SKKN vận dụng bất đẳng thức côsi để tìm cực trị môn đại số 9

Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s A M U I t Thc trng ca nghiờn cu Trong toỏn hc núi chung v mụn toỏn THCS núi riờng, nhng bi toỏn v cc tr c s dng rt nhiu, c bit l cỏc kỡ thi hc sinh gii, thi tuyn sinh lp 10 nhiờn vi dng toỏn ny chng trỡnh khụng cú phng phng phỏp gii chung m ch c trỡnh by n l cỏc bi ca cỏc phn Do vy vic hng dn giỳp cỏc em cú k nng gii toỏn tỡm cc tr, ngoi vic nm lý thuyt, thỡ cỏc em phi bit dng thc hnh, t ú phỏt trin kh nng t duy, ng thi to hng thỳ cho hc sinh hc nhm nõng cao cht lng hc l iu ht sc cn thit lm tt dng toỏn ny ũi hi hc sinh cn phi s dng thnh tho v bt ng thc, c bit l rt nhiu cỏc bt ng thc cú th s dng tỡm cc tr c nh l bt ng thc Cụsi, bt ng thc Bunhia Tuy nhiờn chng trỡnh toỏn THCS, hc sinh ch c lm quen vi cỏc bt ng thc ny qua bi m chng trỡnh dy hc c cp rt ớt n ny v khụng a phng phỏp v cỏc bc lm c th Vỡ th, gp bi toỏn cc tr m s dng cỏc bt ng thc lm thỡ hc sinh thng rt lỳng tỳng khụng bit bt u nh th no Chớnh vỡ vy vic tng hp, a nhng phng phỏp gii c th l rt quan trng i vi hc sinh í ngha ca gii phỏp mi Giỳp cho hc sinh tng kh nng t hc, t nghiờn cu Hc sinh bit suy lun theo hng logic theo cỏc phng phỏp gii chung Giỳp hc sinh bit liờn h gia cỏc , dn ti hiu qu hc tt hn Giỳp hc sinh nhn dng c dng bi dng c bt ng thc Cụsi, a phng phỏp phự hp t ú yờu thớch mụn hc v say mờ vi mụn hc, lm gim nhng suy ngh tiờu cc hc sinh GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Phm vi nghiờn cu ca sỏng kin kinh nghim Sỏng kin kinh nghim c thc hin nghiờn cu ti trng THCS i Hng, huyn Khoỏi Chõu, tnh Hng Yờn t nm hc 2014 - 2015 n nm hc 2015 - 2016 i tng cn nghiờn cu ca sỏng kin kinh nghim õy l cỏc em hc sinh ca nh trng Ni dung nghiờn cu ca sỏng kin kinh nghim chớnh l: "Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s II Phng phỏp tin hnh C s lý lun Toỏn hc l mt mụn hc gi vai trũ quan trng sut bc hc, l mt mụn hc khú, ũi hi mi hc sinh phi cú mt s n lc rt ln chim lnh nhng tri thc cho mỡnh Chng trỡnh toỏn rt rng, cỏc em c lnh hi nhiu kin thc, cỏc kin thc li cú mi quan h cht ch vi Do vy hc, cỏc em khụng nhng nm chc lý thuyt c bn, m cũn phi bit t din t theo ý hiu ca mỡnh, t ú bit dng gii tng loi toỏn Qua cỏch gii cỏc bi toỏn rỳt phng phỏp chung gii mi dng bi, trờn c s ú tỡm cỏc li gii khỏc hay hn, ngn gn hn Trong quỏ trỡnh hc toỏn trng THCS hc sinh cn bit cỏch t chc cụng vic ca mỡnh mt cỏch sỏng to Ngi giỏo viờn cn rốn luyn cho hc sinh k nng c lp suy ngh mt cỏch sõu sc, sỏng to Vỡ vy ũi hi ngi giỏo viờn mt s lao ng sỏng to bit tỡm tũi nhng phng phỏp dy cho hc sinh trau di t lụ gic gii cỏc bi toỏn L mt giỏo viờn dy toỏn trng THCS tụi nhn thy vic gii cỏc bi toỏn chng trỡnh THCS khụng ch n gin l m bo kin thc sỏch giỏo khoa, ú mi ch l nhng iu kin cn nhng cha Mun gii toỏn cn phi luyn nhiu thụng qua vic gii cỏc bi toỏn a dng, gii cỏc bi toỏn mt cỏch khoa hc, bit phõn dng a phng phỏp chung cho cỏc dng bi ú GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Mun vy ngi thy phi bit dng linh hot kin thc nhiu tỡnh khỏc to hng thỳ cho hc sinh Mt bi toỏn cú th cú nhiu cỏch gii , mi bi toỏn thng nm mi dng toỏn khỏc nú ũi hi phi bit dng kin thc nhiu lnh vc mt cỏch sỏng to vỡ vy hc sinh phi bit s dng phng phỏp no cho phự hp Cỏc dng toỏn trng trỡnhTHCS tht a dng v phong phỳ nh: Bt ng thc, Tỡm cc tr Tỡm cc tr l mt dng toỏn cú SGK lp nhng cha a phng phỏp gii chung Hn na Tỡm cc tr c s dng rt nhiu cỏc kỡ thi hc sinh gii, thi tuyn sinh THPT, thi i hc Do vy vic hng dn giỳp cỏc em cú k nng gii