1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

nét đẹp hàm số  tiềm ẩn trong bài  toán phương  trình, hệ phương trình  bất đẳng thức–  bài toán tìm giá  trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất  của một biểu thức

26 1,4K 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 26
Dung lượng 414,92 KB

Nội dung

nét đẹp hàm số  tiềm ẩn trong bài  toán phương  trình, hệ phương trình  bất đẳng thức–  bài toán tìm giá  trị lớn nhất,...

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH  BẤT ĐẲNG THỨC – BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, 

“… ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản …”. 

Tác giả của bài viết này rất mong gĩp một chút “suy nghĩ” trong việc tìm ra “con đường” đến với  những “dịng suối nhỏ kia”. 

Bài viết được trình bày theo hướng giải quyết những câu hỏi “kinh điển”

- Bắt đầu từ đâu?

- Khai thác, khám phá, phát hiện và kiến tạo vấn đề ra sao?

- Giải pháp nào là khả thi? ……

Từ đó hình  thành  ý  tưởng  giúp tìm ra giải pháp xử lý có “đường lối”. 

Điểm mấu chốt trong phương pháp vận dụng tính chất của hàm số, là xây dựng được hàm số “tương thích” với bài tốn. 

Ở những bài tốn phức tạp việc chọn biến số, hình thành hàm số cần ở người  giải  “chiều  sâu”,  “độ  rộng”  về  kiến  thức,  cĩ  “nhãn  quan”,  cảm  nhận tinh tế, cĩ tố chất tư duy, cĩ kỹ thuật biến đổi , hơn thế nữa cịn phải cĩ trải nghiệm qua cả một quá trình. 

Tác giả cố gắng sáng tác những lời giải khác với những lời giải cĩ sẵn trong trường hợp cĩ thể . 

Để “nhìn”  vấn  đề trên tương đối  rõ ràng  người  viết phân  loại 7 dạng bài như sau: 

(Với  mục  đích  ngắn  gọn  khi  trình  bày  trong  bài  tốn  chứng  minh  bất  đẳng thức, bài tốn tìm  giá trị  lớn  nhất, giá  trị  nhỏ  nhất của biểu thức, ta kí  hiệu biểu thức cĩ trong bài tốn bằng chữ T hoặc P)

Trang 2

Phần 2:

Loại 1: Chọn trực tiếp một tham số biến thiên làm biến số. 

Đặc  điểm:  Với  một  lớp  các  bài  tốn,  trong  đĩ  biểu  thức  P  chứa  các 

* Bài toán minh họa:

Bài toán 1: [USAMO]

Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0; 1]

Trang 4

Như vậy a, b, c nhận những giá trị khác nhau ứng với những tam giác khác  nhau,  nghĩa  là  các  số  dương  a,  b,  c  đóng  vai  trò  là  các  tham  số  biến thiên. 

Do  đó,  ta  chọn  1  tham  số  là  biến  số  và  cố  định  các  tham  số  còn  lại. Chẳng hạn ta chọn biến số là c. 

Trang 5

­ Dựa theo quan hệ giữa các tham số ta biến đổi các tham số trong bài toán quy về một trong các tham số đã cho. 

­ Lúc này ta hình thành được hàm số một biến với biến số là tham số, 

đã  được “quy về”. 

* Bài toán 3: [IM025] 

Cho 3 số thực dương x, y, z thay đổi và thỏa mãn hệ thức x+y+z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

Trang 8

­ Khi đó ta nhận được P£ f b c ( ) 

­ Như vậy ta hình thành được hàm số f với biến số mới là t = b.c. 

* Lời giải:

Trang 9

Còn đối với bài toán “nhẹ” hơn thì hàm số đặc trưng thường “hé lộ”. Như  vậy  để  xây  dựng  giải  pháp  phù  hợp  cho  dạng  bài  này,  ta  phân 

chia thành một số lớp bài toán theo từng “cấp độ”. 

* Đặc điểm:

Trang 10

­ Dựa theo dạng của mỗi cụm số hạng ta hình thành được hàm số đặc trưng. 

4  ( ) 0 

Trang 11

•  Đây là câu hỏi “dễ đặt” nhưng không dễ để trả lời được. 

•  Dựa trên cơ sở nào, ta chọn được hàm số: 

•  Ta biến đổi bất đẳng thức: 

Theo hướng sắp xếp các tham số cùng loại vào một “cụm” số hạng, ta được: 

Trang 12

Sở dĩ ta chọn như trên mà không chọn: 

Với g(x) tồn tại các bậc x khác bậc 1, bởi vì nó sẽ tạo ra các trường hợp mà ta khó có thể đưa về a+b+c+d=1 để sử dụng giả thiết. 

243 

f x ³ -

Trang 13

Vì đẳng thức xảy ra khi 

mà ta xét hàm số trên khoảng (0,1) nên tại giá trị để đẳng thức xảy ra thì f(x) đạt GTNN nghĩa là: 

Trang 14

Ta có: 

1 3  '( ) 

Trang 15

­  Dựa  theo  dạng  của  mỗi  số  hạng,  kết  hợp  với  hệ  thức  a+b+c  =3,  ta hình thành được hàm đặc trưng. 

