SKKN vận dụng bất đẳng thức côsi để tìm cực trị môn đại số 9

Trong toán học nói chung và môn toán THCS nói riêng, những bài toán về cực trị được sử dụng rất nhiều, đặc biệt là trong các kì thi học sinh giỏi, thituyển sinh lớp 10 tuy nhiên với dạng

I Đặt vấn đề.

1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong toán học nói chung và môn toán THCS nói riêng, những bài toán

về cực trị được sử dụng rất nhiều, đặc biệt là trong các kì thi học sinh giỏi, thituyển sinh lớp 10 tuy nhiên với dạng toán này trong chương trình không cóphương phương pháp giải chung mà chỉ được trình bày đơn lẻ trong các bài tậpcủa các phần Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải toán tìm cựctrị, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó pháttriển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nângcao chất lượng học tập là điều hết sức cần thiết

Để làm tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh cần phải sử dụng thành thạo vềbất đẳng thức, đặc biệt là rất nhiều các bất đẳng thức có thể sử dụng để tìm cựctrị được như là bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhia

Tuy nhiên trong chương trình toán THCS, học sinh chỉ được làm quen vớicác bất đẳng thức này qua bài tập mà chương trình dạy học được đề cập rất ítđến vấn đề này và không đưa ra phương pháp và các bước làm cụ thể Vì thế,khi gặp bài toán cực trị mà sử dụng các bất đẳng thức để làm thì học sinh thườngrất lúng túng không biết bắt đầu như thế nào Chính vì vậy việc tổng hợp, đưa ranhững phương pháp giải cụ thể là rất quan trọng đối với học sinh

2 Ý nghĩa của giải pháp mới.

Giúp cho học sinh tăng khả năng tự học, tự nghiên cứu

Học sinh biết suy luận theo hướng logic theo các phương pháp giải chung.Giúp học sinh biết liên hệ giữa các vấn đề, dẫn tới hiệu quả học tập tốthơn

Giúp học sinh nhận dạng được dạng bài tập vận dụng được bất đẳng thứcCôsi, đưa ra phương pháp phù hợp từ đó yêu thích môn học và say mê với mônhọc, làm giảm những suy nghĩ tiêu cực trong học sinh

3 Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm.

Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện nghiên cứu tại trường THCS ĐạiHưng, huyện Khoái Châu, tỉnh Hưng Yên từ năm học 2014 - 2015 đến năm học

Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chứccông việc của mình một cách sáng tạo Người giáo viên cần rèn luyện cho họcsinh kỹ năng độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo Vì vậy đòi hỏi ngườigiáo viên một sự lao động sáng tạo biết tìm tòi ra những phương pháp để dạycho học sinh trau dồi tư duy lô gic giải các bài toán

Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải các bàitoán ở chương trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức trong sáchgiáo khoa, đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ Muốn giỏi toáncần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bàitoán một cách khoa học, biết phân dạng để đưa ra phương pháp chung cho cácdạng bài tập đó

tình huống khác nhau để tạo hứng thú cho học sinh Một bài toán có thể có nhiềucách giải , mỗi bài toán thường nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏiphải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực một cách sáng tạo vì vậy họcsinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp.

Các dạng toán ở trường trìnhTHCS thật đa dạng và phong phú như: Bấtđẳng thức, Tìm cực trị …

“ Tìm cực trị” là một dạng toán có trong SGK lớp 9 nhưng chưa đưa raphương pháp giải chung Hơn nữa “ Tìm cực trị” được sử dụng rất nhiều trongcác kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh THPT, thi đại học

Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải toán tìm cực trị, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập là điều hết sức cần thiết

2 Cơ sở thực tiễn.

Qua thực tế giảng dạy môn toán lớp 9 nhiều năm tôi thấy không chỉ học sinh gặp khó khăn trong giải toán mà bản thân tôi khi dạy phần “ Tìm cực trị” cũng gặp rất nhiều khó khăn trong việc hướng dẩn học sinh giải bài toán phần này Chính vì vậy tôi luôn suy nghĩ từng bước để hoàn thiện phương pháp của mình Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán để đưa ra phương pháp phù hợp Do đó Tôi chọn đề tài

“Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn Đại số 9”.