toỏn tỡm cc tr, ngoi vic nm lý thuyt, thỡ cỏc em phi bit dng thc hnh, t ú phỏt trin kh nng t duy, ng thi to hng thỳ cho hc sinh hc nhm nõng cao cht lng hc l iu ht sc cn thit C s thc tin Qua thc t ging dy mụn toỏn lp nhiu nm tụi thy khụng ch hc sinh gp khú khn gii toỏn m bn thõn tụi dy phn Tỡm cc tr cng gp rt nhiu khú khn vic hng dn hc sinh gii bi toỏn phn ny Chớnh vỡ vy tụi luụn suy ngh tng bc hon thin phng phỏp ca mỡnh T thc tin ging dy tụi thy hc sinh hay b tc, lỳng tỳng v cỏch xỏc nh dng toỏn a phng phỏp phự hp Do ú Tụi chn ti Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Cỏc bin phỏp tin hnh Khi ging dy phn ny giỏo viờn cn nhn mnh cỏc kin thc liờn quan, hc sinh phi nm vng mụt s kin thc c th l: * Giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc: S m gi l giỏ tr nh nht ca biu thc A(x) khi: A(x) m v tn ti giỏ tr ca x A(x) = m S n gi l giỏ tr ln nht ca biu thc A(x) khi: A(x) n v tn ti giỏ tr ca x A(x) = n GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s * Bt ng thc Cụsi: Bt ng thc Cụsi vi s a, b khụng õm l: a+b ab hoc a + b ab Du = xy a = b Chng minh: Do a, b nờn a v Ta cú : a + b ab b xỏc nh (1) a + b ab ( a b ) (2) bt ng thc (2) ỳng nờn bt ng thc (1) ỳng Du = xy a = b Bt ng thc ny cũn c m rng + Vi s a, b, c khụng õm a+b+c abc hoc a + b + c 3 abc Du = xy a = b = c + i vi n s khụng õm: a1 ,a ,a , ,a n Ta cú: a1 + a + a + + a n n a1.a a a n hoc n a1 + a + a + + a n n n a 1.a a a n Du = xy a1 = a = a = = a n Thi gian to gii phỏp thc hin c sỏng kin kinh nghim ca mỡnh tụi ó thc hin k t u nm hc 2014 - 2015 n nm hc 2015 - 2016 i vi cỏc em hc sinh lp ca nh trng GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s B - NI DUNG I- Mc tiờu - Nhm nõng cao cht lng cho hc sinh gii bi toỏn Tỡm cc tr v to nim tin cho giỏo viờn quỏ trỡnh hng dn hc sinh gii bi toỏn Tỡm cc tr Giỳp cho thy v trũ dy v hc t c kt qu cao Giỳp cho hc sinh cú hng thỳ hc v yờu thớch mụn Toỏn - Giỳp hc sinh bit hng khai thỏc kt qu mt bi toỏn gii quyt linh hot hn - Trao i vi giỏo viờn hng khai thỏc mt bi toỏn chng trỡnh bi dng hc sinh khỏ gii lp II- Phng phỏp tin hnh II.1 Mụ t gii phỏp ca ti Gii phỏp c c th hoỏ thụng qua cỏc phng phỏp dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr v mt s vớ d c th Phng phỏp NH GI GIA TRUNG BèNH CNG V TRUNG BèNH NHN a Phng phỏp Bin i biu thc ó cho thnh mt tng ca cỏc biu thc cho tớch ca chỳng l mt hng s tỡm giỏ tr nh nht hoc bin i biu thc ó cho thnh mt tớch ca cỏc biu thc cho tng ca chỳng l mt hng s tỡm giỏ tr ln nht b Cỏc vớ d Vớ d Cho a > Tỡm GTNN ca biu thc: A1 = a + a Gii: Vỡ a > nờn > a p dng bt ng thc cụ si vi s dng a v a Ta cú : a a a+ a =2 Du = xy v ch a= Vy Min A1 = a = 1 a = a = (vỡ a > 0) a GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Nhn xột: Hai s dng a v cú tớch l mt hng s a Vớ d Cho a Tỡm GTNN ca biu thc: A = a + a Gii: Ta cú A = a + Vỡ a nờn 3a a = + + a 4 a a 3a 3.2 p dng bt ng thc Cụ si cho hai s dng ; a 4 Do ú A = a + 3a a 3a a 3.2 = + + +2 + = suy A a 4 a 4 a Du = xy v ch a = (t/m) Vy Min A = a = 2 Nhn xột: Trong vớ d ny nu hc sinh lm nh vớ d thỡ s dn n sai lm vỡ du = xy a = khụng tha a Do ú ta phi tỏch s a thnh 3a a + tha du = xy theo bi a , vic tỏch c 4 nh vy s dng bt ng thc Cụ si c gi l k thut chn im ri Trong cỏch lm ny rừ rng ta cú th d oỏn c du = xy a = ú ta phi lm mt s hng s dng bt ng thc Cụsi cn s dng a s hng cú dng a a , nh vy ta cn tỡm s k cho = ti im du bng k a k xy a = 2, a 3a a = vi a = ta tỡm c k = 4, nờn ta bin i a = + k a 4 cú cỏch lm trờn x + 72 Vớ d Cho x > Tỡm GTNN ca biu thc A3 = 3x Gii: x + 72 x 24 Ta cú A3 = = + 3x x GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s x 24 Vỡ x > nờn > 0; > x p dng bt ng thc Cụ si cho hai s A3 = x 24 ; ta cú: x x 24 x 24 + =4 x x Du = xy v ch x 24 = x = 72 x = (vỡ x > 0) x Vy Min A3 = x = x 24 x + 72 x 24 Nhn xột: Phõn tớch = + cú tớch hai s dng vi l x 3x x mt hng s Vớ d Cho x > Tìm GTNN biểu thức x + 2000 A4 = x Gii: 1000 x + 2000 1000 1000 Vì x > nên x > 0; >0 A4 = = x2 + + x x x x 1000 1000 p dụng bất đẳng thức Côsi cho số dơng x ; ta có: ; x x x + 2000 1000 1000 1000 1000 A4 = = x2 + + 3 x = 3.100 = 300 x x x x x 1000 1000 = x = 1000 x = 10 (t/m) Du = xy v ch x = x x Vy Min A = 1000 x = 10 Nhn xột : Trong vớ d ny rừ rng l nu ta tỏch biu thc A4 thnh tng 1000 1000 x2 + thỡ vic ỏp dng bt ng thc Cụsi cho hai s x ; khụng c x x vỡ tớch ca chỳng cũn cha bin x Do vy tớch ca cỏc s hng l hng 1000 1000 + s khụng i thỡ ta bin i biu thc A4 = x + thỡ ta cú tớch ca x x 1000 1000 ; ba s hng x ; khụng i s dng c bt ng thc Cụsi x x Vớ d Cho x >1 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 25 A5 = 4x + x 25 25 = ( x 1) + +4 Gii : Ta cú : A5 = 4x + x x GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Vỡ x > nờn x > p dng bt ng thc Cụ si cho hai s dng 25 ( x 1) ; ta c : x 25 25 A5 = ( x 1) + + ( x 1) + = 2.10 + = 24 x x 25 x = (t/m) Du = xy ( x 1) = x Vy Min A5 = 24 x = 3 Vớ d Tỡm GTLN ca biu thc A = x ( 16 x ) (vi x ) Gii: Vỡ x nờn x 0;16 x p dng bt ng thc Cụsi cho hai s x 0;16 x ta cú : x + 16 x 3 A = x ( 16 x ) ữ = 64 3 Du = xy x = 16 x x = (t/m) Vy Max A = 64 x = Vớ d Tỡm GTLN ca biu thc A = x x (vi x ) Gii : Vỡ x nờn x 0; x p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm ta c : x2 + x2 A7 = x x = x ( x ) =2 Du = xy x = x x = (t/m) Vy Max A = x = Vớ d Tỡm GTLN ca biu thc: A8 = ( x ) ( 2x 1) ( vi x 1) Gii: Vi x thỡ ( x ) 0; ( 2x 1) p dng bt ng thc cho hai s khụng õm ta cú: 1 2x + 2x A8 = ( x ) ( 2x 1) = ( 2x ) ( 2x 1) ữ = 2 Du = xy 2x = 2x x = GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng (tha món) Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Vy Max A8 = x = Nhn xột: Vic vit x = ( 2x ) l mt k thut ht sc khộo lộo nhm to hai s hng ( 2x ) ; ( 2x 1) cú tng khụng i chỳng ta ỏp dng bt ng thc Cụsi x Vớ d Cho Tỡm GTLN ca biu thc: y A9 = ( x ) ( y ) ( 2x + 3y ) Gii: Ta cú A9 = ( x ) ( y ) ( 2x + 3y ) = ( 2x ) ( 12 3y ) ( 2x + 3y ) x vi thỡ 2x 0;12 3y 0;2x + 3y 0 y p dng bt ng thc Cụsi cho s khụng õm ta cú 1 2x + 12 3y + 2x + 3y A9 = ( 2x ) ( 12 3y ) ( 2x + 3y ) ữ = 36 6 x = Du = xy 2x = 12 3y = 2x + 3y (t/m) y = x = Vy Max A9 = 36 y = Nhn xột: Cng ging nh vớ d 8, lm xut hin s hng cú tng khụng i õy ta ó khộo lộo nhõn tha s th nht vi v tha s th hai vi 3, ú ta ó ỏp dng c bt ng thc Cụsi Vớ d 10 Cho a,b,c 0;a + b + c = Tỡm GTLN ca biu thc: A10 = a + b + b + c + c + a Gii: p dng bt ng thc Cụsi cho cỏc s khụng õm Ta cú 3 a + b = ( a + b) = 2 GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng ( ( a + b) a + b) + 10 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Tng t b+c ( b + c) + 3; c+a ( c + a) + Do ú A10 = a + b + b + c + c + a 2 b + c) + c + a) + ( ( 3 + 3 + 3 2 2 2 2( a + b + c) + = = = 2 ( a + b) + Du = xy a = b = c = (t/m) Vy Max A10 = a = b = c = Nhn xột: Trong vớ d trờn nu ta ỏp dng bt ng thc Cụsi cho hai s a + b v 1; b + c v 1; c + a v Ta cú A10 = nờn A10 ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) a + b + b + c + c + a + 2( a + b + c) + ú ta s + + = = 2 2 khụng tỡm c du bng xy Cho nờn vớ d ny ta thy c biu thc A10 l biu thc i xng ca a, b, c nờn A10 t giỏ tr