sáng kiến kinh nghiệm Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT

Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: NGUYỄN LÊ QUỲNH 2. Sinh ngày 10 tháng 01 năm 1978. Tại: Đồng Nai. 3. Giới tính: Nam. 4. Địa chỉ: 119A – Tổ 8 - Ấp Tân Thịnh – Xã Đồi 61 – Trảng Bom – Đồng Nai. 5. Điện thoại: 0902 887 192, NR: 0613 538 804, CQ: 0613 864 198. 6. Email: nguyenlequynhtna@yahoo.com.vn 7. Chức vụ: Giáo viên 8. Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy Toán các lớp: 10A1, 10A6, 12A9, chủ nhiệm lớp 10A1, Bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10, Tổ chức cho học sinh thi giải toán qua Internet, tổ chức cho học sinh thi đố vui Toán Lý cho cả 3 khối. 9. Đơn vị công tác: Tổ Toán – Tin, trường THPT Thống Nhất A. II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị: Cử nhân. - Năm nhận bằng: 2001 - Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán. III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán THPT. - Số năm kinh nghiệm: 13 năm. - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 6 năm gần đây: 1) Năm 2013 - 2014: Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT. 2) Năm 2012 - 2013: Ứng dụng Sơ đồ khối và Sơ đồ tư duy vào dạy học môn Toán cấp THPT. 3) Năm 2011 - 2012: Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán Đại số. 4) Năm 2010 - 2011: Ứng dụng phần mềm Microsoft Excel 2007 hỗ trợ việc quản lý nề nếp học sinh ở trường THPT Thống Nhất A – Trảng Bom – Đồng Nai. 5) Năm 2009 - 2010: Thư viện hình động minh họa trực quan một số kiến thức Toán học cấp THPT trên phần mềm Geometer’s Sketchpad. (Giải pháp này đạt giải Ba hội thi Sáng tạo kỹ thuật tỉnh Đồng Nai năm 2008) 6) Năm 2008 - 2009: Mô phỏng và hướng dẫn giải một số bài toán về quĩ tích điểm trong hình học và giải tích, về đối tượng cố định của họ đường cong trên phần mềm Geometer’s Sketchpad (Giải pháp này đạt giải Khuyến khích hội thi sáng tạo Kỹ thuật tỉnh Đồng Nai năm 2008) Trang 1 Nguyễn Lê Quỳnh Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài tốn trong chương trình THPT Lời nói đầu Qua quá trình giảng dạy toán và đúc rút kinh nghiệm tôi mạo muội dùng chút kiến thức mọn này trình bày chuyên đề:ø “Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT”. Nhận thấy sự xuất hiện rải rác “kỹ thuật” giải quyết bài toán đại số có yếu tố đồng bậc từ chương trình toán lớp 10 đến lớp 12 nên tôi chia sẻ kinh nghiệm này giúp các học sinh nắm vững kó năng và khai thác giải các bài toán có chứa yếu tố đồng bậc này. Nội dung của Chuyên đề này gồm: 1. Biểu thức đồng bậc giữa hai biến. 2. Khai thác yếu tố đồng bậc vào giải một số bài toán. Trong bài viết này, tôi chủ yếu khai thác các bài toán trong SGK có liên quan từ đó giải một số bài toán có trong các đề thi đại học và cao đẳng trong những năm qua. Với hi vọng truyền chút “lửa” cho học sinh giúp các em thành thục kỹ năng này để ứng dụng vào việc giải toán. Do khả năng có hạn chắc chắn những hạn chế và sai sót khó tránh khỏi kính mong q đồng nghiệp và học sinh góp ý để bài viết