Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Ứng dụng đạo hàm tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất

Bản quyền thuộc Nhúm Cự Mụn của Lờ Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều cỏc em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhúm Cự Mụn luụn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời cỏc thắc mắc  Đăng kớ “Học tập từ xa”

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1: Phơng pháp khảo sát trực tiếp

Vấn đề 2: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Vấn đề 3: Phơng pháp khảo sát gián tiếp

Học Toỏn theo nhúm (từ 1 đến 6 học sinh) cỏc lớp 9, 10, 11, 12

Giỏo viờn dạy: Lấ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngừ 86  Đường Tụ Ngọc Võn  Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kớ học cho con liờn hệ 0936546689

1

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

A Tóm tắt lí thuyết

Cho hàm số :

y = f(x) xác định trên tập D

 Số M đợc gọi là giá trị lớn nhất của hàm số nếu :

f(x)  M x  D

f(x0) = M với ít nhất một giá trị x0  D

Ta kí hiệu M = Maxy

D

 Số m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số nếu :

f(x)  m x  D

f(x0) = m với ít nhất một giá trị x0  D

Ta kí hiệu m = Miny

D

Cũng cần chú ý Maxy

D

D x của hàm số có thể không tồn tại

B phơng pháp giải toán

Vấn đề 1: phơng pháp khảo sát trực tiếp

Ta thực hiện theo các bớc :

Bớc 1: Miền xác định

Bớc 2: Đạo hàm y', rồi giải phơng trình y’ = 0

Bớc 3: Lập bảng biến thiên

Bớc 4: Kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số dựa trên bảng

biến thiên

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

y = 4x33x4

Giải

Miền xác định D = R.

Đạo hàm :

y' = 12x212x3,

y' = 0  12x212x3 = 0  12x2(1x) = 0  x = 1 hoặc x = 0 Bảng biến thiên : với lu ý rằng dấu của y' chỉ phụ thuộc vào dấu của 1x

x 

y 

CĐ

Dựa vào bảng biến thiên, ta có Maxy = 1, đạt đợc khi x = 1

2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x2 +

x

2 với x > 0

Giải

Xét hàm số trên tập D = (0, + )

Đạo hàm :

y' = 2x

2 x

2

,

y' = 0  2x

2 x

2

= 0  x = 1

Bảng biến thiên :

x 

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

y

Min

D

x = 3, đạt đợc khi x = 1

Chú ý : Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên chúng ta hoàn toàn có thể sử

dụng bất đẳng thức Côsi, cụ thể :

y = x2 +

x

2

= x2 +

x

1

+

x

1 Côsi

x

1 x

1

 Miny

D

x = 3, đạt đợc khi x2 =

x

1

 x = 1

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

y = x  2 + 4  x

Giải

Điều kiện :













0 x 4

0 2 x

 2  x  4

Vậy D = [2,4]

Đạo hàm :

y' =

2 x 2

1

 

x 4 2

1

y' = 0 

2 x 2

1

x 4 2

1

  x = 3

Bảng biến thiên :

x 

3

y 2 CĐ2 2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

D

x = 2, đạt đợc khi x = 3

 Miny

D

x = 2 , đạt đợc khi x = 2 hoặc x = 4

Chú ý : Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên, chúng ta hoàn

toàn có thể sử dụng các phép biến đổi đại số và bất đẳng thức, cụ thể :

y = x  2 + 4  x Bunhiacôpxki

 (11)(x 24 x) = 2

 Maxy

D

x = 2, đạt đợc khi x  2 = 4  x  x = 3

y = x  2 + 4  x  y2 = x2 + 4x + 2 ( x  2 )( 4  x )

 2

 y  2

 Miny

D

x = 2 , đạt đợc khi ( x  2 )( 4  x ) = 0  x = 2 hoặc x

= 4

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

y = cosx + sinx

Giải

Điều kiện :







 0 x sin

0 x cos

 2k  x 

2

 + 2k, kZ.