ln nht a = b = c m a + b + c = nờn a = b = c = bin i xut hin tha s ú a + b = b + c = c + a = Do ú ta mi 3 nh trờn c Bi t gii Bi Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau: A= 9x + (vi < x < 2) ỏp s Min A = x = 2x x Bi Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau: GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 11 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s hng s Cũn s trờn tỡm c bng cỏch ly cn bc hai ca 9, s ny cú bi x, y > Vớ d Cho Tỡm GTLN ca biu thc: C2 = xy 7x + 9y = 63 Gii: Ta cú C2 = 63xy 1 = 7x.9y 63 63 p dng bt ng thc Cụsi cho hai s dng ta cú: 2 1 7x + 9y 63 63 C2 = 7x.9y ữ = ữ = 63 63 63 x= 63 Du = xy 7x = 9y = (t/m) y = x = 63 C = Vy Max y = Nhn xột: Cng ging nh vớ d vic nhõn biu thc vi 63 v chia cho 63 lm xut hin tha s 7x v 9y cú tng khụng i t ú dựng bt ng thc Cụsi c Bi ỏp dng Bi Tỡm GTLN ca biu thc A = x4 2x (ỏp s Max A = 1/8 x = 8) Bi Cho cỏc s x, y,z, t > Tỡm GTNN ca biu thc: B= x y+t y t+x t x+y + + + + + y+t x t+x y x+y t (MinB = 15/2 x = y = z = t) Bi Cho x, y, z v x + y + z = Tỡm GTLN ca biu thc: GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 16 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s C = xyz ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) (ỏp s MaxC = 8/729 x = y = z = 1/3) Bi Tỡm GTLN ca D = 3a + a (vi a ) (MaxD = a = 3/5) Phng phỏp THấM VO BIU THC CHO MT HNG T a Phng phỏp Ta cng thờm hoc nhõn thờm vo biu thc ó cho mt hng t hoc mt tha s s dng bt ng thc Cụsi b Cỏc vớ d Vớ d Cho a > Tỡm GTNN ca biu thc D1 = a + 36 a +1 Gii: Ta cú D1 = a 4a + + 36 36 + ( a + 1) = ( a ) + + ( a + 1) a +1 a +1 p dng bt ng thc Cụ si cho hai s dng ta cú : D1 + 36 ( a + 1) = 24 a +1 a = a = (t/m) Du bng xy 36 = a + ( ) a + Vy Min D1 = 24 a = Nhn xột: Trong vớ d ny s dng c bt ng thc Cụ si ta ó thờm vo s hng 4(a + 1) Vớ d Cho a, b, c l cỏc s ln hn Tỡm GTNN ca biu thc D2 = a2 b2 c2 + + b c a Gii: Ta cú a > 1,b > 1,c > nờn a > 0,b > 0,c > GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 17 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s p dng bt ng thc Cụsi cho s khụng õm ta cú: a2 a2 + ( b 1) ( b 1) = 4a b b b2 c2 + ( c 1) 4b; + ( a 1) 4c Tng t c a a2 b2 c2 + + 4a + 4b + 4c ( a 1) ( b 1) ( c 1) ú b c a a2 b2 c2 + + 12 Du = a = b = c = 2(t/m) suy ra: b c a Vy Min D = 12 a = b = c = Nhn xột: Trong vớ d ny trit tiờu c mu thc ta ó thờm vo cỏc s hng ln mu thc s dng bt ng thc Cụsi lm mt mu thc, khụng ch vy vic thờm ny ó giỳp chỳng ta sau dựng bt ng thc Cụsi ta cũn rỳt gn c ht cỏc hng t cha bin ch cũn hng s t ú tỡm c giỏ tr nh nht Vớ d ny cũn cú th lm cỏch khỏc nh sau: 2 a2 4a b 1+1 b Ta cú b = ( b 1) Tng t ta suy c ữ = b b2 a b2 c2 a2 b2 c2 a b2 c2 + + + + ữ 4.3 12 b c a c a b c a b Du bng xy a = b = c = Vớ d Cho x > 0, y > tha 2 + = Tỡm GTNN ca biu thc x y D3 = x + y Gii: Ta cú 2 2 2x 2y + = suy D3 = ( x + y ) + ữ = + + x y x y y x p dng bt ng thc Cụsi cho hai s dng ta cú: D3 = + 2x 2y 2x 2y + 4+2 =4+4=8 y x y x GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 18 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s 2x 2y y = x x = y = (t/m) Du = xy 2 + =1 x y Vy Min D3 = x = y = Nhn xột: Trong vớ d ny ta ó nhõn thờm gi thit ca bi vo biu thc ỏp dng c bt ng thc Cụ si õy cng l cỏch rt hay s dng tỡm cc tr ca biu thc c Bi ỏp dng Bi Cho a, b, c l cỏc s ln hn Tỡm GTNN ca biu thc A= a b c + + b c a (ỏp s Min A = 12 a = b = c = 4) Bi Cho ba s dng x, y, z tha iu kin x + y + z = Tỡm x2 y2 z2 + + GTNN ca biu thc B = y+z z+x x+y (ỏp s Min B = x = y = z = Bi Cho x > 0, y > tha ) + = Tỡm GTNN ca