Chuyên đề tìm cực trị của biểu thức (Toán lớp 9)

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý - Tin - KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 1 CHUYÊN ĐỀ 1 TÌM CỰC TRỊ (HAY TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT) CỦA BIỂU THỨC I. Các kiến thức thường dùng: + Với mọi x thuộc R * x 2  0, tổng quát: [f(x)] 2k  0 (k  Z) * [f(x)] 2k + m  m (k  R) + Với mọi x thuộc R  -x 2  0, tổng quát: -[f(x)] 2k  0 (k  Z)  m - [f(x)] 2k  m + Các bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối thường dùng: với mọi x, y thuộc R ta có: * x  0 * x b b x b      (b  0) * x y x y    dấu "=" xãy ra  x.y  0 * x y x y    dấu "=" xãy ra  x.y  0 + Bất đẳng thức cô-si  a + b  2 ab ( với 0, 0 a b   ) dấu "=" xãy ra  a = b  2 a b b a   ( với a.b > 0) dấu "=" xãy ra  a = b + Với a  0, b  0, a + b = k ( k là số không đổi ) thì tích a.b lớn nhất  a = b + Với a  0, b  0, a . b = k ( k là số không đổi ) thì tổng a + b nhỏ nhất  a = b II. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) ( hoặc f(y) ): 1. Tìm GTNN (Min) của f(x) Bước 1: Tìm điều kiện xác định của f(x) Bước 2: Biến đổi f(x)  a ( a là hằng số ) Bước 3: khẳng định f(x) có GTNN là a. Từ đó chỉ ra được x = x 0 thỏa mãn điều kiện ở bước 1 sao cho f(x 0 ) = a 2. Tìm GTLN (Max) của f(x) : Bước 1: Tìm điều kiện xác định của f(x) Bước 2: Biến đồi f(x)  b ( b là hằng số ) Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý - Tin - KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 2 Bước 3: Khẳng định f(x) có GTLN là b. Từ đó chỉ ra được x 0 thỏa mãn điều kiện ở bước 1 sao cho f(x 0 ) = b III. Một số dạng toán tìm GTLN - GTNN thường gặp: 1.Dạng đa thức 1 biến: Cách giải: - Sử dụng bất đẳng thức A 2m  0 hoặc A 2m + k  k (k hằng số) - Biến đổi để đưa dần các biến vào hằng đẳng thức (a + b) 2 hoặc (a - b) 2 - Nếu f(x) là đa thức bậc 2 dạng f(x) = ax 2 + bx + c ta có thể biến đổi như sau: f(x) = ax 2 + bx + c = 2 2 2 2 2 2. . 2 4 4 b b b b a x x c a x x c a a a a                    = 2 2 4 2 4 b ac b a x a a          Nếu a > 0 2 4 ( ) 4 ac b f x a    hay GTNN của f(x) = 2 4 4 ac b a  Nếu a < 0 2 4 ( ) 4 ac b f x a    hay GTLN của f(x) = 2 4 4 ac b a  Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức sau: a. -x 2 -3x + 4 b. -2x 2 + 4x - 3 2 Giải: a. ĐK: x  R -x 2 -3x + 4 = -(x 2 + 3x) + 4 = -(x 2 + 2.x. 3 2 + 9 4 ) + 4 + 9 4 = -(x + 3 2 ) 2 + 25 4 Vì -(x + 3 2 ) 2  0 nên -(x + 3 2 ) 2 + 25 4  25 4 Suy ra -(x + 3 2 ) 2 + 25 4 có GTLN là 25 4 khi -(x + 3 2 ) 2 = 0  x + 3 2 = 0  x = - 3 2 Vậy -x 2 -3x + 4 có GTLN là 25 4 khi x = - 3 2 b. ĐK: x  R -2x 2 + 4x - 3 2 = -2(x 2 - 2x) - 3 2 = -2(x 2 -2x + 1) - 3 2 + 2 = -2(x - 1) 2 + 1 2 1 2  vì -2(x - 1) 2  0 Suy ra GTLN của -2(x - 1) 2 + 1 2 là 1 2 khi -2(x - 1) 2  x - 1 = 0  x = 1 Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý - Tin - KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 3 Vậy -2x 2 + 4x - 3 2 có GTLN là 1 2 khi x = 1 2.Dạng biểu thức f(x) là phân thức một biến: 2.1.Trường hợp 1: Nếu f(x) có dạng f(x) = ( ) m A x (với m là hằng số) Cách giải: - Kiểm tra ( ) m A x  0 - f(x) có GTLN khi A(x) có GTNN và ngược lại f(x) có GTNN khi A(x) có GTLN Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức: a. A = 2 1 2 2 x x   b. B = 2 5 4 8 7 x x   