SKKN vận dụng bất đăng thức côsi tìm cực trị đại số

MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2.Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài SKKN Trang 1 2 2 3 17 18 18 18 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.1.1 Về mặt lý luận Các toán cực trị phong phú đa dạng, tương đối khó học sinh THCS Để giải toán cực trị học sinh phải biết đổi tương đương biểu thức đại số, phải sử dụng nhiều đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp phải tổng hợp kiến thức kỹ tính tốn, tư sáng tạo Là người trực tiếp giảng dạy tốn trường THCS, q trình giảng dạy, đặc biệt dạy học sinh giỏi, ln ln trăm trở, tìm tịi, chọn lọc phương pháp hợp lý để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh cách suy nghĩ làm quen với dạng tốn để em có số phương pháp giải Trong khuôn khổ nhỏ hẹp xin nêu “ Vận dụng bất đẳng thức Cơ si tìm cực trị đại số” 1.1.2 Về mặt thực tiễn Phấn đấu để dạy tốt mơn học nói chung mơn Tốn nói riêng nguyện vọng tha thiết đội ngũ giáo viên Như biết, Toán khoa hoc suy diễn trừu tượng Toán học lại mang tính trực quan, cụ thể mục tiêu mơn tốn trung học hình thành biểu tượng toán học ban đầu rèn luyện kĩ toán cho học sinh, tạo sở phát triển tư phương pháp cho học sinh sau Một mặt khác tốn học cịn có tính thực triễn Các kiến thức toán học sống Mỗi mơ hình tốn học khái qt từ nhiều tình sống Dạy học tốn học giúp hồn thiện vốn có học sinh, cho học sinh làm ghi lại cách thức kiến thức tốn học ngơn ngữ kí hiệu tốn học Mỗi tiết học dịp để học sinh hình thành kiến thức kĩ mới, vận dụng cách sáng tạo nhất, thông minh việc học toán sống sau Chính vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thơng minh học sinh thơng qua học toán 1.1.3 Về cá nhân Xuất phát từ lý luận thực tiễn trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” cho học sinh giai đoạn nay, qua thực tiễn kiểm tra giảng dạy học sinh trường , tơi nhận thấy việc hình thành kiến thức kĩ việc vận dụng Bất đẳng thức (Côsi) cách sáng tạo nhất, thông minh việc học toán sống cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Đó lý tơi chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu Một vấn đề thường gặp đại số, làm cho học sinh lúng túng tốn bất đẳng thức đại số bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Tchebychev, bất đẳng thức Beruoulli, … Thơng thường tốn loại vấn đề khó Thực phần quan trọng đại số kiến thức bất đẳng thức đại số làm phong phú phạm vi ứng dụng đại số sống 1.3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu “ Vận dụng bất đẳng thức Cơ si tìm cực trị đại số” 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận “Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” 1.4.2 Phương pháp quan sát -Nghiên cứu từ tài liệu sách tham khảo có liên quan - Thông qua tiết dạy lớp - Thông qua dự thăm lớp rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp -Nhìn nhận lại q trình học tập mơn tốn học sinh trường năm học vừa qua Đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS, luyện thi vào lớp 10 THPT Đưa số biện pháp để nâng cao kết học tập cho học sinh trường giai đoạn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Định hướng đổi phương pháp dạy học xác định nghị Trung ương khoá VII(1-1993), Nghị trung ương khoá VIII (121996), thể chế hoá Luật Giáo dục (2005), cụ thể hoá thị Bộ giáo dục đào tạo, đặc biệt thị số 14(4-1999) Luật giáo dục, điều 28.2, ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Vì vậy, ngồi việc nắm vững lý thuyết lớp học sinh phải vận dụng lý thuyết cách hợp lý, khoa học để giải tập Mơn Tốn nhằm hình thành cho học sinh giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức người lao động Mơn tốn nhằm phát triển lực tư học sinh đặc biệt rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất tư sáng tạo Dạy Toán, học Toán trình tư liên tục, việc nghiên cứu tìm tịi, đúc kết kinh nghiệm người dạy Tốn học Tốn khơng thể thiếu Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt điều trăn trở nhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức trở nên hấp dẫn học sinh giáo viên hiểu ý đồ sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức cách hệ thống, dẫn đắt học sinh từ điều biết đến điều chưa biết Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức giúp học sinh say mê học toán, phát huy khả tư sáng tạo mình.Chính suy nghĩ trên, thân tơi tìm tòi, sưu tập hệ thống kiến thức, giúp học sinh có kinh nghiệm giải tốn bất đẳng thức thông qua việc vận dụng bất đẳng thức Côsi cách nhẹ nhàng, linh hoạt Trên bục giảng, tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo viên phải ln tạo tình có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc Từ rút kiến thức cần nhớ Thực tiễn: Thơng qua việc giải tốn phát triển tư độc lập, sáng tạo học sinh, rèn ý chí vượt qua khó khăn Thơng qua cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi, công tác ôn thi vào lớp 10 PTTH nghiên cứu sâu vào chuyên đề bất đẳng thức thấy vai trò tầm quan trọng bất đẳng thức Côsi,luôn tạo niềm tin, hứng khởi cho học sinh trình học tập Đứng trước tốn cực trị nhiều học sinh lúng túng tìm hướng đi, nhiều học sinh chí cịn bỏ làm niềm tin trình giải tập Việc nhìn nhận tìm tịi hướng đắn công việc rât quan trọng, yếu tố định thành cơng q trình giải tốn Để học sinh có điều trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn theo chuyên đề dạng toán cách bản, sâu rộng, giúp học sinh : - Nhìn nhận từ tốn cụ thể thấy toán khái quát - Từ phương pháp giải khái quát thấy cách giải toán cụ thể - Nhìn thấy liên quan toán với - Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết vào giải toán Với lao động nghiêm túc tơi xin trình bày phần nhỏ kinh nghiệm việc áp dụng SKKN : “Vận dụng bất đẳng thức Cơ si tìm cực trị đại số” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy mơn tốn tơi nhận thấy việc phát hiện, tìm tịi, suy luận để tìm hướng giải cho tốn em yếu, nguyên nhân chủ yếu em chưa biết cách phân loại, hệ thống kiến thức mức độ khó dạng tập tìm cách giải phù hợp nên em thường mông lung gặp dạng mới, dạng biến đổi toán đặc trưng Đối với toán “Vận dụng bất đẳng thức Cơ si tìm cực trị đại số” ví dụ, dạng toán mà hầu hết em cảm thấy bỡ ngỡ mông lung gặp phải Lớp em học bất đẳng thức, nắm phép biến đổi bước đầu làm quen với số bất đẳng thức hay sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, nhiên việc vận dụng bất đẳng thức hạn chế nhiều, phần lớn áp dụng cho công tác ôn thi học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 10 PTTH Vì em cho dạng tốn khó, rắc rối việc liên hệ kiến thức với phương pháp giải tập chưa hình thành, khả tư liên hệ lý thuyết em Qua giảng dạy lắng nghe thông tin phản hồi từ em kết hợp với công tác dự rút kinh nghiệm, tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhận thấy việc trang bị cho em kiến thức bất đẳng thức Côsi cần thiết giúp em đỡ bỡ ngỡ, lúng túng gặp toán dạng 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các quy tắc cần ý sử dụng bất đẳng thức Cô si 2.3.1.1 Quy tắc song hành: Hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giiải nhanh 2.3.1.2 Quy tắc dấu bằng: dấu “=” BĐT quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi BĐT 2.3.1.3 Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: không học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh BĐT thường hay mắc sai lầm này, áp dụng liên tiếp song hành BĐT không chu ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành BĐT điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu “ = ” phải được thỏa mãn với điều kiện biến 2.3.1.4 Quy tắc biên: Cở sở quy tắc biên tốn quy hoạch tuyến tính, tốn tối ưu, tốn cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên 2.3.1.5 Quy tắc đối xứng: Các BĐT thường có tính chất đối xứng vai trị biến BĐT dấu “ = ” thường xảy vị trí biên Nếu tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu “ = ” xảy biến mang giá trị cụ thể Chiều BĐT giúp ta định hướng cách chứng minh : đánh giá từ Trung bình cộng (TBC) sang Trung bình nhân (TBN) ngược lại 2.3.2 Bất đẳng thức Cô si : n = 2: ∀ x, y ≥ : n = 3: ∀ x, y, z ≥ : x+ y x+ y+ z ≥ xy (*) ≥ xyz x + y ≥ xy x + y + z ≥ 3 xyz  x+ y  ÷ ≥ xy    x+ y+ z  ÷ ≥ xyz   ( x + y ) ≥ xy ( x + y + z ) ≥ 27 xyz 1 + ≥ x y x+ y Đẳng thức xảy x = y 1 + + ≥ x y z x+ y+z ≥ xyz ( x + y + z ) Đẳng thức xảy x = y = z Chứng minh công thức ( *) x+ y 1 − xy = ( x + y − xy ) = ( x − y ) ≥ ∀ x, y ≥ ,ta có : 2 2 x+ y ≥ xy Đẳng thức xảy dấu : ( x − y ) , tức x = y *Hệ 1: Nếu hai số dương thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Chứng minh: Giả sử hai số dương x y có tổng x + y = S không đổi Khi S x+ y S ≥ xy nên xy ≤ đó, = Đẳng thức xảy x = y Do 2 Do 2 S2 đó, tích xy đạt giá trị lớn x = y *Hệ 2: Nếu hai số dương thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Chứng minh: Giả sử hai số dương x y có tích x.y = P khơng đổi Khi đó, x+ y ≥ xy = P nên x + y ≥ P Đẳng thức xảy x = y Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ P x = y *Ứng dụng Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ nhỏ Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ hàm số : f ( x) = x + x với x > x x Giải Do x > nên ta có : f ( x) = x + ≥ x = f ( x) = ⇔ x = ⇔ x= x Vậy giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x + với x > f ( 3) = x Ví dụ Cho x, y, z ba số dương Tìm GTNN 1 1 A= ( x + y + z )  + +  x y z   Giải Vì x, y, z ba số dương nên x + y + z ≥ xyz ( đẳng thức xảy x = y = z ) 1 1 1 + + ≥ 33 ( đẳng thức xảy = = ) x y z x y z xyz x y z Do ( x + y + z )( + + ) ≥ xyz 3 = xyz x = y = z  Đẳng thức xảy :  = = x y z  Vậy GTNN A x = y = z • Dạng tổng quát (n số) ∀x1, x2, x3 , ,xn không âm ta có: Dạng 1: Dạng 2: x1 + x2 + xn n ≥ x1 x2 xn n x1 + x2 + xn ≥ n n x1 x2 xn  x1 + x2 + xn   ÷ n   n Dạng 3: ≥ x1 x2 xn Dấu “ = ” xảy khi: x1 = x2 = = xn Bình luận: • Để học sinh dễ nhớ, ta nói Trung bình cộng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN) • Dạng dạng đặt cạnh có vẽ tầm thường lại giúp ta nhận dạng sử dụng BĐT Côsi : (3) đánh giá từ TBN sang TBC khơng có thức *Hệ 3: n S x + x + + x = S = const Max P = x x x = Nếu: thì: ( 12 n n)  ÷ n S Khi x1 = x2 = = xn = n *Hệ 4: Nếu: x1x2 xn = P = const thì: Min ( S = x1 + x2 + x2 ) = n n P Khi x1 = x2 = = xn = n P 2.3.3 Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cơ si 2.3.3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ”.Đánh giá từ tổng sang tích Bài Cho a;b;c >0 a+b+c =2016 Tìm GTNN : M = a − ab + b + b − bc + c + c − ca + a Bài giải + Ta có a − ab + b = 3(a − b) + (a + b) ≥ a + b Tương tự b2 − bc + c ≥ b+c c − ca + a ≥ c+a Nên suy 2M ≥ (a+b+c) =2 2016 => M ≥ 2016 => AMin = 2016 a =b =c = 2016:3 =672 Bài Cho số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2 Tìm GTLN của: A= ab bc ca + + 2c + ab 2a + bc 2b + ac Bài giải + Ta có ab ab ab ab  1  = = ≤  + ÷ 2c + ab (a + b + c)c + ab (b + c )(c + a )  b + c c + a  + tương tự hạng tử lại Ta suy A= ab bc ca  ab ab bc bc ca ca  + + ≤  + + + + + ÷ 2c + ab 2a + bc 2b + ac  b + c c + a b + a a + c c + b b + a   ab + ca ab + bc bc + ca  =  + + ÷ = (a + b + c ) = 2 b+c c+a a+b  A ≤ => AMax = Khi a =b=c = a, b, c > Tính GTNN a + b + c =      − 1 − 1 − 1  a  b  c  Bài Cho  Giải     Ta có  − 1 − 1 − 1 = a 1  b  c  − a − b − c b + c c + a a + b bc ca ab = ≥ =8 a b c a b c a b c Dấu xảy a=b=c= Vậy GTNN a a=b=c= 2.3.3.