CHUYEN DE TIM GIA TRI NHO NHAT, LON NHAT CUA MOT BIEU ...

CHUYÊN ĐỀ: TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨCA. Kiến thức Định nghĩa.[r]

CHUYÊN ĐỀ: TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC

A Kiến thức Định nghĩa

1 Cho biểu thức f(x,y…)

Ta nói M giá trị lớn biểu thức f(x,y…),ký hiệu maxf = M, hai điều kiện sau thỏa mãn :

- Với x,y,…để f(x,y…) xác định f(x,y…)  M ( M số)

- Tồn x y0; ; cho f x y( , )0 M

2. Cho biểu thức f(x,y…)

Ta nói m giá trị nhỏ biểu thức f(x,y…),ký hiệu minf = M, hai điều kiện sau thỏa mãn :

- Với x,y,…để f(x,y…) xác định f(x,y…)  m ( m số)

- Tồn x y0; ; cho f x y( , )0 m

B.Bài tập Dạng I.

I.1 Biểu thức dạng f(x) = a x 2b x c  ( a,b,c số, a0 ) PP : Ta biến đổi Dựa vào lũy thừa bậc chẵn

a, Tìm GTLN

Biến đổi hàm số y = f(x) =   ( ) n

M  g x n Z

 y M

  Do ymax M  g x( ) 0

b Tìm GTNN

Biến đổi hàm số y = f(x) =   ( ) k

m h x k Z

 y m

  Do đó ymin m h x( ) 0

c, Tam Thức bậc hai

 

2

2

2

4a

( )

2a 4a 4a 2a 4a

b c

b b b b

f x a x b x c a x    x   c a x    

 

Nếu a> 0, GTNN f(x)

 4a  4a b c   2a b x   

khơng có GTLN Nếu a < 0, GTLN f(x)

 4a  4a b c   2a b x   

khơng có GTNN

Ví dụ 1a Tìm GTNN tam thức f(x) =5x2 2x 1 b.Tìm GTLN tam thức f(x) = 3x2 x

Giải

a/ Ta có: f(x) = 5x2 - 2x + = 5

2 1

5 x x         2 2

2 1

5

5 5

1 1

5

5 5

x x x x                                           

Vì với x, xR

2 x      

  nên ta có:

2

1 4

( ) ;

5 5

f x  x   

  với x, xR Vậy f(x) có giá trị nhỏ

4 khi x     

  = => x =

1

Kl: f(x) đạt GTNN

5 khi x =

b/ f(x) = - 3x2 + x –

2 2 2 3

1 1

3

3 6

1 23 12 x x x x x                                         Vì x     

  0 với x, xR nên

2

1 23 23

3

6 12 12

x

 

     

 

 f(x) 

23 12



với x, xR Vaäy f(x) 23 12 

1 1

3 0

6 6

x x x

 

         

f(x) có giá trị nhỏ 23 12



x Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ cuûa:

a/ P x( ) 3 x2 x b/ Q(x) = 5x2 - 3x –

Bài 2: Tìm GTLN của:

a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x –

Bài 3: Tìm GTLN cuûa

a/ P(x) = 3x25 3 x2 b/ Q(x) = x – x2 Bài tập tự luyện

Baøi 1: Tìm giá trị nhỏ của:

a/ P x( ) 3 x2 x b/ Q(x) = 5x2 - 3x – Bài 2: Tìm GTLN cuûa:

a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x –

Bài 3: Tìm GTLN

a/ P(x) = 3x25 3 x2 b/ Q(x) = x – x2

I.2 Đa thức bậc cao hai:

Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai

Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7)

Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)

Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36 minA = -36 ⇔ y = ⇔ x2 – 7x + = ⇔ x

1 = 1, x2 =

Ví dụ 3: Với giá trị biến x biểu thức P(x)= (x – 1)(x + )(x + 3)( x + 6) có GTNN? Tìm GTNN

= (x – 1)( x + 6) (x + 2)(x + 3) =x25x 6 x25x6

Ta có hai cách giải

Cách 1:

Ta có P(x) x25x 6  x25x6  

2 5 36 x x

  