Giải: a. Ta có: x 2 -2x + 2 = x 2 - 2x + 1 + 1 = (x-1) 2 + 1 > 0 2 1 ( 1) 1 x    > 0  A có GTLN  (x - 1) 2 + 1 có GTNN mà (x - 1) 2 + 1  1  Min (x - 1) 2 + 1 = 1 khi và chỉ khi x = 1  Max A = 1 1 = 1 khi và chỉ khi x = 1. b. Ta có: 4x 2 - 8x + 7 = 4x 2 - 8x + 4 + 3 = (2x - 2) 2 + 3  3  B > 0 Vậy B có GTLN  (2x - 2) 2 + 3 có GTNN Mà (2x - 2) 2 + 3  3  Min(4x 2 - 8x + 7) = 3  2x - 2 = 0  x = 1  Max B = 5 3  x = 1 2.2. Trường hợp 2: f(x) có dạng f(x) = ( ) ( ) B x A x Cách giải: Nếu bậc của đa thức B(x) lớn hơn bậc của đa thức A(x) ta chia đa thức B(x) cho đa thức A(x), thực hiện phép chia có dạng: + f(x) = m + 2 ( ) ( ) Q x P x       Suy ra Min f(x) = m  ( ) ( ) Q x P x = 0 + Hoặc dạng f(x) = - 2 ( ) ( ) Q x P x       + n Suy ra Max f(x) = n  ( ) ( ) Q x P x = 0 (với m, n là hằng số) Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý - Tin - KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 4 Nếu B(x) là đa thức bậc 1 và Q(x) là đa thức bậc 2. ta giả sử y là một giá trị nào đó của f(x). Khi đó ta có phương trình: y = ( ) ( ) B x A x  y.A(x) - B(x) = 0 (*) Xét trường hợp y = 0  B(x) = 0 ta tìm được x Xét trường hợp y  0 thì (*) có nghiệm    0. Từ đó tìm ra x Lưu ý: + Trường hợp biêu thức là những phân thức 2 biến, 3 biến ta cũng xét các dạng tương tự như trên. + Nếu f(x) = c - A(x) (c là hằng số )  f(x) có GTLN  A(x) có GTNN Ví dụ 1. Cho biểu thức A = 3 2 2 ( ) ( ) ( 2) 3( ) ( 2 ) a a b b a b a a a b ab ab b         (a  b) a. Rút gọn A b. Với giá trị nào của a và b thì A đạt GTLN Giải: a. Rút gọn tử thức và phân tích mẫu thức thành nhân tử ta được: A =    2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 a b a a a b a a        b. A = 2 1 2 3 a a   Ta có: a 2 + 2a + 3 = (a + 1) 2 + 2  2  A > 0  A có GTLN  a 2 + 2a + 3 có GTNN Mà Min(a 2 + 2a + 3) = Min[ (a + 1) 2 + 2] = 2  a = -1  Max A = 1 2  a = -1 Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: B =   2 2 5 26 41 2 x x x    Giải: ĐK: x  2 B =   2 2 5 26 41 2 x x x    = 2 2 5( 4 4) 6( 2) 9 ( 2) x x x x       = 2 2 2 2 5( 2) 6( 2) 9 ( 2) ( 2) ( 2) x x x x x        = 2 6 3 5 2 2 x x           = 2 3 3 2. .1 1 4 2 2x x            Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý - Tin - KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 5 = 2 3 1 4 4 2x            Min B = 4 3 1 0 3 2 0 2 x x         vậy Min B = 4  x = 5 Ví dụ 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức sau: C = 2 4 3 1 x x   Giải: x 2 +1  1  C có nghĩa với mọi x  R Gọi y là một giá trị của C = 2 4 3 1 x x    phương trình y = 2 4 3 1 x x   có nghiệm  (x 2 + 1)y = 4x + 3  yx 2 - 4x + y - 3 = 0 (*) Nếu y = 0 thì (*)  0.x 2 - 4.x + 0 - 3 = 0  4x - 3 = 0  x = 3 4  (1) Nếu y  0 thì (*) có nghiệm   '  0  4 - y(y - 3)  0  -y 2 + 3y + 4  0  (y - 4)(-y - 1)  0  4 0 ( ) 1 0 4 0 ( ) 1 0 y I y y II y                        Giải hệ (I) vô nghiệm Giải hệ (II) có nghiệm: -1  y  4 Với y = -1 thay vào phương trình (*) ta có -x 2 - 4x -1 - 3 = 0  -x 2 - 4x - 4 = 0 Giải phương trình -x 2 - 4x - 4 = 0 ta được x = -2 (2) Với y = 4 thay vào phương trình (*) ta có 4x 2 - 4x + 1 = 0 Giải phương trình 4x 2 - 4x + 1 = 0 ta được x = 1 2 (3) Từ (1), (2), (3) ta có: Max C = 4 khi x = 1 2 Min C = -1 khi x = -2 3. Dạng 3: Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cách giải: Cách 1: Sử dụng các bất đẳng thức: Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý - Tin - KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 6 A B A B    dấu bằng xãy ra  A.B  0 A B A B    dấu bằng xãy ra  A.B  0 Bất đẳng thức Cô-si: 1 1 2 . 