CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ
Trang 1CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
I MỘT VÀI ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH Lí:
1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xỏc định trờn tập D.
x D
x D
f(x) M, x D 1) M= max f(x)
f(x) m, x D 2) m= min f(x)
Ta thừa nhận hai tớnh chất quan trọng của cỏc hàm số liờn tục:
3 Định lý 1: Hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [a; b] thỡ bị chặn trờn đoạn này.
Chỳ ý: Định lý 1 khụng cũn đỳng nữa nếu hàm số f(x) cú điểm giỏn đoạn thuộc [a; b] hoặc nếu trong định lý, đoạn [a; b] được thay bằng khoảng (a; b) (hoặc (a; b], hoặc [a; b))
4 Định lý 2: Nếu hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [a; b] thỡ nú đạt được giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất trờn đoạn này,
tức là tồn tại ớt nhất một điểm x1[a; b] sao cho: f(x) f(x ), với x [a;b] 1
và tồn tại ớt nhất một điểm x2[a; b] sao cho: f(x) f(x ), với x [a; b]. 2
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
A/ Kiến thức cơ bản :
1/ Các hàm cơ bản
a/ 1sinx1 ; 1cosx1;
b/ Hàm số tanx và cotx không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên tập xác định của nó Nhưng trên
một đoạn nào đó nó có thể có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
2- Cỏc bước tỡm giỏ trị LN& NN
+ B1: Tìm miền xác định của hàm số
+ B2: Lựa chọn phương pháp ( lượng giác, đại số, giải tích, )
+ B3: Tiến hành tìm GTLN, GTNN của hàm số
+ B4: Kiểm tra lại các kết quả như:
- Dấu đẳng thức có xảy ra không
- Xảy ra tại giá trị nào của biến
+ B5: Kết luận
3/ Cỏc phương phỏp thường dựng tỡm giỏ trị LN& NN.
1 Phương phỏp lượng giác( Sử dụng cỏc phộp biến đổi và đỏnh giỏ thớch hợp)
+ Dùng công thức hạ bậc, sin2x,
+ Có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác : Asinx + Bcosx = C
là A2 + B2 C2
2 Phương phỏp sử dụng các bất đẳng thức Cô-si, Bunhiacopxki,
n
a a
a a
3 2 1 3
2
2)Bất đẳng thức Bunhiacopski
2 2 1 1 2 2
2 2 1 2 2
2 2
2 a a n x x n a x a x a n x n
3 Phương phỏp tam thức bậc hai.
4 Phương phỏp miền giỏ trị của hàm số.
5 Phương phỏp đạo hàm.
Trang 2CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
B Các ví dụ và bài tập.
Dạng 1: Sử dụng các phép biến đổi và đánh giá thích hợp
Bài 1 Tìm GTNN và GTLN của các hàm số:
2
x
HD: Hàm số xác định với mọi x
Ta có 1 sin 1
2
x
2
x y
2
2
x
x
Vậy maxy 1 y k4 , k ; miny 5 y k4 , k
b) ycos4xsin4 x1
3
HD: Áp dụng công thức cos cos 2 cos cos
ta có 2
6
7
d) y 2 sin 2x3;
e) y 3 sin 2x2 sin2x1
1
y
g) y c o t x c o s x trên đoạn ;5
HD: Vì các hàm số ycos ,x ycotx nghịch biến trên đoạn ;5
nên với mọi
5
;
4 6
ta có: 5
cot cos
4
Trang 3CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
3
j) y2 sinx5 cosx trên đoạn ;
4 3
k) y3cotx4 tanx trên đoạn 2 ;5
Bài 2 Tìm min của hàm số:
f(x, y) =
y cos d x sin
c
y cos b x sin
a
2 2
4 4
+
y sin d x cos c
y sin b x cos a
2 2
4 4
(với a, b, c là các hằng số dương)
Bài 3 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
4 sin cos 2
3 sin 2 cos
x x
x x
y
HD: Hàm số xác định với mọi x
0
0
cos x 2 sin x 3
2 cos x sin x 4
11
Bài 4 Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Tìm GTNN của biểu thức:
f(A, B, C) =
2
A sin
1 1
2
B sin
1 1
2
C sin
1
HD :
Ta có:
f(A, B, C) = 1 +
2
A sin
1 + 2
B sin
1 + 2
C sin
1 +
2
B sin 2
A sin