biu thc x y C = x + y (ỏp s Min C = x = 3, y = 6) Bi Cho x > 0, y > tha x + y = Tỡm GTNN ca biu thc D= + x 4y (ỏp s Min D = 25/4 x = 4/5, y = 1/5) II.2 Phm vi ỏp dng * thc hin c sỏng kin kinh nghim ny: GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 19 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Yờu cu giỏo viờn phi cú thi gian, kinh phớ, tõm huyt, yờu ngh, yờu tr, cú lũng say mờ tỡm tũi sỏng to Giỏo viờn cng cn rốn cho hc sinh ý thc, thúi quen hc nghiờm tỳc, rốn k nng quan sỏt, lm vic theo s hng dn ca giỏo viờn i vi hc sinh cn phi cú tinh thn hc b mụn nhng bn hc khỏ gii giỳp nhng bn hc yu hn mỡnh cú nh vy gi hc mi m bo ỳng tin ca gi lờn lp * i tng: ti cú th tựy theo mc , yờu cu i tng hc sinh m giỏo viờn cú th s dng ton b hay ớt nhiu i vi hc sinh gii thỡ vic truyn th cho cỏc em mt s phng phỏp, k nng trờn l cn thit v rt cú ớch * Phm vi: Tt c cỏc giỏo viờn ging dy b mụn toỏn u cú th ỏp dng vo ging dy cho hc sinh lp ụn thi tuyn sinh hoc ụn thi hc sinh gii II.3 Kt qu Tụi cú lm mt bi kho sỏt vi thi gian lm bi 60 phỳt vi hai nhúm hc sinh ca hai lp: Lp thc nghim 9A (lp c ging dy theo sỏng kin kinh nghim) v lp i chng 9C (khụng ỏp dng sỏng kin kinh nghim) vi bi nh sau: bi: Cõu 1(2) Cho a > Tỡm GTNN ca biu thc A = a + a Cõu 2(2) Cho < x < Tỡm GTNN ca biu thc B = x + x x Cõu 3(2) Tỡm GTLN ca biu thc C = x + + x Cõu 4(2) Cho biu thc D = ( 6x + 3) ( 2x ) Vi x 2 Tỡm giỏ tr ln nht ca D Cõu 5(2) Cho x > 0, y > tha x + y = Tỡm GTNN ca biu thc E = + x 4y ỏp ỏn v biu im: GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 20 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Cõu Ta cú a > nờn a > p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm ta cú: A=a+ 1 = a + +1 a a Du = xy a = ( a 1) +1 = a (1) a = (t/m) a (0,5) Vy MinA = a = (0,5) Cõu Ta cú < x < nờn x > 0, x > p dng bt ng thc Cụ si cho hai s khụng õm B= x x x + x x x + = + = + +1 x x x x x x (0,75) x x +1= x x Du = xy (0,5) x x = x= x x Vy MinB = x = (0,5) (0,25) Cõu KX: x Ta cú C2 = ( 4x + 4+x ) =8+2 (0,25) ( x) ( + x) (0,5) p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm ta cú: C2 + x + + x = 16 C nờn C2 16 C (0,5) Du = xy x = + x x = (t/m) (0,5) Vy MaxC = x = (0,25 Cõu Vi x ta cú ( 2x + 1) 0; ( 2x ) 2 p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm (0,25) ta cú: 2x + + 2x D = ( 6x + 3) ( 2x ) = ( 2x + 1) ( 2x ) 3. ữ = 27 (0,5) Du = xy 2x + = 2x x = (t/m) (0,5) Vy MaxD = 27 x = (0,25) GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 21 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Cõu Ta cú E = 4 17 4y x + = + ( x + y) = + + ữ x 4y x 4y x 4y p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm E= (0,25) ta cú: 17 4y x 17 4y x 25 + + +2 = x 4y x 4y (0,5) 4x y x = = Du = xy y 4x (t/m) x + y = y = (0,5) x= 25 Vy MinE = y = (0,25) Kt qu thc hin Lp Gii S bi SL TL Khỏ SL TL TB SL TL SL TL 30% 0 6,7% 9A 30 20% 15 50% 9C 30 6,7% 20 66,6% 20% Di TB Ghi chỳ p dng SKKN Khụng ỏp dng SKKN * Nhng kinh nghim rỳt t ti: Qua õy tụi nhn thy hc sinh ham mờ mụn hc v hc sinh phỏt huy c trớ sỏng to, nng lc nhn thc, t sõu, gii thnh tho v bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm, cho ba s khụng õm vic tỡm cc tr thỡ ta cn cú mt vi kinh nghim sau: 1- Giỏo viờn phi nghiờn cu k bi ging Phi chun b cỏc cỏch gii bng cỏc phng phỏp khỏc - Phi hiu v lm thnh tho cỏch phng phỏp chng minh bt ng thc Cụsi v dng tt tỡm GTLN, GTNN GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 22 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s - Phi truyn th y v chớnh xỏc ni dung kin