Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Ứng dụng đạo hàm tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHT CA HM S Vấn đề 1: Phơng pháp khảo sát trực tiếp Vấn đề 2: Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn Vấn đề 3: Phơng pháp khảo sát gián tiếp Hc Toỏn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 gi ¸ trị lớn nhỏ hàm số A Tóm tắt lí thuyết Cho hàm số : y = f(x) xác định tập D Số M đợc gọi giá trị lớn hàm số : f(x) ≤ M ∀x ∈ D f(x0) = M với giá trị x0 D Ta kÝ hiÖu M = Max y x∈D  Sè m đợc gọi giá trị nhỏ hàm sè nÕu : f(x) ≥ m ∀x ∈ D f(x0) = m với giá trị x0 D Ta kÝ hiÖu m = Min y x∈D Cịng cÇn chó ý Max y , Min y cđa hàm số không tồn xD xD B phơng pháp giải toán Vấn đề 1: phơng pháp khảo s¸t trùc tiÕp Ta thùc hiƯn theo c¸c bíc : Bớc 1: Miền xác định Bớc 2: Đạo hàm y', giải phơng trình y = Bớc 3: Lập bảng biến thiên Bớc 4: Kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số dựa bảng biến thiên Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn hàm số : y = 4x3 3x4 Giải Miền xác định D = R Đạo hàm : y' = 12x2 − 12x3, y' = ⇔ 12x2 − 12x3 = ⇔ 12x2(1 − x) = x = x = Bảng biến thiªn : víi lu ý r»ng dÊu cđa y' chØ phơ thc vµo dÊu cđa − x x −∞ +∞ y' + + − C§ y Dựa vào bảng biến thiên, ta có Maxy = 1, đạt đợc x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ hàm sè y = x2 + víi x > x Giải Xét hàm số tập D = (0, + ) Đạo hàm : y' = 2x x2 , y' = ⇔ 2x − x2 Bảng biến thiên : x y' + y = ⇔ x = 1 CT + + + Dựa vào bảng biến thiên, ta có : Min y = 3, đạt đợc x = xD Chú ý : Để tìm giá trị nhỏ hàm số hoàn toàn sử dụng bất đẳng thức Côsi, cụ thể : y = x2 + 1 C «si 1 = x2 + + x =3 x x x ≥ x x Min y = 3, đạt đợc x2 = ⇔ x = x∈D x VÝ dơ 3: T×m giá trị lớn nhỏ hàm số : y= x + x Giải Điều kiÖn : x− ≥ ⇔ ≤ x ≤  4− x ≥ VËy D = [2,4] Đạo hàm : y' = x −2 y' = ⇔ − x Bảng biến thiên : x y' y , −x = −x ⇔ x = 3 C§ + + Dựa vào bảng biến thiên, ta có : Max y = 2, đạt đợc x = x∈D  Min y = x∈D , đạt đợc x = x = Chú ý : Để tìm giá trị lớn nhỏ hàm số trên, hoàn toàn sử dụng phép biến đổi đại số bất đẳng thức, cụ thể : y= x + −x Bunhiac « pxki ≤ ⇒ Max y = 2, đạt đợc xD y= x + −x x −2 (1 +1)(x −2 +4 −x ) = −x =2 ⇔ x = ⇔ y2 = x − + − x + ( x −2 )( −x ) ≥ ⇔y≥ ⇒ Min y = x∈D = VÝ dô 4: , đạt đợc ( x )( x ) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : y= Giải Điều kiện : cos x + sin x = ⇔ x = hc x  cos x ≥ ⇔ 2kπ ≤ x ≤   sin x ≥ + 2k, kZ Do hàm số tuần hoàn với chu kì nên ta cần xét D = [0, ] Đạo hàm : y' = − sin x cos x sin x y' = ⇔ + cos x B¶ng biÕn thiªn : x −∞ y' cos x sin x cos x = , sin x + y Dựa vào bảng biến