Ứng dụng đạo hàm tìm giới hạn các hàm số phức tạp
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”
ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 3tính giới hạn của hàm số
A phơng pháp
Giả sử cần xác định giới hạn:
L =
0
x
xlim
→ Q(x) có dạng
0
0 ,
ta khéo léo biến đổi giới hạn trên về một trong các dạng:
Dạng I: Ta đợc:
L =
0
0 x
x x x
) x ( ) x ( lim
−
Dạng II: Ta đợc:
L =
0
0 x
x x x
) x ( ) x ( lim
−
→ P(x) = f ’(x0) P(x0) với P(x0) ≠∞ Dạng III: Ta đợc:
L =
0 0 0 0
x x
x x
) x ( g ) x ( g
x x
) x ( ) x ( lim 0
−
−
−
−
) x ( ' g
) x ( ' f 0
0
với g’(x0) ≠ 0
B các Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tính giới hạn:
L = xlim→2
2 x
2 x 4 3
−
− .
Giải
Đặt f(x) = 3 x , ta có f(2) = 2,
f ’(x) = 3 2
x 16 3
4
⇒ f ’(2) =
3
1 Khi đó:
L = xlim→2
2 x
) 2 ( ) x (
−
− = f ’(2) =
3
1
Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng, ta cần:
Thực hiện phép nhân liên hợp cho 3 4x − 2 là (3 4x )2 + 23 4x + 4.
Trang 4Ví dụ 2: Tính giới hạn:
L = limx 1
→ x 2x 3
3 8 x
2+ −
− + .
Giải
Cách 1: Sử dụng một hàm số.
Viết lại giới hạn dới dạng:
L = xlim→1
1 x
3 8 x
−
− + .
3 x
1 +
Đặt f(x) = x + 8 − 3, ta có f(1) = 0,
f ’(x) =
8 x 2
1
+ ⇒ f ’(1) =
6
1 Khi đó:
L = xlim→1
3 x
1 1 x
) 1 ( ) x (
+
−
4
1 = 24
1
Cách 2: Sử dụng hai hàm số.
Viết lại giới hạn dới dạng:
L = limx 1
→
1 x
3 x x
1 x
3 8 x
2
−
− +
−
− +
Đặt f(x) = x + 8 − 3, ta có f(1) = 0,
f ’(x) =
8 x 2
1
+ ⇒ f ’(1) =
6
1
Đặt g(x) = x2 + 2x − 3, ta có g(1) = 0,
g '(x) = 2x + 2 ⇒ g ’(1) = 4
Khi đó:
L = xlim→1
1 x
) 1 ( g ) x (
) 1 ( ) x (
−
−
−
−
=
) 1 ( ' g
) 1 ( ' f = 24
1
Nhận xét:
1 Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng, ta cần:
Thực hiện phép nhân liên hợp cho x + 8 − 3 là x + 8 + 3
Thực hiện phép phân tích x2 + 2x − 3 = (x − 1)(x + 2)
2 Các ví dụ trên chỉ mang tính minh hoạ cho phơng pháp nhng còn cha nêu lên đợc tính tiện lợi của phơng pháp Ta tiếp tục xem xét các ví dụ sau :
Trang 5Ví dụ 3: Tính giới hạn:
L = xlim→1
1 x
2 x
x3
−
−
Giải
Đặt f(x) = x3 − x − 2 , ta có f(1) = 0,
f '(x) = 3x2 − 2 3x−2 ⇒ f '(1) =
2
3 Khi đó:
L = xlim→1
1 x
) 1 ( ) x (
−
2
3
Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng, ta có thể
lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: Thực hiện ngay phép nhân liên hợp, ta đợc:
1
xlim
→ x 1
2 x
x3
−
−
− =
1
xlim
→ (x 1x)(x3 x 2x 2)
6
− +
−
+
−
= xlim→1
2 x x
2 x x x x x
3
2 3 4 5
− +
− + + +
2
3
Cách 2: Sử dụng phơng pháp gọi hằng số vắng, ta đợc:
1
xlim
→ x 1
2 x
x3
−
−
− =
1
xlim
→ x 1
1
x3
−
− +
1
xlim
→ x 1
2 x 1
−
−
−
= xlim→1( x2 + x + 1 ) + xlim→1
) 2 x 1 )(
1 x (
x 3
− +
−
−
= 3 + xlim→1
2 x 1
3
− +
−
= 2
3
Ví dụ 4: Tính giới hạn:
L = xlim→1
1 x
7 x x 5
2
3 2 3
−
+
−
Giải
Viết lại giới hạn dới dạng:
L = xlim→1
1 x
7 x x
−
+
−
1 x
1 + .