thc c bn, cho hc sinh c lm thnh tho cỏc bi c bn v bt ng thc Cụsi v bi toỏn cc tr - Phi c nhiu sỏch tham kho v phi cht lc kin thc - Dy hc sinh cỏc bi m rng phi theo tớnh logic hc sinh cú th ch ng sỏng to - Giỏo viờn phi tớch cc hc hi ng nghip, trau di kin thc, thng xuyờn bi dng kin thc thụng qua ti liu tham kho, qua cỏc thi hc sinh gii, thi tuyn sinh vo THPT, qua mng Internet C KT LUN Nhn nh chung Vic dy hc theo chuyờn v tng hp cỏc phng phỏp gii chung cho tng chuyờn giỳp hc sinh phỏt huy tớnh nng ng sỏng to ca hc sinh s hỡnh thnh thúi quen t c lp, nng lc t gii quyt ca hc sinh Hc sinh hiu bi v say mờ hc tp, thớch tỡm tũi, phỏt hin nhng iu mi l Tuy nhiờn hỡnh thnh thúi quen cho hc sinh ũi hi hot ng ng b ca cỏc thy cụ giỏo ging dy cỏc b mụn mt lp Hn th na phng phỏp dy hc ny cn c trin khai c quỏ trỡnh hc ca cỏc em t bc Tiu hc cho n Trung hc v nht l Cao ng v i hc Trong sỏng kin ny, tụi ó c gng chn lc, sp xp a cỏc phng phỏp ng thi phõn dng bi phự hp vi nhng phng phỏp ú v phự hp vi i tng hc sinh Tụi thy cỏc em ho hng say mờ hn hc toỏn Cỏc em khụng cũn phi hong ht, lỳng tỳng gp phi loi toỏn ny Vi s n lc ca bn thõn tụi vic nghiờn cu, tham kho sỏch v, ti liu ng thi c s giỳp , úng gúp ý kin b ớch ca cỏc ng t khoa hc t nhiờn trng THCS i Hng cựng vi s ng h nhit tỡnh ca cỏc em hc sinh trng THCS i Hng tụi ó hon thnh sỏng kin kinh nghim ny GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 23 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Trong quỏ trỡnh thc hin sỏng kin kinh nghim khụng trỏch thiu sút mong s úng gúp ý kin ca cỏc bn ng nghip Nhng iu kin ỏp dng i vi SKKN ny giỏo viờn dy toỏn trng THCS u cú th tham kho ỏp dng sỏng kin ny vo ging dy bi hc i vi chng trỡnh hin SKKN ỏp dng c cho cỏc i tng hc sinh lp 9, c bit l hc sinh gii, i vi cỏc hc sinh cỏc lp khỏc cng cú th tham kho trang b cho mỡnh cỏch gii toỏn v c bit cú th dng vo gii mt s bi hỡnh hc khú Hng tip tc nghiờn cu giỳp hc sinh khụng cũn chỏn nỏn hc m giỳp hc sinh ham mờ mụn hc v hc sinh phỏt huy c trớ sỏng to, nng lc nhn thc, t sõu mụn toỏn tụi s tip tc nghiờn cu thờm cỏc dng chuyờn khỏc v a cỏch gii chung cho cỏc chuyờn ú vớ d nh: Phng phỏp gii phng trỡnh quy v phng trỡnh bc hai, K thut chn im ri bt ng thc Cụsi, Cỏc phng phỏp t giỏc ni tip Nhng xut, kin ngh - i vi giỏo viờn: h thng c dng bi v a phng phỏp gii cho mi dng thỡ ũi hi mi giỏo viờn phi u t thi gian cho nghiờn cu bi dy, tham kho thờm nhiu ti liu c bit l ti liu nõng cao, ti liu phỏt trin, ti liu bi dng Cn tham kho, hc hi ng nghip rỳt kinh nghim cho bn thõn - i vi hc sinh: Cn phi coi trng mụn hc, nm vng lớ thuyt v cỏc kin thc c bn, lm tt cỏc bi c bn, c tham kho cỏc ti liu tỡm cỏc bi ỏp dng ri cựng gii Hc hi bn bố, iu cha hiu mnh dn hi giỏo viờn Mt s ti liu tham kho ngoi sỏch giỏo khoa v sỏch bi nh l: GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 24 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Sỏch toỏn c bn v nõng cao NXBGD Sỏch bi dng toỏn NXBGD Sỏch phỏt trin toỏn NXBGD Sỏch nõng cao v cỏc chuyờn NXBGD Sỏch 23 chuyờn NXB tr - i vi nh trng v phũng giỏo dc Cn phi b sung thờm cỏc ti liu theo cỏc chuyờn hc sinh v giỏo viờn s dng c bit giai on thay sỏch giỏo khoa ny to cho thy cụ v cỏc em cú iu kin hn nghiờn cu v hc Cn thng xuyờn cho cỏc thy cụ giỏo hc cỏc lp hun, hc cỏc chuyờn c cp nht thng xuyờn ch trng, ng li, chớnh sỏch mi ca ng, nh nc v giỏo dc cng nh c cp nht kp thi cỏc phng giỏp ging dy mi Cng l iu kin cỏc giỏo viờn cỏc trng c trao i, hc ln Trờn õy l SKKN ca bn thõn tụi vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Mong