Trang 16

Do tính đẳng cấp, nên ta giả sử a + b + c = 3 suy ra a, b, c Π( ) 0;3 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

f x = Û x = Π 1 ( ) 0;3 

Lập bảng biến thiên , ta có 

1  ( ) 

Trang 17

­  Khi  trình  bày,  phải  chứng  minh  bất  đẳng  thức  trung  gian  đã  vận dụng. 

­ Quy bài toán về dạng các biến đã “phân li”

Trang 18

­  Thật  vậy  với  2  lần  vận  dụng  bất  đẳng  thức  cô  si,  ta  đánh  giá  và 

­ Lúc này các số hạng ở vế phải được sắp xếp theo cùng một quy luật, điều này làm “hé lộ” hàm số đặc trưng: f(t) = 2ln(1+t) – t , " Πt [ ] 0;3 

Trang 20

sin (A+B)  2 sin  tanA+tanB = 

tanA tanB tan  C 

+ + = + + 

tan tan tan tan tan tan 

tan tan tan 

T  cot cot cot 

cot cot cot  A B C 

Trang 21

­ Dựa theo đặc điểm của biểu thức P, ta qui bài toán về 1 trong những dạng bài đã trình bày trong đề tài, từ đó hình thành hàm số f biến số x. 

­  Quá  trình  khảo  sát  hàm  số  f(x)  làm  “phát  sinh”  hàm  số  trung  gian g(t). 

­ Ta  lại khảo sát hàm số “phát sinh”  g(t)  lúc  này ta  mới  nhận đầy đủ 

Trang 24

4 4 2

P=x +y x y

Vận dụng những ý tưởng đã trình bày trong 7 dạng trên, ta giải  quyết được những bài toán sau: 

ê ú

ë û 

* Bài tập 8: 

Xét các tam giác ABC với 3 góc ở đỉnh đều nhọn. 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.  sin sin sin 

cos cos cos 

sin sin sin 

Trang 25

không đổi dấu ,  " Î t L

ØThuyết minh tính mới của giải pháp 

Với giải pháp đã trình bày, tính mới của đề tài thể hiện rõ ở các ý tưởng sau: 

1.  Chỉ ra được cơ sở của vấn đề, từ đó xây dựng được nguyên tắc giúp hình thành hàm số tương thích với bài toán. 

được những ý tưởng trên) 

ØKhả năng áp dụng của giải pháp

·  Tác giả đã triển khai giải pháp này trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng đội HSG của tỉnh dự thi HSG quốc gia và đội HSG của trường THPT Tăng Bạt Hổ

·  Giải pháp đã có tác động tích cực đến HS, giúp các em hiểu vấn đề một cách bản chất và thấu đáo

·  Giải pháp giúp HS tránh được sự băn khoăn, do dự, thậm chí là ngộ nhận , bế tắc trong xử lí vấn đề như trước đây

·  Giải pháp đã nối 1 nhịp cầu tạo cho HS phương pháp tự tìm tòi, tự khai thác vấn đề một cách đúng hướng, tăng tính tự học, tự nghiên cứu và đậm tính đổi mới. 

ØHiệu quả của giải pháp 

Trong năm học 2011 – 2012, tác giả tham gia giảng dạy bồi dưỡng đội HSG của tỉnh dự thi cấp quốc gia . Với 6 thí sinh dự thi, kết quả đạt được 

5 giải (2 giải ba, 3 giải khuyến khích). 

Cũng trong năm học 2011 – 2012, tác giả tham gia giảng dạy bồi dưỡng đội HSG lớp 12 của trường THPT Tăng Bạt Hổ.Với 3 thí sinh dự thi, kết quả đạt 3 giải ba và trong đó có 2 em được chọn vào đội dự tuyển của tỉnh

Trang 26

Qua một số dạng bài đã trình bày, người viết hy vọng góp một “tiếng nói  nhỏ” để tạo ra  một cách “nhìn” trước mỗi bài toán,  một cách “nhìn” có nội dung, “nhìn” từ phía bên trong của vấn đề. 

Đây  cũng  là  “một  kiểu  học”,  “một  kiểu  dạy”  đậm  tính  đổi  mới  về phương pháp. Nghĩa là dạy cho học sinh giải toán chứ không chỉ là giải toán cho học sinh. 

Người viết đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên không sao tránh khỏi những sai sót, người viết rất mong sự góp ý, trao đổi của quý thầy cô đồng nghiệp, giúp cho những bài viết sau này tương đối trọn vẹn hơn

Ngày đăng: 31/07/2014, 07:20

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

Bảng biến thiên - nét đẹp hàm số  tiềm ẩn trong bài  toán phương  trình, hệ phương trình  bất đẳng thức–  bài toán tìm giá  trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất  của một biểu thức
Bảng bi ến thiên (Trang 4)
Loại 3: Hình thành biến số mới. - nét đẹp hàm số  tiềm ẩn trong bài  toán phương  trình, hệ phương trình  bất đẳng thức–  bài toán tìm giá  trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất  của một biểu thức
o ại 3: Hình thành biến số mới (Trang 7)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w