dùng đạo hàm tìm giá trị LN, NN của hàm số

Ôn tập phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp hàm số.. Hệ thống một số dạng toán tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phương pháp đổi biến số.. Hệ thống một số dạ

NỘI DUNG ÔN TẬP ỨNG DỤNG VỀ ĐẠO HÀM Chương 1 Ôn tập phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

hàm số

Chương 2 Hệ thống một số dạng toán tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phương pháp đổi

biến số

Chương 3 Hệ thống một số dạng toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức nhiều biến số

bằng phương pháp đổi biến số

Các dạng toán:

a Căn cứ vào mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức để phát hiện ra cách đổi biến

b Phương pháp đổi biến số S = x + y, P = x.y đối với bài toán tìm GTLN, NN của biểu thức đối xứng theo 2 biến số x, y

c Phương pháp đổi biến số đối với biểu thức đối xứng theo 3 biến số x, y, z

d Tìm GTLN, NN qua biểu thức trung gian (do biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến)

CHƯƠNG 1 ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG CÁCH

KHẢO SÁT TRỰC TIẾP HÀM SỐ 1.1/ Phương pháp giải bài toán: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D.

Phương pháp chung

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận

Lưu ý 1: Nếu D là đoạn [a; b] thì có thể làm như sau:

- Tính đạo hàm y’

- Tìm các nghiệm của y’ trong đoạn [a; b], giả sử các nghiệm này là x1, x2

- Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2)

- KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b]

Lưu ý 2: Khi KL về GTLN, GTNN tìm được phải nêu rõ nó đạt được khi x nhận giá trị nào.

1.2/ Bài tập tự luyện - Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các hàm số sau:

2

2

2 3 ( )

1

x

f x

x

+

= +

( ) sin 2 , ;

2 2

  f(x)=5cosx–cos5x, 4 x 4.

− ≤ ≤

x

s inx+2cos

2

cosx+2sin

2

∈ 

y= x+ x+ − +x −x y= x2+ + −x 1 x2− +x 1,x∈ −[ ]1;1 y= − + +x2 4x 21 − − + +x2 3 10x

CHƯƠNG 2 HỆ THỐNG BÀI TẬP TÌM GTLN, NN CỦA HÀM SỐ BẰNG

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1.1/Phương pháp giải

Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước)

Bước 1 Lựa chọn cách đặt ẩn phụ t theo x.

Bước 2 Chuyển ĐK của biến số x sang ĐK của biến số t Giả sử tìm được t K∈

Bước 3 Chuyển bài toán ban đầu thành bài toán mới đơn giản hơn Cụ thể là: Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(t) trên tập số K.

1.2/ Ví dụ minh họa

Trước tiên sẽ lưu ý đến sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải một bài toán bằng phương pháp đổi biến số nói chung, và bài toán tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp đổi biến nói riêng thông qua ví dụ sau:

Ví dụ 1

• Sai lầm thường gặp

Đặt t = sinx, ta có hàm số theo t: ( ) 2 1

1

t

f t

+

=

Ta có:

2 '

2 ( )

f t

− −

= + + , f ’ (t) = 0 ⇔

0 2

t t

=



 = −

 ; xlim ( ) 0f x

Bảng biến thiên của hàm số f(t) như sau:

t −∞ -2 0 +∞

f ’ (t )

0 + 0

-f(t)

0 1

1

3

− 0

Từ BBT suy ra:

3

1 ) 2 ( ) inf(t = f − =−

Từ đó có GTNN, GTLN của hàm số ban đầu lần lượt là

3

1

− và 1.

• Phân tích sai lầm

Theo lời giải trên thì hàm số f(x) nhận GTNN là

3

1

− khi: sinx = -2, điều này không xảy ra.

sin 1 sin sin 1

x y

+

=

Mặc dù đã lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí nhưng chưa tìm điều kiện cho nó dẫn đến bài

toán tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới ( ) 2 1

1

t

f t

+

= + + không tương thích với bài

toán ban đầu (ngoài ví dụ đang xét thì trong các ví dụ sau đều phải lưu ý điều này)

• Lời giải đúng

Đặt t = sinx, điều kiện − ≤ ≤ 1 t 1.

Bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số 2

1 ( )

1

t

f t

+

= + + trên đoạn [−1;1].

Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn [−1;1] như sau:

t -1 0 1 +∞

f ’ (t) + 0

1

f(t)

2

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN, GTLN của hàm số f(t) trên đoạn [−1;1] lần lượt là 0 (khi

và chỉ khi t = -1) và 1 (khi và chỉ khi t = 0)

Từ đó có: Maxy = 1 đạt được khi và chỉ khi: x=kΠ, Miny = 0 khi và chỉ khi: −Π + 2Π

2 k

Nhận xét

Nếu biểu thức xác định của hàm số có thể phân chia thành các nhóm số hạng và giữa chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua nhau thì ta

có thể đưa bài toán đó về bài toán đơn giản hơn bằng phương pháp đổi biến số

Mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức xác định hàm số ở ví dụ trên là rõ ràng

dễ thấy, điều này giúp ta phát hiện cách đổi biến số không mấy khó khăn, tuy nhiên có những trường hợp mối liên hệ giữa các nhóm số hạng được ẩn kín bên trong, đòi hỏi nhiều phép biến đổi

và có cách nhìn tinh mới phát hiện ra được

Ví dụ 2

Nhận xét và hướng dẫn giải

Xét mối liên hệ giữa hai nhóm số hạng: sinx + cosx và sinx cosx,

Chúng có mối liên hệ với nhau bởi hệ thức dễ thấy sau

(sinx + cosx) 2 = sin 2 x + cos 2 x + 2sinx cosx = 1 + 2sinx cosx,

Nhận xét đó gợi cho ta suy nghĩ, đặt ẩn phụ sin cos 2 sin

4

 , với điều kiện

của biến số mới là − 2≤ ≤u 2

Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = sinx + cosx + sinx cosx

Khi đó sin cos 2 1

2

u

x x= − và bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số 2 1

( )

2

u

trên đoạn − 2; 2 

Trên đoạn − 2; 2 dễ dàng tìm được GTNN, GTLN của hàm số f(u) lần lượt là -1 (khi

và chỉ khi u = -1) và

2

1

2+ (khi và chỉ khi u = 2)

Từ đó có GTNN, LN của hàm số ban đầu

Ví dụ 3

Nhận xét và hướng dẫn giải

Ta có: sin4x + cos4x = 1 2

1 sin 2

− và sin cos 1sin 2

2

x x= x

Từ phân tích trên ta thấy nếu đặt t = sin2x (điều kiện − ≤ ≤1 t 1) ta có hàm số theo biến số t sau: 1 2 1

Và bài toán trở thành tìm GTNN, GTNN của hàm số h(t) trên đoạn [-1; 1].

Đáp số: Maxy = 17

8 ⇔

12

x= Π + Πk

hoặc 5

12

; Miny = 2 ⇔ ( )

4

x=Π+ Πk k Z∈

Ví dụ 4

Nhận xét và hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là D= −[ 1;3].

Để ý rằng: ( )2

1 3 4 2 ( 1)(3 )

Vì thế nếu đặt t= x+ −1 3−x thì ( 1)(3 ) 4 2

2

t

và ta có hàm số theo biến t sau:

2

2

t

g t = + −t

Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý rằng t2 = −4 2 (x+1)(3−x) 4,≤ ∀ ∈ −x [ 1;3], từ đó suy

ra − ≤ ≤2 t 2.(hoặc lập BBT của hàm số t x( )= x+ −1 3−x trên D= −[ 1;3] để suy ra − ≤ ≤2 t 2.)

Bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số ( ) 2 2

2

t

g t = + −t trên đoạn [−2; 2]

Đáp số: Maxy = 2 ⇔x = 3; Miny =

2

5

2

7

1−

=

x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau bằng phương pháp đổi biến số:

Tìm GTNN, GTLN của hàm số y= x+ −1 3− −x (x+1)(3−x)

Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = sin4x +cos4x +sinx.cosx +1

y =

1 cos

1 cos cos

2 2

+

+ +

x

x x

4 cos

1 4

sin

1

−

− +

=

x x

y y=sin6x+cos6x a+ .sin cosx x

(với a là tham số)

x x

2

1 ) 4 cos 2 sin 1 (

x x

x x

2 4

cos 2 sin

3

sin 4 cos

3

+

+

x x

x x

4 4

6 6

cos sin

1

cos sin

1

+ +

+

+

2

cos sin (2cos sin )

x y

=

− , với 0 x 3 .