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo: a b Bài Cho a,b>0 Tìm GTNN A = + Giải Ta có : a b + b a Dấu “=” xảy a b = ⇒ a2 = b2 b a b a ab =2 ba Côsi ≥ Mà a,b >0 nên a=b Vậy Amin = a=b Bài CMR: Giải a2 + ≥2 a2 +1 ∀a ∈ R a + ( a + 1) + 1 = = a2 +1 + Ta có a2 +1 a +1 a2 +1 Dấu “ = ” xảy ⇔ a + = Bài Cho a,b>0 Tìm GTNN A= a + Côsi ≥ a +1 a2 +1 a +1 =2 ⇔ a2 +1 = ⇔ a = b( a − b ) Giải Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b hạng tử đầu a phân tích sau : a+ Côsi 1 = b + ( a − b) + ≥ 3 b.( a − b ) = ∀a > b > b ( a − b) b ( a − b) b ( a − b) Dấu “ = ” xảy ⇔ b = ( a − b ) = b a − b ⇔ a = b = ( ) Vậy Amin = a= 2, b = Bài CMR: a+ ≥3 ∀ a >b>0 ( a − b ) ( b +1) (1) Giải Vì hạng tử đầu có a cần phải thêm bớt để tách thành hạng tử sau sử dụng BĐT rút gọn cho thừa số mẫu Tuy nhiên mẫu có dạng ( a − b ) ( b + 1) (thừa số thứ đa thức bậc b, thừa số thứ hai tam thức bậc hai b) ta tách hạng tử a thành tổng hạng tử thừa số mẫu Vậy ta có : ( a − b ) ( b + 1) = (a - b)( b + 1)( b + 1) ⇒ ta phân tích a thành hai cách sau: ( ) 2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) a +1 = a − b + Từ ta có (1) tương đương : VT + = a + + b +1 b +1 = ( a − b) + + + 2 ( a − b ) ( b + 1) ( b + 1) ( a − b ) ( b +1) ≥ 4.4 ( a − b ) Côsi b +1 + b +1 2 b +1 b +1 = ⇒ đpcm 2 ( a − b ) ( b + 1) ( b + 1) 2.3.3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi: Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” BĐT Cơsi quy tắc tính đồng thời dấu “ = ”, quy tắc biên quy tắc đối xứng sử dụng để tìm điểm rơi biến Bài Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ (GTNN) S = a + Giải a Sai lầm thường gặp học sinh: S = a + 1 ≥ a =2 a a Dấu “ = ” xảy ⇔ a = ⇔ a = ⇒ vơ lí giả thiết a ≥ a Cách làm Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hạng tử để cho áp dụng a BĐT Côsi dấu “ = ” xảy a = Có thể tách sau: 1  a= α α  1 =  a ⇒ Vậy ta có : S = =1 α ⇒ α = a 3a a 3a 3.2 + + ≥2 + ≥ 1+ = a 4a 4 Dấu “ = ” xảy ⇔ a = Vậy GTNN A khia=2 Bình luận: • Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” điểm rơi a = dựa quy tắc biên để tìm α = • ta thấy tính đồng thời dấu “ = ” việc áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số a 3a , đạt giá trị lớn a = 2, tức chúng có a điểm rơi a = Bài Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = a + Giải Sơ đồ chọn điểm rơi: a  = α α a = ⇒ 1 =1  a ⇒ a2 = ⇒ α = α Sai lầm thường gặp S = a+  a  7a a 7a 7a 7.2 =  + ÷+ ≥2 + = + ≥ + = + = ⇒ a a 8 a  8a 8.2 4 Nguyên nhân sai lầm: MinS = Mặc dù chọn điểm rơi a = vàà MinS = đáp số cách giải mắc sai lầm việc đánh giá mẫu số: Nếu a ≥ 2 ≥ = đánh 8a 8.2 giá sai 10 Để thực lời giải ta cần phải kết hợp với kĩ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S cho sau sử dụng BĐT Côsi khử hết biến số a mẫu số Lời giải đúng:  a a  6a Côsi a a 6a 6a 6.2 S = a + =  + + ÷+ ≥ 2+ = + ≥ + = 8 a 8 a 8 a  Với a = Min S = a, b, c >  Bài Cho  a + b + c ≤  1 a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = a + b + c + + + Giải Sai lầm thường gặp: 1 1 11 S = a + b + c + + + ≥ 6 a.b.c = ⇒ Min S = a b c a b c Nguyên nhân sai lầm : Smin = ⇔ a = b = c = = = = ⇒ a + b + c = > trái với gải thiết a b c Phân tích tìm tịi lời giải Do S biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt điểm rơi a =b=c= Sơ đồ điểm rơi: a = b = c = Vậy ta có cách giải sau:  a = b = c = 2 ⇒ ⇒ = α  = = = α a α b α c α ⇒ α =4  1 1 11 S =  4a + 4b + 4c + + + ÷− ( a + b + c ) ≥ 6 4a.4b.4c − ( a + b + c ) a b c a b c  15 15 ≥ 12 − = Với a = b = c = Smin = 2 2 2.3.3.4 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC) Nếu đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá với dấu a ≤ b , đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nơm na thay dấu a + b dấu a.b ngược lại đánh giá từ TBN sang TBC thay dấu a.b dấu a + b Và cần phải ý biến tích thành tổng, tổng phải triệt tiêu hết biến, lại số Bài CMR ab + cd ≤ ( a + c ) ( b + d ) ∀a, b, c, d > (1) Giải 11 (1) ⇔ ab + ( a + c) ( b + d ) cd ≤ Theo BĐT Cơsi ta có: ( a + c) ( b + d ) 1 a b  1 c b  1 a+c b+d  VT ≤  + + = + = ( + 1) = ÷+   a + c b + c   a + c b + d ÷  a + c b + c ÷ a > c > Bài CMR c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab ∀  (1) b > c > Giải c ( b − c) c ( a − c) Ta có (1) tương đương với: + ≤1 ab ab Theo BĐT Côsi ta có: c ( b − c)  c ( a − c)   c ( b − c)   a b  c ( a − c) ÷= ÷+  + + ≤  + + = (đpcm) ab ab  b a ÷  a b ÷  a b ÷   Trong kĩ thuật đánh giá TBN sang TBC ta thấy thường nhân thêm số để cho sau biến tích thành tổng tổng triệt tiêu biến Đặt biệt tốn có thêm điều kiện ràng buộc ẩn số việc nhân thêm số em học sinh dễ mắc sai lầm Sau ta lại nghiên cứu thêm phương pháp phương pháp nhân thêm số, chọn điểm rơi việc đánh giá từ TBN sang TBC.Do trình bày phương pháp điểm rơi nên mục ta trình bày gộp phần 2.3.3.5 Kỹ thuật nhân thêm só đánh giá TBN sang TBC : Bài Chứng minh rằng: a ( b −1) + b ( a − 1) ≤ ab ∀a, b ≥ Giải Bài hồn tồn chia vế cho ab, sau áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC phần trước trình bày, nhiên ta áp dụng phương pháp : phương pháp nhân thêm số Côsi  ( b −1) + = ab a ( b − 1) = a ( b − 1) ≤ a  2  Ta có : Cơsi ( a −1) + = ab  b a − = b a − ≤ b ( ) ( )  2 ab ab a ( b −1) + b ( a −1) ≤ + = ab ⇒ 2 b = b − = ⇒  Dấu “ = ” xảy ⇔  a − = a = Bình luận: • Ta nhận thấy việc nhân thêm số vào biểu thức khơng hồn tồn tự nhiên, tai lại nhân thêm mà Thực chất vấn đề chọn điểm rơi BĐT theo quy tắc biên a = b = 1/2 Nếu không nhận thức rõ vấn đề học sinh dễ mắc sai VD sau 12 a, b, c > Bài Cho  a + b + c = Giải Sai lầm thường gặp:   a +b =     b+c =    c+a =  Côsi ( a + b ) ≤ ( b + c ) Côsi ( c + a ) Côsi ≤ ≤ a+b + b+c + c+a ≤ Tìm giá trị lớn nhất: S = a + b + b + c + c + a ( a + b) +1 ( b + c ) +1 ⇒ ( c + a ) +1 2( a + b + c) + = 2 Nguyên nhân sai lầm Dấu “ = ” xảy ⇔ a + b = b + c = c + a = ⇒ a + b + c = trái với giả thiết Phân tích tìm tịi lời giải: Do vai trị a, b, c biểu thức điểm rơi BĐT a = b = c = từ ta dự đốn Max S = ⇒ a + b = b + c = c + a = ⇒ 3 số cần nhân thêm Vậy lời giải :   Côsi ( a + b ) + ( a + b) ≤  a+b = 2    Côsi ( b + c ) + ( b + c) ≤  b+c = 2   c + a + ( )  C ôsi 3 ( c + a) ≤  c+a = 2   2 a + b + c + ( ) ⇒ a+b + b+c + c+a ≤ = = 2 Bài toán cho đầu theo yêu cầu sau học sinh có định hướng tốt a, b, c > hơn: Cho  Chứng minh rằng: S = a + b + b + c + c + a ≤ a + b + c = Tuy nhiên nắm kỹ thuật điểm rơi việc viết đầu theo hướng giải 2.3.3.6 Kỹ thuật ghép đối xứng: Trong kỹ thuật ghép đối xứng cần nắm số thao tác sau : 13 2 ( x + y + z ) = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x )  Phép cộng :  x+ y y+ z z+ x + + x + y + z = 2  2 Phép nhân : x y z = ( xy ) ( yz ) ( zx ) ; xyz= xy yz zx ( x, y, z ≥ ) bc ca ab + + ≥ a + b + c ∀a, b, c > Bài Chứng minh : a b c Giải Áp dụng BĐT Cơsi ta có:   bc ca  bc ca + ÷≥ =c   b  a b 2  a  ca ab   ca ab  + ÷≥ = a ⇒ bc + ca + ab ≥ a + b + c   c  b c a b c 2  