Do hàm số tuần hoàn với chu kì 2 nên ta chỉ cần xét trong D = [0,

2



]

Đạo hàm :

y' = 

x cos 2

x sin

+

x sin 2

x cos

,

y' = 0 

x cos 2

x sin

=

x sin 2

x cos

 x =

4



Bảng biến thiên :

x 

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

 Miny = 1, đạt đợc khi x = 2k hoặc x =

2



+ 2k , kZ.

 Maxy = f(

4



) = 48, đạt đợc khi x =

4



+ 2k , kZ.

4

Ví dụ 5: Cho phơng trình :

x2 + (2a6)x + a)x + a13 = 0 với a1 Tìm a để nghiệm lớn của phơng trình đạt giá trị lớn nhất

Giải

Ta có :

 = a27a + 22 > 0, a + 22 > 0, a

tức là, phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt :

x1 = 3a a2 7a + 22 > 0, a 22



 và x2 = 3a + a2 7a + 22 > 0, a 22



Khi đó, bài toán dẫn đến :

" Tìm tất cả các giá trị của a[1, + ), để biểu thức 3a +

22

a

7a + 22 > 0,

a2  nhận giá trị lớn nhất "

Xét hàm số :

y = 3a + a2 7a + 22 > 0, a 22



trên tập D = [1, + )

Đạo hàm :

y' = 1 +

22 a 7a + 22 > 0, a 2

7a + 22 > 0, a 2

2  



=

22 a 7a + 22 > 0, a 2

22 a 7a + 22 > 0, a 2 7a + 22 > 0, a 2

2 2













ta có :

2 a2 7a + 22 > 0, a 22



 = (2a 7a + 22 > 0, )2 39 > 2a7a + 22 > 0,  2a7a + 22 > 0,

Do đó y' < 0, với a  1  hàm số nghịch biến trong khoảng [1, + ) Bảng biến thiên :

a 

 Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

y

Max

D

x = 6)x + a, đạt đợc khi a = 1

Vậy, nghiệm lớn của phơng trình có giá trị lớn nhất bằng 6)x + a đạt đợc khi a = 1

Ví dụ 6: Thể tích của một hình lăng trụ tứ giác đều bằng V Cạnh đáy của hình lăng trụ đó phải bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình lăng trụ

đó là nhỏ nhất ?

Giải

Gọi x là cạnh đáy và h là đờng cao của lăng trụ

Ta có :

V = x2.h  h =

2 x

V

Diện tích toàn phần của lăng trụ là :

Stp = 2x2 + 4xh = 2x2 +

x

V 4

Vậy diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất

5

 2x2 +

x

V 4

nhỏ nhất

Ta xét hàm số :

y = 2x2 +

x

V

 Miền xác định D = (0, + )

 Đạo hàm :

y' = 4x

2 x

V 4

,

y' = 0  4x

2 x

V 4

= 0  x = 3

V

 Bảng biến thiên :

x 

y +  6)x + a3 V2

CT

+ 

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

Miny = 6)x + a3 2

V , đạt đợc khi x = 3

V Vậy MinStp = 6)x + a3 2

V đạt đợc khi x = 3 V .

Ví dụ 7: Xác định a để giá trị nhỏ nhất của hàm số :

y = 4x24ax + a22a trên đoạn [2, 0] bằng 2

Giải

Xét hàm số trên tập D = [2, 0]

Đạo hàm :

y' = 8x4a,

y' = 0  8x4a = 0  x =

2

a

Xét ba trờng hợp :

Trờng hợp 1 : Nếu

2

a

< 2  a < 4 (1)

Bảng biến thiên :

x 

y

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

y

Min

D

x = y(2) = a2 + 6)x + aa + 16)x + a  a2 + 6)x + aa + 16)x + a = 2 vô nghiệm

6)x + a

Trờng hợp 2 : Nếu 2 

2

a

 0  4 a  0 (2)

