nét đẹp hàm số tiềm ẩn trong bài toán phương trình, hệ phương trình bất đẳng thức– bài toán tìm giá trị lớn nhất,...
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẤT ĐẲNG THỨC – BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
“… ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản …”.
Tác giả của bài viết này rất mong gĩp một chút “suy nghĩ” trong việc tìm ra “con đường” đến với những “dịng suối nhỏ kia”.
Bài viết được trình bày theo hướng giải quyết những câu hỏi “kinh điển”
- Bắt đầu từ đâu?
- Khai thác, khám phá, phát hiện và kiến tạo vấn đề ra sao?
- Giải pháp nào là khả thi? ……
Từ đó hình thành ý tưởng giúp tìm ra giải pháp xử lý có “đường lối”.
Điểm mấu chốt trong phương pháp vận dụng tính chất của hàm số, là xây dựng được hàm số “tương thích” với bài tốn.
Ở những bài tốn phức tạp việc chọn biến số, hình thành hàm số cần ở người giải “chiều sâu”, “độ rộng” về kiến thức, cĩ “nhãn quan”, cảm nhận tinh tế, cĩ tố chất tư duy, cĩ kỹ thuật biến đổi , hơn thế nữa cịn phải cĩ trải nghiệm qua cả một quá trình.
Tác giả cố gắng sáng tác những lời giải khác với những lời giải cĩ sẵn trong trường hợp cĩ thể .
Để “nhìn” vấn đề trên tương đối rõ ràng người viết phân loại 7 dạng bài như sau:
(Với mục đích ngắn gọn khi trình bày trong bài tốn chứng minh bất đẳng thức, bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, ta kí hiệu biểu thức cĩ trong bài tốn bằng chữ T hoặc P)
Trang 2Phần 2:
Loại 1: Chọn trực tiếp một tham số biến thiên làm biến số.
Đặc điểm: Với một lớp các bài tốn, trong đĩ biểu thức P chứa các
* Bài toán minh họa:
Bài toán 1: [USAMO]
Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0; 1]
Trang 4Như vậy a, b, c nhận những giá trị khác nhau ứng với những tam giác khác nhau, nghĩa là các số dương a, b, c đóng vai trò là các tham số biến thiên.
Do đó, ta chọn 1 tham số là biến số và cố định các tham số còn lại. Chẳng hạn ta chọn biến số là c.
Trang 5 Dựa theo quan hệ giữa các tham số ta biến đổi các tham số trong bài toán quy về một trong các tham số đã cho.
Lúc này ta hình thành được hàm số một biến với biến số là tham số,
đã được “quy về”.
* Bài toán 3: [IM025]
Cho 3 số thực dương x, y, z thay đổi và thỏa mãn hệ thức x+y+z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Trang 8 Khi đó ta nhận được P£ f b c ( ) .
Như vậy ta hình thành được hàm số f với biến số mới là t = b.c.
* Lời giải:
Trang 9Còn đối với bài toán “nhẹ” hơn thì hàm số đặc trưng thường “hé lộ”. Như vậy để xây dựng giải pháp phù hợp cho dạng bài này, ta phân
chia thành một số lớp bài toán theo từng “cấp độ”.
* Đặc điểm:
Trang 10 Dựa theo dạng của mỗi cụm số hạng ta hình thành được hàm số đặc trưng.
4 ( ) 0
Trang 11• Đây là câu hỏi “dễ đặt” nhưng không dễ để trả lời được.
• Dựa trên cơ sở nào, ta chọn được hàm số:
• Ta biến đổi bất đẳng thức:
Theo hướng sắp xếp các tham số cùng loại vào một “cụm” số hạng, ta được:
9
Trang 12Sở dĩ ta chọn như trên mà không chọn:
Với g(x) tồn tại các bậc x khác bậc 1, bởi vì nó sẽ tạo ra các trường hợp mà ta khó có thể đưa về a+b+c+d=1 để sử dụng giả thiết.
243
f x ³ -
Trang 13Vì đẳng thức xảy ra khi
mà ta xét hàm số trên khoảng (0,1) nên tại giá trị để đẳng thức xảy ra thì f(x) đạt GTNN nghĩa là:
Trang 14Ta có:
1 3 '( )
Trang 15 Dựa theo dạng của mỗi số hạng, kết hợp với hệ thức a+b+c =3, ta hình thành được hàm đặc trưng.
