Van dung BAT DANG THUC cosi

www.facebook.com/hocthemtoan

1. Cho , x y là 2 số dương thỏa 1x y+ = . Tìm GTNN của 2 2 A x y= + HD:  2 2 2 2 2 2 )( 0x m mx và y m ym m+ ≥ + ≥ >  Suy ra ( ) 2 2 2 2 2 2x y m m x y m+ + ≥ + =  Suy ra 2 2 2 2 2A x y m m= + ≥ −  Dấu “=” xảy ra khi x y m= = tức là 1 2 x y m= = =  Vậy GTNN của A là 1 2 khi 1 2 x y= = 2. Cho , , x y z là 3 số dương thỏa 1x y z+ + = . Tìm GTNN của 2 2 2 A x y z= + + HD:  ( ) 2 2 2 2 2 2 2 , 2 , 2 0x m mx y m ym z m mz m+ ≥ + ≥ + ≥ >  Suy ra ( ) 2 2 2 2 3 2 2x y z m m x y z m+ + + ≥ + + =  Suy ra 2 2 2 2 2 3A x y z m m= + + ≥ −  Dấu “=” xảy ra khi x y m= = tức là 1 3 x y z m= = = =  Vậy GTNN của A là 1 3 khi 1 3 x y z= = = 3. Cho , x y là 2 số dương thỏa 1x y+ = . Tìm GTNN của 2 2 4A x y= + HD:  ( ) 2 2 2 2 4 4 2 0, 0x m mx và y n yn m n+ ≥ + ≥ > >  Suy ra 2 2 2 2 4 4 2x y m n mx ny+ + + ≥ +  Ta chọn m, n sao cho ( ) 4 2 2m n n m= =  Suy ra ( ) 2 2 2 2 2 4 4 4 5A x y m x y m n m m= + ≥ + = −−−  Dấu “=” xảy ra khi 2 2x m và y n m= = = , tức là: 5 1 2 2 2 m m x y m= + = + = 2 4 , 5 5 m n⇒ = =  Vậy GTNN của A là: 2 8 4 4 4 5 5. 5 25 5 m m− = − = khi 1 4 , 5 5 x y= = 4. Cho , ,x y z là 3 số dương thỏa 1x y z+ + = . Tìm GTNN của 2 2 2 4A x y z= + + HD:  ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 , 2 , 2 0, 0, 0x m mx y n yn z p pz m n p+ ≥ + ≥ + ≥ > > >  Suy ra 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2x y z m n p mx ny pz+ + + + + ≥ + +  Ta chọn ( ) , , 4 2 2 2m n p sao cho m n p n p m= = = =  ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 9Suy ra A x y z m x y z m n p m m= + + ≥ + + − − − = −  Dấu “=” xảy ra khi 2 2x m và y z m= = = , tức là: 9 1 4 2 2 m m x y z m= + + = + = 2 4 , 9 9 m n p⇒ = = =  Vậy GTNN của A là: 2 8 4 4 4 9 9. 9 81 9 m m− = − = , khi 1 4 , 9 9 x y z= = = 5. Cho , ,x y z là 3 số dương thỏa 1x y z+ + = . Cho 3 số dương a, b, c. Tìm GTNN của 2 2 2 2 2 2 A a x b y c z= + + HD:  2 2 2 a x m 2amx+ ≥ , 2 2 2 b y n 2bny+ ≥ , 2 2 2 c z p 2cpz+ ≥ ( ) m 0,n 0,p 0> > >  Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x b y c z m n p 2amx 2bny 2cpz+ + + + + ≥ + +  Ta chọn , ,m n p sao cho am bn cp= =  Suy ra: 2 2 2 2 2 2 A a x b y c z= + + ( ) 2 2 2 2am x y z m n p≥ + + − − − 2 2 2 2 2 1 1 1 2am a m a b c   = − + +  ÷    Đặt 2 2 2 1 1 1 M a b c = + + 2 2 2A am Ma m⇒ ≥ − Dấu “=” xảy ra khi: 2 2 , , 1 1 m n p x y z m am am a b c amM m n p a b c x y z a b c  = = =   ⇒ = + + =   = + + = + +    Vậy: 2 1 1 ,m x aM a M = = ; 2 1 1 ,n y bM b M = = ; 2 1 1 ,p z cM c M = =  Vậy GTNN của A là: 2 2 1 1 A M M M M = − = 6. Cho , ,x y z là 3 số dương thỏa 1x y z+ + = . Tìm GTNN của 3 3 3 A x y z= + + . HD:  m>0  3 3 3 3 3 3 3 2 3 3x m m m m x m x+ + ≥ = ; 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3y m m m m y m y+ + ≥ = 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3z m m m m z m z+ + ≥ = Suy ra 3 3 3 3 2 2 x y z 6m 3m (x ) 3y z m+ + + ≥ + + + =  Suy ra 2 3 A 3m 6m≥ −  Dấu “=” xảy ra khi 1 3 x y z m= = = =  Vậy GTNN của A là: 3 1 1 3 3 9 A   = =  ÷   7. , , 0; 1Cho x y z x y z> + + = . Cho 3 số dương , ,a b c . Tìm GTNN của: 3 3 3 3 3 3 .A a x b y c z= + + HD:  m>0, n>0, p>0  3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3a x m m m m a x m ax+ + ≥ = ; 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3b y n n n n b y n by+ + ≥ = 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3c z p p p p c z p cz+ + ≥ = Suy ra 