Vì x2 + 5x 0, với x, xR nên P(x)  -36 P(x) đạt GTNN – 36 với x2 + 5x =

 x = x = -

Cách 2:

Xét biểu thưc đối P(x) – P(x) : P(x) = -x25x 6 x25x6

= x25x 6  x2 5x 6 Nếu đặt X = x25x 6; Y =  x2 5x

Thì ta có X + Y = - 12 khơng đổi Vậy tích X.Y lớn X = Y

=> - P(x) lớn khi: x2 5x 6 = x25x 6 2x2 + 10 =

 x = x = - Vậy P(x) đạt GTNN 36 x = x = -

II Biểu thức phân thức :

a/ Phân thức có tử số ,mẫu tam thức bậc hai:

Ví dụ 4 : Tìm GTNN A =

6x −5−9x2 Giải : A =

6x −5−9x2 =

−2

9x2−6x+5 =

3x −1¿2+4

¿

−2

¿

Ta thấy (3x – 1)2 nên (3x – 1) 2 +4

3x+1¿2+4

¿

1

¿

1

1 a

1

b với a, b dấu) Do

3x −1¿2+4

¿

−2

¿

−42 ⇒ A - 12 minA = - 12 ⇔ 3x – = ⇔ x = 13

BT tự luyện:

1 Tìm GTLN BT :

1 A

x 4x



 

HD giải:  

2

1 1

A max A= x

x 4x x 5

    

    .

2 Tìm GTLN BT :

1 A

x 6x 17



 

HD Giải:  

2

1 1

A max A= x

x 6x 17 x 3 8 8

    

   

b/ Phân thức có mẫu bìmh phương nhị thức

Ví dụ 5: Tìm GTNN A = 3x2−8x+6 x2−2x+1

Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm

A = (2x

−4x+2)+(x2−4x+4)

x2−2x+1 = +

x −2¿2 ¿

x −1¿2 ¿ ¿ ¿

minA = chi x =

Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có : A =

y+1¿2−8(y+1)+6

¿

3¿ ¿

= - 2y +

y2 = (

y -1)2 + minA = ⇔ y = ⇔ x – = ⇔ x =

Bài tập luyện tập:

1, Tìm GTNN GTLN bt:

2

1 P

1 x x x

 

 

2, Tìm GTNN bt :

2 2006

B x x

x

 

3, Tìm GTNN GTLN bt:

2 C

5 x x x 

 

4, Tìm GTNN bt : a, 2

2 D

2 x x x x

 



  b,

2

2 E

2

x x x x

 



 

c/ Các phân thức dạng khác:

Ví dụ 6: Tìm GTNN GTLN A = 3−4x x2+1

Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : A = x2−4x+4− x2−1

x2+1 =

x −2¿2 ¿ ¿ ¿

- -1 minA = -1 x =

Tìm GTLN A = 4x

+4−4x2−4x −1

x2+1 = -

2x+1¿2 ¿ ¿ ¿

Ví dụ 7: a/ Tìm GTNN P(x) = 2

2

2 x x x x

 

 

b/ Tìm GTLN Q(x) = 2 17

4 x x





Giải:

a/ Sử dụng phép chia hết,chiacó dư đưa P(x) dạng: P(x)= -

2 x  x

P(x) đạt GTNN

2

x  x đạt GTLN

Xét biểu thức

2 2

2 1

2

2 2

x  x x  x      x  

     

Vì

2 x

 



 

  0 với x, xR nên x2 x2

4 với x, xR

Suy

2

x  x đạt GTLN x =

1

2 GTLN 3

Vậy P(x) đạt GTNN : 2 3   Kết quả: 2

P   

b/ Ta có: Q(x) = 2 17 x x 

 = +

5

x  ; Q(x) lớn

5

x  lớn

2

4

x  lớn x2 + đạt GTNN.

