3 GIA TRI LN, NN

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC Định nghĩa: Cho hàm số xác định D i) Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y = f ( x) D f(x) ≤ M ∀x ∈ D , ta kí hiệu M = maxf(x)  x∈D ∃x0 ∈ D :f(x0) = M ii) Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y = f ( x) D f(x) ≥ M ∀x ∈ D , ta kí hiệu m = minf(x)  x∈D ∃x0 ∈ D :f(x0) = m Phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x) D ta tính y' , tìm điểm mà đạo hàm triệt tiêu không tồn lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy GTLN, GTNN Chú ý: * Nếu hàm số y = f ( x) tăng ln giảm a;b maxf(x) = max{f(a),f(b)}; minf(x) = min{f(a),f(b)} [a;b] [a;b] * Nếu hàm số y = f ( x) liên tục a;b ln có GTLN, GTNN đoạn để tìm GTLN, GTNN ta làm sau B1: Tính y' tìm điểm x1, x2 , ,xn mà y' triệt tiêu hàm số khơng có đạo hàm B2: Tính giá trị f(x1),f(x2), ,f(xn ),f(a),f(b) Khi max f(x) = max{f(x1), ,f(xn ),f(a),f(b)} x∈[a;b] f(x) = min{f(x1), ,f(xn ),f(a),f(b)} x∈[a;b] * Nếu hàm số y = f ( x) hàm tuần hồn chu kỳ T để tìm GTLN, GTNN D ta cần tìm GTLN, GTNN đoạn nằm D có độ dài T * Cho hàm số y = f ( x) xác định D Khi đặt ẩn phụ t = u(x) , ta tìm t ∈ E với ∀x ∈ D , ta có y = g ( t) Max, Min hàm f D Max, Min hàm g E * Khi tốn u cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mà khơng nói tập ta hiểu tìm GTLN, GTNN tập xác định hàm số 99 * Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min Chú ý: Nếu hàm số y = f ( x) hàm tuần hoàn chu kỳ T để tìm GTLN, GTNN D ta cần tìm GTLN, GTNN đoạn thuộc D có độ dài T * Cho hàm số y = f ( x) xác định D Khi đặt ẩn phụ t = u ( x) , ta tìm t ∈ E với ∀x ∈ D , ta có y = g ( t) Max, Min hàm f D Max, Min hàm g E * Khi tốn u cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mà khơng nói tập ta hiểu tìm GTLN, GTNN tập xác định hàm số * Ngồi phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min * Ta cần phân biệt hai khái niệm : + Giá trị lớn hàm số y = f ( x) D với cực đại hàm số + Giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) D với cực tiểu hàm số Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) D mang tính tồn cục , giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số mang tính địa phương B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số Phương pháp Cho hàm số y = f(x) xác định tập D ∀  x ∈ D ,f(x) ≤ M M = maxf(x) ⇔  x∈D ∃x1 ∈ D ,f(x1) = M ∀  x ∈ D ,f(x) ≥ m m = minf(x) ⇔  x∈D ∃x2 ∈ D ,f(x2) = m Nếu hàm số f liên tục [a;b] f đạt giá trị lớn , giá trị nhỏ đoạn Nếu hàm số f liên tục [a,b] có đạo hàm khoảng (a,b ) giá trị lớn ,giá trị nhỏ f [a;b] tồn , giá trị đạt điểm cực trị hai biên a,b.Do trường hợp để tìm max f(x) , f(x) ,ta tiến hành x∈[a,b] x∈[a,b] cách đơn giản sau: • Tính f’(x) tìm nghiệm x1,x2 ,….,xn thuộc (a;b) phương trình f’(x) = • Tính f(x1),f(x2), ,f(xn ),f(a),f(b) • Giá trị lớn , giá trị nhỏ giá trị giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số f [a,b] Các ví dụ 100 Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = x4 − 2x2 + , x ∈ [−2;3] Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ , xét x ∈ [−2;3] Ta có: y' = 4x3 − 4x y' = ⇔ 4x(x2 − 1) = ⇒ x = x = ±1 y(0) = 5; y(−1) = 4; y(1) = 4; y(−2) = 13; y(3) = 68 Vậy, max y = 68 x = y = x = ±1 x∈[−2;3] x∈[−2;3] Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = x5 − 5x4 + 5x3 + , x ∈ [−1;2] Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ , xét x ∈ [−1;2] Ta có: y' = 5x4 − 20x3 + 15x2 y' = ⇔ 5x4 − 20x3 + 15x2 = ⇒ x = 0,x = 1, x = 3∉ [−1;2] y(0) = 2; y(1) = 3; y(−1) = −9; y(2) = −6 y = x = 1và y = −9 x = −1 Vậy, x∈max x∈[−1;2] [−1;2] CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm GTLN GTNN hàm số sau y = − x + x − 4x + y = − x2 + x − Bài 2: Tìm GTLN GTNN hàm số sau y = ( − x) − x2 y = x + − x2 y = ( x − 6) x2 + , ∀x ∈ 0;3 y = x + + 2x − x2 Bài 3: Tìm GTLN GTNN hàm số sau y = x2 + y = 20x2 + 10x + 2x2 + x + 3x2 + 2x + Bài 4: Tìm GTLN GTNN hàm số sau y = −x2 + 4x + 21 − − x2 + 3x + 10 2 y = x + x + − x − x + 1,x ∈ −  2;3 Bài 5: Tìm GTLN GTNN hàm số sau: y = x3 − x2 − 6x + , x ∈ [0;4] y = x6 + 1− x2 ( ) đoạn −1;1   x + 1+ 9x2 khoảng ( 0;+∞ ) 8x2 + Bài 6: Tìm GTLN GTNN hàm số sau: y = y = (x + 3) −x2 − 2x + 2 y = 45 + 20x + 2x − 101 Dạng 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT LIÊN QUAN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp Chú ý: t = sinx, t ≤ , t = cosx, t ≤ Các ví dụ Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ Đặt t = sinx, t ≤ , ta có: y = Ta có: y' = − t2 − 2t (t2 + t + 1)2 t+1 t + t+1 sinx + sin x + sinx + với t ∈ [−1;1] y' = ⇔ −t2 − 2t = ⇒ t = t = −2∉ [−1;1] y(0) = 1; y(−1) = 0; y(1) = max y = y = x = −1 Vậy, t∈[−1;1] x = x∈min [−1;1] Ví dụ : Cho tam giác ABC khơng tù Tìm GTLN biểu thức : P = cos2A + 2 ( cosB + cosC ) Lời giải Ta có A ≤ 900 ⇒ cos2A = 2cos2 A − ≤ 2cosA − = 1− 4sin2 A Đẳng thức có ⇔ cos2 A = cosA C B− C C cosB + cosC = 2sin cos ≤ 2sin 2 B− C A = Đặt t = sin ⇒ < t ≤ Đẳng thức xảy ⇔ cos 2 Ta có: P ≤ −4t2 + 2t + = f ( t)  2  , có f '( t) = −8t + ⇒ f '( t) = ⇔ t = Xét hàm số f ( t) , t ∈  0; 2     2 ÷ = ⇒ P ≤ Lập bảng biến thiên ta có: f ( t) ≤ f  ÷   102  cosA = cos2 A  B− C  A = 90 =1 ⇔  Đẳng thức xảy ⇔ cos   B = C = 45  A sin =  2 Vậy maxP = CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm GTLN GTNN hàm số sau y = x − sin2x đoạn y = 2sinx − sin3 x đoạn 0;π  π π  − ; 2   Bài 2: Tìm GTLN GTNN hàm số sau 2x 4x 1+ sin6 x + cos6 x + cos +1 y = sin y = 1+ x 1+ x2 1+ sin4 x + cos4 x ( ) 2 Bài 3: Tìm GTLN GTNN hàm số sau g(x) = f(sin x)f cos x hàm f thỏa mãn: f(cotx) = sin2x + cos2x ∀x ∈ [0; π] Bài 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: x y = 2cos + 6sinx đoạn 0; π y = y = sin4 x + cos2 x +  π  y = x − sin2x đoạn  − ; π    sinx + y = sin x + sinx + 1 y = sinx + cosx Dạng 3: sin6 x cosx + cos6 x sinx sinx + cosx y = 2cos6 x − cos2x y = sin3 x − cos3 x y = 1+ sinx + 1+ cosx Phương pháp đưa biến Do khn khổ chương trình, tác giả giới thiệu toán bản, trọng tâm thường xuất đề kiểm tra 45 phút, thi học kì Bạn đọc muốn tìm hiểu kĩ dạng tốn này, tìm đọc cuốn: “ Bất đẳng thức toán – max kiểm tra, thi học kì kì thi tuyển sinh Đại học “ tác giả Phương pháp 103 Nhắc lại bất đẳng thức Cô si ( BĐT trung bình cộng – trung bình nhân ) a+ b • Hai số: Với hai số thực