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a x y z 2m 2 2 3m 3 3b c n p ax n by p cz+ + + + + ≥ + +  Chọn 2 2 2 , , m n p sao cho m a n b p c= =  Suy ra: 2 3 3 3 A 3m ( ) 2( )a x y z m n p≥ + + − + + 2 3 3 3 A 3m 2( )a m n p⇒ ≥ − + +  Dấu “=” xảy ra khi: , , m n p x y z a b c = = = 1 m n p x y z a b c ⇒ = + + = + + 1 m m a m a a b b c c ⇒ = + + 1 1 1 1 m a a a b b c c   ⇒ = + +  ÷    Đặt 1 1 1 M a a b b c c = + + ta được: 1 m aM= 1 1 ,m x M a Ma a ⇒ = = ; 1 1 1 1 , ; ,n y p z M b Mb b M c Mc c = = = =  Vậy GTNN của A là: 3 3 3 1 1 1 A M a a M b b M c c = + + 3 2 1 1 1 1 1 A M M a a b b c c   = + + =  ÷   8. Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là BC=a, CA=b, AB=c. Điểm M ở miền trong hoặc trên cạnh của tam giác ABC. Gọi ( ) ( ) ( ) , , , , ,x d M BC y d M CA z d M AB= = = . Chứng minh ax by cz+ + không thay đổi. Tìm GTNN, GTLN của f x y z= + + . HD:  Diện tích ABC bằng tổng diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB suy ra: ax by cz 2 2 ( )( )( )S p p a p b p c+ + = = − − −  Đặt 1 1 1 1 1 1 min , , , max , ,t T a b c a b c     = =  ÷  ÷      Ta có: 1 1 1 f x y z ax by cz a b c = + + = + + ( ) 2f tax tby tcz t ax by cz St≥ + + = + + = Xét dấu “=” xảy ra : • Nếu ( ) 1 2 0 S t thì chon y z và x M A a a = = = = ≡ • Nếu 1 t b = thì chọn ( ) 2 0 S x z và y M B b = = = ≡ • Nếu 1 t c = thì chọn ( ) 2 0 S x y và z M C c = = = ≡ Giá trị nhỏ nhất của f là 2St  Tương tự, giá trị lớn nhất của f là 2ST. 9. Cho 0, 0, 0 1x y z và x y z≥ ≥ ≥ + + = . Tìm GTLN của ( ) 1 n n n A x y z n= + + > HD:  Do 0 1 1 n x và n nên x x≤ ≤ > ≤ . Tương tự với y, z.  1A x y z≤ + + =  Dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1  A lớn nhất là 1. 10. Cho 0, 0, 0 1x y z và x y z≥ ≥ ≥ + + = . Cho 0, 0, 0a b c> > > . Tìm GTLN của: ( ) 1 n n n A ax by cz n= + + > HD:  Gọi T là ( ) , ,max a b c  Do 0 1 1 n x và n nên ax ax Tx≤ ≤ > ≤ ≤ . Tương tự với , y z .  ( ) A T x y z T≤ + + =  Dấu “=” xảy ra khi: ( ) ( ) ( ) , 1, 0 , , 1, 0 , , 1, 0T a x y z T b y x z T c z x y= = = = = = = = = = = = Tóm tắt kết quả 10 bài BĐT 1-10 Xét GTNN và GTLN của: q q q f ax by cz= + + (q nguyên dương và n>1), trong đó: , ,x y z là các số dương thay đổi thỏa: x y z 1+ + = và a, b, c là các hằng số dương.  Với GTNN ta chặn f≥g(a,b,c) bằng cách xét từng phần và áp dụng BĐT Côsi: q 1 1 ax (q 1)m q q q q q q ax m qx am − − + − ≥ = q 1 1 by (q 1) q q q q q n q by n qy bn − − + − ≥ = q 1 1 cz (q 1)p q q q q q q cz p qz cp − − + − ≥ = Ta chọn m, n, p dương sao cho: 1 1 1q q n am bn cp t − − − = = = Suy ra các giá trị m, n, p là: 1 1 1 1 1 1 , , q q q t t t m n p a b c − − −       = = =  ÷  ÷  ÷       Cộng vế các BĐT trên để có: ( 1)( )f qt q m n p≥ − − + + Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 1 ( 1) 1 1 1 q q q q q t t ax m x a a − − −   = = ⇒ =  ÷   ; 1 1 ( 1) 1 1 1 q q q q q t t by n y b b − − −   = = ⇒ =  ÷   1 1 ( 1) 1 1 1 q q q q q t t cz p z c c − − −   = = ⇒ =  ÷   1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q q q q q x y z t a b c − − − −    ÷ = + + = + +  ÷   1 1 1 1 1 1 1 1 1 q q q M a b c − − − = + + ; ( 1) 1 q q t M −   =  ÷   , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , q q q x y z Ma Mb Mc − − − = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q q q q q f M M a b c − − − −    ÷ = + + =  ÷    Trường hợp riêng n 1, f ax by cz= = + + thì ( , , )f Max a b c≤ và ( , , )f Min a b c≥ Với GTLN ta có: ( , , )f ax by cz Max a b c≤ + + ≤