b   bc ab  bc ab   + ÷≥ =c c  a c   a Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b = c Bài Chứng minh rằng: a b2 c2 b c a + + ≥ + + b2 c2 a a b c , ∀abc ≠ Giải Áp dụng BĐT Cơsi ta có:   a b2  a b2 = a ≥ a   + ÷≥ c  b2 c c c 2  b    b2 c    + ÷≥ a  2  c  2 1  a + c  ≥   b a ÷   ⇒ b2 c = b ≥ b c2 a2 a a a2 c2 = c ≥ c b2 a b b a + b2 + c ≥ b + c + a ≥ b + c + a b2 c a a b c a b c Bài Cho ∆ ABC, a, b, c số đo cạnh tam giác Chứng minh : ( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) ≤ abc Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: 14  0 ≤    0 ≤   0 ≤   ( b + c − a ) ( c + a − b) ( c + a − b) ( a + b − c) ( b + c − a) ( a + b − c) ≤ ( b + c − a) + ( c + a − b) = c ( c + a − b) + ( a + b − c) = a ≤ ( b + c − a) + ( a + b − c) = b ≤ ≤ ( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) ≤ abc ⇒ Dấu “ = ” xảy ⇔ ∆ ABC : a = b = c 2.3.3.7 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho số, n số : Nội dung cần nắm thao tác sau :     1  +  x1  ( x + y + z )  1x + 1y + 1z ÷÷≥ ( x + x + + x ) n ∀x, y, z > + + ÷ ≥ n2 ∀x , x , , x > n x2 xn ÷ Bài Cho a,b,c >0 Tìm GTNN A= Giải Ta có A= A= b+c c+a a+b + + : a b c (1) b+c c+a a+b b+c c+a a+b +1+ +1+ + + = 1+ -3 a b c a b c a+b+c b+c+a c+a+b  1 1 + + -3 = (a + b + c) + +  - ≥ − = a b c a b c Dấu xảy a=b=c Vậy Amin = a=b=c Bài Chứng minh : 2 + + ≥ a +b b+c c+ a a +b+c ∀a, b, c > Giải Ta biến đổi tương đương BĐT sau:  1  + +  ÷ ≥  a+b b+c c+a   1  + b + c + ( a + c)   + +   a +b b+c c+a ÷  2( a + b + c) ⇔ ( a + b ) ( ) Bài Chứng minh : ≥ (đpcm ) c a b + + ≥ , ∀a, b, c > (BĐT Nesbit) a +b b+c c+a Giải Ta biến đổi tương đương BĐT sau: c   a   b   ≥ 1 + ÷ + 1 + ÷+ 1 + a + b   b + c   c + a ÷  +3= 2 15  a +b+c   a +b+c   a +b+c  ÷+  ÷+  ÷≥  a +b   b+c   c+a   1  + + ⇔ a +b+c  ÷ ≥  a+b b+c c+a   1  + + ⇔  a + b + b + c + ( a + c )   ÷  a +b b+c c+a  ⇔ ( ) ( ) ( ) ≥ (đpcm) 2.3.3.8 Kỹ thuật đổi biến số : Có tốn mặt biểu thức tốn học tương đối cồng kềnh khó giải, khó nhận biết phương hướng giải, ta chuyển tốn từ tình khó biến đổi trang thái dễ biến đổi Phương pháp tren gọi phương pháp đổi biến số c a b + + ≥ ∀a, b, c > (BĐT Nesbit) Bài Chứng minh rằng: a +b b+c c+a Giải b + c = x >  y+z−x z+ x− y x+ y−z ; b= ; c= Đặt : c + a = y > ⇔ a = 2 a + b = z >  Khi bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức sau: y x y+z−x z+x− y x+ y−z z x y z + + ≥  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ ⇔ 2x 2y 2z  x y x z  z y Bất đẳng thức hiển nhiên đúng, Thậ vậy, áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : y x z x y z VT ≥ + + = + + = x y x z z y Dấu “ = ” xảy ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c Bài Cho ∆ ABC Chứng minh : a2 b2 c2 + + ≥ a +b +c b + c − a c + a −b a +b −c Giải b + c − a = x >  y+z z+x x+ y ; b= ; c= Đặt : c + a − b = y > ⇔ a = 2 a + b − c = z >  Khi bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức sau: 2 y + z) z + x) x + y) ( ( ( ⇔ (2) + + ≥ x+ y+ z 4x 4y 4z yz zx xy  yz zx   zx xy   yz xy  + + ≥ + + + + + ÷ Ta có : VT (2) ≥ x y z  x y ÷  y z ÷  x z  Côsi yz zx zx xy yz xy ≥ + + = x+ y+ z x y y z x z Bài Cho ∆ ABC CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≥ abc (1) Giải 16 b + c − a = x >  y+z z+x x+ y ; b= ; c= Đặt : c + a − b = y > ⇔ a = 2 a + b − c = z >  Khi ta có BĐT (1) tương đương với bất đẳng thức sau : x+ y y+ z z+ x xyz ≤ 2 x+ y y+ z z+ x ≥ xy yz zx = xyz (đpcm) Áp dụng BĐT Cơsi, ta có : 2 2.3.3.9 Một số tập áp dụng * Kỹ thuật chọn điểm rơi đánh giá từ TBC sang TBN 18 Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = a + a 1 Cho < a ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = 2a + 2 a a, b > Cho  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = ab + ab a + b ≤ a, b, c > Cho  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = abc + abc a + b + c ≤ Cho a, b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = a+b ab + ab a + b a, b, c >  Cho  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a + b + c ≤  1 S = a +b+c + + + a b c *Kỹ thuật chọn điểm rơi ¸đánh giá từ TBN sang TBC ( a + b ) ( − ab ) CM R: ≤ ≤ ( + a ) ( + b2 ) a, b, c > Cho  Chứng minh : ab + bc + ca − abc ≤ a + b + c = a, b, c > Cho  Chứng minh : 16abc ≤ a + b a + b + c = 27 * Kỹ thuật chọn điểm rơi nhân thêm số đánh giá từ TBN sang TBC a ≥ ab c − + bc a − + ca b −  10.Cho b ≥ Tìm Max S = 2 c ≥  11.Cho x, y, z >0 Tìm Min f(x, y, z) = ( x + y + z) xy z 17 a, b, c, d > 12.Cho  a + b + c + d = Tìm Max S = a+b+c + b+c+d + c+d +a + d +a+b * Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho số, n số : a, b, c > + + ≥ 13.Cho  CMR : a +b b+c c +a a + b + c = a, b, c > + + ≥ 14.Cho  CMR: 2 a + 2bc b + 2ca c + 2ab a + b + c ≤ 2.3.4 Một số ứng dụng bất đẳng thức: *Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình: Bài Giải phương trình : x + x − + x − x + = x − x + (1) Giải  ( x + x −1) + x + x x + x − ≤ =  2 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có :  2  x − x + ≤ ( x − x + 1) + = x − x +  2 2 ⇒ x + x −1 + x − x + ≤ x + (2) 2 Kết hợp (1) (2) ta có: x − x + ≤ x + ⇔ ( x − 1) ≤ ⇔ x = Thử lại ta có x = nghiệm phương trình ( x − 1) y + ( y − 1) x = xy  Bài Giải hệ phương trình:   x y − + y x − = xy Giải Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ ¸ Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: + ( x −1) x xy x −1 = 1.( x −1) ≤ = ⇒ y x −1 ≤ (1) 2 y xy y -1 ≤ ⇒ x y −1 ≤ Tương tự : (2) 2 Cộng (1), (2) ta : x y − + y x − ≤ xy  x − = ⇔ x = y = Dấu “ = ” xảy   y − = Thử lại thấy: x = y = thoả mãn phương trình thức hệ Vậy hệ có nghiệm ( 2; ) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau áp dụng sáng kiến vào dạy học, kết thu so với năm học trước chưa áp dụng sáng kiến sau: Số Áp Kết Năm học dụng Điểm Điểm Điểm 5- Điểm Điểm học sinh SKKN 0-2 3-4 7-8 9-10 18 20192020 87 20202021 92 x 1.1% 0% 12 13.8% 5.4% 50 68.4% 40 43.5% 16 18,5% 32 34.8% 9.2% 15 16.3% Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu học sinh, thấy đạt số kết cụ thể sau: Với việc trình bày tóan bản, với ví dụ minh họa sau đó, giúp tăng cường giảng cho em học sinh dễ hiểu biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo kiến thức học làm sở cho việc tiếp thu cách thuận lợi, vững Đặc biệt nội dung phần bình luận sau vài tập ví dụ giúp em học sinh củng cố hiểu biết chưa thật thấu đáo, với cách nhìn Tại lại nghĩ làm vậy?” 3.Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả nói lưu lốt, biết lí luận chặt chẽ giải toán 4.Học sinh biết vận dụng kiến thức đơn lẻ để giải toán tổng hợp nhiều kiến thức Ngồi có nhiều tốn giải nhiều cách khác giúp em học sinh trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải 6.Với phong cách trình bày vậy, tài liệu nhằm giúp cho em học sinh rèn luyện lực vận dụng lý thuyết học Tạo khơng khí sơi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh toán sinh động, hấp dẫn thực biến học, lớp học ln khơng gian tốn học cho học sinh Cuối cùng, cho dù cố gắng việc tham khảo lượng lớn tài liệu sách để vừa viết, vừa mang giảng dạy cho em học sinh từ kiểm nghiệm bổ sung thiếu sót, với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến bạn đồng nghiệp để dần hòan thiện tài liệu này, khó tránh khỏi thiếu sót hiểu biết kinh nghiệm hạn chế, mong nhận đóng góp q báu q thầy giáo, giáo, bạn đồng nghiệp