Π

< ≤

3

1−x + 1−x y=(4cos4α+3sin )(4sin2α 4α+3cos ) 25sin2α + 2αcos 2α

2 2

5 8 8 4

2

2 3 4

+

−

+

− +

−

x x

x x x

( )

f x

=

CHƯƠNG 3 TÌM GTLN, NN CỦA BIỂU THỨC CÓ NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG

PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 2.1/Phương pháp giải

Để tìm GTLN, GTNN của một biểu thức có chứa nhiều hơn một biến số nào đó ta có thể dùng phương pháp đổi biến số như sau:

Bước 1 Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới

Bước 2 Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban đầu).

Bước 3 Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tương ứng với điều kiện của nó.

Một số bất đẳng thức cơ sở thường sử dụng:

1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có:

2

2

2 /( ) 4 3/ 2( ) ( )

4 /

+ ≥

2/ BĐT Côsi - Với a, b, c không âm, ta có: 3 ( )3

a b+ ≥ ab a b c+ + ≥ abc a b c+ + ≥ abc

2.2/ Ví dụ minh họa

a Căn cứ vào mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức để phát hiện ra cách đổi biến.

Ví dụ 1

Nhận xét và hướng dẫn giải

Cho x, y, z là các số dương Tìm GTNN của biểu thức

3

x y z P

x y z xyz

+ +

+ +

Dễ thấy x y z3 3 xyz 1

x y z xyz

+ + , do đó nếu đặt 3

x y z t

xyz

+ +

= ta được biểu thức theo biến số t là:

1

( )

t

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: t x y z3 333 xyz 3

+ +

Do đó bài toán quy về tìm GTNN của hàm số P t( ) t 1

t

= + trên khoảng [3;+∞)

Vì ' 2

2

1

t

−

= > ∀ ≥ nên hàm số P(t) đồng biến trên khoảng [3;+∞)

Từ đó có [

)

3;

10 ( ) (3)

3

+∞ = = , đây cũng là GTNN của biểu thức P.

Ví dụ 2

Nhận xét và hướng dẫn giải

Ta có:

2

a

2

b

Từ (2a) và (2b) ta thấy nếu đặt t x y

= + thì: T t= −4 5t2+ +t 4,

Cũng từ (2a) có:

2

Bài toán trở thành: Tìm GTNN của hàm số T t( )= −t4 5t2+ +t 4 trên miền D= −∞ − ∪ + ∞( ; 2] [2; )

Ta có: T x'( ) 4= t3−10t+ =1 4 (t t2− + +4) 6 1t , để ý rằng t2 − ≥ ∀ ∈4 0, x D nên suy ra dấu của T ’ (t) trên D và có bảng biến thiên như sau:

t +∞ -2 2 +∞

T ’ (t

T(t)

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của T(t) trên D là -2 khi và chỉ khi: t = -2.

Cho x, y khác 0 Tìm GTNN của biểu thức

T

Từ đó có: Min(T) = -2, đạt được khi và chỉ khi x = - y (x và y khác 0)

Ví dụ 3

Nhận xét và hướng dẫn giải

Ta có H = ( )

x

y y

x y

x y







Vì thế nếu đặt t = y x ta có hàm số theo biến số t sau: ( ) 2 1.

t t t

Từ điều kiện ràng buộc 1≤x ≤ y ≤2 ta suy ra: 1

2

1 ≤ ≤

y

x

, do đó ∈2;1

1

Bài toán trở thành: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

t t t

H( )=2+ +1 trên đoạn 2 ;1

1

Vì = − ≤ ∀ ∈2;1

1 0

1 )

2

t

t t

H nên H(t) là hàm số nghịch biến trên đoạn này

Từ đó có GTLN của H(t) trên đoạn 2;1

1

là 2

9

khi: t =

2

1 , còn GTNN trên đoạn này của

H(t) bằng 4 khi: t = 1.

Đáp số: Max(H) =

2

9 ⇔ (x; y) = (1; 2) ; Min(H) = 4 ⇔ x = y (với 1≤x y, ≤2)

Ví dụ 4

Nhận xét và hướng dẫn giải

Biến đổi:

Q

x y

y x xy

+

= + , thì theo t ta có: ( ) 1

2

t

−

Hơn nữa dễ thấy x y 2

y+ >x (với x, y dương và x khác y) nên ta có t > 2.

