(Sáng kiến kinh nghiệm) vận dụng bất đẳng thức côsi vào giải một số bài toán tìm GTLN,GTNN

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học : 2016-2017 VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN TÌM GTLN, GTNN I ĐẶT VẤN ĐỀ Bất đẳng thức Cô-si bất đẳng thức quan trọng toán học, áp dụng nhiều tập chứng minh bất đẳng thức tập tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức Nhưng bất đẳng thức Côsi không đề cập sách giáo khoa toán THCS mà có tập sách tập tốn Hệ bất đẳng thức Côsi không phần quan trọng, áp dụng nhiều vào việc tìm GTLN, GTNN biểu thức Nhưng hệ bất đẳng thức Cô-si không đề cập sách toán THCS Đối với giáo viên giáo viên dạy nâng cao bồi dưỡng bỏ qua việc nghiên cứu áp dụng bất đẳng thức Cơsi hệ cho tập toán lớp Trong kỳ thi học sinh giỏi thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, học sinh gặp tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ liên quan đến bất đẳng thức Cơsi Với mong muốn có tài liệu để dạy cho học sinh THCS sưu tầm, tuyển chọn số tốn tìm GTLN, GTNN bậc THCS viết thành đề tài: “Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải số tốn tìm GTLN, GTNN” để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn trường THCS II NỘI DUNG a) Bất đẳng thức Côsi : Với hai số khơng âm trung bình cộng ln lớn trung bình nhân ab  ab Dấu “ = ” xảy  a = b Cụ thể: Với a ≥ 0; b ≥ b) Hệ 1: Nếu tổng hai số dương khơng đổi tích chúng lớn hai số S2 Cụ thể: a  b  ab mà a + b = S không đổi nên S  ab  a.b  S2 a b Vậy max a.b = c) Hệ 2: Nếu tích hai số dương khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Cụ thể: a  b  ab mà a.b = P không đổi nên a  b  P Vậy (a + b) = P  a  b d) Mở rộng với số: Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥  a = b = c a bc  abc Dấu “ = ” xảy Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học : 2016-2017 III ÁP DỤNG 1) Một số toán đại số vận dụng bất đẳng thức Cơsi Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức : M = a2  a  a2  a 1 Giải Ta có: M = Vì a2  a  a2  a 1  a2  a 1  ; M = a  a 1 + a2  a 1  a2  a 1  a2  a 1 a2  a 1 a  a 1  nên áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a  a 1 a  a 1  với giá trị a 2 Dấu “ = ” xảy khi: a  a   a  a  1 a  a 1  Vậy M = a   a  a    a(a  1)    a2  a 1 a  1 Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2011-2012) 25 Cho số a, b, c lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c Q   b 5 c 5 a 5 Giải Do a, b, c > 25 (*) nên suy ra: a   , b   , c   Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương, ta có: a  b   a (1) b 5 b  c   b (2) c 5 c  a   c (3) a 5 Cộng vế theo vế (1),(2) (3), ta có: Q  5.3  15 Dấu “ = ” xẩy  a = b = c = 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15  a = b = c = 25 Ví dụ 3: Cho P = với -3< x < Tìm x để P đạt giá trị nhỏ (x  3)(5  x) Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học : 2016-2017 Giải Ta giải cách dùng hệ BĐT Cô-si: Đặt A= (x  3)(5  x) Nhận xét P > nên P đạt A đạt max (x+3)(5 – x) đạt max Xét tổng (x+3) +(5 – x) = số khơng đổi Vậy tích (x+3)(5 – x) đạt max  x+3 = – x  2x =  x = 1(TMĐK) Thay x = vào P  P = x = Ví dụ 4: x  72 Cho biểu thức: N  (x > 0) Tìm x để N đạt giá trị nhỏ 3x Giải x  72 x 24 x 24 N   Vì  ;  nên áp dụng hệ BĐT Cơ-si 3x x x Xét tích x 24 x 24 x 24  