bạn đọc 3.2 Kiến nghị - Mỗi học sinh cần trang bị đầy đủ đồ dùng học tập thước kẻ, máy tính bỏ túi… - Các em cần nâng cao ý thức tự giác học tập, tính hợp tác hoạt động nhóm, tính cẩn thận vẽ đồ thị tính tốn Thường xun kiểm tra, sốt lại giải sau làm xong tập 19 - Mỗi giáo viên cần phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng, rèn luyện để không ngừng trau dồi kiến thức kĩ dạy học - Thường xuyên đổi cách soạn, cách giảng, đưa ứng dụng cơng nghệ thơng tin vào dạy học, đa dạng hố phương pháp hình thức tổ chức dạy học để lơi học sinh vào q trình học tập - Cần quan tâm sâu sát đến đối tượng học sinh đặc biệt học sinh yếu kém, giúp đỡ ân cần, nhẹ nhàng tạo niềm tin, hứng thú cho em vào môn học - Trong trình dạy giáo viên phải hướng dẫn học sinh vào việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, tạo tình có vấn đề để học sinh thảo luận Trong tiết phải tạo quan hệ giao lưu đa chiều giáo viên – học sinh, cá nhân, tổ, nhóm Đề tài “Vận dụng bất đẳng thức Cơ si tìm cực trị đại số” tiến hành thời gian ngắn, đối tượng nghiên cứu tiến hành em học sinh khối lớp 8,9 Trường THCS Quảng Chính, số năm giảng dạy thân chưa nhiều Nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, chưa hết dạng tập phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh Rất mong đóng góp ý kiến cấp quản lí giáo dục thầy giáo đề tài hồn thiện hơn, nâng cao chất lượng dạy học môn tốn tốn trung học sở nói Quảng Chính, ngày 16 tháng năm 2021 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Đỗ Nghĩa 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - NXB giáo dục G.KORN-T.KORN Sổ tay Toán học ( Phan Văn Hạp Nguyễn Trọng Bá dịch ) NXB đại học trung học chuyên nghiệp giáo dục -1997 Phan Huy Khải Tuyển tập toán Bất Đẳng Thức – Tập NXB giáo dục -1996 Trần Văn Hạo (Chủ biên ) Bất đẳng thức Cau chy NXB giáo dục – 2001 Trần Phương ( Chủ biên) 15 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy- NXB giáo dục – 2001 Nguyễn Vũ Thanh Phương pháp giải bất đẳng thức- NXB tổng hợp đồng tháp –1994 Vũ Đình Hịa TSKH Bất đẳng thức hình học NXB giáo dục – 2001 Lê Hồng Đức Phương pháp giải toán bất đẳng thức NXB Hà Nội– 2003 Trần Văn Hạo.( Chủ biên) Chuyên đề Bất đẳng thức NXB giáo dục 10.Vũ Hữu Bình - Nâng cao phát triển Toán NXB Giáo dục 11.Vũ Hữu Bình - Nâng cao phát triển Toán NXB Giáo dục 12.Nguyễn Văn Vĩnh- Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS luyện thi vào lớp 10- NXB Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Đỗ Nghĩa Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên - Trường THCS Quảng Chính Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại TT Tên đề tài SKKN Phương pháp tìm chữ số tận số tự nhiên dạng lũy thừa số dạng tốn lũy thừa chương trình Tốn Phòng GD&ĐT Quảng Xương C 2013 2014 Khai thác vận dụng tính chất dãy tỉ số Phòng GD&ĐT Quảng Xương C 2015 2016 Rèn kỹ giải toán lũy thừa cho học sinh lớp Phòng GD&ĐT Quảng Xương C 2017 2018 Hướng dẫn học sinh lớp giải tập vận dụng tính chất dãy tỉ số Phòng GD&ĐT Quảng Xương C 2019 2020 22 ... quan trọng đại số kiến thức bất đẳng thức đại số làm phong phú phạm vi ứng dụng đại số sống 1.3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu “ Vận dụng bất đẳng thức Cơ si tìm cực trị đại số? ?? 1.4 Phương pháp... bất đẳng thức đại số bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Tchebychev, bất đẳng thức Beruoulli, … Thơng thường tốn loại vấn đề khó Thực phần quan trọng đại số. .. Lớp em học bất đẳng thức, nắm phép biến đổi bước đầu làm quen với số bất đẳng thức hay sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, nhiên việc vận dụng bất đẳng thức hạn chế