Ứng dụng đạo hàm tìm giới hạn

Ứng dụng đạo hàm tìm giới hạn các hàm số phức tạp

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 2 tính giới hạn của hàm số A. phơng pháp Giả sử cần xác định giới hạn: L = 0 xx lim Q(x) có dạng 0 0 , ta khéo léo biến đổi giới hạn trên về một trong các dạng: Dạng I: Ta đợc: L = 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 = f (x 0 ). Dạng II: Ta đợc: L = 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 .P(x) = f (x 0 ) .P(x 0 ) với P(x 0 ) Dạng III: Ta đợc: L = 0 0 0 0 xx xx )x(g)x(g xx )x(f)x(f lim 0 = )x('g )x('f 0 0 với g(x 0 ) 0. B. các Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tính giới hạn: L = 2x lim 2x 2x4 3 . Giải Đặt f(x) = 3 x4 , ta có f(2) = 2, f (x) = 3 2 x163 4 f (2) = 3 1 . Khi đó: L = 2x lim 2x )2(f)x(f = f (2) = 3 1 . Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng, ta cần: Thực hiện phép nhân liên hợp cho 3 x4 2 là ( 3 x4 ) 2 + 2 3 x4 + 4. 3 Ví dụ 2: Tính giới hạn: L = 1x lim 3x2x 38x 2 + + . Giải Cách 1: Sử dụng một hàm số. Viết lại giới hạn dới dạng: L = 1x lim 1x 38x + . 3x 1 + Đặt f(x) = 8x + 3, ta có f(1) = 0, f (x) = 8x2 1 + f (1) = 6 1 . Khi đó: L = 1x lim 3x 1 . 1x )1(f)x(f + = f (1). 4 1 = 24 1 . Cách 2: Sử dụng hai hàm số. Viết lại giới hạn dới dạng: L = 1x lim 1x 3x2x 1x 38x 2 + + . Đặt f(x) = 8x + 3, ta có f(1) = 0, f (x) = 8x2 1 + f (1) = 6 1 . Đặt g(x) = x 2 + 2x 3, ta có g(1) = 0, g '(x) = 2x + 2 g (1) = 4. Khi đó: L = 1x lim 1x )1(g)x(g 1x )1(f)x(f = )1('g )1('f = 24 1 . Nhận xét: 1. Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng, ta cần: Thực hiện phép nhân liên hợp cho 8x + 3 là 8x + + 3. Thực hiện phép phân tích x 2 + 2x 3 = (x 1)(x + 2). 2. Các ví dụ trên chỉ mang tính minh hoạ cho phơng pháp nhng còn cha nêu lên đợc tính tiện lợi của phơng pháp. Ta tiếp tục xem xét các ví dụ sau : 4 Ví dụ 3: Tính giới hạn: L = 1x lim 1x 2x3x 3 . Giải Đặt f(x) = x 3 2x3 , ta có f(1) = 0, f '(x) = 3x 2 2x32 3 f '(1) = 2 3 . Khi đó: L = 1x lim 1x )1(f)x(f = 2 3 . Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng, ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Thực hiện ngay phép nhân liên hợp, ta đợc: 1x lim 1x 2x3x 3 = 1x lim )2x3x)(1x( 2x3x 3 6 + + = 1x lim 2x3x 2xxxxx 3 2345 + ++++ = 2 3 . Cách 2: Sử dụng phơng pháp gọi hằng số vắng, ta đợc: 1x lim 1x 2x3x 3 = 1x lim 1x 1x 3 + 1x lim 1x 2x31 = 1x lim )1xx( 2 ++ + 1x lim )2x31)(1x( x33 + = 3 + 1x lim 2x31 3 + = 2 3 . Ví dụ 4: Tính giới hạn: L = 1x lim 1x 7xx5 2 3 23 + . Giải Viết lại giới hạn dới dạng: L = 1x lim 1x 7xx5 3 23 + . 1x 1 + . Đặt f(x) = 3 x5 3 2 7x + , ta có f(1) = 0, f '(x) = 2 2 x52 x3 3 22 )7x(3 x2 + f '(1) = 12 11 . Khi đó: L = 1x lim 1x 1 . 