1
+
2
C sin 2
B sin
1 +
2
A sin 2
C sin
1 +
2
C sin 2
B sin 2
A sin
+ 3
3
2
C sin 2
B sin
2
A
sin
1
+ 33
2
2
C sin 2
B sin 2
A sin
1
+
2
C sin 2
B sin 2
A sin
1
=
3
3
2
C sin 2
B sin 2
A sin
1 1
3
3
8
1
1
1
= 27 min f = 27 khi tam giác ABC đều
Bài 5 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
1/
4 sin cos 2
3 sin 2 cos
x x
x x
Trang 4CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
5/
x
cos
1
4 sin cos 2
3 sin 2 cos
x x
x x
y
9/ ysin3 x.cosxcos3x.sinx 10/ ycos4 xsin4 x
15/ f(x)=2sin x 4sinxcosx+ 5.2 (Học viện Cụng nghệ BCVT – Năm 1999)
Bài 6.Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC nếu:
; với Bc=a,CA=b,AB=c,2p=a+b+c
(DB-2003)
Bài 7 Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC để biểu thức:
Bài 8 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P=cotga cotgb 2tga.tgb 24 4 2 2 ; (ĐH GTVT -1999)
HD:
P=cotg a cotg b 2tg a.tg b 2 cotg a cotg b +2 cotga.cotgb tga.tgb +6 6
dấu( )xảyrakhia b
4
Bài 9 Trong mọi tam giác ABC những tam giác nào làm cho biểu thức sau:
sinA sinB sinC Q=
đạt giá trị lớn nhất ?
Bỏch khoa Hà Nội Khối A – Năm, 2000)
Bài 10.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y 2 1 sin 2x.cos 4x 1 cos 4x cos 8x
2 (ĐH Dược -2001)
Bài 6.Chứng minh với mọi tam giỏc ta luụn cú: cosA +cosB +cosC >1 ( ĐH Đà nẵng-1997)
Bài 11 1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
3 sin x
y 1
2 cos x
(ĐH GTVT -1997)
2/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
(ĐH GTVT -1998)
Bài 12 Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC nếu: 5
2
A B C (ĐHSP HN- A-2001)
HD: C1.
Trang 5CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
5
C2.
2 2
2
4 cos A 4 3 cosA.cos(B C) 3 0
5
Bài 13 A,B,C là 3 góc của tam giác ABC ; Tìm GTLN của M 3 cosA 2 cosB cos C
Bài 14 A,B,C là 3 góc của tam giác ABC thoả mãn C B A 90 ; Tìm GTNN của 0
Bài 6 Bài 15.×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 20 20
+ Cm hàm số tuần hoàn chu kì
2
C1 Dùng PP hàm số, khảo sát trực tiếp
C2 Dùng bất đẳng thức Cô si:
¸p dông C«si cho 10 sè:
n
n n
10
Bài 16 Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Tìm GTNN của biểu thức:
Trang 6CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2
M
Bài 17 A,B,C là 3 gúc của tam giỏc ABC thoả món 0 A B C 90 ; Chứng minh: 0
2 cos 3C 4 cos 2C 1 2
(HV NgõnHàng-1998) Bài 19 Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y x cos x ; với 0 x 2
2
(ĐH NN- Hà Nội-1999)
Bài 20 Cỏc gúc của tam giỏc ABC thoả món cos (sin C Asin )B sin cos(C A B ),Tớnh giỏ trị của biểu
thức: cosAcosB (ĐH Nụng Nghiệp I-2000)
Bài 21 Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC nếu trong tam giỏc đú ta cú:
4
A B A B C C (HV QHệ QTế-1999) Bài 22 Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ycos4xsin4xsin cosx x1
( HV QY-2000)
HD:
2
Dạng 2: Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất bằng tam thức bậc hai
2
D D
b
Kí hiệu : maxf(x) là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D
minf(x) là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D
a) Trường hợp 1
: D=R b
D
D
b
* a>0 :
không tồn tại max f(x)
Trang 7CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
D
D D
D
a 0 :
không tồn tại min f(x)
c) Trường hợp 3 : D= ;
b
* max f(x) max f
2a
Chú ý :
D
b , f( ), f( ) * min f(x) min f , f( ), f( )
2a
Chú ý :
Bài 23.