3 Các biện pháp tiến hành.

Khi giảng dạy phần này giáo viên cần nhấn mạnh các kiến thức liên quan,học sinh phải nắm vững môt số kiến thức cụ thể là:

* Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) khi: A(x) m và tồn tạigiá trị của x để A(x) = m

Số n gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) khi: A(x) n và tồn tại giátrị của x để A(x) = n

4 Thời gian tạo ra giải pháp

Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi đã thực hiện kể từđầu năm học 2014 - 2015 đến năm học 2015 - 2016 đối với các em học sinh lớp

9 của nhà trường

I- Mục tiêu

- Nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh giải bài toán Tìm cực trị và tạo niềm tin cho giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán Tìm cực trị Giúp cho thầy và trò trong dạy và học đạt được kết quả cao Giúp cho học sinh

có hứng thú học và yêu thích môn Toán

- Giúp học sinh biết hướng khai thác kết quả một bài toán để giải quyết vấn đề linh hoạt hơn

- Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 9

II- Phương pháp tiến hành

II.1 Mô tả giải pháp của đề tài.

Giải pháp được cụ thể hoá thông qua các phương pháp vận dụng bất đẳngthức Côsi để tìm cực trị và một số ví dụ cụ thể

Phương pháp 1 ĐÁNH GIÁ GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN

a Phương pháp

Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu thức sao cho tổng của chúng là một hằng số để tìm giá trị lớn nhất

1 2

Vậy Min A2 5 a 2

2

Nhận xét: Trong ví dụ này nếu học sinh làm như ví dụ 1 thì sẽ dẫn đến sai lầm

vì dấu “=” xảy ra khi a = 1 không thỏa mãn a 2 Do đó ta phải tách số a

thành 3a a

4  4 để thỏa mãn dấu “=” xảy ra theo đề bài a 2 , việc tách được

như vậy trong sử dụng bất đẳng thức Cô si được gọi là kĩ thuật chọn điểm rơi Trong cách làm này rõ ràng ta có thể dự đoán được dấu “=” xảy ra khi a = 2

x 72A

3x



Giải:

Ta có

2

x 2000A

x



Giải:

3

2 4

vì tích của chúng vẫn còn chứa biến x Do vậy để tích của các số hạng là hằng

số không đổi thì ta biến đổi biểu thức A 4 = 2 1000 1000

x

  thì ta có tích của

ba số hạng x ;2 1000 1000;

x x không đổi để sử dụng được bất đẳng thức Côsi.

Ví dụ 5 Cho x >1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vì x > 1 nên x – 1 > 0 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương

số không âm ta được :

Với 1 x 1

2  thì 1 x 0; 2x 1   0 Áp dụng bất đẳng thức cho hai sốkhông âm ta có:

2 8

   là một kĩ thuật hết sức khéo léo nhằm tạo

ra hai số hạng 2 2x ; 2x 1    có tổng không đổi để chúng ta áp dụng bất đẳng thức Côsi.

Ví dụ 10 Cho a,b,c 0;a b c 1    Tìm GTLN của biểu thức:

10

A  a b  b c  c aGiải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất của Dx 9 x 2 với   3 x 3

(Đáp số: MaxD = 9 x 3 2

2   2 )Bài 5 Cho x 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của E = x

x 1(Đáp số Min E = 2 khi x = 2)

Bài 6 Cho biểu thức G = 6x 3 5 2x     Với 1 x 5

   Tìm giá trịlớn nhất của G

(Đáp số Max G = 27 khi x = 1)Bài 7 Cho x, y 0;x y 1   Tìm GTNN của H = xy 1

xy



(Đáp số Min H = 17 x y 1

4   2 )Bài 8 Cho x.y 1, x y 0   Tìm GTNN của biểu thức I =

- Tính bình phương của biểu thức.

- Tìm cực trị của biểu thức bình phương.

Dấu “=” xảy ra 1

y2

Ví dụ 3 Tìm GTNN và GTLN của

3

B  5 x  x 1Giải: ĐKXĐ:   1 x 5

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm 5 x ; x 1     ta được:

Bài 2 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức

B = 3x 5  7 3x(Đáp số MinB = 2 khi x = 5/3 hoặc x = 7/3; MaxB = 2 khi x = 2)

Bài 3 Cho x, y,z 0

7x 9y

72

y2

C

74

y2

C = xyz x y y z z x        

(Đáp số MaxC = 8/729 khi x = y = z = 1/3)Bài 4 Tìm GTLN của D 3a 4 1 a   2 (với   1 a 1 )

2 1

Nhận xét: Trong ví dụ này để triệt tiêu được mẫu thức ta đã thêm vào các

số hạng 4 lần mẫu thức để khi sử dụng bất đẳng thức Côsi làm mất mẫu thức, không chỉ vậy việc thêm này đã giúp chúng ta sau khi dùng bất đẳng thức Côsi

ta còn rút gọn được hết các hạng tử chứa biến chỉ còn hằng số từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất Ví dụ này còn có thể làm cách khác như sau:

c Bài tập áp dụng

Bài 1 Cho a, b, c là các số lớn hơn 1 Tìm GTNN của biểu thức

b 1  c 1  a 1(Đáp số Min A = 12 khi a = b = c = 4)Bài 2 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm

D

x 4y

 (Đáp số Min D = 25/4 khi x = 4/5, y = 1/5)

II.2 Phạm vi áp dụng

* Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm này:

trẻ, có lòng say mê tìm tòi sáng tạo Giáo viên cũng cần rèn cho học sinh ý thức,thói quen học tập nghiêm túc, rèn kĩ năng quan sát, làm việc theo sự hướng dẫncủa giáo viên Đối với học sinh cần phải có tinh thần học tập bộ môn những bạnhọc khá giỏi giúp đỡ những bạn học yếu hơn mình có như vậy giờ học mới đảmbảo đúng tiến độ của giờ lên lớp.

* Đối tượng:

Đề tài có thể tùy theo mức độ, yêu cầu đối tượng học sinh mà giáo viên cóthể sử dụng toàn bộ hay ít nhiều Đối với học sinh giỏi thì việc truyền thụ chocác em một số phương pháp, kỹ năng trên là cần thiết và rất có ích

Câu 3(2đ) Tìm GTLN của biểu thức C 4 x  4 x

Câu 4(2đ) Cho biểu thức D = 6x 3 5 2x     Với 1 x 5

   Tìm giá trị lớn nhất của D

Câu 5(2đ) Cho x 0, y 0  thỏa mãn x + y = 1

Tìm GTNN của biểu thức E 4 1

x 4y

 

Đáp án và biểu điểm:

Câu 1 Ta có a > 1 nên a – 1 > 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số

y5

* Những kinh nghiệm rút ra từ đề tài:

Qua đây tôi nhận thấy để học sinh ham mê môn học và học sinh phát huyđược trí sáng tạo, năng lực nhận thức, tư duy sâu, giải thành thạo về bất đẳngthức Côsi cho hai số không âm, cho ba số không âm trong việc tìm cực trị thì tacần có một vài kinh nghiệm sau:

1- Giáo viên phải nghiên cứu kĩ bài giảng Phải chuẩn bị các cách giải bằngcác phương pháp khác nhau

2 - Phải hiểu và làm thành thạo cách phương pháp chứng minh bất đẳngthức Côsi và vận dụng tốt trong tìm GTLN, GTNN

3 - Phải truyền thụ đầy đủ và chính xác nội dung kiến thức cơ bản, cho họcsinh được làm thành thạo các bài tập cơ bản về bất đẳng thức Côsi và bài toáncực trị.

4 - Phải đọc nhiều sách tham khảo và phải chắt lọc kiến thức

5 - Dạy học sinh các bài tập mở rộng phải theo tính logic để học sinh có thểchủ động sáng tạo

6 - Giáo viên phải tích cực học hỏi đồng nghiệp, trau dồi kiến thức, thườngxuyên bồi dưỡng kiến thức thông qua tài liệu tham khảo, qua các đề thi học sinhgiỏi, đề thi tuyển sinh vào THPT, qua mạng Internet

Tuy nhiên để hình thành thói quen cho học sinh đòi hỏi hoạt động đồng

bộ của các thày cô giáo giảng dạy các bộ môn trong một lớp Hơn thế nữaphương pháp dạy học này cần được triển khai trong cả quá trình học tập của các

em từ bậc Tiểu học cho đến Trung học và nhất là Cao đẳng và Đại học

Trong sáng kiến này, tôi đã cố gắng chọn lọc, sắp xếp đưa ra các phươngpháp đồng thời phân dạng bài tập phù hợp với những phương pháp đó và phùhợp với đối tượng học sinh Tôi thấy các em hào hứng say mê hơn trong họctoán Các em không còn phải hoảng hốt, lúng túng khi gặp phải loại toán này

Với sự nỗ lực của bản thân tôi trong việc nghiên cứu, tham khảo sách vở,tài liệu đồng thời được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến bổ ích của các đồng chítrong tổ khoa học tự nhiên trường THCS Đại Hưng cùng với sự ủng hộ nhiệttình của các em học sinh khối 9 trường THCS Đại Hưng tôi đã hoàn thành sáng

sót mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp.