2 A A A A    dấu bằng xãy ra  A =  1 ( 0) A b b    -b  A  b Cách 2: Lập bảng xét dấu: VD: f(x) = ax + b  0 Cách 3: Xét trong từng khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối, từ đó tìm được GTNN, GTLN Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: a. A = 8 x x   b. B = 5 2 x x    Giải: a. Áp dụng bất đẳng thức A B A B    . Ta có: 8 x x    8 x x    8 x x    8 Biểu thức 8 x x   có GTNN  8 x x    8 xãy ra dấu "="  x(8-x)  0 Lập bảng xét dấu: x 0 8 x - 0 + + 8 - x + + 0 - x(8 - x) - 0 + 0 - Dựa vào bảng xét dấu ta có: Min A = 8  0  x  8 b. Cách 1: Giải như bài a Cách 2: Ta xét trong từng khoảng các giá trị của x để bỏ dấu : B = 5 2 x x    = 5 2 5 2 5 2 x x x x x x                x f(x) b a  0 Trái dấu với a Cùng dấu với a nếu x > 5 nếu 5  x  -2 nếu x < -2 Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý - Tin - KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 7 B = 2 3 7 2 3 x x         Trường hợp B = 2x - 3 nếu x > 5 nên B > 2.5 - 3 = 7  B > 7 Trường hợp B = -2x + 3 nếu x < -2 nên B = -2x + 3 > -2.(-2) + 3 = 7  B > 7 Vậy Min B = 7  Chú ý: - Nên giải theo cách 2 khi số dấu phải xét trong biểu thức là 2 hoặc 3 dấu . Trường hợp số dấu nhiều hơn 3 ta nên giải theo cách 1 thì lời giải ngắn gọn hơn. - Ta có thể chuyển dạng B = M N  thành B = 2 2 M N  dạng biểu thức chứa căn bậc hai để giải. Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức C = 2 2 2 3 2 15 x x x x      Giải: Nhận xét: Biểu thức trong dấu đều chứa x 2 + 2x nên ta áp dụng A A   được: C = 2 2 2 3 15 2 x x x x      2 2 2 3 15 2 x x x x       = 18 = 18 Dấu "=" xãy ra  (x 2 + 2x + 3)(15 - x 2 -2x)  0 Mà x 2 + 2x + 3 = (x + 1) 2 + 2 > 0  15 - x 2 - 2x  0  -(x + 1) 2 +16  0  -4  x + 1  4  -5  x  3 Vậy Min C = 18  -5  x  3 4. Dạng 4: Biểu thức có chứa căn thức: Cách giải: - Vận dụng bất đẳng thức cô-si a + b 2 ab  với 0, 0 a b   - A có nghĩa A   0. Dấu "=" xãy ra  A = 0 ( n  N* ) Ví dụ :1. Tìm GTNN của biểu thức a. A = x + x b. B = 2 4 3 x x   c. C = x - 2 x  + 5 Giải: a. A = x + x , A có nghĩa  x  0 nếu x > 5 nếu 5  x  -2 nếu x < -2 nếu 5  x  - 2 2n Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý - Tin - KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 8  A = x + x  0 Vậy Min A = 0  x = 0 b. B = 2 4 3 x x   =   2 2 1 x   B có nghĩa  (x - 2) 2 - 1  0  B có GTNN  (x - 2) 2 - 1 = 0  (x - 3)(x - 1) = 0 Vậy Min B = 0  x = 3 hoặc x = 1 c. ĐK: x + 2  0  x  -2 C = x - 2 x  + 5 = x + 2 - 2 x  + 3 = 2 1 1 2 2. 2. 2 4 x x      11 4 = 2 1 11 11 2 2 4 4 x            GTNN của C = 11 4 1 2 2 x    = 0  x + 2 = 1 4 7 4 x    ( thỏa mãn ĐK ) Vậy Min C = 11 4 7 4 x    2. Tìm GTLN của biểu thức A = 2 8 7 x x    Giải: A = 2 8 7 x x    =    1 7 x x   A có nghĩa  (x -1)(7 - x)  0 1 0 7 0 1 0 7 0 x x x x                       1 7 x    Với 1  x  7 1 0,7 0 x x      Áp dụng bất đẳng thức cho hai số không âm x - 1 và 7 - x ta có: A =    1 7 x x   1 7 3 2 x x       A có GTLN là 3  x - 1 = 7 - x  x = 4 ( dấu "=" xãy ra  x - 1 = 7 - x ) Vậy Max A = 3  x = 4 Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức sau: B = 2 1 2 1 x x x x      Giải: ĐK: x -1  0 1 x   B = 2 1 2 1 x x x x      = 1 2 1 1 1 2 1 1 x x x x          =     2 2 1 1 1 1 x x     = 1 1 1 1 x x      Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý - Tin - KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 9 = 1 1 1 1 x x      Áp dụng bất đẳng thức a b a b    ta có: B = 1 1 1 1 x x      1 1 1 1 x x       = 2 Vậy Min B = 2     1 1 1 1 0 x x       1 1 0 1 1 0 1 2 1 1 0 1 1 0 x x x x x                                   ( thỏa mãn ĐK ) Vậy với 1  x  2 thì B có GTNN là 2. 5. Dạng biểu thức là đa thức nhiều biến: Cách giải: Với dạng này ta thường biến đổi về dạng tổng các bình phương và chủ yếu là 2 phép biến đổi sau: - Thêm bớt hạng tử để đưa dần các biến vào hằng đẳng thức - Tách hạng tử để phân thành từng nhóm có chứa hằng đẳng thức Ví dụ: 1. Tìm GTNN của biểu thức sau: a. A = x 2 - 2x + y 2 - 4y + 6 b. B = x - 2 xy + 3y - 2 x + 1 Giải: a. A = x 2 - 2x + y 2 - 4y + 6 = x 2 - 2x + 1 + y 2 - 4y + 4 + 1 = (x - 1) 2 + (y - 2) 2 + 1  1  A = 1 1 0 1 2 0 2 x x y y               Vậy Min A = 1 1 2 x y       b. ĐK: 0 0 x y      B = x - 2 xy + 3y - 2 x + 1 = x - 2 xy + y + 2y - 2 x + 1 =     2 2 1 2 2 x y x y y y       =     2 2 2 2 1 2 y y x y     =     2 1 1 4 4 2 x y y y     =     2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 x y y        Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán -Lý - Tin - KT CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 10  B có GTNN là 3 1 0 1 2 1 2 2 1 0 4 x x y y y                       Vậy Min B = 3 1 2 1 2 4 x y            2. Tìm GTLN của biểu thức sau: C = -x 2 - 5y 2 + 4xy - 6x + 14y -15 Giải: C = -x 2 - 5y 2 + 4xy - 6x + 14y -15 = -(x 2 + 5y 2 - 4xy + 6x - 14y + 15) = -[x 2 - 2x(2y - 3) + (2y - 3) 2 + 5y 2 - (2y - 3) 2 - 14y +15] = -{[x - (2y - 3)] 2 + (y 2 -2y + 1) + 5} = - (x - 2y + 3) 2 - (y - 1) 2 + 5  5  C có GTLN là 5 2 3 0 1 1 0 1 x y x y y                 Vậy Max C = 5 1 1 x y        6. Biểu thức có dạng: [f(x) + a][f(x) + b] Cách giải: Bước 1: Đặt ẩn phụ t = f(x) + 2 a b  Bước 2: Thay ẩn phụ vào biểu thức và tiến hành tìm cực trị ( GTNN - GTLN ) theo ẩn phụ t. Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 3) 2 + (x + 7) 2 Giải: Đặt t = x + 3 7 2   = x + 2 Ta có A = (t - 5) 4 + (t + 5) 4 = t 4 - 20t 3 + 150t 2 - 500t + 625 + t 4 + 20t 3 150t 2 + 500t + 625 = 2t 4 + 300t 2 + 1250  1250  A có GTNN là 1250  t = 0  x + 2 = 0  x = -2 Vậy Min A = 1250  x = -2 IV. Bài tập áp dụng: 1. Tìm GTNN của các biểu thức sau: [...]... y x2 y2  2  2    3 2 y x  y x 2 Tìm GTLN của biểu thức sau: 1 9 x  12 x  11 d x  1  y  1 a -x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y - 3 b c 3  x  6  x e g 3x  3 x  x2  x  1 x f x 1  x 2 3  x  2000  2 h (x - 3)4 + (x + 7)4 với x > 0 3 Cho biểu thức A = 2 x2  2 x4    3  2 x2  6 a Rút gọn biểu thức A b Tìm GTLN của A 4 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: a 8 x 2  6 xy x2  y2 b  x  2 ...  6 a Rút gọn biểu thức A b Tìm GTLN của A 4 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: a 8 x 2  6 xy x2  y2 b  x  2  6  x  5 Cho x, y là hai số thỏa mãn x + 2y = 3 Tìm GTNN của biểu thức B = x2 + 2y2 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 11