cỏc cp xem xột v giỳp tụi tụi hon thin mỡnh hn Tụi xin chõn thnh cm n! i Hng, ngy 22 thỏng 01 nm 2016 NGI VIT Bựi Thanh Liờm GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 25 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s TI LIU THAM KHO Toỏn c bn v nõng cao toỏn NXBGD Toỏn bi dng NXBGD Sỏch giỏo khoa toỏn NXBGD Sỏch bi toỏn NXBGD Sỏch nõng cao v cỏc chuyờn toỏn NXBGD Bi toỏn nõng cao NXBGD Tuyn chn 400 bi toỏn NXB nng 23 chuyờn bi dng hc sinh NXB tr Thụng tin toỏn hc trờn mng internet 10 Thụng tin t cỏc bn ng nghip DANH MC T VIT TT T vit tt THCS THPT GV HS KX SKKN GTLN GTNN t/m Ni dung Trung hc c s Trung hc ph thụng Giỏo viờn Hc sinh iu kin xỏc nh Sỏng kin kinh nghim Giỏ tr ln nht Giỏ tr nh nht Tha GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 26 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 27 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s MC LC A M U I t Thc trng ca nghiờn cu 2 í ngha ca gii phỏp mi Phm vi nghiờn cu ca sỏng kin kinh nghim II Phng phỏp tin hnh .3 C s lý lun Do vy vic hng dn giỳp cỏc em cú k nng gii toỏn tỡm cc tr, ngoi vic nm lý thuyt, thỡ cỏc em phi bit dng thc hnh, t ú phỏt trin kh nng t duy, ng thi to hng thỳ cho hc sinh hc nhm nõng cao cht lng hc l iu ht sc cn thit C s thc tin .4 Cỏc bin phỏp tin hnh .4 Thi gian to gii phỏp B - NI DUNG I- Mc tiờu .6 II- Phng phỏp tin hnh .6 II.1 Mụ t gii phỏp ca ti II.2 Phm vi ỏp dng 19 II.3 Kt qu .20 C KT LUN 23 Nhn nh chung 23 Nhng iu kin ỏp dng 24 Hng tip tc nghiờn cu 24 Nhng xut, kin ngh 24 TI LIU THAM KHO 26 A M U I t Thc trng ca nghiờn cu 2 í ngha ca gii phỏp mi Phm vi nghiờn cu ca sỏng kin kinh nghim II Phng phỏp tin hnh .3 C s lý lun GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 28 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Do vy vic hng dn giỳp cỏc em cú k nng gii toỏn tỡm cc tr, ngoi vic nm lý thuyt, thỡ cỏc em phi bit dng thc hnh, t ú phỏt trin kh nng t duy, ng thi to hng thỳ cho hc sinh hc nhm nõng cao cht lng hc l iu ht sc cn thit C s thc tin .4 Cỏc bin phỏp tin hnh .4 Thi gian to gii phỏp B - NI DUNG I- Mc tiờu .6 II- Phng phỏp tin hnh .6 II.1 Mụ t gii phỏp ca ti II.2 Phm vi ỏp dng 19 II.3 Kt qu .20 C KT LUN 23 Nhn nh chung 23 Nhng iu kin ỏp dng 24 Hng tip tc nghiờn cu 24 Nhng xut, kin ngh 24 TI LIU THAM KHO 26 XC NHN CA HI NG KHOA HC TRNG THCS I HNG Tng im: Xp loi: TM HI NG KHOA HC CH TCH - HIU TRNG GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 29 Vn dng bt ng thc Cụsi tỡm cc tr - Mụn i s Nguyn Ngc H XC NHN CA HI NG KHOA HC PHềNG GD&T KHOI CHU Tng im: Xp loi: TM HI NG KHOA HC CH TCH TRNG PHềNG GV: Bựi Thanh Liờm THCS i Hng 30 [...]... số Min K = 9 khi x = 3) Phương pháp 2 TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC THÔNG QUA TÌM CỰC TRỊ CỦA BÌNH PHƯƠNG BIỂU THỨC ĐÓ a Phương pháp GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 12 Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9 - Tính bình phương của biểu thức - Tìm cực trị của biểu thức bình phương - Tìm cực trị của biểu thức đó b Các ví dụ Ví dụ 1 Tìm GTLN của biểu thức: B1 = x + 1 − x Giải: ĐKXĐ: 0 ≤... Nhận xét: Trong ví dụ này để sử dụng được bất đẳng thức Cô si ta đã thêm vào số hạng 4(a + 1) Ví dụ 2 Cho a, b, c là các số lớn hơn 1 Tìm GTNN của biểu thức D2 = a2 b2 c2 + + b −1 c −1 a −1 Giải: Ta có a > 1,b > 1,c > 1 nên a − 1 > 0,b − 1 > 0,c − 1 > 0 GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 17 Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm ta có: a2... pháp chứng minh bất đẳng thức Côsi và vận dụng tốt trong tìm