Trang 16Do tính đẳng cấp, nên ta giả sử a + b + c = 3 suy ra a, b, c Î ( ) 0;3 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
f x = Û x = Î 1 ( ) 0;3
Lập bảng biến thiên , ta có
1 ( )
Trang 17 Khi trình bày, phải chứng minh bất đẳng thức trung gian đã vận dụng.
Quy bài toán về dạng các biến đã “phân li”
Trang 18 Thật vậy với 2 lần vận dụng bất đẳng thức cô si, ta đánh giá và
Lúc này các số hạng ở vế phải được sắp xếp theo cùng một quy luật, điều này làm “hé lộ” hàm số đặc trưng: f(t) = 2ln(1+t) – t , " Î t [ ] 0;3
Trang 20sin (A+B) 2 sin tanA+tanB =
tanA tanB tan C
+ + = + +
tan tan tan tan tan tan
tan tan tan
T cot cot cot
cot cot cot A B C
Trang 21 Dựa theo đặc điểm của biểu thức P, ta qui bài toán về 1 trong những dạng bài đã trình bày trong đề tài, từ đó hình thành hàm số f biến số x.
Quá trình khảo sát hàm số f(x) làm “phát sinh” hàm số trung gian g(t).
Ta lại khảo sát hàm số “phát sinh” g(t) lúc này ta mới nhận đầy đủ
Trang 244 4 2 2
P=x +y - x y
Vận dụng những ý tưởng đã trình bày trong 7 dạng trên, ta giải quyết được những bài toán sau:
ê ú
ë û
* Bài tập 8:
Xét các tam giác ABC với 3 góc ở đỉnh đều nhọn.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. sin sin sin
cos cos cos
sin sin sin
Trang 25không đổi dấu , " Î t L
ØThuyết minh tính mới của giải pháp
Với giải pháp đã trình bày, tính mới của đề tài thể hiện rõ ở các ý tưởng sau:
1. Chỉ ra được cơ sở của vấn đề, từ đó xây dựng được nguyên tắc giúp hình thành hàm số tương thích với bài toán.
được những ý tưởng trên)
ØKhả năng áp dụng của giải pháp
· Tác giả đã triển khai giải pháp này trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng đội HSG của tỉnh dự thi HSG quốc gia và đội HSG của trường THPT Tăng Bạt Hổ
· Giải pháp đã có tác động tích cực đến HS, giúp các em hiểu vấn đề một cách bản chất và thấu đáo
· Giải pháp giúp HS tránh được sự băn khoăn, do dự, thậm chí là ngộ nhận , bế tắc trong xử lí vấn đề như trước đây
· Giải pháp đã nối 1 nhịp cầu tạo cho HS phương pháp tự tìm tòi, tự khai thác vấn đề một cách đúng hướng, tăng tính tự học, tự nghiên cứu và đậm tính đổi mới.
ØHiệu quả của giải pháp
Trong năm học 2011 – 2012, tác giả tham gia giảng dạy bồi dưỡng đội HSG của tỉnh dự thi cấp quốc gia . Với 6 thí sinh dự thi, kết quả đạt được
5 giải (2 giải ba, 3 giải khuyến khích).
Cũng trong năm học 2011 – 2012, tác giả tham gia giảng dạy bồi dưỡng đội HSG lớp 12 của trường THPT Tăng Bạt Hổ.Với 3 thí sinh dự thi, kết quả đạt 3 giải ba và trong đó có 2 em được chọn vào đội dự tuyển của tỉnh
Trang 26Qua một số dạng bài đã trình bày, người viết hy vọng góp một “tiếng nói nhỏ” để tạo ra một cách “nhìn” trước mỗi bài toán, một cách “nhìn” có nội dung, “nhìn” từ phía bên trong của vấn đề.
Đây cũng là “một kiểu học”, “một kiểu dạy” đậm tính đổi mới về phương pháp. Nghĩa là dạy cho học sinh giải toán chứ không chỉ là giải toán cho học sinh.
Người viết đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên không sao tránh khỏi những sai sót, người viết rất mong sự góp ý, trao đổi của quý thầy cô đồng nghiệp, giúp cho những bài viết sau này tương đối trọn vẹn hơn