này ngày càng hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Nguyễn Lê Quỳnh Tổ Toán – Tin, Trường THPT Thống Nhất A DĐ: 0902 887 192. Email: nguyenlequynhtna@yahoo.com.vn Trang 2 Nguyễn Lê Quỳnh Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT KHAI THÁC YẾU TỐ ĐỒNG BẬC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT Tác giả: Nguyễn Lê Quỳnh Tổ Toán – Tin, Trường THPT Thống Nhất A I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Một số dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và một số bài toán hình học giải tích liên quan đến góc và khoảng cách trong chương trình phổ thông có liên quan đến kĩ năng giải quyết bài toán bằng “kĩ thuật” của biểu thức đồng bậc theo hai biến. Kỹ năng này cũng tương đối phổ biến đối với học sinh phổ thông trung học. Giúp học sinh nắm vững kỹ năng này và thấy được tầm ảnh hưởng của nó trong việc giải toán, mục đích hệ thống lại phương pháp, ví dụ minh họa và bài tập đề nghị để học sinh thực hành giải toán. Bài viết này chỉ khai thác phương pháp này để giải một số bài toán trong chương trình THPT. Mục đích giúp đối tượng học sinh khá, giỏi sau khi học xong phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian các em thấy được phương pháp này ngoài việc giải một số bài toán đại số nó có thể giải các bài toán hình học liên quan đến góc và khoảng cách, từ đó học sinh thấy được mạch liên thông giữa Đại số và Hình học ở chương trình toán THPT giúp các em hứng thú hơn và kích thích các em tìm tòi, đào sâu sáng tạo trong giải toán. II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN 1) Cơ sở lý luận Nội dung kiến thức và kỹ năng về đa thức đồng bậc theo hai biến ẩn chứa trong các bài tập trong SGK Toán nâng cao cấp THPT của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Dựa vào các bài viết đã có (trích dẫn trong phần tài liệu tham khảo) của các thầy giáo có kinh nghiệm. Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và sưu tầm, tập hợp và trình bày theo quan điểm cá nhân thành một chuyên đề làm tư liệu phục vụ cho việc giảng dạy của bản thân và chia sẻ với học sinh, với đồng nghiệp. 2) Nội dung thực hiện 2. 1 Biểu thức đồng bậc n theo hai biến: • Cho hai biến thực x và y, gọi F(x,y) là một biểu thức theo hai biến x và y được gọi là đồng bậc n theo x và y nếu F(kx,ky) = k n F(x,y) với mọi k ≠ 0. Ví dụ: F(x,y) = 2x 2 – 3xy + y 2 là biểu thức đồng bậc 2 theo x và y. F(x,y) = 5x 3 + xy 2 – 4x 2 y + 3y 3 là biểu thức đồng bậc 3 theo x và y… • Cho F(x,y) là một biểu thức đồng bậc n theo hai biến x và y. Phương trình: F(x,y) = 0 (1) được gọi là phương trình thuần nhất bậc n theo hai biến x và y. Thử xem y = 0 có là nghiệm của phương trình (1) không! Trang 3 Nguyễn Lê Quỳnh Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT Khi y ≠ 0, chia phương trình (1) cho y n ta thu được phương trình đa thức: 1 2 2 1 2 2 1 0 0 n n n n n n x x x x x a a a a a a y y y y y − − − −           + + + + + + =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           (2) đây là phương trình bậc n theo một biến t = x y . 