3cos x 4 sin x
3sin x 2 cos x
(ĐHSP Hà Nội Khối A - Năm 2001)
3(cos x-sin x)+4sin x 2 cos x Viết lại y-1=
2
2
1 y-1=
3sin x 2 cos x
1
Đặt sin x t, t [0; 1], hàm số trở thành y-1=
/
f(t)>0, t [0; 1], do 5 0 và a=3>0
/
2
2
Suy ra:
có được khi và chỉ khi t=1 sin x=1
Tóm lại, giá trị lớn nhất của hàm số bằng ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng
Bài 24.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
(ĐH GTVT -1998)
Bài 25 :
Trang 8CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
2
2
Tìm a để phương trình sau có nghiệm thuộc 0; :
2 2
cos x
Dạng 3: Phương phỏp miền giỏ trị của hàm số:
Cơ sở của phương phỏp này là: Để tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trờn một
miền D ta tiến hành như sau:
- Tỡm điều kiện để phương trỡnh y0= f(x) cú nghiệm (với y0 là một giỏ trị tuỳ ý của hàm số y = f(x) trờn miền D)
- Từ điều kiện trờn biến đổi dẫn đến dạng y1≤ y0≤ y2
max f(x) y , min f(x) y
Chỳ ý: Cú trường hợp ta tỡm được giỏ trị lớn nhất nhưng khụng tỡm được giỏ trị nhỏ nhất hoặc ngược lại
Bài 26.
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
sinx y= với x [0; ]
2+cosx
(ĐHSP Quy Nhơn - Năm 1999)
HD:
Xét hàm số đã cho trong một chu kì: x [ ; ].
Tập giá trị của hàm số với x [ ; ] cũng là tập giá trị của hàm số với x (- ; + ).
sinx Phương trình y= sinx ycosx 2y
2+cosx Phương trình ẩn x trên có nghiệm
Mặt khác, với x (0; ) thì sinx 0 y 0.
Do đó 0 y , x [0; ] Mặt khác, khi x=0 thì y=0 và khi x= thì y= nên
3
1 miny=0; maxy=
3
Bài 27 Tỡm giỏ trị lớn nhấtcủa hàm số y=sin x cosx cosx sin x
(ĐHAn Giang -1998)
Bài 28 Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y= sinx4 cosx
(ĐHQG Hà Nội Khối B - Năm 1999)
Bài 29: Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (2sinx + cosx)(2cosx - sinx).
(ĐH Cần Thơ Khối A - Năm 2001)
Dạng 4: Sử dụng cỏc bất đẳng thức Cauchy, Bu-nhia-Cốpxki:
Tìm GTNN của hàm số y=
cos x 1 cos x
( ĐHSP Hải Phòng - Năm 2001)
Trang 9CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
Lời giải.C 1:
4
Đặt t=cos x (0; 1)
Vậy miny=3+2 2
C 2:PP hàm số (đạo hàm)
C 3:Tt bậc 2:
Bài 31 Tìm giá trị nhỏ nhất của y f x 4x9sin x trên 0;
x
(ĐH KTQD -1999)
HD: C1.
9
x 3
2 min f(x)
Bài 32
Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(ĐH QG HCM- 1998)
Bài 33 Giả sử tam giácABC có ba góc đều nhọn.Cmr: sin A 2sin Bsin B2sin C sin C2sin A 2
(ĐH SP 2- 1998)
2
t 1 t
t 1
t t
* y 0;Xét f(0) 0 (loại); xét f(1) 0 (loại)
f(0).f(1) 0 (loại) 0
y.f(0) 0 phương trình (1) có nghiệm trong (0;1) khi
y
y 3 2 2 f(1) 0
S
2
Trang 10CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
Bài 34 Cho x, y, z > 0; x + y + z =
2
Tìm Min của biểu thức f(x, y, z) = 1tgxtgy + 1tgytgz + 1tgxtgz
Dạng 5: Phương pháp đạo hàm:
Cơ sở của phương pháp này: Chủ yếu là dùng đạo hàm để khảo sát chiều biến thiên của hàm số và dựa vào điều ấy cùng với các giá trị đặc biệt trên tập xác định của hàm số suy ra kết quả
3cos x 4 sin x
3sin x 2 cos x
(§HSP Hµ Néi Khèi A- N¨m 2001)
Lêi gi¶i
2
§Æt sin x t, t [0; 1], ta ®îc:
VËy maxy= , miny=
2
2 (ĐH GTVT -1998)
Bài 38 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y 1 sin x 1 cosx (CĐKA2004)
Bài 39 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 14 2 4 ;
k
(ĐHSP HaiPhong-2001)
C 2:PP hàm số (đạo hàm)
C 3:Tt bậc 2:
3 1 y’ + 0
-y
8 5 3
2
4 3
Trang 11CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
Bài 40 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 6 6
(ĐH TMại-2000)
Bài 41 Tìm giá trị lớn nhất của
sin A sin B sin C
cos A cos B cos C (ĐH TLợi- 1998)
Bài 42 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = 2sin8x + cos42x
