1 x 10 x

− +

5±

Giíi h¹n :

1 x 3 với 3 x x

1 x 3 với 4 x

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = − 3, x = − 1 và giá trị cực tiểu yCT = 0

- Hàm số đạt cực đại tại x = − 2 và giá trị cực đại yCĐ = 1

Ví dụ 12: Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số :

y = |x2 − x| + |2x − 4|

Giải

2 x víi 4 x x

1 x 0 víi 4 x x

2 x 1 hoÆc 0 x víi 4 x x

22

1 x 0 víi 1 x

2 x 1 hoÆc 0 x víi 3 x 2

1 1

D x víi ) x ( f

D x víi ) x ( f

Bíc 7: §¹o hµm :

\ D x với )x ( 'f

}0 )x (f

|x {\

D x với )x (' f

k k

k

1 1 1

,

y’ = 0 ⇒ nghiệm (nếu có)

Bớc 8: Bảng biến thiên, từ đó đa ra lời kết luận

Ví dụ 13: Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số :

x 1

- Hàm số đồng biến trong khoảng ( − 3, − 1)

- Hàm số nghịch biến trong khoảng ( − 1, 1)

- Hàm số đạt cực đại tại x = − 1 và giá trị cực đại yCĐ = 2

Ví dụ 14: Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số :

Giới hạn :

1 x 2 x

5

5

2

Ta cã :

y'' = 2 3/2

)1x(

mx

y'' = 2 3

) x 4 (

m 4

≥

4 x) 1 m (

0 mx

2 x

0 mx

2

(1)

Trờng hợp 1 : Với m = 0, khi đó (1) có nghiệm x = ± 2∈D, nhng hàm số

không đạt cực trị tại x = ± 2 bởi khi đó y'' = 0 ∀x

Trờng hợp 2 Với m > 0, phơng trình (1) có nghiệm

x1 =

1 m

2

2 + ∈D và y ''(x1) > 0

Vậy, hàm số đạt cực tiểu tại x1

Trờng hợp 3 Với m < 0, phơng trình (1) có nghiệm

x2 = −

1 m

2

2 + ∈D và y ''(x2) < 0

Vậy, hàm số đạt cực đại tại x2

Ví dụ 3: Tìm cực trị, nếu có, của hàm số :

1 x cos

1 x cos

±

=

π + π

=

k 2 3 x

k 2 x

, k∈Z.y'' = − 4sinx.cosx − sinx

Bớc 2: Tính đạo hàm y', rồi tìm các điểm tới hạn (thông thờng là việc

giải và biện luận phơng trình y' = 0 theo tham số)

Bớc 3: Lựa chọn theo một trong hai hớng:

Hớng 1: Nếu xét đợc dấu của y' thì sử dụng dấu hiệu I.

Hớng 2: Nếu không xét đợc dấu của y' thì sử dụng dấu hiệu II.

và giá trị cực tiểu yCT =

27

m

4 3 − 4

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại yCĐ = − 4

Ví dụ 2: Cho m ∈ Z + , hãy tìm cực trị của hàm số :

- Hàm số đạt cực tiểu tại x2 = 4 và giá trị cực tiểu yCT = 0

Trờng hợp 2 : Nếu m≥2, khi đó :

y' = 0 ⇒ x1 = 0, x2 =

2m

m4

y − ∞ CĐ CT + ∞

Vậy :

- Hàm số đạt cực đại tại x2 =

2m

m4

+ và yCĐ = m 2

3 m m

)2m(

4m

m4

+ và yCĐ = m 2

3 m m

)2m(

4m

+

+

- Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x1 = 0 và x3 = 4 và yCT = 0

Ví dụ 3: Tuỳ theo m hãy tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số :

y = 2

x

1mxx)1m( − 2− +

− ⇔ m = 2 ⇔ (1) có nghiệm kép

Khi đó, hàm số luôn đồng biến.

⇒ hàm số đạt cực đại tại các điểm x =

3

π + 2kπ, k∈Z.

 Với x = −

3

π + 2kπ ta nhận đợc :

y''( − 3π + 2kπ) = − 2sin( − 3π + 2kπ) = − 2sin( − π3 ) = 3 > 0

⇒ hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = −

⇒ hàm số đạt cực đại tại các điểm x = − β + 2kπ, k∈Z.

Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bớc :

Bớc 1: Miền xác định

Bớc 2: Tính đạo hàm y'

Bớc 3: Lựa chọn theo một trong hai hớng:

Hớng 1: Nếu xét đợc dấu của y' thì sử dụng dấu hiệu I với lập luận:

0

'y

2 Hàm số có cực tiểu ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D

0

'y

3 Hàm số có cực đại ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D

0 'y

4 Hàm số đạt cực tiểu tại x0 điều kiện là:

n

ạ h tới diểm là x

D x

00

n

ạ h tới diểm là x

D x

00

0

Ví dụ 1: Cho hàm số:

y = x3 + 3mx2 + 3(m2 − 1)x + m3 − 3m

Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu,

đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn chạy trên hai đờng thẳng cố định

1 m x

.Bảng biến thiên:

Vậy với mọi m hàm số :

 Đạt cực đại tại x = − m − 1 và yCĐ = 2, đồng thời khi m thay đổi điểm cực đại B( − m − 1, 2) luôn chạy trên đờng thẳng cố định y − 2 = 0

 Đạt cực tiểu tại x = − m + 1 và yCT = − 2, đồng thời khi m thay đổi

điểm cực tiểu A(− m + 1, − 2) luôn chạy trên đờng thẳng cố định y + 2 = 0

Nhận xét: Với hàm đa thức bậc ba:

y = ax3 + bx2 + cx + d

Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của đồ thị hàm số ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Ta có:

 Miền xác định D = R.

 Đạo hàm :

y' = 3ax2 + 2bx + c, y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1)

Bớc 2: Với các yêu cầu :

0

a

0

a

d Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mãn điều kiện

0

a

 Khi đó phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2

thoả mãn hệ thức Viet

 Kiểm tra điều kiện K

e Hàm số có cực đại, cực tiểu thuộc khoảng I

⇔ phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thuộc I

f Hàm số có cực đại thuộc khoảng I, ta xét hai trờng hợp :

Trờng hợp 1 Nếu a = 0, ta đợc :

Điều kiện là phơng trình (2) có nghiệm duy nhất thuộc I và qua

đó y' đổi dấu từ dơng sang âm

0 b

0

a

Khi đó, phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

 Tuỳ theo a ta lập bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên suy ra hoành độ điểm cực đại xCĐ

 Hàm số có cực đại trong khoảng I ⇔ xCĐ∈I

Tơng tự cho trờng hợp cực tiểu

''y

0 ) x(

0 ) x(

2

x3 + (cosa − 3sina)x2 − 8(cos2a + 1)x + 1

a Chứng minh rằng với mọi a hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu

b Giả sử đạt cực đại và cực tiểu tại x1, x2 Chứng minh rằng :

2 1

y' = 2x2 + 2(cosa − 3sina)x − 8(cos2a + 1)

= 2x2 + 2(cosa − 3sina)x − 16cos2a

y' = 0 ⇔ x2 + (cosa − 3sina)x − 8cos2a = 0 (1)

ta có :

∆ = (cosa − 3sina)2 + 32cos2a > 0 ∀a

⇔ phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Vậy, với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu

b Giả sử hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại x1, x2, ta có :

a cos 8 x.

x

a cos a sin 3 x

x

2 2

1

mx3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x +

3

1 Tìm m để :

a Hàm số có cực trị

b Hàm số có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 thoả mãn :

x1 + 2x2 = 1

c Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dơng.

0 m

0 m 2

6 2

⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ m thoả mãn (*)

Khi đó, gọi x1, x2 là hoành độ các điểm cực trị, ta có :

)3 ( m

)2 m (3 x.

x

) 2(

m

)1 m (2 x

x

2

1

2 1

2 m

2 m

Vậy, với m = 2 hoặc m =

3

2 thoả mãn điều kiện đầu bài

c Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dơng

⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 0 < x1 < x2

S

0 ) 0 ( af

0 '

0 m

1 m

0 ) 2 m ( m

0 ) 2 m ( m 3 ) 1 m (

0 m

0 m 2

6 2

0 m

0 )0 ('

0 )2 m

=

=

0 1 k kx 2 ) x (

0 x

Hàm số chỉ có một điểm cực trị

)0 (f

kép nghiệm có

0 )x (f

0 k

)1 ( nghiệm

ô v 0 )x

(

0

0 k

0 ) 1 k ( k

0 k

⇔ k = 1

Vậy, hàm số chỉ có một điểm cực trị khi k ∈ ( − ∞, 0]∪[1, + ∞)

Nhận xét: Với hàm đa thức bậc ba:

Bớc 2: Với các yêu cầu :

0 b

0 d , 0 c , 0 b

0 a

)1(

b Hàm số có cực đại, cực tiểu (hoặc hàm số có ba điểm cực trị)

⇔ phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt.