Đặt f(x) = 5 − x 3 − 3 x2+ 7, ta có f(1) = 0,
f '(x) = − 2
2
x 5 2
x
− − 3 2 2
) 7 x ( 3
x
+ ⇒ f '(1) = −
12
11 Khi đó:
L = xlim→1
1 x
1 1 x
) 1 ( ) x (
+
−
2
1 = −
24 11
Trang 6Nhận xét: Để xác định giới hạn trên, ta cần sử dụng phơng pháp gọi hằng số vắng:
1
xlim
→
1 x
7 x x 5
2
3 2 3
−
+
−
1
xlim
→
1 x
2 x 5
2
3
−
−
− −
1
xlim
→
1 x
2 7 x
2
3 2
−
− +
Sau đó, có thể lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: Sử dụng phép nhân liên hợp.
Cách 2: Sử dụng kết quả:
0 x
lim
→ x
1 ax 1
n + − =
n
a .
đợc chứng minh bằng cách đặt ẩn phụ t = n1+ax
Ví dụ 5: Tính giới hạn:
L = xlim→1
1 x
2 x 1
4
−
− +
Giải
Đặt f(x) = 42x−1+5x−2 , ta có f(1) = 0,
f '(x) = 4 3
) 1 x 2 ( 2
1
− + 5 5 ( 2 x 1 ) 4
1
− ⇒ f '(1) =
10
7 Khi đó:
L = limx 1
→ x 1
) 1 ( ) x (
−
− =
10
7
Ví dụ 6: Tính giới hạn:
L = xlim→0
x
2001 x
2 1 ) 2001 x
Giải
Đặt f(x) = (x2 + 2001)71−2x − 2001, ta có f(0) = 0,
f '(x) = 2x71−2x − 7 2 6
) x 2 1 ( 7
) 2001 x
( 2
−
+
⇒ f '(0) = −
7
4002 Khi đó:
L = xlim→0
0 x
) 0 ( ) x (
−
− = f’(0) = −
7
4002
Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng, ta cần sử
dụng phơng pháp gọi hằng số vắng, bằng cách thêm bớt P(x) = x2 + 2001 vào
tử thức làm xuất hiện giới hạn dạng :
Trang 71 ax 1
n + − .
Ví dụ 7: Tính giới hạn:
L = xlim→0
x 2 4 x
x sin 1 x 2 1
−
− +
+ +
Giải
Viết lại giới hạn dới dạng:
L = xlim→0
x
x 2 4 x x
x sin 1 x 1
−
− +
+ +
−
Đặt f(x) = 1 − x + 1 + sinx, ta có f(0) = 0,
f '(x) = −
1 x
1
+ + cosx ⇒ f '(0) = 0
Đặt g(x) = x + 4 − 2 − x, ta có g(0) = 0,
g '(x) =
4 x 2
3
+ − 1 ⇒ g '(0) = −
4
1 Khi đó:
L = xlim→0
0 x
) 0 ( g ) x (
) 0 ( ) x (
−
−
−
−
=
) 0 ( ' g
) 0 ( ' f = 0
Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng ta phải
thực hiện nh sau:
x 2 4 x
x sin 1 x 1
−
− +
+ +
x
x sin 1 x 2
1− + + ):(
x
x 2 4
x+ − − )
= (
x
1 x
1− + +
x
x sin ):(
x
2 4
x+ − − 1)
= (
) 1 x 2 1 ( x
x 2
+ +
−
+ x
x sin ):(
) 2 4 x ( x
x
+ + − 1)
= (
1 x 1
2
+ +
−
+ x
x sin ):(
2 4 x
3
+ + − 1)
Do đó:
Trang 8xlim
→ 1 x+x41−2sin−xx
+ +
0
xlim
→ (
1 x 1
2
+ +
− +
x
x sin ):(
2
4
x
3
+
+ − 1)
= 0
Bài tập đề nghị Bài tập 1: Tính các giới hạn sau:
a xlim→a
a x
a
xn n
−
− .
b xlim→1 n 2
) 1 x (
) 1 n ( nx x
−
− +
−
c xlim→1
1 x
n x
x
−
− + +
d xlim→a n n n21
) a x (
) a x ( na ) a x (
−
−
−
Bài tập 2: Tính các giới hạn sau:
a xlim→0
x 2
1 x
1+ − .
b xlim→1
2 x 3
8 x 5 x
− +
+
−
c xlim→1
4 x x
2 5 x
2
3
+
−
− +
d xlim→1
1 x
x 2
x 3
3
−
−
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
a xlim→0
x
a x
a+ − , a > 0.
b xlim→0
x
a x
c xlim→0
x
1 ax 1
n + − , a ≠ 0.
d xlim→0
x
a x
n + − , a > 0.
e xlim→0
x
bx 1 ax
n + − + , a, b ≠ 0.
f xlim→0
m p
m n
dx 1 cx 1
bx 1 ax 1
+
− +
+
− +
, ca − bd ≠ 0
Bài tập 4: Tính các giới hạn:
a xlim→0
x
x 8 x 1
b xlim→1
1 x
7 x x 5
2
3 2
−
+
−
c xlim→0
x sin
1 x 1
x+ −3 2+ .
d xlim→1
) 1 x ( tg
x 3 x
−
−
Bạn đọc muốn có tài liệu về lời giải các bài tập xin liên hệ
tới
Trang 9Nhãm Cù M«n