CHUYÊN ĐỀ 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A ln lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biểu thức thuộc khoảng xác định nói Xét biểu thức A( x) +) Ta nói A( x) có giá trị lớn M, A( x) �M x có giá trị x cho A( x0 )  M (Chỉ giá trị được) +) Ta nói A( x) có giá trị nhỏ m, A( x) �mx có giá trị x cho A( x0 )  m (Chỉ giá trị được) Như : a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần : - Chứng minh A �k với k số - Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần : - Chứng minh A �k với k số - Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trị biến Ký hiệu: Min A giá trị nhỏ A Max A giá trị lớn A Ví dụ: Sai lầm A( x)  x  x   x  ( x  1)2  �2 � GTNN  ( Không dấu = ) 5 A( x)  2( x  )  � � GTNN  � x  2 2 Đáp án : B Các dạng tốn Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN tam thức bậc hai ax  bx  c Phương pháp: Áp dụng đẳng thức số số Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a A( x)  x  x  24 b B( x )  x  x  c C ( x)  x  x  Lời giải 2 a A( x)  x  x  24  ( x  2)  20 �20x � A( x)  20 � x  2 2 b B( x)  x  x   2( x  x  4)   2( x  2)  �7 � minB  7 � x  13 13 1 C ( x)  x  x   3( x  )  � � x 12 12 c Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau a A( x)  5 x  x  b B ( x)  3x  x  Lời giải a A( x )  5 x  x   5( x  9 2 x  )  5( x  )  � � x  5 5 5 13 13 B( x)  3 x  x   3( x  )  � � x  12 12 b Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN đa thức có bậc cao Phương pháp: Ta đưa dạng tổng bình phương Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a A( x)  x  x  10 x  x  b B( x)  x  10 x  26 x  10 x  30 c C ( x)  x  x  x  x  2017 d D( x)  x  x  x  e E ( x)  x  x  x  20 x  22 f F ( x)  x( x  3)( x  4)( x  7) g G ( x)  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6)  2006 Lời giải 4 2 2 a A( x)  x  x  10 x  x   ( x  x  x )  ( x  x  9)  ( x  x)  ( x  3) �0x �x  3x  � A( x )  � � � x3 x   � b �x  x  B ( x)  x  10 x  26 x  10 x  30  ( x  x)  ( x  5)  �5 � � � x 5 �x   2 2 2 c C ( x)  x ( x  2)  x( x  2)  ( x  2)  2015  ( x  2)( x  1)  2015 �2015 � x  2 2 d D( x)  x  x   x  x    ( x  1)  ( x  1)  �5 � x  1 e E ( x)  x  x3  x  20 x  22  ( x  x  x )  5( x  x  4)   ( x  x)  5( x  2)  �2 � x  x 1 � F ( x)  x( x  3)( x  4)( x  7)  ( x  x)( x  x  12)  y  36 �36 � y  � � x6 � f x0 � G ( x)  ( x  x  6)( x  x  6)  2006  ( x  x)  2042 �2042 � � x  5 � g Dạng : Đa thức có từ biến trở lên Phương pháp: Đa số biểu thức có dạng F  x; y   ax  by  cxy  dx  ey  h  a.b.c �0   1 a - Ta đưa dần biến vào đẳng thức  F  x; y   mK  x; y   nG  y   r   Trong G  y , H  x 2 �2ab  b    a �b  sau F  x; y   mK  x; y   nH  x   r  3 2 biểu thức bậc biến, K  x; y   px  qy  k biểu thức bậc hai biến x y Cụ thể: Ta biến đổi (1) để chuyển dạng (2) sau với a �0; 4ac  b �0 Ta có 4a.F  x; y   4a x  4abxy  4acy  4adx  4aey  4ah  4a x  b y  d  4abxy  4adx  2bdy  4ac  b  y 2  y  2ae  bd   4ah  d 2 � 2ae  bd � �2ae  bd �   2ax  by  d    4ac  b  �y   4ah  d  � � � � 4ac  b � �4ac  b � Vậy có (2) với b  4ac 2ae  bd d  2ae  bd  m  F  x; y   2ax  by  d ; n   ; G( y)  y  ; r  h   4a 4a 4ac  b 4a 4a  4ac  b  0; � 4ac b +) Nếu a  m 0, n   : F  x; y  r  * +) Nếu a  0; � 4ac b   : F  x; y  m 0, n r  ** +) Nếu m > 0, n > ta tìm giá trị nhỏ +) Nếu m < 0, n 0, n > ta tìm giá trị nhỏ +) Nếu m < 0, n