Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ: TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨCA. Kiến thức Định nghĩa.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: TÌMGIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
A Kiến thức Định nghĩa
1 Cho biểu thức f(x,y…)
Ta nói M giá trị lớn biểu thức f(x,y…),ký hiệu maxf = M, hai điều kiện sau thỏa mãn :
- Với x,y,…để f(x,y…) xác định f(x,y…) M ( M số)
- Tồn x y0; ; cho f x y( , )0 M
2. Cho biểu thức f(x,y…)
Ta nói m giá trị nhỏ biểu thức f(x,y…),ký hiệu minf = M, hai điều kiện sau thỏa mãn :
- Với x,y,…để f(x,y…) xác định f(x,y…) m ( m số)
- Tồn x y0; ; cho f x y( , )0 m
B.Bài tập Dạng I.
I.1 Biểu thức dạng f(x) = a x 2b x c ( a,b,c số, a0 ) PP : Ta biến đổi Dựa vào lũy thừa bậc chẵn
a, Tìm GTLN
Biến đổi hàm số y = f(x) = ( ) n
M g x n Z
y M
Do ymax M g x( ) 0
b Tìm GTNN
Biến đổi hàm số y = f(x) = ( ) k
m h x k Z
y m
Do đó ymin m h x( ) 0
c, Tam Thức bậc hai
2
2
2
4a
( )
2a 4a 4a 2a 4a
b c
b b b b
f x a x b x c a x x c a x
(2)Nếu a> 0, GTNN f(x)
4a 4a b c 2a b x
khơng có GTLN Nếu a < 0, GTLN f(x)
4a 4a b c 2a b x
khơng có GTNN
Ví dụ 1a Tìm GTNN tam thức f(x) =5x2 2x 1 b.Tìm GTLN tam thức f(x) = 3x2 x
Giải
a/ Ta có: f(x) = 5x2 - 2x + = 5
2 1
5 x x 2 2
2 1
5
5 5
1 1
5
5 5
x x x x
Vì với x, xR
2 x
nên ta có:
2
1 4
( ) ;
5 5
f x x
với x, xR Vậy f(x) có giá trị nhỏ
4 khi x
= => x =
1
Kl: f(x) đạt GTNN
5 khi x =
b/ f(x) = - 3x2 + x –
2 2 2 3
1 1
3
3 6
1 23 12 x x x x x Vì x
0 với x, xR nên
2
1 23 23
3
6 12 12
x
f(x)
23 12
với x, xR Vaäy f(x) 23 12
1 1
3 0
6 6
x x x
(3)f(x) có giá trị nhỏ 23 12
x Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ cuûa:
a/ P x( ) 3 x2 x b/ Q(x) = 5x2 - 3x –
Bài 2: Tìm GTLN của:
a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x –
Bài 3: Tìm GTLN cuûa
a/ P(x) = 3x25 3 x2 b/ Q(x) = x – x2 Bài tập tự luyện
Baøi 1: Tìm giá trị nhỏ của:
a/ P x( ) 3 x2 x b/ Q(x) = 5x2 - 3x – Bài 2: Tìm GTLN cuûa:
a/ P(x) = - x2 – 7x +1 b/ Q(x) = - 2x2 + x –
Bài 3: Tìm GTLN
a/ P(x) = 3x25 3 x2 b/ Q(x) = x – x2
I.2 Đa thức bậc cao hai:
Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai
Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7)
Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36 minA = -36 ⇔ y = ⇔ x2 – 7x + = ⇔ x
1 = 1, x2 =
Ví dụ 3: Với giá trị biến x biểu thức P(x)= (x – 1)(x + )(x + 3)( x + 6) có GTNN? Tìm GTNN
(4)= (x – 1)( x + 6) (x + 2)(x + 3) =x25x 6 x25x6
Ta có hai cách giải
Cách 1:
Ta có P(x) x25x 6 x25x6
2 5 36 x x
Vì x2 + 5x 0, với x, xR nên P(x) -36 P(x) đạt GTNN – 36 với x2 + 5x =
x = x = -
Cách 2:
Xét biểu thưc đối P(x) – P(x) : P(x) = -x25x 6 x25x6
= x25x 6 x2 5x 6 Nếu đặt X = x25x 6; Y = x2 5x
Thì ta có X + Y = - 12 khơng đổi Vậy tích X.Y lớn X = Y
=> - P(x) lớn khi: x2 5x 6 = x25x 6 2x2 + 10 =
x = x = - Vậy P(x) đạt GTNN 36 x = x = -
II Biểu thức phân thức :
a/ Phân thức có tử số ,mẫu tam thức bậc hai:
Ví dụ 4 : Tìm GTNN A =
6x −5−9x2 Giải : A =
6x −5−9x2 =
−2
9x2−6x+5 =
3x −1¿2+4
¿
−2
¿
Ta thấy (3x – 1)2 nên (3x – 1) 2 +4
3x+1¿2+4
¿
1
¿
1
(5)1 a
1
b với a, b dấu) Do
3x −1¿2+4
¿
−2
¿
−42 ⇒ A - 12 minA = - 12 ⇔ 3x – = ⇔ x = 13
BT tự luyện:
1 Tìm GTLN BT :
1 A
x 4x
HD giải:
2
1 1
A max A= x
x 4x x 5
.
2 Tìm GTLN BT :
1 A
x 6x 17
HD Giải:
2
1 1
A max A= x
x 6x 17 x 3 8 8
b/ Phân thức có mẫu bìmh phương nhị thức
Ví dụ 5: Tìm GTNN A = 3x2−8x+6 x2−2x+1
Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm
A = (2x
−4x+2)+(x2−4x+4)
x2−2x+1 = +
x −2¿2 ¿
x −1¿2 ¿ ¿ ¿
minA = chi x =
Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có : A =
y+1¿2−8(y+1)+6
¿
3¿ ¿
= - 2y +
y2 = (
y -1)2 + minA = ⇔ y = ⇔ x – = ⇔ x =
Bài tập luyện tập:
1, Tìm GTNN GTLN bt:
2
1 P
1 x x x
2, Tìm GTNN bt :
2 2006
B x x
x
(6)3, Tìm GTNN GTLN bt:
2 C
5 x x x
4, Tìm GTNN bt : a, 2
2 D
2 x x x x
b,
2
2 E
2
x x x x
c/ Các phân thức dạng khác:
Ví dụ 6: Tìm GTNN GTLN A = 3−4x x2+1
Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : A = x2−4x+4− x2−1
x2+1 =
x −2¿2 ¿ ¿ ¿
- -1 minA = -1 x =
Tìm GTLN A = 4x
+4−4x2−4x −1
x2+1 = -
2x+1¿2 ¿ ¿ ¿
Ví dụ 7: a/ Tìm GTNN P(x) = 2
2
2 x x x x
b/ Tìm GTLN Q(x) = 2 17
4 x x
Giải:
a/ Sử dụng phép chia hết,chiacó dư đưa P(x) dạng: P(x)= -
2 x x
P(x) đạt GTNN
2
x x đạt GTLN
Xét biểu thức
2 2
2 1
2
2 2
x x x x x
Vì
2 x
0 với x, xR nên x2 x2
4 với x, xR
Suy
2
x x đạt GTLN x =
1
2 GTLN 3
(7)Vậy P(x) đạt GTNN : 2 3 Kết quả: 2
P
b/ Ta có: Q(x) = 2 17 x x
= +
5
x ; Q(x) lớn
5
x lớn
2
4
x lớn x2 + đạt GTNN.
Vì x2 + 4, với x, xR nên x2 + đạt GTLN x = 0 Vậy với x = 0, Q(x) đạtGTLN +
5
4
Bài tập luyện tập:
1, Tìm GTLN bt: a, A 2 x x
b,
2 B x x
3, Tìm GTNN bt: a,
2 4 4
C x x
x
Với x > 0; b,
5 D x x
Với x > 4, Tìm GTNN bt: a,
2 E x x
với x > 0; b,
2 Fx
x Với x > 0 6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt:
2 2 17
2 x x Q x
Với x > 0
7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt:
6 34 R x x x
Với x > 0
8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt:
3 2000 S x
x
Với x > 9, Với giá trị dương x biểu thức sau đạt GTNN:
a/
2
2
( ) x P x x b/ 2 ( ) x Q x x
III TÌM GTNN, GTLN CỦA BIỂU THỨC CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN
(8)Xử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A
A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến ta có nhiều cách giải
Cách 1: Xử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A x + y = ⇒ x2 + 2xy + y2 = (1)
Mà (x – y) ⇒ x2 - 2xy + y2 (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 )
⇒ x2 + y2 12
minA =
2 x = y =
Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A A = x
2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - 1 )
2 + 1
2
1 minA = 12 x = y =
1
Cách 3/ Sử dụnh điều kiện cho để dưa biến Đặt x = 12 + a y = 12 - a Biểu thị x2 + y2 ta : x
2 + y 2 = ( 1
2 + a)
2 + ( 1
2 - a)
2 = 1
2 +2 a
2 1 minA = 12 ⇔ a = ⇔ x = y = 12
Ví dụ 9: Tìm Min A = a2ab b 2 3a 3b2014
Cách 1 Ta có: A= a2 2a 1 b2 2b 1 ab a b 1 2011
2
= a 2a 1 b 2b 1 ab a b 1 2011
2
= a 1 b1 a b1 b1 2011
2 2
= a 1 b1 a1 b1 2011
2
2 1
a 2011
2 4
b b b
a
2
2 3 1
1
= a + 2011
2
b
b
Min A = 2011
1
a
1
1 b
a b b
(9)Cách 2:
2 2 2
2
2A 3 2014 = a 2 a 2.2 4022
= a 1 4022
a ab b a b a b b ab b a b
b a b
Min 2A = 4022
a
1
2
b a b
a b
=> Min A = 2011
Bài tập luyện tập
Tìm GTNN của
a) A=a25b2 4ab 2b5 ( Gợi ý
2
A = a - 2b b1 4
)
b) B = x2y2 xy 3x 3y2029 ( Gợi ý
2 2
B = x-y y x 2011
)
c) Cx24y29z2 4x12y 24z30 ( Gợi ý
2 2
C = x+2 2y3 3z4 1
)
d) D= 20x218y2 24xy 4x12y2016 ( Gợi ý
2
D= 4x-3y 2x1 3y 2011
)
IV Các ý tìm tốn cực trị :
1- Chú ý 1: Khi tìm bai tốn cực trị ta đổi biến
Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – = y ,biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2
= 2y2 +2 ⇒ minA = ⇒ y = ⇒ x =
2- Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức kháư đạt cực trị
chẳng hạn :
-A lớn ⇔ A nhỏ
1
B lớn ⇔ B nhỏ với B >
Ví dụ 10: Tìm GTLN
4 2
1 ( 1)
x A
x
(10)Chú ý A>0 nên A lớn
A nhỏ ngược lại
1
A =
2 2
4 4
( 1) 2
1
1
x x x x
x x x i
Vậy
1
A
min
A = x = Do maxA =1 x = 0
3/ Khi tìm GTLN, GTNN biểu thức ,người ta thường xử dụng bất đẳng thức biết.
3.1 Bất đăng thức có tính chất sau
a ) a > b , c > d với a,b,c,d > a.c > b.d b) a > b c >0 a.c > b.c
c) a > b c<0 a.c < b.c d) a > b a,b,n >0 an > bn e ) A B A+B
3.2 Bất đẳng thức Cauchy
- Với a0,b0 2 a b
ab
hay a b 2 ab
- a>0 ; b>0
1
a b ab
3.3 Bất đẳng thức Bu –nhi –a cốp-xki
Cho hai cặp số (a a1; 2 ; b b1; 2 ta có
2 2 2
1 2
a b a b a a b b
Dấu ’’=’’ xảy
1 2 a a b b
Ví dụ 11 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y
Giải : Ta nhận thấy 2x + 3y x2 + y2 thành phần bất đẳng thức Bu- nha - cốp –xki với a = b = ta có ( 2x + 3y )2 ( 22 + 32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 13.13.4
⇒ 2x + 3y 26 Vậy max A = 26
(11)Thay y =
2
x
vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= -4
Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y Vậy max A 26 ⇔ x =4 , y =
Ví dụ 12a/ Tìm giá trị lớn biểu thức P(x)= 2x – x2 với < x <
b/ Tìm GTNN Q(x)= 4 x
x
, x >
Giaûi:
a/ Ta có 2x – x2 = x(2 – x) với < x < =>x > 0; – x > 0
Xét tổng x + (2 - x) = = khơng đổi
Vậy tích x(2 - x) lớn x = – x => x =
GTLN P(x) với < x < là: P(1) = +1 = 2, ứng với giá trị x =1 b/ Ta có Q(x)=
2 4 4
; x
x
x x
x > Xét tích x
4
x = = không đổi Vậy tổng x +
4
x đạt giá trị nhỏ x =
x => x2 = => x = 2 Ví dụ 13 Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y
Giải :Áp dụng BĐT Bu nhi a cơp xki ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52
⇒ ( 2x + 3y )2 13.13.4
⇒
2x + 3y 26 Vậy maxA = 26 ⇔
2
2
x y x y
Thay y =
2 x
vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 x= -4
(12)Ví dụ 14 : Cho x > 0, y > thỏa mẫn đk
1 1
x y Tìm GTNN bt: A = x y
Giải Do x > 0, y > nên
1
0, y
x áp dụng bất đẳng thức côsi cho số 1
, x y
ta có:
1 1 1
2 x y x y
Hay
1
4 xy => xy 4
Mặt khác ta có: x > 0, y > => x 0, y 0 áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:
2 4
x y xy
Vậy: Min A = :
4 1
2 x y
x y x y
Ví dụ 15 : Tìm GTNN của biểu thức : A x2 x 1 x2 x
Giải Ta có:
2
2 3
x x x x R
2 4
2
2 3
x x x x R
2 4
Áp dụng BĐT Cô- si cho số x2 x 1, x 2 x ta có :
2 2 4
x x 1 x x x x x x x x 1
Max A =
4
2
x x 1
x
x x x x
Ví dụ 16 Tìm giá trị nhỏ :
x y z
A
y z x
với x, y, z > 0. Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương:
3
x y z x y z
A
y z x y z x
Do
x y z x y z
min x y z
y z x y z x
(13)Cách : Ta có :
x y z x y y z y
y z x y x z x x
Ta có
x y
2
yx (do x, y > 0)
nên để chứng minh
x y z
3
y z x ta cần chứng minh :
y z y
1 z x x (1)
(1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
xy + z2 – yz – xz ≥ y(x – z) – z(x – z) ≥ (x – z)(y – z) ≥ (2)
(2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ
tìm giá trị nhỏ
x y z
y z x.
VD 17: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 1.
Giải
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3(x y)(y z)(z x) (2)
Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ 9.3 A A ≤
2
max A =
2
x = y = z =
1 3.
VD 18 Tìm GTNN
xy yz zx
A
z x y
với x, y, z > , x + y + z = 1.
Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy :
xy yz xy yz
2 2y
z x z x .
Tương tự :
yz zx zx xy
2z ; 2x
x y y z Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
min A = với x = y = z =
(14)VD 19 Tìm GTNN 2
1
A 4xy
x y xy
với : x > 0, y > 0, x + y < 1 Giải Ta có:
2
2 1 1 1 1 1 4
2
1 1
2 x y
xy x y xy
x y xy
x y xy x y x y
x y xy
Ta có: 2 2
1 1
A 4xy 4xy
x y xy x y 2xy 4xy 4xy
=>
2 2
2
4 5 11
A 4xy 11
x 2xy y 4xy x y x y x y x y
VD 20 : Cho
1 x
, Tìm GTLN A = 2x25x2 + x+3 - 2x Giải : Ta có : A = 2x25x2 + x+3 - 2x = 2x 1 x2 + x+3 - 2x Với
1 x
ta có: 2x
2 x
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số 2x 1, x+2 Ta có:
2x x+2
2x x+2
Hay :
3x
2x x+2
Dấu “ = ” xảy 2x x+2 x=1
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số x 3, Ta có:
x
4 3
2 x x
Hay : x x
Dấu “ = ” xảy x 4 x=1
Do đó:
x A
2
3x
2
- 2x = Dấu “ = ” xảy x=1
VD 21: Cho x, y, z > x + y + z =1 Tìm GTNN của:
1 S =
x yz
Giải Ta có: S =
1 x + y + z
x y z
=
4 9
1+4+9+ y x z y x z
x y y z z x
(15)áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương , y x
x y ta có :
4
2
y x y x
x y x y
Tương tự ta có :
4 9
2 12
z y z y
y z y z ;
9
2
x z x z
z x z x
S + + + + 12 + =36
Dấu “=” sảy :
2
2
2
1
4 3
2
4
4
3
6
9 1
9 1
1
2
y x
x y y x y
y x z y
z y
z x x
y z
x z x y z
x z
x y z z
z x x y z
Vậy Min S = 36
1 1
, ,
3
y x z
VD 22: Tìm GTNN hàm số : y x22x 1 x2 2x1
Cách 1: y x22x 1 x2 2x 1 x x1 Nếu: x < -1 y x x1 x 1 x 1 2x2 Nếu: -1 x 1 y x x1 x x 1
Nếu: x > y x x1 x x 2 x2 Vậy y nhỏ -1 x 1
Cách 2 : áp dụng BĐT a b a b ( Dấu “=” sảy a.b 0) Ta có : y x 1 x x 1 x 2
Vậy y nhỏ -1 x 1
Bài 23: Cho x, y > 2x + xy = Tìm GTLN A = x2y
Cách 1: Từ 2x + xy = => xy = -2x Thế vào A ta có : A = x(4 -2x ) = –
2
2 2 2
x x
=
2 2 x 2
=> Max A =
1
2
2
2
x x
y x xy
(16)Cách 2: Ta có : A =
.2
2 x xy Vì x, y > => 2x, xy > áp dụng bất đẳng thức Cosi
cho số 2x, xy ta có:
2
2
2
2
2
2 4.2
x xy
x xy x xy
x xy x xy x y
Thay số ta
có : 2x y2 =A
Vậy Max A =2
2
2
x xy x
x xy y
BÀI TẬP TỰ LUYÊN
Bài 1: Tìm GTNN HS: a, y 4x2 4x 1 4x212x9 b,
2 4 4 6 9
y x x x x
Bài 2: Tìm GTNN HS: a, y 4x220x25 x2 8x16 b,
2
25 20 25 30 y x x x x
Bài Tìm giá trị nhỏ A x x 1 x x 1 3/ Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau
-Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn số nhau - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số đó bang nhau
Ví dụ 13: Tìm GTLN GTNN tích xy , biết x,y số nguyên dương thoả mãn x + y = 2005
Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2
xy lớn ⇔ x – y nhỏ ; xy nhó ⇔ x – y lớn giả sử x > y ( xãy x = y)
Do y x 2004 nên x-y 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y =
(17)VI Một số sai lầm giải toán cực trị
( Tài liệu Nâng cao vàphát triển Toán tập 1- Vũ Hữu Bình)
VII
Ví dụ thamkhảo + Bài tập luyện tập