Bảng biến thiên :

x 

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

y

Min

D

x = y(

2

a ) = 2a  2a = 2  a = 1 thoả mãn (2)

Trờng hợp 3 : Nếu

2

a

Bảng biến thiên :

x 

y

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

y

Min

D

x = y(0) = a22a  a22a = 2



















3 1 a

3 1 a

 a = 1 + 3 thoả mãn (3)

Vậy, với a = 1 hoặc a = 1 + 3 thoả mãn điều kiện đầu bài

Vấn đề 2: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên

một đoạn

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

y = f(x)

trên [a, b], với f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b),

ta thực hiện theo các bớc :

Bớc 1: Tính đạo hàm y’

Bớc 2: Tìm các điểm tới hạn thuộc (a, b) của hàm số (thông thờng là

giải phơng trình y' = 0 để tìm các nghiệm x  (a, b)) Giả sử các nghiệm là x1, x2,

Bớc 3: Tính các giá trị f(a), f(b), f(x1) , f(x2),

Bớc 4: Từ đó :

 xMin[a,b]y = Min{f(a), f(b), f(x1) , f(x2), }

 xMax[a,b]y = Max{f(a), f(b), f(x1) , f(x2), }

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

7a + 22 > 0,

y = f(x) = sin2xx trên [

2



,

2



]

Giải

Xét hàm số trên D = [

2



,

2



]

Đạo hàm :

y' = 2cos2x1,

y' = 0  2cos2x1 = 0  cos2x =

2

1

 x = 

6)x + a



Ta có :

f(

2



) =

2



, f(

6)x + a



) = 

2

3 +

6)x + a



, f(

6)x + a



) =

2

3 

6)x + a



và f(

2



) = 

2



Vậy :

D

x = Max{

2



,

2

6)x + a



,

2

3 

6)x + a



,

2



} =

2



đạt đợc khi x

= 

2



 Miny

D

x = Min{

2



,

2

6)x + a



,

2

3 

6)x + a



,

2



} = 

2



đạt đợc khi

x =

2



Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :

y = f(x) =

x cos 2

x sin



với x  [0, ]

Giải

Xét hàm số trên D = [0, ]

Đạo hàm :

y' =

2 2

) x cos 2 (

x sin ) x cos 2 ( x cos







) x cos 2 (

x cos 2 1





,

) x cos 2 (

x cos 2 1





= 0  cosx = 

2

1

 x =

3

2

Ta có :

f(0) = 0, f(

3

2

) =

3

1

, f() = 0

Vậy :

D

x = Max{0,

3

1

} =

3

1

, đạt đợc khi x =

3

2

 Miny

D

x = Min{0,

3

1

} = 0, đạt đợc khi x = 0 hoặc x = 

8

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :

y = x + 2

x

2 

Giải

Điều kiện :

2x2  0   2  x  2

Suy ra D = [ 2 , 2 ]

Đạo hàm :

y' = 1

2

x 2

x



=

2 2

x 2

x x 2





y' = 0  2

x

2  = x  









2

2 x x 2 0 x

 x = 1

Ta có :

f( 2 ) =  2 , f(1) = 2 và f( 2 ) = 2

Vậy :

D

x = Max{ 2 , 2, 2 } = 2 đạt đợc khi x = 1

 Miny

D

x = Min{ 2 , 2, 2 } =  2 đạt đợc khi x =  2

Ví dụ 4: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình :

12x26)x + amx + m24 +

2 m

12

= 0

(1) Tìm m sao cho 3

1

x + 3

2

x đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Giải

Phơng trình (1) có nghiệm khi:

'  0  9m212(m24 +

2 m

12

)  0  4  m2  12  2 

m 2 3

Khi đó, theo định lí Viét, phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

















) m 12 4 m ( 12 1 x

.

x

2 m x

x

2 2 2

1

2

1

Khi đó :

3

1

x + 3

2

x = (x1 + x2)33x1x2(x1 + x2) =

2

m 

m 2

3

Xét hàm số y =

2

m 

m 2

3

trên tập D = [2 3, 2][2, 2 3]