Vì x2 + 4, với x, xR nên x2 + đạt GTLN x = 0 Vậy với x = 0, Q(x) đạtGTLN +

5

4 

Bài tập luyện tập:

1, Tìm GTLN bt: a, A 2 x x 

 b,  

2 B x x  

3, Tìm GTNN bt: a,

2 4 4

C x x

x

 



Với x > 0; b,

5 D x x  

Với x > 4, Tìm GTNN bt: a,

2 E x x  

với x > 0; b,

2 Fx 

x Với x > 0 6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt:  

2 2 17

2 x x Q x   

 Với x > 0

7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt:

6 34 R x x x   

 Với x > 0

8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt:

3 2000 S x

x  

Với x > 9, Với giá trị dương x biểu thức sau đạt GTNN:

a/

2

2

( ) x P x x   b/ 2 ( ) x Q x x  

III TÌM GTNN, GTLN CỦA BIỂU THỨC CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN

Xử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A

A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến ta có nhiều cách giải

Cách 1: Xử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A x + y = ⇒ x2 + 2xy + y2 = (1)

Mà (x – y) ⇒ x2 - 2xy + y2 (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 )

⇒ x2 + y2 12

minA =

2 x = y =

Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A A = x

2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - 1 )

2 + 1

2

1 minA = 12 x = y =

1

Cách 3/ Sử dụnh điều kiện cho để dưa biến Đặt x = 12 + a y = 12 - a Biểu thị x2 + y2 ta : x

2 + y 2 = ( 1

2 + a)

2 + ( 1

2 - a)

2 = 1

2 +2 a

2 1 minA = 12 ⇔ a = ⇔ x = y = 12

Ví dụ 9: Tìm Min A = a2ab b 2 3a 3b2014

Cách 1 Ta có: A= a2 2a 1 b2 2b 1 ab a b   1 2011

2

= a  2a 1 b  2b 1 ab a b   1 2011        

2

= a 1  b1 a b1  b1 2011

 2  2    

= a 1  b1  a1 b1 2011

        

2

2 1

a 2011

2 4

b b b

a   

        

2

2 3 1

1

= a + 2011

2

b

b 

 

  

 

 

 Min A = 2011

1

a

1

1 b

a b b

 

  



  

Cách 2:



   

     

2 2 2

2

2A 3 2014 = a 2 a 2.2 4022

= a 1 4022

                 

      

a ab b a b a b b ab b a b

b a b

Min 2A = 4022

a

1

2

b a b

a b    

    



    

=> Min A = 2011

Bài tập luyện tập

Tìm GTNN của

a) A=a25b2 4ab 2b5 ( Gợi ý    

2

A = a - 2b  b1 4

)

b) B = x2y2 xy 3x 3y2029 ( Gợi ý      

2 2

B = x-y  y  x 2011

)

c) Cx24y29z2 4x12y 24z30 ( Gợi ý      

2 2

C = x+2  2y3  3z4 1

)

d) D= 20x218y2 24xy 4x12y2016 ( Gợi ý      

2

D= 4x-3y  2x1  3y 2011

)

IV Các ý tìm tốn cực trị :

1- Chú ý 1: Khi tìm bai tốn cực trị ta đổi biến

Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – = y ,biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2

= 2y2 +2 ⇒ minA = ⇒ y = ⇒ x =

2- Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức kháư đạt cực trị

chẳng hạn :

-A lớn ⇔ A nhỏ

1

B lớn ⇔ B nhỏ với B >

Ví dụ 10: Tìm GTLN

4 2

1 ( 1)

x A

x  

Chú ý A>0 nên A lớn

A nhỏ ngược lại

1

A =

2 2

4 4

( 1) 2

1

1

x x x x

x x x i

  

  

   Vậy

1

A

min

A = x = Do maxA =1 x = 0

3/ Khi tìm GTLN, GTNN biểu thức ,người ta thường xử dụng bất đẳng thức biết.