Vì thế quy về bài toán quen thuộc: Tìm GTNN của hàm số ( ) 1

2

t

− trên khoảng (2;+∞)





=

=

⇔

=

−

+

−

=

3

1 0

) ( ' , ) 2 (

3 4 )

(

2

2 '

t

t t

Q t

t t t

Q BBT của Q(t) trên khoảng (2;+∞) như sau:

t 2 3 +∞

Q ' (t )

- 0 +

Tìm GTNN của

Q xy

x y

−

  với x, y dương và x khác y.

Tìm GTLN, NN của H = (x+y)x+ y

1 1

Biết x, y thoả mãn điều kiện 1≤ x≤ y≤2

4

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của Q(t) trên khoảng (2;+∞) là Q(3) = 4.

Đáp số: Min(P) = 4 đạt được khi và chỉ khi x 2 + y 2 – 3xy = 0.

b Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa mãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y.

Cách giải:

1. Đặtx y S xy P+ =

 =

2 Biểu diễn giả thiết M theo S và P (1)

3 Biểu diễn biểu thức M theo S và P rồi kết hợp với (1) để biểu diễn M theo 1 biến S hoặc P.

4. Tìm ĐK cho S hoặc P (M theo biến nào thì tìm ĐK cho biến đó) bằng cách kết hợp (1) và điều kiện S2 ≥4P

5 Tìm GTLN, NN của biểu thức M với điều kiện tìm được của biến số tìm được ở bước 4

Lưu ý: Cách tìm ĐK ở bước 4 chỉ áp dụng khi cho x, y bất kỳ Ví dụ nếu giả thiết cho thêm x > 0,

y > 0 thì phải lưu ý S > 0 và P > 0 để tìm ĐK cho chính xác

Ví dụ 5

Nhận xét và hướng dẫn giải

Đặt S = x + y = 1, P = xy

Ta có: M = (xy) 3 – 3xy (x + y) + (x + y) 3 + 1 = (xy) 3 – 3xy + 2 = P 3 – 3P + 2

Cho x, y thoả mãn x + y = 1, Tìm GTLN, GTNN của M = (x 3 + 1)(y 3 + 1).

Lại có 1 = S2 ≥ 4P suy ra: 1.

4

P≤

Vậy bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số M(P) = P 3 – 3P + 2 với 1

4

P≤

Ta lập được bảng biến thiên của M(P) trên khoảng ;1

4

  như sau:

P −∞ -1 1

4

M ’ (P ) + 0 -

4

M ’ (P )

−∞

81 64

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN không tồn tại còn GTLN của Q bằng 4, đạt được khi và

chỉ khi 1

1

x y

xy

+ =



 = −

 , giải hệ ta được ( ; ) 1 5 1; 5 , 1 5 1; 5

Ví dụ 6

Nhận xét và hướng dẫn giải

Ta có: M = 2(x + y)(x 2 + y 2 – xy) – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy (6a),

Ngoài ra biến đổi giả thiết của bài toán ta có: x 2 + y 2 = 2⇔(x + y) 2 – 2xy = 2 (6b)

Qua các phân tích trên thấy rằng nếu đặt t = x + y sẽ biểu diễn được xy theo biến t, từ đó biểu diễn được biểu thức M theo t.

Thật vậy, từ (6b) có: ( )2 2 2 2

, kết hợp với (6a) ta biểu diễn được biểu thức ban đầu theo t là: 3 3 2

2

M t = − −t t + +t .

Để x, y tồn tại ta phải có: (x + y)2 ≥ 4xy nên t 2 ≥2(t 2 – 2) từ đó có − ≤ ≤ 2 t 2

Từ đó có GTNN, GTLN của M t( ) trên [-2; 2] là: Max(M) = 13,

2 Min(M) = -7.

c Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau:

Tính chất 1: M phụ thuộc vào 2 trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc x 2 + y 2 + z 2

Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị của một trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc

x 2 + y 2 + z 2

Cho x, y thỏa mãn x 2 + y 2 = 2, Tìm GTLN, NN của M = 2 (x 3 + y 3 ) – 3xy.

Cách giải:

1 Giả sử biểu thức M có mặt 2 trong 3 đại lượng nêu trên, khi đó có thể đặt một trong hai đại

lượng của biểu thức M là ẩn phụ t rồi dùng giả thiết của bài toán đã cho và kết hợp hằng đẳng thức (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 – 2xy – 2yz – 2zx để biểu diễn đại lượng còn lại theo t.