thiên, ta có : /4 C§ ⇔x = − π π/2 +∞ π + 2kπ , k∈Z π π  Maxy = f( ) = , đạt đợc x = + 2kπ , k∈Z 4 VÝ dụ 5: Cho phơng trình : x2 + (2a 6)x + a − 13 = víi a≥1 T×m a để nghiệm lớn phơng trình đạt giá trị lín nhÊt Gi¶i Ta cã : ∆ = a2 − 7a + 22 > 0, a tức là, phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = − a − a −7a + 22 vµ x2 = − a + a −7a + 22 Khi đó, toán dẫn đến : " Tìm tất giá trị a[1, + ), để biÓu thøc − a + a −7a + 22 nhận giá trị lớn " Xét hàm số : Miny = 1, đạt đợc x = 2kπ hc x = y = − a + a −7a + 22 trªn tËp D = [1, + ) Đạo hàm : y' = + 2a − a − 7a + 22 = 2a − − a − 7a + 22 a − 7a + 22 ta cã : a −7a + 22 = (2a −7)2 +39 > |2a − 7| ≥ 2a − Do ®ã y' < 0, víi ∀a ≥ hàm số nghịch biến khoảng [1, + ) Bảng biến thiên : a + y' y Dựa vào bảng biến thiên, ta có : Max y = 6, đạt đợc a = xD Vậy, nghiệm lớn phơng trình có giá trị lớn đạt đợc a = VÝ dơ 6: ThĨ tÝch cđa mét h×nh lăng trụ tứ giác V Cạnh đáy hình lăng trụ phải để diện tích toàn phần hình lăng trụ nhỏ ? Giải Gọi x cạnh đáy h đờng cao lăng trụ Ta có : V = x2.h ⇔ h = V x2 DiÖn tÝch toàn phần lăng trụ : 4V x Stp = 2x2 + 4xh = 2x2 + VËy diÖn tích toàn phần hình lăng trụ nhỏ 2x2 + 4V nhá nhÊt x Ta xÐt hµm sè : y = 2x2 +   4V x Miền xác định D = (0, + ) Đạo hàm : y' = 4x − 4V x2 y' = 4x Bảng biến thiên : x y' , 4V =0⇔x = x2 − V V +∞ + +∞ y +∞ V2 CT Dựa vào bảng biến thiên, ta có : Miny = V , đạt đợc x = V VËy MinStp = V đạt đợc x = V Ví dụ 7: Xác định a để giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè : y = 4x2 − 4ax + a2 2a đoạn [ 2, 0] Giải Xét hàm số tập D = [ 2, 0] Đạo hàm : y' = 8x − 4a, y' = ⇔ 8x − 4a = ⇔ x = a XÐt ba trêng hỵp : Trêng hỵp : NÕu a < − ⇔ a < − B¶ng biÕn thiªn : x − ∞ a/2 y' y −2 (1) + + Dựa vào bảng biến thiên, ta có : Min y = y( − 2) = a2 + 6a + 16 ⇒ a2 + 6a + 16 = vô nghiệm xD Trờng hợp : Nếu Bảng biến thiên : x y' a ≤ ⇔ − 4≤ a ≤ − a/2 0 + (2) +∞ CT y Dùa vào bảng biến thiên, ta có : Min y = y( a ) = − 2a ⇒ − 2a = ⇔ a = − tho¶ m·n (2) x∈D a Trêng hỵp : NÕu > ⇔ a > (3) Bảng biến thiên : x −∞ −2 y' a/2 − +∞ y Dùa vào bảng biến thiên, ta có : Min y = y(0) = a2 − 2a ⇒ a2 − 2a = x∈D ⇔  =1 − a   =1 + a  ⇒a=1+ VËy, víi a = a = + thoả mÃn (3) thoả mÃn điều kiện đầu Vấn đề 2: Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : y = f(x) [a, b], với f(x) liên tục đoạn [a, b] có đạo hàm khoảng (a, b), ta thực theo bớc : Bớc 1: Tính đạo hàm y Bớc 2: Bớc 3: Tìm điểm tới hạn thuộc (a, b) hàm số (thông thờng giải phơng trình y' = để tìm nghiệm x (a, b)) Giả sử nghiệm x1, x2, Tính giá trị f(a), f(b), f(x1) , f(x2), Bíc 4: Tõ ®ã : Min y = Min{f(a), f(b), f(x ) , f(x ), }  x∈ a , b ] [  x∈ a , b ] [ Max y = Max{f(a), f(b), f(x ) , f(x ), } Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : π y = f(x) = sin2x − x trªn [ , ] 2 Giải Xét hàm sè trªn D = [ − , ] 2 Đạo hàm : y' = 2cos2x 1, y' = ⇔ 2cos2x − = ⇔ cos2x = ⇔x=± Ta cã : f( − π π π π π )= , f( − )= − + , f( )= 2 6 π π − vµ f( )= − 2 π VËy :  Max y = Max{ π , − x∈D π π π π + , − ,− }= đạt đợc 2 2 π x=−  Min y = Min{ π , − x∈D x= π π π + , , }= đạt đợc 6 2 π VÝ dô 2: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn nhÊt cđa hµm sè : sin x y = f(x) = + cos x víi x ∈ [0, π] Giải Xét hàm số D = [0, ] Đạo hµm : y' = cos x(2 + cos x ) + sin x (2 + cos x ) y' = ⇔ = + cos x (2 + cos x )2 + cos x (2 + cos x )2 = ⇔ cosx = − , 2π ⇔x= Ta cã : f(0) = 0, f( 2π )= 3 , f(π) = VËy :  Max y = Max{0, } = , đạt đợc x = 2π x∈D  Min y = Min{0, x∈D VÝ dô 3: 3 3 } = 0, đạt đợc x = x = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn nhÊt cđa hµm sè : y = x + x Giải Điều kiện : x2 ≥ ⇔ − Suy D = [ − , Đạo hàm : 2 x ] x y' = − − x2 y' = ⇔ −x 2 − x2 − x = − x2 ,  x ≥ =x⇔  ⇔ x = 2  − x = x Ta cã : f( − ) = − , f(1) = vµ f( ) = VËy :  Max y = Max{ − , 2, } = đạt đợc x = xD Min y = Min{ − x∈D VÝ dô 4: , 2, }= 2 đạt đợc x = Gọi x1, x2 nghiệm phơng tr×nh : 12x2 − 6mx + m2 − + 12 m2 = (1) T×m m cho x1 + x3 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Giải Phơng trình (1) có nghiệm khi: ' ⇔ 9m2 − 12(m2 − + 12 m2 ) ≥ ⇔ ≤ m2 ≤ 12 ⇔ |m| Khi đó, theo định lí Viét, phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 tho¶ m·n: m  x1 + x2 =     x1.x2 = (m2 − + 12 )  12 m2  Khi ®ã : x1 + x3 = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2) = XÐt hµm sè y = m − trªn tËp D = [ − , 2][2, ] 2m Đạo hàm : y' = + > ∀m ∈ D 2m Do ®ã : 10 m − 2m  Max y = y(2 ) = 3 ⇔ Max( x3 + x3 ) = 3 , đạt đợc m = x∈D 4  Min y =y(−2 )=− 3 ⇔ Min( x3 + x3 ) =− 3 , đạt đợc m= xD 4 Chú ý Trong toán ta xét hàm số [ , 2][2, ] Nếu quên điều kiện toán hoàn toàn sai Ví dụ 5: Giả sử (x, y) nghiệm hệ :  x + y = 2a −  2  x + y = a + 2a (I) Xác định a để xy nhỏ Giải Trớc hết ta xác định a ®Ĩ hƯ cã nghiƯm Tõ hƯ (I) suy : x2 + (2a − − x)2 = a2 + 2a − ⇔ 2x2 − 2(2a − 1)x + 3a2 6a + = Hệ phơng trình (I) có nghiệm (1) phơng trình (1) có nghiệm ⇔ ∆' ≥ ⇔ − 2a2 + 8a − ≥ ⇔ −  ≤a≤2+ 2 (*) Xác định xy Ta có xy = 1 [(x + y)2 − (x2 + y2)] = (3a2 − 6a + 4) 2 VËy xy nhá nhÊt ⇔ 3a2 − 6a + nhá nhÊt đoạn [2 Xét hàm số Y = 3X2 − 6X + trªn D = [2 − ,2+ 2 ,2+ 2 ] 2 ] Đạo hàm : Y' = 6X > 0, XD hàm số đồng biến D Ta cã : 11 Min Y = Y(2 − x∈D VËy, Min(xy) = 11 −6 2 )= 2 11 đạt đợc a = 2 Vấn