3.1 Bất đăng thức có tính chất sau

a ) a > b , c > d với a,b,c,d > a.c > b.d b) a > b c >0 a.c > b.c

c) a > b c<0 a.c < b.c d) a > b a,b,n >0 an > bn e ) A  B A+B

3.2 Bất đẳng thức Cauchy

- Với a0,b0 2 a b

ab 



hay a b 2 ab

- a>0 ; b>0

1

a b ab  

3.3 Bất đẳng thức Bu –nhi –a cốp-xki

Cho hai cặp số (a a1; 2 ; b b1; 2 ta có      

2 2 2

1 2

a b a b  a a b b

Dấu ’’=’’ xảy

1 2 a a b b

Ví dụ 11 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y

Giải : Ta nhận thấy 2x + 3y x2 + y2 thành phần bất đẳng thức Bu- nha - cốp –xki với a = b = ta có ( 2x + 3y )2 ( 22 + 32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 13.13.4

⇒ 2x + 3y 26 Vậy max A = 26

Thay y =

2

x

vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= -4

Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y Vậy max A 26 ⇔ x =4 , y =

Ví dụ 12a/ Tìm giá trị lớn biểu thức P(x)= 2x – x2 với < x <

b/ Tìm GTNN Q(x)= 4 x

x 

, x >

Giaûi:

a/ Ta có 2x – x2 = x(2 – x) với < x < =>x > 0; – x > 0

Xét tổng x + (2 - x) = = khơng đổi

Vậy tích x(2 - x) lớn x = – x => x =

GTLN P(x) với < x < là: P(1) = +1 = 2, ứng với giá trị x =1 b/ Ta có Q(x)=

2 4 4

; x

x

x x



 

x > Xét tích x

4

x = = không đổi Vậy tổng x +

4

x đạt giá trị nhỏ x =

x => x2 = => x = 2 Ví dụ 13 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y

Giải :Áp dụng BĐT Bu nhi a cơp xki ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52

⇒ ( 2x + 3y )2 13.13.4

⇒

2x + 3y 26 Vậy maxA = 26 ⇔

2

2

x y x y

  

 



Thay y =

2 x

vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 x= -4

Ví dụ 14 : Cho x > 0, y > thỏa mẫn đk

1 1

x y  Tìm GTNN bt: A = x y

Giải Do x > 0, y > nên

1

0, y

x  áp dụng bất đẳng thức côsi cho số 1

, x y

ta có:

1 1 1

2 x y x y

 

 

 

  Hay

1

4 xy => xy 4

Mặt khác ta có: x > 0, y > => x 0, y 0 áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:

2 4

x y  xy  

Vậy: Min A = :

4 1

2 x y

x y x y

  

  



 

 

Ví dụ 15 : Tìm GTNN của biểu thức : A x2 x 1  x2 x

Giải Ta có:

2

2 3

x x x x R

2 4

 

          

2

2 3

x x x x R

2 4

 

          

Áp dụng BĐT Cô- si cho số x2 x 1, x 2 x ta có :

2 2 4

x  x 1  x   x x  x x   x x x  1

 Max A =

4

2

x x 1

x

x x x x

    

  

     



Ví dụ 16 Tìm giá trị nhỏ :

x y z

A

y z x

  

với x, y, z > 0. Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương:

3

x y z x y z

A

y z x y z x

    

Do

x y z x y z

min x y z

y z x y z x

 

          

Cách : Ta có :

x y z x y y z y

y z x y x z x x

             

  Ta có

x y

2

yx  (do x, y > 0)

nên để chứng minh

x y z

3

y z x  ta cần chứng minh :

y z y

1 z x x  (1)

(1)  xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)

 xy + z2 – yz – xz ≥  y(x – z) – z(x – z) ≥  (x – z)(y – z) ≥ (2)

(2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ

tìm giá trị nhỏ

x y z

y z x.

VD 17: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 1.

Giải

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1)

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :

2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3(x y)(y z)(z x)   (2)

Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ 9.3 A  A ≤

2

     

max A =

2

   

  x = y = z =

1 3.

VD 18 Tìm GTNN

xy yz zx

A

z x y

  

với x, y, z > , x + y + z = 1.

Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy :

xy yz xy yz

2 2y

z  x  z x  .

