nét đẹp hàm số tiềm ẩn trong bài toán phương trình, hệ phương trình bất đẳng thức– bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

nét đẹp hàm số  tiềm ẩn trong bài  toán phương  trình, hệ phương trình  bất đẳng thức–  bài toán tìm giá  trị lớn nhất,...

NÉT ĐẸP HÀM SỐ TIỀM ẨN TRONG BÀI TỐN  PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH  BẤT ĐẲNG THỨC – BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,  GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC  Huỳnh Duy Thủy  “Chứng minh bất đẳng thức …”  “Tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của biểu thức…”  Những cụm từ ấy hàm chứa một mảng kiến thức trọng tâm, “hóc búa”  trong chương trình tốn học ở phổ thơng, mà phần nhiều thí sinh rất “ngại”  khi  “va  chạm”.  Cịn  nữa  đó  cũng  là  phần  kiến  thức  ln  “thời  sự”,  “cuốn  hút”, “quyến rủ” người học nhất là với đối tượng khá, giỏi “… ví dòng sông bắt nguồn từ suối nhỏ, toán dù khó đến đâu có nguồn gốc từ toán đơn giản …”.  Tác giả của bài viết này rất mong góp một chút “suy nghĩ” trong việc  tìm ra “con đường” đến với  những “dịng suối nhỏ kia”.  Bài viết trình bày theo hướng giải câu hỏi “kinh điển” - Bắt đầu từ đâu? - Khai thác, khám phá, phát hiện kiến tạo vấn đề sao? - Giải pháp khả thi? …… Từ hình  thành  ý  tưởng  giúp tìm giải pháp xử lý có “đường lối”.  Điểm mấu chốt trong phương pháp vận dụng tính chất của hàm số, là  xây dựng được hàm số “tương thích” với bài tốn.  Ở những bài tốn phức tạp việc chọn biến số, hình thành hàm số cần ở  người  giải “chiều sâu”, “độ rộng” về kiến thức, có “nhãn quan”, cảm  nhận  tinh tế, có tố chất tư duy, có kỹ thuật biến đổi , hơn thế nữa cịn phải có trải  nghiệm qua cả một q trình.  Tác giả cố gắng sáng tác những lời giải khác với những lời giải có sẵn  trong trường hợp có thể .  Để “nhìn” vấn đề trên tương đối rõ ràng người viết phân loại 7 dạng  bài như sau:  (Với  mục đích  ngắn  gọn khi trình bày trong bài tốn chứng  minh bất đẳng  thức, bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, ta kí hiệu  biểu thức có trong bài tốn bằng chữ T hoặc P) 1  Phần 2: Bài tốn chứng minh bất đẳng thức  Bài tốn tìm GTLN và GTNN của biểu thức Loại 1: Chọn trực tiếp tham số biến thiên làm biến số.  Đặc điểm: Với  một  lớp các bài tốn, trong  đó biểu  thức P chứa các  tham số biến thiên.  * Cách xử lý  ­ Trong số các tham số đã cho, ta chọn trực tiếp một tham số làm biến  số và cố định các tham số cịn lại.  ­ Nếu như vai trị các tham số là như nhau khơng mất tính tổng qt,  ta có thể sắp xếp thứ tự về độ lớn các tham số.  ­  Kết  hợp  với  giả  thiết  ta  tìm  điều  kiện  ràng  buộc  cho  tham  số  đã  chọn.  ­ Như vậy ta hình thành được hàm số một biến số - Khảo sát hàm số ta sẽ nhận đầy đủ thơng tin của biểu thức P * Bài toán minh họa: Bài toán 1: [USAMO] Cho a, b, c số thực thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh raèng:  a b c  + + + (1 - a )(1 - b)(1 - c  £ 1  ) b + c + c + a + a + b + 1  (1) “Suy nghó” tìm giải pháp: - Ta hiểu rằng các số thực a, b, c đóng vai trị là tham số biến thiên.  ­ Trong các tham số a, b, c ta chọn trực tiếp một tham số là biến số và  cố định các tham số cịn lại - Vai trị của các số thực a, b, c  là như nhau khơng mất tính tổng quát,  ta chọn a là biến số - Như vậy ta hình thành được hàm số f biến số a y = f(a) với a Ỵ [0;1  ]  * Lời giải: Xét hàm số  f (a) = a b c  + + + (1 - a )(1 - b )(1 - c  trên tập [0, 1]  )  b + c + c + a + a + b + 1  2  1  b c  - (1 - b)(1 - c  )  2  b + c + (c + a + 1) (a + b + 1)  2b 2  c  f ''(a ) = + ³ 0, "a Ỵ [ 0;1  ]  3  (c + a + 1) (a + b + 1)  f’( a) = Suy ra hàm số f’(a) đồng biến trên đoạn [0; 1]  ­ Ta xét các trường hợp về dấu của f’(a) * Trường hợp 1: f’(a)  ³ , "a Ỵ [0;1  ]  Suy ra hàm số  f(a) đồng biến trên đoạn [0;1] Do f(a)  £ f (1) =  b c 1  b c  + + £ + + b + c + c + + 1 + b + b + c + c + b + c + b + 1  1 + b + c  =  = 1  1 + b + c * Trường hợp 2:  f’(a) < 0, "a Ỵ [ 0;1  ]  Suy ra hàm số f(a) nghịch biến trên đoạn [0;1]  b c  + + (1 - b )(1 - c  )  c + b + 1  b(b + 1) + c (c + 1) + (1 - b)(1 - c)(c + 1)(b + 1)  =  (c + 1)(b + 1)  Do đó:  f (a) £ f (0) = + b + c + b 2c 2  1 + b + c + bc  = £ = 1  + b + c + bc 1 + b + c + bc * Trường hợp 3:  f’(a) đổi dấu trên đoạn [0;1]  Mặt khác f’(a) là hàm số liên tục và đồng biến trên đoạn [0;1]  Từ đó suy ra phương trình f’(a) = 0 có nghiệm duy nhất.  a = a ,  a Ỵ (0;1) Lập bảng biến thiên, ta nhận được     f(a) £  1.  Dấu  đẳng  thức  xảy  ra  tại  (a,  b,  c)  là  các  hoán  vị  của  (1,1,0)  hoặc  (1,0,0) hoặc (1,1,1) hoặc (0, 0,0).  * Bài toán 2: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.  Chứng minh rằng:  a(b - c )2 + b(c - a )2 + c(a - b)2 + 4  > a + b3 + c3  abc (1)  * “Suy nghĩ” tìm giải pháp:  Ta  phải  hiểu  rằng:  cần  chứng  minh  bất  đẳng  thức  (1)  đúng  với  mọi  tam giác có độ dài 3 cạnh là a, b, c Như vậy a, b, c nhận những giá trị khác nhau ứng với những tam giác  khác  nhau,  nghĩa  là  các  số  dương  a,  b,  c  đóng  vai  trị  là  các  tham  số  biến  thiên.  Do đó, ta chọn 1 tham số  là biến số  và cố  định các tham số cịn  lại.  Chẳng hạn ta chọn biến số là c.  Để tìm điều kiện ràng buộc cho biến số c, ta dựa theo tính chất trong  tam giác: tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh thứ 3.  * Lời giải:  ­ Khơng mất tính tổng qt, giả sử  0 < a £ b £ c < a + b Ta có: (1)  Û c3 - (a + b)c - (a + b - 2ab)c + (a + b3 - a 2b - ab 2 )   0,  y  >  0  sử  dụng  bất  đẳng  thức  côsi  ta  đánh  giá  x.y  theo  (x+y).  ­ Dựa theo hệ thức x+y+z = 1 ta biểu thị (x+y) theo biến z.  ­ Để tìm điều kiện ràng buộc cho biến số z ta giả sử  x ³ y ³ z , kết hợp  1  3  giả thiết ta được  0 < z £    ­  Như  vậy  ta  hình  thành  được  hàm  số  f(z)  thỏa  mãn  P Ê f ( z ), ổ 1ự "z ẻ ỗ 0,  ú   è 3 û  ­ Cần nhận rõ rằng: đối với bài tốn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P, ta có thể xây dựng hàm số f(t) thỏa mãn  P £  f (t ) .  Quá  trình  biến  đổi  hình  thành  bất  đẳng  thức  P £  f (t )  bao  giờ  cũng  “rộng đường” hơn biến đổi để được đẳng thức P = f(t).  * Lời giải:  Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử  x ³ y ³ z Từ giả thiết , suy ra  0 < z £  x + yử Tacú:P=xy(12z)+z(1z) Ê ổ ỗ ÷ (1 - z ) + z (1 - z ) ố ứ ổ 1- zử =ỗ ÷ (1 - z ) + z (1 - z )  è 2  ø 5  1  4  1  2  1  ­ Xét hàm số  f ( z ) = - z + z +  ,  "z ẻ ổ ự ỗ 4 ố 3ỳ û  1  z  f '( z ) = - z 2  + z = - (3 z - 1)  2 2  1  1  f '( z ) = 0  Û z =  (vì  0 < z £  )  3  3  7  Lập bảng biến thiên, ta nhận được  P £ f ( z ) £ f ( ) =  27  7  1  Kết luận:  maxP =  đạt được khi  x = y = z =  27  3  =  - z + z 2  +  * Bài tốn 4:  a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ  nhất của biểu thức:  T = 3(a + b + c 2 ) + 4  abc * “Suy nghĩ” tìm giải pháp:  ­ Khai thác giả thiết: a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác và chu vi  của tam giác bằng 3.  ­ Ta biến đổi biểu thức T theo tổng (a+b) và tích (ab).  Mà (a+b) biểu diễn được qua c dựa vào chu vi tam giác.  Mặt  khác  tích  (ab)  đánh  giá  được  qua  tổng  (a+b)  dựa  vào  bất  đẳng  thức côsi.  ­ Như vậy biểu thức T được đánh giá theo biến c.  ­ Kết hợp tính chất về các cạnh trong tam giác và chu vi đã cho ta tìm  được điều kiện ràng buộc cho biến số c.  * Lời giải:  Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử:  0 < a £ b £ c Mặt khác   a + b + c = 3 và c  0  3  3  2  + a + b  ( + b ) ( 7 + a )  49  Suy ra hàm số  f (c )  đồng biến trên đoạn [ 0,1    ]  Do đó  f (c) £  f (1)  = a b  1  + + b + a + a + b 3  + 6  Ta lại xét hàm số.  g ( a  = )  a b  1  + + trên đoạn [0;1]  b + a + a + b 3  + 6  Khảo sát hàm số g(a) trên đoạn [0;1], ta nhận được.  2  b  + b + 7 8  2  b  Ta lại xét hàm số  h(b ) = 3  + trên đoạn [0;1]  b + 7 8  Khảo sát hàm số  h(b )  ta nhận được  h(b )  đồng biến trên đoạn [ 0,1  ]  P £ g ( a ) £ g (1) = Suy ra  P £ h(b) £ h(1) =  Kết luận: maxP =  3  3  8  3  đạt được khi a = b = c = 1 8  23 Vận dụng những ý tưởng đã trình bày trong 7 dạng trên, ta giải  quyết được những bài tốn sau:  * Bài tập 1:  Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a + b + c 2  = 3 .  Chứng minh  1 1  + + ³ 3  - a - b 2 - c * Bài tập 2:  Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện  a + b + c ³ 3  Chứng minh rằng:  1 1  + + 2  £ 1  a + b + c b + c + a c + a + b * Bài tập 3:  Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a + b + c = 3  Chứng minh:  1 1  + + 2  ³ a + b + c 2  a b c * Bài tập 4:  Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1.  Chứng minh rằng: 10 ( a + b3 + c ) - ( a5 + b5 + c 5 ) ³ 1  * Bài tập 5:  Cho tam giác ABC với 3 góc ở đỉnh đều nhọn.  Chứng minh: tanA + tanB + tanC + 6(sinA + sinB + sinC)  ³ 12 * Bài tập 6:  Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1  Chứng minh:  a b c  9  + + £ 2 2  + a + b + c 10  * Bài tập 7:  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.  y = + 2sin x  p p trên đoạn  é - ; ù ê 2ú + cos x + - cos x ë û  * Bài tập 8:  Xét các tam giác ABC với 3 góc ở đỉnh đều nhọn.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. P = sin A + sin B + sin C  cos A + cos B + cos C * Bài tập 9:  Xét các tam giác ABC  tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.  