2 Những điều kiện áp dụng

Đối với SKKN này giáo viên dạy toán trường THCS đều có thể thamkhảo áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy trong bài học đối với chương trìnhhiện nay

SKKN áp dụng được cho các đối tượng học sinh lớp 9, đặc biệt là họcsinh giỏi, đối với các học sinh các lớp khác cũng có thể tham khảo để trang bịcho mình cách giải toán và đặc biệt có thể vận dụng vào giải một số bài tập hìnhhọc khó

3 Hướng tiếp tục nghiên cứu

Để giúp học sinh không còn chán nán học tập mà giúp học sinh ham mêmôn học và học sinh phát huy được trí sáng tạo, năng lực nhận thức, tư duy sâumôn toán tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu thêm các dạng chuyên đề khác và đưa racách giải chung cho các chuyên đề đó ví dụ như: “Phương pháp giải phươngtrình quy về phương trình bậc hai”, “Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thứcCôsi”, “Các phương pháp tứ giác nội tiếp”

4 Những đề xuất, kiến nghị.

1 - Đối với giáo viên:

Để hệ thống được dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho mỗi dạngthì đòi hỏi mỗi giáo viên phải đầu tư thời gian cho nghiên cứu bài dạy, thamkhảo thêm nhiều tài liệu đặc biệt là tài liệu nâng cao, tài liệu phát triển, tài liệubồi dưỡng Cần tham khảo, học hỏi đồng nghiệp để rút ra kinh nghiệm cho bảnthân

2 - Đối với học sinh:

Cần phải coi trọng môn học, nắm vững lí thuyết và các kiến thức cơ bản,làm tốt các bài tập cơ bản, đọc tham khảo các tài liệu tìm ra các bài tập áp dụngrồi cùng giải

Học hỏi bạn bè, điều chưa hiểu mạnh dạn hỏi giáo viên

Một số tài liệu tham khảo ngoài sách giáo khoa và sách bài tập như là:

Sách toán cơ bản và nâng cao NXBGD

Sách nâng cao và các chuyên đề NXBGD

3 - Đối với nhà trường và phòng giáo dục

Cần phải bổ sung thêm các tài liệu theo các chuyên đề để học sinh và giáoviên sử dụng đặc biệt trong giai đoạn thay sách giáo khoa này tạo cho thầy cô vàcác em có điều kiện hơn để nghiên cứu và học tập

Cần thường xuyên cho các thầy cô giáo học tập các lớp tập huấn, học tậpcác chuyên đề để được cập nhật thường xuyên chủ trương, đường lối, chính sáchmới của Đảng, nhà nước về giáo dục cũng như được cập nhật kịp thời cácphương giáp giảng dạy mới Cũng là điều kiện để các giáo viên ở các trườngđược trao đổi, học tập lẫn nhau

Trên đây là SKKN của bản thân tôi viết, không sao chép nội dung của người khác

Mong các cấp xem xét và giúp đỡ tôi để tôi hoàn thiện mình hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Đại Hưng, ngày 22 tháng 01 năm 2016

NGƯỜI VIẾT

Bùi Thanh Liêm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Toán cơ bản và nâng cao toán 9 NXBGD

5 Sách nâng cao và các chuyên đê toán 9 NXBGD

7 Tuyển chọn 400 bài toán 9 NXB Đà nẵng

8 23 chuyên đề bồi dưỡng học sinh NXB trẻ

9 Thông tin toán học trên mạng internet

10 Thông tin từ các bạn đồng nghiệp

A MỞ ĐẦU 2

I Đặt vấn đề 2

1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 2

2 Ý nghĩa của giải pháp mới 2

3 Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm 3

II Phương pháp tiến hành 3

1 Cơ sở lý luận 3

2 Cơ sở thực tiễn 4

3 Các biện pháp tiến hành 4

4 Thời gian tạo ra giải pháp 5

B - NỘI DUNG 6

I- Mục tiêu 6

II- Phương pháp tiến hành 6

II.1 Mô tả giải pháp của đề tài 6

II.2 Phạm vi áp dụng 19

II.3 Hiệu quả 20

C KẾT LUẬN 23

1 Nhận định chung 23

2 Những điều kiện áp dụng 23

3 Hướng tiếp tục nghiên cứu 24

4 Những đề xuất, kiến nghị 24

TÀI LIỆU THAM KHẢO 26

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

TRƯỜNG THCS ĐẠI HƯNG

Tổng điểm: Xếp loại:

TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH - HIỆU TRƯỞNG