Lựa chọn một trong hai cách :

Cách 1 Nếu (1) ⇔ (x − x0).g(x) = 0 thì điều kiện là:

g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác x0

0 a

0

Cách 2 Phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt

⇔ Đồ thị hàm số y = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

⇔ Hàm số y = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT < 0

⇔ y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và y(x1)y(x2) < 0

y) x(

y

0 'y

2 1

 Khi đó (1) có ba nghiệm x1, x2, x3 thoả mãn hệ thức Viét

 Kiểm tra điều kiện K

d Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I

⇔ phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt trong khoảng I

e Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu

kép nghiệm có

0 ) x ( g

nghiệm

ô v 0 ) x ( g

g 0 0

0 a

0 g

''y

0 ) x(

''y

0 ) x(

a Hàm số có cực đại, cực tiểu với tổng bình phơng các hoành độ bằng 27

b Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ không âm

=

) 1 ( 0 ) m 2 1 ( 3 mx 12 x 2 ) x (

0 x

>

−

− 0 ) m 2 1(

3

0 6 m 12 m

7 1 m

2

) m 2 1(

3 x.

x

m 6 x x

2 1

2 1

1 m

, thoả mãn (*)

Vậy, với m = 1 hoặc m = −

6

5 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ không âm

⇔ phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt dơng

S

0 ) 0 (

0 ) m 2 1 ( 3

0 6 m 12 m

⇔

6

71m2

7

1− ) thoả mãn điều kiện đầu bài.

c Ta xét các trờng hợp sau :

Trờng hợp 1 : Nếu f(x) ≥ 0 ∀x

Vậy hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại.

Trờng hợp 2 : Nếu f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

Khi đó hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại

>

−

− 0 ) m 2 1(

3

0 6 m 12 m

36 2

⇔ m = −

2

1

7 1

hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại

Ví dụ 6: Xác định m để đồ thị hàm số :

y = 4

g

1 x

Trớc hết phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt

⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

0 g

0 9 m 6 m

= + +

2 m 3 x

x

x

3 x x x x x

x

m 3 x x

x

32

1

13322

1

321

Vậy, với |m| > 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2 : Sử dụng phơng pháp điều kiện cần và đủ

Điều kiện cần : Giả sử phơng trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3, khi đó :

= + +

2 m 3 x

x

x

3 x x x x x

x

m 3 x x

x

32

1

13322

1

321

g

1 x

Ta phải đi chứng minh với |m| > 1 thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là chứng minh :

0 9 m 6 m

Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu với các hoành độ lập thành cấp số cộng

⇔ phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Điều kiện cần : Giả sử phơng trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số

Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

Điều kiện đủ : Với m = 11, ta đợc :

1 x

12 1 x

3

2

1

, thoả mãn (*)Vậy, với m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài

Chú ý :

1 Trong bài toán trên ở điều kiện đủ, ta khẳng định đợc :

a Phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt

b Ta có x1 + x3 = 2x2, tức là x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng

Do đó có kết luận m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài

Tuy nhiên tồn tại bài toán mà các giá trị của tham số tìm đợc trong điều kiện cần không thoả mãn điều kiện đủ

2 Bài toán trên đợc giải bằng phơng pháp hằng số bất định, nh sau :

Phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

⇔ (1) có ba nghiệm x0 − d, x0, x0 + d, (d≠0)

Khi đó :

x3 − 3x2 − 9x + m = [x − (x0 − d)](x − x0)[x − (x0 + d)]

= (x − x0)[(x − x0)2 − d2]

2 2 0 0

x d x m

d x 9

x 3

3 2 d

1

x4 + 3

2

x3 + 2

1(m + 1)x2 + 2(m + 1)x − m

có cực đại, cực tiểu với các hoành độ lập thành cấp số nhân

Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu với các hoành độ lập thành cấp số nhân

⇔ phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân

Điều kiện cần : Giả sử phơng trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số

⇔ x = 0, kh«ng tho¶ m·n.

VËy, kh«ng tån t¹i m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi

VÝ dô 9: Cho hµm sè :

y = 2

1

x4 − 3

3

1

= + +

2

m x

x

x

0 x x x x x

x

2

1 x x

x

32

1

13322

1

321

Ví dụ 10: Cho hàm số :

y =

1mx

2mx

b Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mãn x1 + x2 = 4x1x2

c Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dơng

Giải

Miền xác định D = R\{

m

1}

Đạo hàm :

) 1 mx (

m x mx

0 m

| m

|

0

m

Vậy, với |m| < 1 hàm số có cực trị

b Trớc hết, hàm số có cực đại, cực tiểu

⇔ phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác

m1

0 '

0 a

0 m 1

0 m

| m

|

0

m

(*)

Khi đó, phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn :

1 x.

x

m

2 x

2

1 thoả mãn điều kiện (*)

Vậy, với m =

2

1 thoả mãn điều kiện đầu bài

c Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dơng

⇔ phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt dơng khác

m1

2 / S 0

0 ) 0 ( af

0 '

0 a

0 m / 1

0 m

0 m 1

0 m

2

2

⇔ 0 < m < 1

Vậy, với 0 < m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

Nhận xét: Với hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất:

y =

edx

cbx

cd be aex 2 adx

+

− + +

) e dx (

C Bx Ax +

+ +

,y' = 0 ⇔ g(x) = Ax2 + Bx + C = 0 (1)

Bớc 2: Với các yêu cầu :

a Hàm số không có cực trị, ta xét hai trờng hợp :

Trờng hợp 1 Nếu A = 0, ta đợc :

)edx(

CBx++