P = cos A + cos B + cos C +  4  A B C sin sin sin  2 2  * Bài tập 10:  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P = x + y - x y 2  Trong đó: x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện  x + y 2  - xy = 1  24  ØThuyết minh tính mới của giải pháp  Với giải pháp đã trình bày, tính mới của đề tài thể hiện rõ ở các ý  tưởng sau:  1.  Chỉ ra được cơ sở của vấn đề, từ đó xây dựng được ngun  tắc giúp hình thành hàm số tương thích với bài tốn.  2.  Khẳng định được căn cứ để hình thành tập L, ứng với hàm  số đã chọn.  3.  “Lột tả ” được vai trị và quan hệ của 3 tập hợp D, K, L.  4.  Tập L phải thỏa mãn hệ điều kiện.  ì K Í L  í ỵ f '(t )  khơng đổi dấu ,  "t Ỵ L 5.  Người viết cố gắng tìm ra những lời giải khác với những lời  giải có sẵn. (trong trường hợp có thể)  (Theo tìm hiểu của người viết, hiện chưa có tài liệu nào làm bật  được những ý tưởng trên)  ØKhả năng áp dụng của giải pháp ·  Tác giả đã triển khai giải pháp này trong q trình giảng dạy, bồi  dưỡng đội HSG của tỉnh dự thi HSG quốc gia và đội HSG của trường  THPT Tăng Bạt Hổ ·  Giải pháp đã có tác động tích cực đến HS, giúp các em hiểu vấn đề  một cách bản chất và thấu đáo ·  Giải pháp giúp HS tránh được sự băn khoăn, do dự, thậm chí là  ngộ nhận , bế tắc trong xử lí vấn đề như trước đây ·  Giải pháp đã nối 1 nhịp cầu tạo cho HS phương pháp tự tìm tịi, tự  khai thác vấn đề một cách đúng hướng, tăng tính tự học, tự nghiên cứu và  đậm tính đổi mới.  ØHiệu quả của giải pháp  Trong năm học 2011 – 2012, tác giả tham gia giảng dạy bồi dưỡng đội  HSG của tỉnh dự thi cấp quốc gia . Với 6 thí sinh dự thi, kết quả đạt được  5 giải (2 giải ba, 3 giải khuyến khích).  Cũng trong năm học 2011 – 2012, tác giả tham gia giảng dạy bồi  dưỡng đội HSG lớp 12 của trường THPT Tăng Bạt Hổ.Với 3 thí sinh dự  thi, kết quả đạt 3 giải ba và trong đó có 2 em được chọn vào đội dự tuyển  của tỉnh 25  Lời kết  Qua một số dạng bài đã trình bày, người viết hy vọng góp một “tiếng  nói nhỏ” để tạo ra một cách “nhìn” trước mỗi bài tốn, một cách “nhìn” có  nội dung, “nhìn” từ phía bên trong của vấn đề.  Đây  cũng  là  “một  kiểu  học”,  “một  kiểu  dạy”  đậm  tính  đổi  mới  về  phương pháp. Nghĩa là dạy cho học sinh giải tốn chứ khơng chỉ là giải tốn  cho học sinh.  Người viết đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên khơng sao tránh khỏi những  sai sót, người viết rất mong sự góp ý, trao đổi của q thầy cơ đồng nghiệp,  giúp cho những bài viết sau này tương đối trọn vẹn hơn 26  ... ­ Căn cứ vào quan? ?hệ? ?giữa các tham số và giá trị của t, ta tìm ra điều  kiện ràng buộc của biến số mới t.  * Bài tốn 5:  Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện  x + y = x - y + y 1 - x 2  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ... Do đó, ta chọn hàm số  f ( x) = 6 x - x 2  -  x * Bài toán 8:  Cho 3 số thực x, y, z thay đổi và thỏa mãn? ?hệ? ?thức x+y+z =1  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P = x + + y + + z 2  + 1  * “Suy nghĩ” tìm giải pháp: ... Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.  y = + 2sin x  p p trên đoạn  é - ; ù ê 2ú + cos x + - cos x ë û  * Bài tập 8:  Xét các tam giác ABC với 3 góc ở đỉnh đều nhọn.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. P =