Đạo hàm :

y' =

2

1 +

2 m 2

3

> 0 m  D

Do đó :

D

x = y(2 3) =

4

3

1

x + 3 2

x ) =

4

3

3 , đạt đợc m =

2 3

9

 Miny

D

x =y(2 3)=

4

3

1

x + 3 2

x ) =

4

3

3 , đạt đợc m= 2

3

Chú ý Trong bài toán trên ta chỉ xét hàm số trên [2 3, 2][2, 2 3] Nếu quên điều kiện   0 thì bài toán hoàn toàn sai

Ví dụ 5: Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ :



















3 a 2 a y x

1 a 2 y x

2 2

Xác định a để xy nhỏ nhất

Giải

 Trớc hết ta đi xác định a để hệ có nghiệm

Từ hệ (I) suy ra :

x2 + (2a1x)2 = a2 + 2a3

 2x22(2a1)x + 3a26)x + aa + 4 = 0 (1)

Hệ phơng trình (I) có nghiệm

 phơng trình (1) có nghiệm

 '  0  2a2 + 8a7a + 22 > 0,  0  2

2

2  a  2 +

2

2 (*)

 Xác định xy

Ta có

xy =

2

1 [(x + y)2(x2 + y2)] =

2

1

(3a26)x + aa + 4)

Vậy xy nhỏ nhất

 3a26)x + aa + 4 nhỏ nhất trong đoạn [2

2

2 , 2 +

2

2 ]

Xét hàm số Y = 3X26)x + aX + 4 trên D = [2

2

2 , 2 +

2

2 ].

Đạo hàm :

Y' = 6)x + aX6)x + a > 0, XD  hàm số đồng biến trên D

Ta có :

Y

Min

D

x = Y(2

2

2 ) =

2

2 6)x + a

11 

Vậy, Min(xy) =

2

2 6)x + a

11  đạt đợc khi a = 2

2

2

Vấn đề 3: phơng pháp khảo sát gián tiếp

Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng phơng pháp khảo sát gián tiếp đợc thực hiện thông qua việc sử dụng đối số mới t để đa hàm số ban

đầu về dạng y = F(t) đơn giản hơn

Vậy, để sử dụng phơng pháp chúng ta thực hiện theo các bớc sau :

10

Bớc 1: Biến đổi hàm số ban đầu về dạng mới để xác định ẩn phụ

y = F((x))

Bớc 2: Đặt t = (x), ta có :

 Điều kiện của ẩn t là Dt

 y = F(t)

Bớc 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = F(t) trên Dt

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

A =

1

| x cos

|

1

| x cos

| x cos





Giải

Đặt cosx = t điều kiện 0  t  1

Khi đó :

A =

1 t

1 t t

2 2





 = f(t).

Miền xác định D = [0, 1]

Đạo hàm :

f' =

2 2

) 1 t

(

t 4 t

2





> 0, tD  hàm số đồng biến trên D

Ta có ngay :

 Min f

D

t = f(0) = 1, đạt đợc khi :

t = 0  cosx = 0  x =

2

 + k, k  Z.

 Max f

D

t = f(1) = 2, đạt đợc khi :

t = 1  cosx = 1  sinx = 0  x = k, k  Z.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

y =

x cos x sin 1

x cos x sin 1

4 4

6)x + a 6)x + a







Giải

Biến đổi hàm số về dạng :

y =

x sin 2

1 2

x 2 sin 4

3 2

2 2





Đặt X = sin22x điều kiện 0  X  1

Khi đó :

11

y = F(X) =

X 2

1 2

X 4

3 2



 =

8 X 2

8 X 3



 .

