Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN IV: O HM Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 1 Phần IV: Đạo hàm chủ đề 5 sử dụng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn của hàm số I. Kiến thức cơ bản Nhắc lại định nghĩa : f'(x O )= 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 . Bài toán 1. Sử dụng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn của hàm số . phơng pháp chung Giả sử cần xác định giới hạn L= 0 xx lim Q(x), ta có thể thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Xác định một hàm f(x) f(x 0 ) Xác định f(x) f(x 0 ). Bớc 2 : Khéo léo biến đổi giới hạn trên về một trong các dạng: L= 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 = f(x 0 ) hoặc L= 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 .P(x) = f(x 0 ) .P(x 0 ) với P(x 0 ) Đôi khi còn sử dụng nhiều hơn một đạo hàm, ví dụ: L= 0 0 0 0 xx xx )x(g)x(g xx )x(f)x(f lim 0 = )x('g )x('f 0 0 với g(x 0 )0 Ví dụ 1: Tính giới hạn 1x lim 1x 1x 2 . Giải. Đặt f(x)=x 2 -1, ta có: f(1)=0 f(x)=2x f(1)=2. Khi đó: 1x lim 1x 1x 2 = 1x lim 1x )1(f)x(f = f(1)=2. Ví dụ 2: Tính giới hạn 1x lim 3x2x 38x 2 + + . Giải. Đặt f(x)= 8x + -3, ta có: f(1)=0, f(x)= 8x2 1 + f(1)= 6 1 . Đặt g(x)=x 2 +2x -3, ta có: g(1)=0, g'(x)=2x+2 g(1)=4. 2 Chủ đề 5: Sử dụng định nghĩa đạo hàm tính giới hạn của hàm số Khi đó: 1x lim 3x2x 38x 2 + + = 1x lim 1x )1(g)x(g 1x )1(f)x(f = )1('g )1('f = 24 1 . Nhận xét: để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng, ta cần: Thực hiện phép nhận liên hợp cho 8x + -3 là 8x + +3. Thực hiện phép phân tích thành nhân tử cho x 2 +2x-3=(x-1)(x+2). Ví dụ 3: Tính giới hạn 2x lim 2x 2x4 3 . Giải. Đặt f(x)= 3 x4 -2, ta có: f(2)=0, f(x)= 3 2 x163 4 f(2)= 3 1 . Khi đó: 2x lim 2x 2x4 3 = 2x lim 2x )2(f)x(f = f(2)= 3 1 . Nhận xét: a. Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng, ta cần: Thực hiện phép nhận liên hợp cho 3 x4 -2 là ( 3 x4 ) 2 +2 3 x4 +4. b. Ba ví dụ trên chỉ mang tính minh hoạ cho phơng pháp còn cha nêu nên đ- ợc tính tiện lợi của phơng pháp. Ta tiếp tục xém xét các ví dụ sau : Ví dụ 4: Tìm 1x lim 1x 7xx5 2 3 23 + . Giải. Đặt f(x)= 3 x5 - 3 2 7x + , ta có: f(1)=0, f(x)=- 2 2 x52 x3 - 3 22 )7x(3 x2 + f(1)=- 12 11 . Khi đó: 1x lim 1x 7xx5 2 3 23 + = 1x lim 1x 1 . 1x )1(f)x(f + = f(1). 2 1 = - 24 11 . Nhận xét: a. Để xác định giới hạn trên ta cần sử dụng phơng pháp gọi hằng số vắng, để chia giới hạn ban đầu thành hai giới hạn con là: 1x lim 1x 2x5 2 3 và 1x lim 1x 27x 2 3 2 + Sau đó sử dụng phép nhận liên hợp để xác định hai giới hạn đó. b. Cúng có thể sử dụng kết quả: bằng cách đặt ẩn phụ t= n ax1 + , dễ dàng chứng minh 3 Phần IV: Đạo hàm 0x lim x 1ax1 n + = n a . (*) Ví dụ 5: Tìm 0x lim x 2001x21)2001x( 7 2 + . Giải. Đặt f(x)=(x 2 +2001) 7 x21 -2001, ta có: f(0)=0, f(x)=2x 7 x21 - 7 6 2 )x21(7 )2001x(2 + f(0)= - 7 4002 . Khi đó: 0x lim x 2001x21)2001x( 7 2 + = 0x lim 0x )0(f)x(f = f(0)=- 7 4002 . Nhận xét: Để xác định giới hạn trên bằng phơng pháp thông thờng ta cần sử dụng phơng pháp gọi hằng số vắng, bằng cách thêm bớt P(x)=x 2 +2001 vào tử thức làm xuất hiện dạng x 1ax1 n + . II.Các bài toán chọn lọc Bài 1. (ĐHQG-98) Tính giới hạn: 1x lim 1x 2x3x 3 . bài giải Đặt f(x)=x 3 - 2x3 , ta có: f(1)=0, f(x)=3x 2 - 2x32 3 f(1)= 2 3 . Khi đó: 1x lim 1x 2x3x 3 = 1x lim 1x )1(f)x(f = 2 3 Bài 2. (ĐHQG/Khối A-97) Tính giới hạn: 0x lim x x8x12 3 + . bài giải Đặt f(x)=2 x1 + - 3 x8 , ta có: f(0)=0, f(x)= x1 1 + + 3 2 )x8(3 1 f(0)= 12 13 . Khi đó: 0x lim x x8x12 3 + = 0x lim 0x )0(f)x(f = 12 13 . Bài 3. (ĐHSP II/Khối A-99) Tính giới hạn: 1x lim 1x 2x1x2 54 + . bài giải Đặt f(x)= 54 2x1x2 + , ta có: f(1)=0, 4 Chủ đề 5: Sử dụng định nghĩa đạo hàm tính giới hạn của hàm số f(x)= 4 3 )1x2(2 1 + 5 4 )1x2(5 1 f(1)= 10 7 . Khi đó: 1x lim 1x 2x1x2 54 + = 1x lim 1x )1(f)x(f = 10 7 . Bài 4. (ĐHGTVT-98) Tính giới hạn: 0x lim x24x3 xsin1x21 + ++ . bài giải Đặt f(x)=1- 1x2 + +sinx, ta có: f(0)=0, f(x)= - 1x2 1 + + cosx f(0)=0. Đặt g(x)= 4x3 + -2-x, ta có: g(0)=0, g(x)= 4x32 3 + -1 g(0)=- 4 1 . Khi đó: 0x lim x24x3 xsin1x21 + ++ = 0x lim 0x )0(g)x(g 0x )0(f)x(f = )0('g )0('f =0. Bài 5. Tính các giới hạn: 1x lim )1x(tg x23x + . bài giải Đặt f(x)= 3x + -2x, ta có: f(1)=0, f(x)= 3x2 1 + -2 f(1)= - 4 7 . Khi đó: 1x lim )1x(tg x23x + = 1x lim 1x )1(f)x(f . )1x(tg 1x =- 4 7 . III.Bài tập đề nghị Bài tập 1. Tính các giới hạn sau: a. 1x lim 5x4x 1x3x2 2 2 ++ ++ b. 2x lim 2x3x 8x2xx 2 23 + + c. 1x lim 1x nx .xx n2 +++ d. ax lim ax ax nn e. 1x lim 2 n )1x( )1n(nxx + f. ax lim 2 1nnn )ax( )ax(na)ax( Bài tập 2. Tính các giới hạn sau: a. 0x lim x2 1x21 + b. 0x lim 3x9 x4 + 5 PhÇn IV: §¹o hµm c. 1x lim → 2x3 8x5x4 −+ +−+ d. 1x lim → 4x5x 25x3 2 3 +− −+ e. 0x lim → 11x x 3 −+ f. 1x lim → 1x x2x 33 − −− Bµi tËp 3. TÝnh c¸c giíi h¹n: a. 0x lim → x axa −+ (a>0) b. 0x lim → x xaxa −−+ (a>0) c. ax lim → 22 ax xaax − −+− d. 0x lim → x axa 33 −+ e. 0x lim → x 1x1 n −+ f. 0x lim → x 1ax1 n −+ (a≠0) g. 0x lim → x axa nn −+ (a>0) h. 0x lim → x bx1ax1 mn +−+ i. 0x lim → m p mn dx1cx1 bx1ax1 +−+ +−+ (ca-bd≠0) Bµi tËp 4. TÝnh c¸c giíi h¹n: a. (§HQG 2000) 0x lim → xsin 1x1x2 3 2 +−+ . b. (§HTCKT - 2001): 1x lim → 1x 7xx5 2 3 2 − +−− . c. (§HSP II -2000): 4/x lim π→ tg2x.tg( 4 π -x). 6 . hàm số I. Kiến thức cơ bản Nhắc lại định nghĩa : f'(x O )= 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 . Bài toán 1. Sử dụng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn của hàm. trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 1 Phần IV: Đạo hàm chủ đề 5 sử dụng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn của