chuyên đề tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

chuyên đề tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...

INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

Chúng ta sẽ rèn luyện chuyên đề tìm GTLN, GTNN thông qua hai bước chính

1 Ôn tập các kiến thức về bất đẳng thức (tập trung vào AM - GM và CBS)

2 Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức AM - GM và CBS kết hợp với công cụ khảo sát hàm

số để giải quyết các bài toán tìm GTLN, GTNN

Phần I

LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

1.1.2 Định lí (Bất đẳng thức Cauchy - Bunyakovky - Schwarz) Cho hai bộ sốa, b, c vàx, y, z.Khi đó

(i) (a2+ b2)(x2+ y2) ≥ (ax + by)2

(ii) (a2+ b2+ c2)(x2+ y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số này tỉ lệ a : b : c = x : y : z

Từ hai kết quả quan trọng này, chúng ta dễ dàng chứng minh được một số kết quả quantrọng sau

1.1.3 Mệnh đề Chứng minh các bất đẳng thức sau (nếu điều kiện không có gì đặc biệt thì các

số đều dương)

(i) (a + b)  1

a +

1 b

 , 1



(iv) Cauchy - Schwarz dạng angel.

Dấu “=” xảy ra khi nào?

Giải Trước khi giải bài toán ta cần phân tích một chút: bài toán cho những biểu thức chứa

mũ bậc 3 và các số đều dương Vậy ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM được không?Nếu áp dụng thì cho mấy số và đó là những số nào? Trở lại yêu cầu của bài toán, dấu “=” xảy

ra khi nào? Ta nhận thấy bài toán có tính đối xứng với x, y, z, thế thì có khả năng dấu bằngxảy ra khi x = y = z Kết hợp với giả thiết xyz = 1 dẫn đến x = y = z = 1 Với việc dựđoán điểm rơi này, ta sẽ khống chế toàn bộ các dấu “=” trong quá trình chứng minh của mình.Theo quá trình phân tích, ta áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số 1, x3, y3 như sau

xy =

√ 3

√

xy =

√ 3z.

INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

z − 4 làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức AM - GM, nhiệm vụ là ta chọn số k

sao cho biểu thức sau khi đánh giá có thể đơn giản vớiz ở mẫu

p k(z − 4) ≤ k + z − 4

√

y − 3

y ≤ 1

2 √ 3



Kế tiếp chúng ta xét một ví dụ để làm rõ kĩ thuật chọn điểm rơi trong việc sử dụng CBS

1.2.3 Ví dụ Cho 3 số thực dương a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 47

12 Chứng minh rằng3a2+ 4b2+ 5c2 ≥ 235



√ 3

=

√ 4a 1

√ 4

=

√ 5a 1

√ 5

b = 5 4

INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

Giải

Dựa vào việc dự đoán điểm rơi là x = y = z nên ta áp dụng hệ quả (iii) như sau

1 2x + y + z =

1

x + y + x + z ≤ 1

4

 1

4

 1 4



≤ 1 16



Dẫn đến

1 2x + y + z +



= 1

Bất đẳng thức khó một phần vì hình dáng cồng kềnh của nó Bằng phương pháp đổi biến

sẽ phần nào giúp cho hình dáng của chúng nhẹ nhàng hơn

1.2.5 Ví dụ Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức sau

Dựa vào hình dáng mới, ta thấy có thể ăn khớp với bất đẳng thức CBS dạng angel, nhưng ở

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1hay x = y = z = 1 

Để khắc sâu và làm rõ hơn các kĩ thuật cơ bản này, chúng ta có các bài tập sau

1.2.6 Bài tập (1) Cho x, y, z > 0và thỏa mãn x + y + z = 3

(4) Cho x, y, z > 0 Tìm GTNN của biểu thức

P = x  x

2 +

1 yz

 + y  y

2 +

1 zx

 + z  z

2 +

1 xy



(5) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng

1 Biến đổi hoặc đánh giá biểu thứcP về một biến mới t(thay thế hoặc đặt ẩn phụ).

g(t) ≤ P ≤ f (t).

2 Tìm điều kiện “chặt” cho biến mớit (chẳng hạn t ∈ [a, b])

3 Khảo sát hàm số g(t), f (t) với t ∈ [a, b]

4 Kết luận GTLN, GTNN củaP và giá trị các biến khi P đặt max, min

2.1.1 Ví dụ Cho a, b không âm thỏa mãna + 3b = 4 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức



Suy ra f0(t) = −3

(3t − 5)2 + 3

(t + 1)2, do đó f0(t) = 0

⇔ −3 (3t − 5)2 + 3

(t + 1)2 ⇔ t = 3 (loại)

t = 1

Ta có bảng biến thiên

2.1.3 Bài tập (1) Cho các số thực dương thỏa mãn x + y = 5

4 Tìm GTNN của biểu thức

S = 4

x +

1 4y .

INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

Nhận thấy A chỉ chứa x + y và xy nên ta sẽ đánh giá để đưa A chỉ còn chưa một biểu thức

Vì cần tìm giá trị nhỏ nhất nên ta đánh giá A ≥ A0 như sau

Vậy là ta đạt được yêu cầu thứ nhất là đánh giá A theo hàm một biếnt = x + y Tiếp theo

ta tìm điều kiện cho t Sử dụng giả thiết ta được

t = 1 −

√ 5

2 (loại)

mà f (0) = 6, f 1 +

√ 5 2

!

= 17 − 5

√ 5

Việc đưa biểu thức đối xứng về biểu thức xuất hiện tổng tích ở ví dụ trên tương đối dễdàng Song những biểu thức đối xứng (tổng của nhiều phân số) lại khiến chúng ta khó khăntrong việc tạo ra x + y hoặc xy Để khắc phục điều này, chúng sẽ sử dụng một số kết quả đãbiết về bất đẳng thức

2.2.2 Ví dụ Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y ∈ [1, 2] Tìm GTNN của biểu thức

Từ giả thiết này ta có

( (x − 1)(x − 2) ≤ 0 (y − 1)(y − 2) ≤ 0 ⇔

(

x2 ≤ 3x − 2

y2 ≤ 3y − 2

Sử dụng hai bất đẳng thức phụ này ta sẽ đánh giá P như sau

P ≥ x + 2y 3x − 2 + 3y + 5 +

y + 2x 3y − 2 + 3x + 5 +

1

4 (x + y − 1)

≥ x + 2y 3x + 3y + 3 +

y + 2x 3y + 3x + 3 +

2.2.4 Bài tập (1) Cho các số thực thỏa mãn (x + y)3+ 4xy ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức

(5) Cho hai số thực x, y ∈ (0, 1] thỏa mãn x + y = 4xy Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏcủa biểu thức M = x2+ y2− 7xy

(6) Cho x, ythỏa mãnx, y ≥ 1và 3(x + y) = 4xy Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểuthức

P = x3+ y3+ 3  1

x3 + 1

y3



INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

(7) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y − 1 = √

2x − 4 + √

y + 1. Tìm giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của biểu thức

Nếu y = 0, từ giả thiết suy ra x = ±

√ 3

2

+ 2  x y



− 1

3  x y

2

+ 2  x y

 + 1

Đặt t = x

y và xét hàm số f (t) =

t2+ 2t − 1 4t2+ 2t + 1 Ta có

f0(t) = −6t2+ 10t + 4

(4t2+ 2t + 1)2; f0(t) = 0 ⇔

" t = 2

t = − 1 3

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có min f (t) = f



− 1 3

 , max f (t) = f (2) = 1

3.

Kết hợp lại hai trường hợp, ta có giá trị lớn nhất của P là 1 khi (x, y) = 2 r 1

7 ,

r 1 7

!

hoặc(x, y) = −2 r 1

7 , −

r 1 7

!

và giá trị nhỏ nhất củaP là -6 khi(x, y) =

r 3

7 , −3

r 3 7

!

hoặc (x, y) = − r 3

7 , 3

r 3 7

Bên cạnh đó ta chú ý một số kết quả thông dụng

M = 3(a2b2+ b2c2+ c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2 p a2+ b2+ c2.

Giải Sử dụng các kết quả trên, ta biến đổi đánh giáM về biểu thức chỉ toàn chứaab + bc + ca

M = 3(a2b2+ b2c2+ c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2 p a2+ b2+ c2

= 3 (ab)2+ (bc)2+ (ca)2 + 3(ab + bc + ca) + 2 p a2+ b2+ c2

≥ (ab + bc + ca)2+ 3(ab + bc + ca) + 2 p 1 − 2(ab + bc + ca).

Tiếp theo ta tìm điều kiện cho biếnt = ab + bc + ca Sử dụng điều kiệna + b + c = 1nên tađược

1 = (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) = 3t

⇒ t ≤ 1

3

cùng với điều kiện a, b, c không âm nên t ∈



0, 1 3



.Xét hàm sốf (t) = t2+3t+2 √

1 − 2t, t ∈



0, 1 3



Dẫn đến f0(t) đồng biến, tức f0(t) ≥ f0(0) = 1

nên kéo theo f (t) cũng đồng biến Suy ra f (t) ≥ f (0) = 2, vậy M ≥ 0 hay max M = 2 khi

(a, b, c) = (1, 0, 0) và các hoán vị của nó 

3.2.2 Nhận xét - Trong ví dụ trên, chúng ta đánh giá(ab)2+(bc)2+(ca)2 ≥ (ab + bc + ca)

2

3

và thay thế a2+ b2+ c2 = 1 − 2(ab + bc + ca) Thế nếu chúng ta không thay thế mà đánh giá

a2+ b2+ c2 ≥ ab + bc + cathì có gì khác biệt? Câu trả lời là khi đóf (t) = t2+ 3t + 2 √

t ≥ 0

nhưng dấu “=” không xảy ra được Một lần nữa cho thấy việc khống chế điểm rơi có giá trịnhư thế nào

- Về mặt phương pháp tương đối giống như biểu thức hai biến

3.2.3 Bài tập (1) Cho các số thực dươnga, b, c thỏa mãna + b + c = 3 Tìm giá trị lớn củabiểu thức

(2) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện

INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

3.3 Xử lí biểu thức đối xứng hai biến

Giả sử chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức P chưa ba biếna, b, c.Trong đó hai biếna, bcó tính đối xứng với nhau Trong các trường hợp này ta có thể giải quyếtbằng cách đánh giá P theo hàm f (t) với

2

+  b c

suy ra t ≥ 2 Xét hàm số f (t) = (t − 1)3− √ t2+ 2t − 6với t ∈ [2, +∞) Khi đó

2 Do đó f

0(t) ≥ 3 − 3

√ 2

2 > 0, nên

f (t) ≥ f (2) = 1 − √

2hay P ≥ 1 − √

2.Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 − √

3.3.2 Bài tập (1) Cho x, y, z ∈ [1, 4] và x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x 2x + 3z +

y

y + x +

z

z + x .

(2) Chứng minh rằng với mọi số tực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có

(x + y)3+ (x + z)3+ 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3.

(3) Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = √ 4

a2+ b2+ c2+ 4 − 9

(a + b)p(a + 2c)(b + 2c) .

INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

(4) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x ≥ y ≥ z và điều kiện x2+ y2 + z2 = 3.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

P = 2xy + 3yz + 3zx + 6

x + y + z .

(5) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn

5(x2 + y2+ z2) = 6(xy + yz + zx)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = p2(x + y + z) − (y2+ z2)

(6) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểuthức

P = a

1 + a2 + b

1 + b2 + √ 3c

1 + c2.