1x )1(f)x(f + = f(1). 2 1 = 24 11 . 5 Nhận xét: Để xác định giới hạn trên, ta cần sử dụng phơng pháp gọi hằng số vắng: 1x lim 1x 7xx5 2 3 23 + = 1x lim 1x 2x5 2 3 1x lim 1x 27x 2 3 2 + Sau đó, có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Sử dụng phép nhân liên hợp. Cách 2: Sử dụng kết quả: 0x lim x 1ax1 n + = n a . đợc chứng minh bằng cách đặt ẩn phụ t = n ax1 + . Ví dụ 5: Tính giới hạn: L = 1x lim 1x 2x1x2 54 + . Giải Đặt f(x) = 54 2x1x2 + , ta có f(1) = 0, f '(x) = 4 3 )1x2(2 1 + 5 4 )1x2(5 1 f '(1) = 10 7 . Khi đó: L = 1x lim 1x )1(f)x(f = 10 7 . Ví dụ 6: Tính giới hạn: L = 0x lim x 2001x21)2001x( 7 2 + . Giải Đặt f(x) = (x 2 + 2001) 7 x21 2001, ta có f(0) = 0, f '(x) = 2x 7 x21 7 6 2 )x21(7 )2001x(2 + f '(0) = 7 4002 . Khi đó: L = 0x lim 0x )0(f)x(f = f(0) = 7 4002 . Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng, ta cần sử dụng phơng pháp gọi hằng số vắng, bằng cách thêm bớt P(x) = x 2 + 2001 vào tử thức làm xuất hiện giới hạn dạng : 6 x 1ax1 n + . Ví dụ 7: Tính giới hạn: L = 0x lim x24x3 xsin1x21 + ++ . Giải Viết lại giới hạn dới dạng: L = 0x lim x x24x3 x xsin1x21 + ++ . Đặt f(x) = 1 1x2 + + sinx, ta có f(0) = 0, f '(x) = 1x2 1 + + cosx f '(0) = 0. Đặt g(x) = 4x3 + 2 x, ta có g(0) = 0, g '(x) = 4x32 3 + 1 g '(0) = 4 1 . Khi đó: L = 0x lim 0x )0(g)x(g 0x )0(f)x(f = )0('g )0('f = 0. Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng ta phải thực hiện nh sau: x24x3 xsin1x21 + ++ = ( x xsin1x21 ++ ):( x x24x3 + ) = ( x 1x21 + + x xsin ):( x 24x3 + 1) = ( )1x21(x x2 ++ + x xsin ):( )24x3(x x3 ++ 1) = ( 1x21 2 ++ + x xsin ):( 24x3 3 ++ 1). Do đó: 7 0x lim x24x3 xsin1x21 + ++ = 0x lim ( 1x21 2 ++ + x xsin ):( 24x3 3 ++ 1) = 0. Bài tập đề nghị Bài tập 1: Tính các giới hạn sau: a. ax lim ax ax nn . b. 1x lim 2 n )1x( )1n(nxx + . c. 1x lim 1x nx .xx n2 +++ . d. ax lim 2 1nnn )ax( )ax(na)ax( . Bài tập 2: Tính các giới hạn sau: a. 0x lim x2 1x21 + . b. 1x lim 2x3 8x5x4 + ++ . c. 1x lim 4x5x 25x3 2 3 + + . d. 1x lim 1x x2x 33 . Bài tập 3: Tính các giới hạn: a. 0x lim x axa + , a > 0. b. 0x lim x axa 33 + . c. 0x lim x 1ax1 n + , a 0. d. 0x lim x axa nn + , a > 0. e. 0x lim x bx1ax1 mn ++ , a, b 0. f. 0x lim m p mn dx1cx1 bx1ax1 ++ ++ , ca bd 0. Bài tập 4: Tính các giới hạn: a. 0x lim x x8x12 3 + . b. 1x lim 1x 7xx5 2 3 2 + . c. 0x lim xsin 1x1x2 3 2 ++ . d. 1x lim )1x(tg x23x + . Bạn đọc muốn có tài liệu về lời giải các bài tập xin liên hệ tới 8 Nhãm Cù M«n 9 . điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9,. 0936546689 1 2 tính giới hạn của hàm số A. phơng pháp Giả sử cần xác định giới hạn: L = 0 xx lim Q(x) có dạng 0 0 , ta khéo léo biến đổi giới hạn trên về một