2. 2 Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT. Sau đây là các ví dụ minh họa có trong sách giáo khoa và trong các đề thi đại học và cao đẳng những năm trước đây và các bài tập đề nghị để học sinh thực hành giải toán. A. LỚP 10 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 3 3 3 2 3 1 2 0 x y x x y y  + =   − − =   (Trích Đề thi HSG 12 tỉnh Đồng Nai, năm 1999 − 2000) Giải: Nhận thấy y = 0 không thỏa hệ nên khi y ≠ 0 phương trình 3 2 2 3 2 3 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 x x x x x x x x y y x y y y y y y y           − − = ⇔ − − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           Kết hợp với x 3 + y 3 =1 giải ra được x = y = 3 1 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x= y = 3 1 2 . Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 3 9 (1) 2 2 2 (2) x xy y x xy y  + + =   + + =   (Trích đề thi ĐHSP TP. HCM khối A – năm 2000) Giải: Từ (1) và (2), ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 9 9 2 3 .2 2 2 16 14 3 0 2 2 x xy y x y xy x xy y+ + = = + + ⇔ + + = (3). Nếu y = 0 thì từ (3) có x = 0 không thỏa hệ phương trình đã cho. Nếu y ≠ 0 thì (3) ⇔ 3 3 8 16 14 3 0 1 2 x y x x x y y y  = −       + + = ⇔  ÷  ÷      = −   Khi 8x + 3y = 0, kết hợp với (1) ta tìm được nghiệm thỏa là: 3 8 3 8 ; , ; 17 17 17 17     − −  ÷  ÷     . Trang 4 Nguyễn Lê Quỳnh Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT Khi 2x + y = 0, kết hợp với (1) ta tìm được nghiệm thỏa là: (1; −2), (−1;2). Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm: (1; −2), (−1;2), 3 8 3 8 ; , ; 17 17 17 17     − −  ÷  ÷     . Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2 2 2 2 7 3 x y xy x y xy  + + =   + − =   (BT ôn chương 3, SGK Đại số 10 Nâng cao, trang 102). 2) 2 2 2 2 3 3 4 0 5 7 6 0 x xy y x xy y  − + =   − − =   Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 3 2 1 2( 1)x x x− = − . Giải: ĐK: ( ) 1 * 2 x ≥ . Phương trình được viết lại: 2 2 3 2 1 2 4 2 3 2 1 2 2(2 1)x x x x x x x x− = − + ⇔ − = − − . Đặt 2 1, 0y x y= − ≥ phương trình đã cho trở thành: 3xy = 2x 2 – 2y 2 ⇔ 2x 2 – 3xy – 2y 2 = 0 (1). Dễ thấy y = 0 từ (1) suy ra x = 0 không thỏa phương trình đã cho vì vậy phương trình (1) tương đương với: 2 2 2 3 2 0 1 2 x y x x x y y y  =       − − = ⇔  ÷  ÷      = −   Khi x = 2y ta được phương trình: 2 1x x= − giải được nghiệm 4 2 3x = ± thỏa (*). Khi 1 2 x y = − loại vì (*) và y ≥ 0. Vậy phương trình đã cho có nghiệm 4 2 3x = ± . Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 10 x 8 3(x x 6)+ = − + (Trích đề thi HSG Đồng Nai, khối 12 năm 2001 – 2002) Giải: ĐK: x ≥ −2. Viết lại PT: 2 2 10 (x 2)(x 2x 4) 3(x x 6)+ − + = − + Đặt 2 2 2, 0, 2 4 ( 1) 3 3a x a b x x x b= + ≥ = − + = − + ⇒ ≥ . Khi đó ta có hệ: 3 2 8 6 ab x a b x x = +   + = − +  Phương trình đã cho trở thành: 2 10 3( ) 100 9( )ab a b ab a b= + ⇔ = + (vì a ≥ 0 và b ≥ 3) 2 2 2 1 9 9 82 9 0 9 82 9 0 9 a a a b a ab b a b b b  =      ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔   ÷  ÷      =   . Khi a = 9b hoặc b = 9a. Từ đó tìm được nghiệm x = 11 177 2 ± thỏa (*). Trang 5 Nguyễn Lê Quỳnh Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I(1; − 2) và một đường thẳng d có phương trình: 4x + 3y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I và tạo với d một góc 45 o . Giải: Đường thẳng ∆ đi qua điểm I nên phương trình ∆ có dạng: A(x – 1) + B(y + 2) = 0 (với A 2 + B 2 > 0(*)) ⇔ Ax + By – A + 2B = 0. ∆ có VTPT là ( ; )n A B= r , d có VTPT là (4;3)u = r . Góc giữa ∆ và d bằng 45 o nên ta có: cos45 o = 2 2 . 4 3 1 os( , ) 2 . 5 n u A B c n u n u A B + = ⇔ = + r r r r r r 2 2 2 2 5 2 4 3 7 48 7 0 (1)A B A B A AB B⇔ + = + ⇔ + − = . Từ phương trình (1) ta thấy nếu B = 0 thì A = 0 không thỏa (*), khi B ≠ 0, (1) 2 1 7 7 48 7 0 7 A A A B A B B B  =      ⇔ + − = ⇔   ÷  ÷      = −   . • Khi B = 7A, chọn A = 1⇒ B = 7, thu được phương trình ∆ là: x + 7y + 13 = 0. • Khi A = −7B, chọn B = −1⇒ A = 7, thu được phương trình ∆ là: 7x −y −9 = 0. Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn lần lượt có phương trình: x + 7y + 13 = 0 và 7x −y −9 = 0. Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: (x – 1) 2 + (y – 3) 2 = 25. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(8; 2) và cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6. Giải: Đường thẳng ∆ đi qua điểm M nên phương trình ∆ có dạng: A(x – 8) + B(y − 2) = 0 (với A 2 + B 2 > 0(*)) ⇔ Ax + By – 8A − 2B = 0. (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 5. Gọi P, Q là giao điểm của ∆ với (C), ta có: PQ = 6. Gọi H là trung điểm PQ ⇒ PH = 3. Do đó IH = 2 2 3 8 2 4 A B A B A B + − − ⇔ = + 2 2 2 2 7 4 33 14 15 0A B A B A AB B⇔ + = + ⇔ + − = 2 33 14 15 0 A A B B     ⇔ + − =  ÷  ÷     Trang 6 Nguyễn Lê Quỳnh Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT (Vì B = 0 không thỏa mãn (*)) 7 4 34 33 7 4 34 33 A B A B  − − =   ⇔  − + =   * Khi 7 4 34 33 A B − − = chọn B = −33 ⇒ A 7 4 34= + thu được phương trình ∆ là: ( ) 7 4 34 33 10 32 34 0x y+ − + − = . * Khi 7 4 34 33 A B − + = chọn B = 33 ⇒ A 4 34 7= − thu được phương trình ∆ là: ( ) 4 34 7 33 10 32 34 0x y− + − − = . Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt có phương trình là: ( ) 4 34 7 33 10 32 34 0x y− + − − = , ( ) 7 4 34 33 10 32 34 0x y+ − + − = . * Lưu ý: Trong ví dụ 5 có thể chọn B một giá trị rồi giải phương trình tìm A, nhưng là như thế cho ví dụ 6 thì ta sẽ có giá trị A có khả năng còn chứa phân số nên thu được phương trình ∆ sẽ có một chút phức tạp hơn vì vậy tôi chọn cách giải theo A B trước rồi chọn giá trị sau . Bài tập tương tự: 1) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): x 2 + y 2 = 4 biết tiếp tuyến đi qua điểm M(−2;3). (Bài 9a, SGK Đại số 10, nâng cao, trang 119) 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm N(2;5) và hợp với đường thẳng d có phương trình: x – 3y + 6 = 0 một góc bằng 45 o . B. LỚP 11 Ví dụ 7: Giải phương trình: 3 3 2 2 sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = − Giải: Khi cosx = 0 thay vào phương trình ta có: sinx = 0 không