2 Tìm ĐK cho t ta thường dùng một trong ba BĐT sau:

x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx hoặc (x + y + z) 2 ≥ 3(xy + yz + zx) hoặc 3(x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ (x + y + z) 2

3 Quy về bài toán đơn giản

Ví dụ 7

Nhận xét và hướng dẫn giải

Ta có: R = (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx) = (x + y + z)(1 – xy – yz – zx) (7a), Viết lại giả thiết của bài toán thành: (x + y + z) 2 – 2(xy + yz + zx) = 1 (7b) Đặt t = x + y + z thì từ (7b) ta có xy + yz + zx = 2 1

2

t −

, kết hợp với (7a) ta biểu diễn được biểu thức ban đầu theo t là: R(t) = 1

2(3t – t 3 ).

Dễ dàng CM: x 2 + y 2 + z 2 ≥xy + yz + zx, từ đó suy ra 2 1 1

2

t − ≤ suy ra − 3≤ ≤t 3

Tìm GTLN, NN của R(t) trên đoạn − 3; 3, được: Max(R) = 1 ; Min(R) = -1

d Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm GTNN, GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian.

Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN của biểu thức M không có dấu hiệu đổi biến số nhưng đánh giá

được M ≥ N thì thay vì tìm GTLN, NN của M ta đi thực hiện bài toán: tìm GTLN, NN của biểu thức trung gian N

Ví dụ 8

Nhận xét và hướng dẫn giải

Rõ ràng không có dấu hiệu nào để biểu diễn các biến số của biểu thức cho trong bài toán

theo một biến số mới, ta sẽ tìm GTNN của biểu thức M ban đầu thông qua việc tìm GTNN của một biểu thức trung gian T, biểu thức này được xác định qua lập luận sau:

+ Trước hết theo BĐT Cô si ta có

M = x + y + z 3

3

3 xyz

Cho x, y , z > 0 và x + y + z 3

2

≤ Tìm GTNN của M = x + y + z 1 1 1

+ + +

Cho x, y , z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 1 Tìm GTLN, NN của R = x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz.

+ Để tìm GTNN của biểu thức M ta đi tìm GTNN của biểu thức

3

3

3 3

xyz

Đặt u=33 xyz thì việc tìm GTNN của biểu thức T được quy về việc tìm GTNN của hàm số

9

( )

u

= + trên khoảng 0;3

2

  (vì 3

3

2

Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến trên khoảng 0;3

2

 , nên 3

(0; ] 2

3 15 ( )

 ÷

Suy ra GTNN của biểu thức trung gian T là 15

2 (đạt được ⇔ x = y = z)

Tức là 3

3

3 15 3

2

xyz

= + ≥ , đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z (8b).

+ Từ các kết quả (8a) và (8b) suy ra GTNN của biểu thức M ban đầu là 15

2 đạt được khi và chỉ khi

x = y = z

Ví dụ 9

Nhận xét và hướng dẫn giải

Biến đổi giả thiết: xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1) ⇔ xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z),

Do đó có: N = x 2 + y 2 + z 2 = (x + y + z) 2 – 2(xy + yz + zx)

= 2 - 2(x + y + z) + (x + y + z) 2 – 4xyz (9a)

Áp dụng BĐT Cauchy ta được

3

3 









xyz , từ đây và (9a) suy ra:

3 2

3 4 ) (

) (

2









− + + + + +

−

Đặt t = x + y + z (0 < t < 3) thì từ (9b) ta có: 2 4 3

27

t

Đến đây, bằng cách khảo sát hàm số ta được GTNN của hàm số f(t) trên khoảng (0 ; 3) là

4

3

, đạt được khi và chỉ khi

2

3

=

t Từ đó có: Min(N) =

4

3 , đạt được khi và chỉ khi

2

1

=

=

x

Ví dụ 10

Nhận xét và hướng dẫn giải

Vì P > 0 với mọi x, y > 0 nên P đạt GTNN khi và chỉ khi P 2 đạt GTNN

Kết hợp với giả thiết x + y = 1, ta có:

Cho các số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) và thỏa mãn xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1) Tìm GTNN của biểu thức N = x 2 + y 2 + z 2

Cho các số thực dương thoả mãn: x + y = 1 Tìm GTNN của biểu

thức: P= 1x−x + 1y−y.