Miền xác định D = [0, 1]

Đạo hàm :

) 8 X 2

(

8





< 0, XD  hàm số nghịch biến trên D

Ta có ngay :

 Miny

D

X = F(1) =

6)x + a

5 đạt đợc khi :

X = 1  sin22x = 1  cos2x = 0  x =

4

 + 2

k

D

X = F(0) = 1 đạt đợc khi :

X = 0  sin22x = 0  sin2x = 0  x =

2 k.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :

y = sin 2

x 1

x

x 1

x

 + 1

Giải

Đặt t = sin 2

x 1

x

 , ta có :

1 

2 x 1

x 2

  1 và [1, 1][

2



,

2



]

do đó :

sin(1)  sin

2 x 1

x

  sin1  sin1  t  sin1 Khi đó, hàm số đợc chuyển về dạng :

y = 2t2 + t + 2 = f(t)

 Miền xác định D = [sin1, sin1]

 Đạo hàm :

f' = 4t + 1, f' = 0  4t + 1 = 0  t =

4

1

D

 Bảng biến thiên :

t 

 sin1

12

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

1 Minf

D

t = min{f(sin1), f(sin1)} = 2sin21sin1 + 2, đạt đợc khi :

t = sin1 

2 x 1

x



= 1  x = 1

2 Maxf

D

t = f(

4

1 ) =

8 17a + 22 > 0, , đạt đợc khi

t =

4

1

 sin

2 x 1

x

4

1

Ví dụ 4: Cho hàm số :

y = cos22x + 2(sinx + cosx)23sin2x + m

Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Từ đó tìm m sao cho y2  36)x + a x

Giải

Ta có :

y = cos22x + 2(sinx + cosx)23sin2x + m

= (cos2x sin2x)2 + 2(sinx + cosx)23(1 + sin2x) + m + 3

= (sinx + cosx)2[(cosxsinx)2 1] + m + 3

= (1 + sin2x)(sin2x) + m + 3

Đặt t = sin2x điều kiện t 1

Khi đó, hàm số đợc chuyển về dạng :

y = t2t + m + 3 = f(t)

 Miền xác định D = [1, 1]

 Đạo hàm :

y' = 2t1,

y' = 0  2t1 = 0  t = 

2

1

Ta có :

 Minf

D

t = min{f(1), f(

2

1

), f(1)} = min{m + 3, m +

4

13

, m + 1}

= m + 1

đạt đợc khi :

t = 1 sin2x = 1  x =

4



+ k , kZ.

 Maxf

D

t = max{f(1), f(

2

1 ), f(1)} = max{m + 3, m +

4

13

, m + 1}

= m +

4

13

đạt đợc khi :

13

t = 

2

1

 sin2x = 

2

1

























π π

π π

k 12

7a + 22 > 0, x

k 12

x

, kZ.

Ta có :

y2  36)x + a x  6)x + a  y  6)x + a

















6)x + a f Max

6)x + a f

Min

D t

D

t  













6)x + a 4 13 m

6)x + a 1 m

  m 

4

11

Vậy, với  m 

4

11

thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

y = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx

Giải

Vì y > 0 với mọi x nên ta đi xét hàm số :

Y = y2 = 6)x + a + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinx.cosx

Đặt X = sinx + cosx điều kiện X 2  2sinx.cosx = X21

Vậy :

Y = 6)x + a + 4X + 21 + 2X + 2(X21)

=







































] 2 3 1 , 2 3 1 [ X khi 8

X

4

] 2 , 2 3 1 [ ] 2 3 1 , 2 [ X khi 4 X 8 X

4

2

2

 Miền xác định D = [ 2 , 2 ]

 Đạo hàm :

Y' =



































] 2 3 1 , 2 3 1 [ X khi X 8

] 2 , 2 3 1 [ ] 2 3 1 , 2 [ X khi 8 X 8

 Bảng biến thiên : đặt x1 =

2

3

1 

2

3

1 



X  

2

Y

CT

CĐ

CT

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

D

X = min{Y(

2

3

1 

2

3

1 

 )}= ( 31)2  Miny =

31

D

X =max{Y( 2 ),Y(0),Y( 2 )}=4( 2 +1)2  Maxy = 2( 2 +1)

14