đề 3: phơng pháp khảo sát gián tiếp Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số phơng pháp khảo sát gián tiếp đợc thực thông qua việc sử dụng đối số t để đa hàm số ban đầu dạng y = F(t) đơn giản Vậy, để sử dụng phơng pháp thực theo bớc sau : Bớc 1: Biến đổi hàm số ban đầu dạng để xác định ẩn phụ y = F((x)) Bớc 2: Đặt t = (x), ta có : Bớc 3: Điều kiện ẩn t Dt y = F(t) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = F(t) Dt Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc A= cos x + | cos x | +1 | cos x | +1 Giải Đặt |cosx| = t điều kiện ≤ t ≤ Khi ®ã : A= 2t + t + = f(t) t +1 MiỊn x¸c định D = [0, 1] Đạo hàm : f' = 2t + 4t ( t + 1) > 0, tD hàm số đồng biến D Ta cã :  Min f = f(0) = 1, đạt đợc : tD t = |cosx| = ⇔ x =  π + kπ, k Z Max f = f(1) = 2, đạt ®ỵc : t∈D t = ⇔ |cosx| = ⇔ sinx = ⇔ x = kπ, k Z 12 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhÊt, nhá nhÊt cđa hµm sè : + sin x + cos x y= + sin x + cos x Giải Biến đổi hàm số dạng : sin 2 x y= 2 − sin x 2 Đặt X = sin22x điều kiện X ≤ Khi ®ã : X 3X − y = F(X) = = 2X X Miền xác định D = [0, 1] Đạo hàm : y' = (2 X − 8) < 0, ∀X∈D ⇒ hµm sè nghịch biến D Ta có : Min y = F(1) = đạt đợc : XD X = ⇔ sin22x = ⇔ cos2x = ⇔ x =  kπ π + Max y = F(0) = đạt đợc : X∈D X = ⇔ sin22x = ⇔ sin2x = ⇔ x = kπ Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số : y = sin Giải Đặt t = sin 2x + x2 2x 1+x 2x 1+x + cos 4x + x2 + , ta cã : ≤ vµ [ − 1, 1]⊂[ − π π , ] 2 13 ®ã : sin( − 1) ≤ sin 2x + x2 ≤ sin1 ⇔ − sin1 t sin1 Khi đó, hàm số đợc chuyển vỊ d¹ng : y = − 2t2 + t + = f(t) Miền xác định D = [ sin1, sin1] Đạo hàm : f' = 4t + 1, f' = ⇔ − 4t + = t = Bảng biến thiên : t − ∞ − sin1 f' ∈D 1/4 + sin1 − +∞ 17/8 f Dùa vµo bảng biến thiên, ta có : Min f = min{f( − sin1), f(sin1)} = − 2sin21 − sin1 + 2, đạt đợc : tD t = sin1 ⇔ Max f = f( t∈ D t= 2x = − ⇔ x = 1 + x2 17 )= , đạt đợc 2x ⇔ sin = 1+x VÝ dơ 4: Cho hµm sè : y = cos22x + 2(sinx + cosx)2 − 3sin2x + m TÝnh theo m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Từ tìm m cho y2 ≤ 36 ∀x Gi¶i Ta cã : y = cos22x + 2(sinx + cosx)2 − 3sin2x + m = (cos2x − sin2x)2 + 2(sinx + cosx)2 − 3(1 + sin2x) + m + = (sinx + cosx)2[(cosx − sinx)2 − 1] + m + = (1 + sin2x)( sin2x) + m + Đặt t = sin2x điều kiện |t| Khi đó, hàm số đợc chuyển dạng : y = t2 t + m + = f(t)  MiỊn x¸c định D = [ 1, 1] Đạo hàm : y' = − 2t − 1, 14 y' = ⇔ − 2t − = ⇔ t = − Ta cã : Min f = min{f( − 1), f(− ), f(1)} = min{m + 3, m + 13 , m + t∈D 1} = m + đạt đợc :  π + kπ , k∈Z 13  Max f = max{f( − 1), f(− ), f(1)} = max{m + 3, m + ,m+ t∈ D 1} 13 =m+ đạt đợc : t = 1⇔ sin2x = ⇔ x = π  x = − 12 + kπ 1 t=− ⇔ sin2x = − ⇔  , k∈Z 2 x = π + kπ  12  Ta cã : y2 ≤ 36 ∀x ⇔ − ≤ y ≤  Min f ≥ −  m + ≥ −  t∈ D  ⇔  ⇔ 13 ⇔ − ≤ m ≤  Max f ≤  m + ≤ t∈ D VËy, víi − ≤ m ≤ 11 11 thoả mÃn điều kiện đầu Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhỏ nhÊt cđa hµm sè y = |1 + 2cosx| + |1 + 2sinx| Giải Vì y > với x nên ta xét hàm số : Y = y2 = + 4(sinx + cosx) + 2|1 + 2(sinx + cosx) + 4sinx.cosx| Đặt X = sinx + cosx ®iỊu kiƯn |X|≤ ⇒ 2sinx.cosx = X2 − VËy : Y = + 4X + 2|1 + 2X + 2(X2 − 1)| 15 =  − 1− − 1+ ]∪ [ , 2]  4X + 8X + X ∈ [− ,  2  − 1− − 1+  − 4X2 + X ∈ [ , ]  2   MiÒn xác định D = [ Đạo hàm : Y' =  2 ]  − 1− − 1+ ]∪ [ , 2]  8X + X ∈ [− ,  2  − 1− − 1+  − 8X X ∈ [ , ]  2  Bảng biến thiên : đặt x1 = X , − −1 − −1 + ; x2 = 2 −1 x1 x2 +∞ − Y' Y + + C§ CT − + CT Dựa vào bảng biến thiên, ta có : Min Y = min{Y( −1 − ),Y( −1 + )}= ( −1)2 ⇒ Miny = X∈D  − Max Y =max{Y(− ),Y(0),Y( )}=4( +1)2 ⇒ Maxy = 2( X∈D +1) VÝ dơ 6: Cho x, y tho¶ m·n x ≥ 0, y ≥ vµ x + y = HÃy tìm giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc : P= x y + y +1 x +1 khoảng < x < + ∞ Gi¶i Ta cã : 16 P= x( x +1) + y(y +1) x y ( x + y )2 − xy +1 + = = = y +1 ( x +1)(y +1) xy + x + y +1 x +1 2 xy +xy Đặt t = xy, ta có t 1= x+y2 xy Vậy điều kiện t ≤ XÐt hµm sè f(t) =  ⇔ xy ≤ 1 hay t ≤ 4 −2t trªn D = [0, ] +t Đạo hàm : f'= < tD hàm số nghịch biến D (2 + t ) Ta cã : • Min f = f( ) = MinP = đạt ®ỵc : t∈D t= ⇒ • x+ y =   ⇔x=y=  xy = Max f = f(0) = MaxP = đạt đợc : t∈ D t=0⇔  x + y = x =0 vµ y =1 ⇔ x =1 vµ y =0  xy =   VÝ dô 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : F= a4 b + b4 a −( a2 b + b2 a )+ a b + với a, b b a Giải Đặt x = a b + , ®iỊu kiƯn |x| ≥ b a Khi ®ã : a2 b2 + b2 a2 = x2 − vµ a4 b4 + b4 a4 = ( x2 − 2)2 − 17 VËy : F = ( x2 − 2)2 − − (x2 − 2) + x = x4 − 5x2 + x + XÐt hµm sè F = x4 − 5x2 + x + Miền xác định D = ( , 2][2, + ) Đạo hàm : F' = 4x3 − 10x + 1, F'' = 12x2 − 10 > ∀|x| ≥ ⇒ F ' đồng biến Vậy : Với x ta cã F '(x) ≥ F'(2) = 13 > F đồng biến - - Với x − ta cã F'(x) ≤ F'( − 2) = 11 < F nghịch biến Bảng biÕn thiªn : x −∞ −2 +∞ − F' 11 13 + + 2 Dựa vào bảng biến thiªn, ta cã : F +∞ MinF = − 2, đạt đợc x= a b + = ⇔ a = − b ≠ b a Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho hàm số : y = x3 3x a Khảo sát biến thiên hàm số b Sử dụng đồ thị hàm số tìm giá trị lớn nhỏ cđa hµm sè : y = − sin3x − 3sin3x Bài tập 2: Tìm giá trị lớn hàm sè a y= b y= x −1 + −x + −x 1+x Bµi tËp 3: Tìm giá trị lớn hàm số a y = sinx + 3sin2x b y= c y = cos3x + 2sin2 + cos x + + sin x x Bµi tập 4: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : 18 a y = sin20x + cos20x (cos4x − cos8x) b y = 2(1 + sin2x.cos4x) Bài tập 5: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè : a y = 1 π + víi x ∈ (0, ) sin x cos x b y = 2sin2x + 4sinx.cosx + c y = 4x + π2 + sinx khoảng (0, + ) x Bài tập 6: Cho hµm sè : a cos 3x − sin 3x + y= cos 3x + a T×m giá trị lớn nhỏ hàm số b Xác định a để giá trị lớn hàm số nhỏ Bài tập 7: Với a Tìm giá trị nhỏ cđa hµm sè y= a + cos x + a +sin x Bµi tËp 8: TÝnh chiỊu cao cđa hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R để hình nón tích lớn Bài tËp 9: Cho hµm sè : y = x2 − 2ax + 2a Xác định a để giá trị nhỏ hàm số đoạn [ 1, 0] Bài tập 10: Tìm giá trị lớn hàm số : a y = 4x4 12x3 + 10x2 đoạn [0, ] b y = |x3 + 3x2 − 72x + 90| trªn ®o¹n [ − 5, 5] π π c y = 5cosx cos5x đoạn [ , ] 4 Bài tập 11: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : a y = b y = x + x đoạn [3, 6] cos x đoạn [ , ] 2 + sin x Bµi tËp 12: Cho hµm sè : y = x4 − 2mx2 + 4, với m > Tìm giá trị nhỏ hàm số đoạn [0, m] Bài tập 13: Cho hµm sè : y = x4 − 6bx2 + b2 19 Tìm giá trị nhỏ hàm số đoạn [ 2, 1] Bài tập 14: Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn A = |x1x2 − 2(x1 + x2)| Bµi tËp 15: Cho phơng trình : x2 (2sin 1)x + 6sin2 sin = a Với giá trị phơng trình có nghiệm b Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức x + x α thay ®ỉi Bài tập 16: Tìm giá trị lớn hàm sè : y = lg2x + lg x + Bài tập 17: Tìm giá trị lớn nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè : y = sinx − cos2x + Bµi tËp 18: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm sè : y= cos4 x + sin x sin x + cos2 x Bài tập 19: Tìm giá trị lớn nhỏ nhÊt cđa hµm sè : y = |1 − 2cosx| + |1 2sinx| Bài tập 20: Giả sử x y thay đổi thoả mÃn x > 0, y > x + y = HÃy tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : P= x −x + y −y Bạn đọc muốn có tài liệu lời giải tập xin liên hệ tới Nhóm Cự Môn 20 ... 2: Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn Để tìm giá trị lớn nhÊt, nhá nhÊt cđa hµm sè : y = f(x) [a, b], với f(x) liên tục đoạn [a, b] có đạo hàm khoảng (a, b), ta thực theo bớc : Bớc 1: Tính đạo hàm. .. giá trị phơng trình có nghiệm b Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình Tìm giá trị lớn nhỏ biÓu thøc x + x α thay đổi Bài tập 16: Tìm giá trị lớn cđa hµm sè : y = lg2x + lg x + Bài tập 17: Tìm giá trị. .. đổi hàm số ban đầu dạng để xác định ẩn phụ y = F((x)) Bớc 2: Đặt t = (x), ta cã : Bíc 3:  §iỊu kiƯn cđa Èn t Dt y = F(t) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = F(t) Dt Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ giá