không đổi    x  (vì x > 0) đạt   x x x Thay x  vào N ta có N   x  Ví dụ 5: Tìm GTNN của: (x  1) a) A  x  x 1 x  x  1) b) B   x 1 x Giải a) Ta biến đổi A để áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương: x  Ta có : A  (x  1)  x 1 1  (x  1) 2  Theo BĐT Cô-si: (x  1)  x 1 x 1 x 1 Vậy A     A =  x    (x  1)2   x  (loại x = x>1) x 1 b) Ta biến đổi B cho áp dụng BĐT Cô-si x x 3(1  x) x B   3 3  3 x 1 x x 1 x x 1 x 3(1  x) x  0 Vì < x < nên x 1 x 3(1  x) x  2 Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: x 1 x 3(1  x) x  Vậy B   Suy B    x 1 x Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học : 2016-2017  3  x1  3  x2  x     B  3  x  Vậy  3  (loại)  x2   Ví dụ 6: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2016-2017) Cho a, b số dương thỏa mãn ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F   2a  2b  3 a  b3  (a  b)2   Giải Vì a, b > nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a  b  ab   2a  2b  2(a  b)   2a  2b   (do ab = 1) 3 Mặt khác, ta có: a  b  (ab)  (do ab = 1)  (2a  2b  3)(a3  b3 )  2(2a  2b  3)  4(a  b)  Khi ta có: F  4(a  b)   3 7(a  b) 7(a  b) 18(a  b) 6     6 2 (a  b) 8 (a  b) 7(a  b) 7(a  b) 18 21 18 15  ab      8 (a  b)2 4 Vậy F đạt giá trị nhỏ 15 Dấu “ = ” xẩy a = b =1 Ví dụ 7: Cho a, b > cho trước Các số x, y > thay đổi cho a b   x y Tìm x, y để S = x + y đạt giá trị nhỏ theo a, b Giải Ta có: a b a b bx ay   1 S   x  y    a  b   x y x y y x    S  ab2 bx ay  a  b  ab y x x ay bx a x  S  a  b  ab        x y b y  y  a b  x  a  ab     Mà x y   y  b  ab a b Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học : 2016-2017  với < x < 1 x x Giải 2  2x  2x 1 x  x    Ta có: y = ( < x < 1) 1 x x 1 x x Ví dụ : Tìm GTNN hàm y = 2x 1 x 2x  x   3  3 2 1 x x 1 x x 2x  x   x  1 Dấu “ = ” xẩy  1 x x = 3 2) Một số tốn hình học vận dụng bất đẳng thức Cơsi Ví dụ 1: ( Bài 67 SBT Toán – Tập 1) a) Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn nhất; b) Trong hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi bé Giải b Gọi a, b kích thước hình chữ nhật Ta có a >0, b >0 ab a  ab Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: ab a) Với hình chữ nhật có chu vi khơng đổi (bằng phần tư ab chu vi) Suy ab đạt giá trị lớn a = b Điều có nghĩa hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn ab đạt giá trị nhỏ ab a = b Điều có nghĩa hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi bé b) Với hình chữ nhật có diện tích tích a.b khơng đổi nên ta có: Ví dụ 2: ( Bài tập 95 SBT Toán – Tập 1) a) Trong hình hộp chữ nhật có tổng ba kích thước hình lập phương tích lớn nhất; b) Trong hình hộp chữ nhật có thể tích hình lập phương có tổng ba kích thước bé Giải c Gọi a, b,c ba kích thước hình hộp chữ nhật Ta có a > 0, b > 0, c > a b Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: Năm học : 2016-2017 a bc  abc a) Với hình hộp chữ nhật có tổng ba kích thước abc khơng đổi abc a = b = c Điều có nghĩa hình hộp chữ nhật có tổng ba kích thước hình lập phương tích lớn Suy abc đạt giá trị lớn b) Với hình hộp chữ nhật có thể tích tích a.b.c khơng đổi nên ta có: abc đạt giá trị nhỏ abc a = b = c Điều có nghĩa hình hộp chữ nhật có thể tích hình lập phương có tổng ba kích thước bé Ví dụ 3: ( Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2006-2007) Từ điểm S ngồi đường trịn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến SA, SB (A, B tiếp điểm) Cát tuyến qua S (cắt bán kính OB) cắt đường trịn M, N Qua O, vẽ đường thẳng vng góc với OS cắt tia SA, SB thứ tự E, F Khi đường tròn (O; R) đường thẳng MN cố định, tìm vị trí S đường thẳng MN để diện tích tam giác SEF nhỏ Giải Ta có: SSEF = 2.SSOE = SE.OA = (SA+AE).R SSEF đạt giá trị nhỏ  SA+AE đạt giá trị nhỏ Theo hệ thức lượng ∆SOE vng O E Ta có: SA AE = OA2 = R2 ( không đổi ) A Nên SA + AE nhỏ  SA = AE = R (theo hệ bất đẳng thức Cô-si ) S O  ∆SOE vuông cân E ∆SOA vuông cân A  SA = OA = R  OS  R M N Vậy S giao điểm đường trịn tâm O, F bán kính R với đường thẳng MN B Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2007-2008) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính BC = 2R khơng đổi Vẽ hai dây BM, CN cho cắt H Tia BN cắt CM A Tìm vị trí điểm P trên đoạn thẳng BC để tích PH PA đạt giá trị lớn Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học : 2016-2017 Giải Ta có: ∆PBH ∽∆PAC(g-g)  A PH PB   PH.PA  PB.PC PC PA  PH.PA đạt giá trị lớn  PB.PC đạt giá trị lớn Mà PB + PC = BC = 2.OB = 2.R ( không đổi ) N  PB.PC đạt giá trị lớn  PB = PC = R (theo hệ 2)  P ≡ O Vậy P ≡ O PH.PA lớn Max PH.PA = R2 B M H P O C Ví dụ 5: ( Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2009-2010) Cho đường tròn tâm O có đường kính MN, PQ (PQ khơng trùng MN) Các tia NP, NQ cắt tiếp tuyến M đường tròn tâm O thứ tự E, F Khi MN cố định, PQ thay đổi, tìm vị trí E F diện tích tam giác NEF đạt giá trị nhỏ N Giải Ta có : SNEF  MN.EF Do MN khơng đổi P nên SNEF đạt giá trị nhỏ O  EF đạt giá trị nhỏ Theo hệ thức Q lượng ∆NEF vng N, ta có: F ME.MF = MN2 không đổi M 2 Mà ME + MF = EF  EF  (ME  MF)  4.ME.MF  4MN2 (theo bđt Cô-si) E  EF  2MN (do EF > 0) Do Min EF = 2MN  ME = MF = MN Vậy vị trí E F cách tiếp điểm M khoảng MN MN cố định, PQ thay đổi SNEF đạt giá trị nhỏ Min SNEF  MN.EF  MN 2 Ví dụ 6: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2012-2013) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Hai đường cao AD, BE cắt H (D ∈ BC, E ∈ AC).Gọi F giao điểm tia CH với AB Tìm giá trị nhỏ biểu AD BE CF   thức: Q  A HD HE HF Giải Đặt SBHC = S1, SAHC = S2, SAHB = S3, SABC = S E Vì ∆ABC nhọn nên trực tâm H nằm bên ∆ABC, F đó: S = S1 + S2 + S3 H AD SABC S   Ta có: (1) HD SBHC S1 D B C Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn BE SABC S   HE SAHC S2 (2) CF SABC S   HF SAHB S3 (3) Năm học : 2016-2017 Cộng vế theo vế (1), (2), (3), ta được: 1 1 AD BE CF S S S       S    HD HE HF S1 S2 S3  S1 S2 S3  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương, ta có: 1    S  S1  S2  S3  3 S1.S2 S3 (4) ; S1 S2 S3 S1.S2 S3 Q (5) Nhân vế theo vế (4) (5), ta được: Q ≥ Đẳng thức xẩy  S1  S2  S3 hay H trọng tâm ∆ABC, nghĩa ∆ABC Vậy Min Q = Ví dụ 7: Cho hình vng ABCD cạnh a, lấy điểm M cạnh BC ( M khác B C) Kí hiệu SABM , SDCM diện tích tam giác ABM, DCM Chứng minh tổng SABM + SDCM không đổi Xác định vị trí điểm M cạnh BC để 2 S ABM  SDCM đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ theo a Giải BM AB a.BM  Ta có: S AMB  ( AB = a) 2 DC.MC a.MC S DCM   ( DC = a) 2 a.BM a.MC a.