a,b ≥ ta ln có: ≥ ab Đẳng thức xảy a = b 1 Hệ quả: Với hai số thực dương a,b ta có: + ≥ a b a+ b a+ b+ c • Ba số: Với ba số thực a,b,c ≥ ta ln có: ≥ abc Đẳng thức xảy a = b = c 1 Hệ quả: Với ba số thực dương a,b,c ta ln có: + + ≥ a b c a+ b+ c • Tổng quát: Với n số thực khơng âm a1,a2 , ,an ta ln có: a1 + a2 + + an ≥ n a1.a2 an n Đẳng thức xảy số Hệ quả: Với n số thực dương a1,a2 , ,an ta có: 1 n2 + + + ≥ a1 a2 an a1 + a2 + + an Một số lưu ý áp dụng BĐT Cơ si: • Bất đẳng thức Cơ si áp dụng cho số thực không âm, đồng thời so sánh trung bình cộng trung bình nhân • Điều kiện để xảy dấu "=" số Phương pháp: Nội dụng phương pháp tìm cách đưa bất đẳng thức nhiều biến bất đẳng thức chứa biến Một công cụ tối ưu chứng minh bất đẳng thức biến công cụ đạo hàm Quan trọng phương pháp tìm cách đánh giá để đưa biến Để đưa biến, cần lưu ý: • Nếu bất đẳng thức hai biến có điều kiện điều kiện có biến ta rút biến vào bất đẳng thức cần chứng minh ta bất đẳng thức biến Tuy nhiên cách làm sử lí bất đẳng thức khơng q phức tạp • Nếu điều kiện toán bất đẳng thức cần chứng minh biểu thức đối sứng hai biến ta chuyển tổng tích hai biến Lưu ý: S2 ≥ 4P • Khi gặp tốn chứng minh BĐT hai biến có dạng : f ( x,y ) g ( x,y ) ≥ p , f ( x,y ) g ( x,y ) biểu thức đẳng cấp bậc k hai biến, ta đặt 104 x = ty ( y ≠ 0) Khi BĐT cần chứng minh trở thành : f ( t,1) g ( t,1) ≥ p BĐT biến Để chứng minh BĐT ta sử dụng phương pháp khảo sát hàm số n n • Nếu bất đẳng thức xuất số hạng: a + b ta đặt bn an a b t= + b a Các ví dụ Ví dụ Cho x > 0, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + x 4y Lời giải Cách : Ta có : x + y = ⇒ 4y = − 4x ⇒ P = + x − 4x  5 + xác định liên tục khoảng  0; ÷ x − 4x  4 4 Ta có : f '( x) = − + x ( − 4x) Xét hàm số : f ( x) =  5 Trên khoảng  0; ÷: f '( x) = ⇔ x =  4 Lập bảng x = 1, y = biến thiên, ta f ( x) = f ( 1) =  5 x∈ 0; ÷  4 ⇒ minP = Cách : 4 1 x ( x + y) P =  x + 4y ÷( x + y) = 4y +   Suy P ≥ Đẳng thức xảy ra: 4y 17 17 25 + ≥ 2+ = x 4 x 4y = x + y = hay x = 1, y = 4y x 4 Ví dụ Cho hai số thực x, y thoả mãn: x ≥ 0, y ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất,  x + y = giá trị lớn biểu thức: P = x3 + 2y2 + 3x2 + 4xy − 5x Lời giải Ta có y = − x ≥ 1⇒ x ≤ ⇒ x ∈ 0;2 Khi đó: P = x3 + 2(3 − x)2 + 3x2 + 4x(3 − x) − 5x = x3 + x2 − 5x + 18 105 Xét hàm số f(x) = x3 + x2 − 5x + 18 0;2 ta có: f '(x) = 3x2 + 2x − ⇒ f '(x) = ⇔ x = Hơn nữa: f ( 0) = 18, f ( 1) = 15, f ( 2) = 20 f(x) = f(2) = 20 x = 2, minP = f(x) = f(1) = 15 x = Vậy, maxP = xmax x∈[0;2] ∈[0;2] 106 ... thức để tìm Max, Min Chú ý: Nếu hàm số y = f ( x) hàm tuần hoàn chu kỳ T để tìm GTLN, GTNN D ta cần tìm GTLN, GTNN đoạn thuộc D có độ dài T * Cho hàm số y = f ( x) xác định D Khi đặt ẩn phụ t... GTLN GTNN hàm số sau y = − x + x − 4x + y = − x2 + x − Bài 2: Tìm GTLN GTNN hàm số sau y = ( − x) − x2 y = x + − x2 y = ( x − 6) x2 + , ∀x ∈ 0;3 y = x + + 2x − x2 Bài 3: Tìm GTLN GTNN hàm... Min hàm g E * Khi tốn u cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mà khơng nói tập ta hiểu tìm GTLN, GTNN tập xác định hàm số * Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta dùng phương pháp miền