Tương tự :

yz zx zx xy

2z ; 2x

x  y  y  z  Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.

min A = với x = y = z =

VD 19 Tìm GTNN 2

1

A 4xy

x y xy

  

 với : x > 0, y > 0, x + y < 1 Giải Ta có:

 

 

 

2

2 1 1 1 1 1 4

2

1 1

2 x y

xy x y xy

x y xy

x y xy x y x y

x y xy                             

Ta có: 2 2

1 1

A 4xy 4xy

x y xy x y 2xy 4xy 4xy

   

       

     

=>        

2 2

2

4 5 11

A 4xy 11

x 2xy y 4xy x y x y x y x y

       

     

VD 20 : Cho

1 x

, Tìm GTLN A = 2x25x2 + x+3 - 2x Giải : Ta có : A = 2x25x2 + x+3 - 2x = 2x 1   x2 + x+3 - 2x  Với

1 x

ta có: 2x

2 x       

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số 2x 1, x+2  Ta có:    

2x x+2

2x x+2

 

 

Hay :    

3x

2x x+2



 

Dấu “ = ” xảy 2x x+2   x=1

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số x 3,  Ta có:  

x

4 3

2 x x

      Hay : x x   

Dấu “ = ” xảy x 4   x=1

Do đó:

x A

2



  3x

2



- 2x = Dấu “ = ” xảy x=1

VD 21: Cho x, y, z > x + y + z =1 Tìm GTNN của:

1 S =

x yz

Giải Ta có: S =  

1 x + y + z

x y z

 

 

 

 =

4 9

1+4+9+ y x z y x z

x y y z z x

     

    

     

 

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương , y x

x y ta có :

4

2

y x y x

x  y  x y 

Tương tự ta có :

4 9

2 12

z y z y

y  z  y z  ;

9

2

x z x z

z x  z x 

 S  + + + + 12 + =36

Dấu “=” sảy :

2

2

2

1

4 3

2

4

4

3

6

9 1

9 1

1

2

y x

x y y x y

y x z y

z y

z x x

y z

x z x y z

x z

x y z z

z x x y z 

 





  



 

 



 

   

    

   



      



      

 

 

    



Vậy Min S = 36

1 1

, ,

3

y x z

VD 22: Tìm GTNN hàm số : y x22x 1 x2 2x1

Cách 1: y x22x 1 x2 2x   1 x x1 Nếu: x < -1 y  x x1 x 1 x 1 2x2 Nếu: -1 x 1  y  x x1   x x 1

Nếu: x > y  x x1   x x 2 x2 Vậy y nhỏ -1 x 1 

Cách 2 : áp dụng BĐT a  b  a b ( Dấu “=” sảy a.b 0) Ta có : y   x 1 x    x 1 x 2

Vậy y nhỏ -1 x 1 

Bài 23: Cho x, y > 2x + xy = Tìm GTLN A = x2y

Cách 1: Từ 2x + xy = => xy = -2x Thế vào A ta có : A = x(4 -2x ) = –    

2

2 2 2

x x

   

 

  =  

2 2 x 2

=> Max A =

1

2

2

2

x x

y x xy

    





 



 

 

Cách 2: Ta có : A =

.2

2 x xy Vì x, y > => 2x, xy > áp dụng bất đẳng thức Cosi

cho số 2x, xy ta có:

 2

2

2

2

2

2 4.2

x xy

x xy x xy

x xy x xy  x y

   

      

  Thay số ta

có : 2x y2 =A

Vậy Max A =2

2

2

x xy x

x xy y

 

 



 

  

 

BÀI TẬP TỰ LUYÊN

Bài 1: Tìm GTNN HS: a, y 4x2 4x 1 4x212x9 b,

2 4 4 6 9

y x  x  x  x

Bài 2: Tìm GTNN HS: a, y 4x220x25 x2 8x16 b,

2

25 20 25 30 y x  x  x  x

Bài Tìm giá trị nhỏ A x x 1   x x 1  3/ Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau

-Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn số nhau - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số đó bang nhau

Ví dụ 13: Tìm GTLN GTNN tích xy , biết x,y số nguyên dương thoả mãn x + y = 2005

Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2

xy lớn ⇔ x – y nhỏ ; xy nhó ⇔ x – y lớn giả sử x > y ( xãy x = y)

Do y x 2004 nên x-y 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y =

VI Một số sai lầm giải toán cực trị

( Tài liệu Nâng cao vàphát triển Toán tập 1- Vũ Hữu Bình)

VII

Ví dụ thamkhảo + Bài tập luyện tập