GTLN, GTNN GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 22 Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9 3 - Phải truyền thụ đầy đủ và chính xác nội dung kiến thức cơ bản, cho học sinh được làm thành thạo các bài tập cơ bản về bất đẳng thức Côsi và bài toán cực trị 4 - Phải đọc nhiều sách tham khảo và phải chắt lọc kiến thức 5 - Dạy học... Học sinh Điều kiện xác định Sáng kiến kinh nghiệm Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất Thỏa mãn GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 26 Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9 GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 27 Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9 MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 2 I Đặt vấn đề 2 1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 2 2 Ý nghĩa của giải.. .Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9 1 1 1 B = 2a + 2 (với 0 < a ≤ ) Đáp số MinB = 5 ⇔ a = a 2 2 x 2 + 2x + 17 Bài 3 Cho x ≥ 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 2 ( x + 1) (Đáp số: Min C = 4 khi x = 3) Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất của D = x 9 − x 2 với −3 ≤ x ≤ 3 (Đáp số: MaxD = 9 3 2 ) ⇔x=± 2 2 Bài 5 Cho x > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của E = x x −1 (Đáp số Min E =... cực trị - Môn đại số 9 hằng số Còn số 3 ở trên tìm được bằng cách lấy căn bậc hai của 9, số 9 này có trong đề bài  x, y > 0 Ví dụ 2 Cho  Tìm GTLN của biểu thức: C2 = xy 7x + 9y = 63  Giải: Ta có C2 = 63xy 1 1 = 7x.9y 63 63 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: 2 2 1 1  7x + 9y  1  63  63 C2 = 7x.9y ≤  ÷ =  ÷ = 63 63  2  63  2  4 9  x=  63  2 ⇔ Dấu “=” xảy ra ⇔ 7x = 9y... nên GTNN của biểu thức là 0 thì sai lầm vì khi đó không có giá trị của x để biểu thức bằng 0 c Bài tập tự giải Bài 1 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: A= x − 5 + 23 − x (Đáp số Min A = 3 2 khi x = 5 hoặc x = 23; MaxA = 6 khi x = 14) GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 14 Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9 Bài 2 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức 3x − 5 + 7 − 3x B= (Đáp số MinB = 2 khi... thỏa mãn 2 ) 3 1 4 + = 1 Tìm GTNN của biểu thức x y C = x + y (Đáp số Min C = 9 khi x = 3, y = 6) Bài 4 Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức D= 4 1 + x 4y (Đáp số Min D = 25/4 khi x = 4/5, y = 1/5) II.2 Phạm vi áp dụng * Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm này: GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 19 Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9 Yêu cầu giáo viên phải...  Tìm GTNN của biểu thức sau:  x + y + z ≥ 12 C= x y z + + (Đáp số Min C = 6 khi x = y = z = 4) y z x 3 Phương pháp 3 TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC BẰNG CÁCH NHÂN HOẶC CHIA BIỂU THỨC CHO CÙNG MỘT SỐ KHÁC 0 a Phương pháp + Nhân hoặc chia biểu thức cho cùng một số khác 0 + Dùng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị b Các ví dụ Ví dụ 1 Tìm GTLN của biểu thức C1 = x 9 5x Giải: ĐKXĐ: x ≥ 9 Ta có C1 = x 9 =... Ví dụ 3 Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn 2 2 + = 1 Tìm GTNN của biểu thức x y D3 = x + y Giải: Ta có 2 2 2 2 2x 2y + = 1 suy ra D3 = ( x + y )  + ÷ = 4 + + x y x y y x   Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: D3 = 4 + 2x 2y 2x 2y + ≥4+2 =4+4=8 y x y x GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng 18 Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị - Môn đại số 9  2x 2y  y = x ⇔ x = y = 4 (t/m) Dấu “=”