(ĐH Tài chính Kế toán Hà Nội - Năm 2000)
Bài 43 Cho tam giỏc ABC cú A90 và thoả món đẳng thức sin 2 sin sin tan
2
A
Tớnh giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức :
1 sin
2 sin
A M
B
(DB-2004)
Bài 44 Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số : ysin5x 3 cosx (DB-2003)
HD:
C1: Tìm max y: y sin5x 3cos sin x 4x 3cos x
Ta chứng minh
4
2
2
3
Dấu đẳng thức xảy ra khi cosx=1 khi x= 0 Vậy max y = 3
Tìm min y: ysin5x 3 cosx sin4x 3 cosx
2
t 1 t
t 1
t t
* y 0;Xét f(0) 0 (loại); xét f(1) 0 (loại)
f(0).f(1) 0 (loại) 0
y.f(0) 0 phương trình (1) có nghiệm trong (0;1) khi
y
y 3 2 2 f(1) 0
S
2
Trang 12CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
4
2
2
3
Dấu đẳng thức xảy ra khi cosx=-1 khi x = Vậy min y = - 3;
C2: Đánh giá như trên và sử dụng pp KSHS
Bài 45. Cho x,y,z[0 ;1] , thoả mãn điều kiện x+y+z =3/2.Tìm max,min của S = cos(x2+y2+x2)
HD : C1 : Do x,y,z[0 ;1] nên 0 < x2+y2+x2 < x+y+z = 3/2 <
2 Vì hàm số y = cosx là hàm số nghịch biển trên (0,
2) nên bài toán trở thàmh tìm GTLN&NN của (x
2 +y 2 +x 2 )
* x2+y2+z2 = 1 2 2 2 2 2 21 2 3
* Không mất tính tổng quát ta giả sử z = max{x,y,z} thì
1;1 2
bậc hai biến z : x2+y2+x2 = z2 + (x+y)2- 2xy
2
1;1 2
đồ thị hàm số f(z) là parbol quay bề lõm lên trên ,nên ta có
Suy ra max cos ; min3 cos5
Bài 46 Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2
x f(x)= sin x trên đoạn - ;
(ĐH Kinh tế Quốc dõn Khối A – Năm 2000)
Bài 47 Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số : y=2(1+sin2x.cos4x)- (cos 4x cos8x).1
2
(ĐH Dược Hà Nội - Năm 2001)
Bài 48
1/ Cho
2 4
x , tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
) cos (sin
cos
sin2
x x
x
x y
2/ Tìm giá trị lớn nhất của
x
x x
2 2
cos
) sin 4 1 ( sin
3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2 2
2 2 2
sin
1 sin
cos
1
x
x x
x y
Trang 13CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
2 2
1 cos sin
cos sin
5/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y 12cos2 x 13sin2 x
6/ Gi¶ sö cosa.cosb + cosb.cosc + cosc.cosa = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
c b
a
ycos4 cos4 cos4
2
; 0 cos
sin
cos sin
2
x x
x
x x
y
8/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè
x x
x x
sin
1 cos
1 sin
9/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè
n n
x
x x
x
cos
cos 1 sin
sin 1
10/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè
2
0 )
cos 1
( 4
cos ).
cos 1
(
2
x
x x
y
11/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2
2 sin 2
2 cos
x y
x
12/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2
2 sin 2
2 cos
x y
x
13/ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 2 sinx + sin2x trên đoạn 0;3
2
14/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: cos 2sin 3
2 cos sin 4
y
(ĐHKinhTế-1995) 15/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y sinx cosx ;(ĐH YKhoa TB-1997)
cos sin 2
k x k
a)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số khi k = 1 ;
b)tìm k để giá trị lớn nh ất của y đạt giá trị nhỏ nhất.k (ĐH QG HN-1997)
17/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y 1 2sinx 1 2 cosx ;
Bài 49 ( Lớp 12)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè:
3
y Sinx Sin x trên đoạn a) 0; ; b) 0;
6
; c) trên R
inx 2
S y
4 4
Trang 14CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
2 2
2
f(x) cos 2x 2 cosx sinx - 3sin2x m
Bài 50 1/ Cho tam giác ABC, tính giá trị lớn nhất của tổng S = sinA + sinB + sinC
2/ Tính các góc của tam giác ABC biết rằng : sin2A + sin2B + sin2C = 9/4
Bài 51 Cho tam giác ABC vớiA>B>C Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Còn nữa