( BM  MC )   Vậy S AMB  S DCM  2 A a.BC a   không đổi (do BC = a) 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có : D a a 2 2 2 S ABM  SDCM  2.S ABM SDCM  2(S ABM  SDCM )  S ABM  SDCM  2.S ABM SDCM S ABM S DCM (S ABM  S DCM )2  a  a      2  Vậy giá trị nhỏ của: S ABM S DCM a2 a4  đạt khi: S ABM  S DCM   điểm M trung điểm BC B M C Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học : 2016-2017 Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Gọi x, y, z theo thứ tự khoảng cách từ điểm M tam giác tới cạnh BC, AC, AB Xác định vị trí điểm M để tổng a b c   có giá trị nhỏ x y z Giải A Gọi S diện tích tam giác ABC  S = SMBC + SMAC + SMAB (ax + by + cz) S= y z  ax + by + cz = 2S không đổi b c M Ta xét biểu thức: a b c P = (ax + by + cz)(   ) x y z x a B C x y y z x z ) + bc(  ) + ca(  ) y x z y z x Theo bất đẳng thức Côsi với x, y, z > = a2 + b2 + c2 + ab(  Ta có: x y   , dấu “ = ” xảy x = y y x y z   , dấu “ = ” xảy y = z z y x z   , dấu “ = ” xảy x = z z x a b c Do P  a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc Hay 2S(   )  (a + b + c)2 x y z 2 a b c a  b  c a  b  c a b c       Nên ( )=  x=y=z x y z 2S x y z 2S 2  M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 3) Bài tập tương tự Bài 1: Tìm GTNN Bài 2: Tìm GTNN x2  x2 1 ( HD: Áp dụng : x  x2 1 ) x 8 với x > (HD: Áp dụng : x  ) x 1 x 1 Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Bài 3: Tìm GTLN A = x 1 x Năm học : 2016-2017 với -1≤ x ≤ (HD: Áp dụng : x2 – x2) Bài 4: Tìm GTNN y = 2x 1 x  với < x < 1(HD: Áp dụng : ) 1 x x 1 x x Bài 5: Tìm GTLN B = yz x   xz y   xy z  với x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ xyz (HD: B  y2 x 1 z 3 1      ) x y z 2 2 Bài 6: Tìm GTNN C = x2  x  x2  x  (HD: Áp dụng : x  x  x2  x 1 ) IV KẾT LUẬN Bất đẳng thức Côsi hệ quan trọng việc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức nên cần khai thác tìm hiểu sâu bất đẳng thức Thông qua việc hướng dẫn học sinh tìm tịi, sáng tạo tốn từ toán học, gặp giúp học sinh tự tin giải tốn, nhờ mà học sinh phát huy tư nâng cao lực sáng tạo, bước đầu hình thành cho học sinh niềm say mê nghiên cứu khoa học Để gây hứng thú niềm say mê nghiên cứu khoa học cho học sinh, trước hết người thầy giáo phải nêu cao gương tự học, tự nghiên cứu nhằm nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ Trên vài kinh nghiệm nhỏ mà tích luỹ dạy tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có vận dụng bất đẳng thức Côsi, hy vọng đề tài tơi góp phần tăng thêm hiệu học tập học sinh Dù cố gắng học hỏi trau dồi kiến thức song khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận quan tâm góp ý chân thành đồng nghiệp hội đồng khoa học cấp để đề tài ngày hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn Ngày 04/01/2017 10 ...Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Năm học : 2016-2017 III ÁP DỤNG 1) Một số toán đại số vận dụng bất đẳng thức Cơsi Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức : M = a2  a  a2  a 1 Giải Ta có: M =... ) x y z 2 2 Bài 6: Tìm GTNN C = x2  x  x2  x  (HD: Áp dụng : x  x  x2  x 1 ) IV KẾT LUẬN Bất đẳng thức Côsi hệ quan trọng việc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức nên cần... giác ABC 3) Bài tập tương tự Bài 1: Tìm GTNN Bài 2: Tìm GTNN x2  x2 1 ( HD: Áp dụng : x  x2 1 ) x 8 với x > (HD: Áp dụng : x  ) x 1 x 1 Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Bài 3: Tìm GTLN A