thỏa. Khi cosx ≠ 0, chia phương trình cho cos 3 x, ta được phương trình: 3 2 3 2 tan 3 tan 3 tan tan 3 tan tan 3 0x x x x x x− = − ⇔ + − − = ( ) 2 tan 1 4 (tan 1) tan (1 3)tan 3 0 tan 1 ( ) tan 3 3 x x k x x x x k x k x π π π π   = = ± +   − + + + = ⇔ = − ⇔ ∈     = − + = −    Z . Vậy phương trình có nghiệm là , ( ) 4 2 3 x k x k k π π π π = + = − + ∈Z . Trang 7 Nguyễn Lê Quỳnh Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT Ví dụ 8: Giải phương trình: 2cos 3 x = sin3x (Trích đề thi Học viện Kỹ thuật Quân sự năm 1996) Giải: Viết lại phương trình: 2cos 3 x = 3sinx – 4sin 3 x. * Khi cosx = 0 thì sin 2 x = 1 thay vào phương trình ta được: sinx = 0 không thỏa. * Khi cosx ≠ 0, chia phương trình cho cos 3 x, ta được: tan 3 x – 3tanx + 2 = 0 ( ) 2 tan 1 (tan 1) tan tan 2 0 ( ) 4 tan 2 arctan( 2) x x k x x x k x x k π π π  = = +   ⇔ − + − = ⇔ ⇔ ∈   = −  = − +  Z . Vậy phương trình có nghiệm là ( ) , arctan 2 ( ) 4 x k x k k π π π = + = − + ∈Z . Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1) cos 3 x + sin 3 x = sinx – cosx . 2) sinx + cosx – 4sin 3 x = 0. (Trích đề thi Đại học Y dược Hà Nội năm 1999). C. LỚP 12 Ví dụ 9: Định m để phương trình: 2 4 3 1 1 2 1x m x x− + + = − (1) có nghiệm. (Trích đề thi ĐH - CĐ khối A, năm 2007) Nhận xét: Viết lại phương trình (1) như sau: ( ) ( ) 2 2 4 4 4 4 3 1 1 2 1 1x m x x x− + + = − + . Nếu ta đặt 4 4 1, 1a x b x= − = + thì ta thu được phương trình: 3a 2 + mb 2 = 2ab đây chính là phương trình thuần nhất bậc 2 theo a và b, do đó có thể chia phương trình cho a 2 hoặc b 2 để giải quyết yêu cầu của bài toán. Giải: ĐK: x ≥ 1 (*) khi đó 1 0x + > . Chia phương trình (1) cho 1x + ta được: 4 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − + = + + . Đặt t = 4 1 1 x x − + , t ≥ 0 ⇒ 4 1 1 x t x − = + đạo hàm hai vế: ( ) 3 2 2 4 . ' 1 t t x = + ( ) 3 2 2 4 . ' 1 t t x = + , với t > 0 ta có: ( ) 2 3 1 ' 0 2 1 t t x = > + hàm t(x) đồng biến trên (1; + ∞) và lim ( ) 1 x t x →+∞ = . Suy ra: 0 ≤ t < 1. Vì vậy phương trình (1) có nghiệm x ≥ 1 ⇔ phương trình 2t − 3t 2 = m (2) có nghiệm t ∈[0;1). Đặt f(t) = 2t – 3t 2 với t ∈[0;1), ta có: f’(t) = 2 – 6t, f’(t) = 0 ⇔ t = 1 3 . Bảng biến thiên của hàm số f(t) Trang 8 Nguyễn Lê Quỳnh Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT phương trình: 2t − 3t 2 = m (2) có nghiệm t ∈[0;1) khi và chỉ khi đồ thị (C) của hàm số f(t) trên [0;1) có điểm chung với đường thẳng d: y = m song song hoặc trùng với trục hoành. Dựa vào bảng biến thiên suy ra: −1 < m ≤ 1 3 . Vậy giá trị m cần tìm là: −1 < m ≤ 1 3 . Bài tập tương tự: Tìm các giá trị của m để phương trình 2 4 2 2 2 0x x x m x− − − + = có nghiệm. Ví dụ 10: Giải phương trình: 3.8 4.12 18 2.27 0 x x x x + − − = . (Trích đề thi ĐH – CĐ khối A năm 2006) Giải: Viết lại phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3. 2 4. 2 .3 3 .2 2. 3 0 x x x x x x + − − = ta dễ nhận ra đây là phương trình thuần nhất bậc 3 theo 2 x và 3 x vì vậy, chia phương trình cho ( ) 3 2 x ta được: 2 3 2 3 3 3 3 3 3 2. 4. 3 0 1 0 1. 2 2 2 2 2 2 x x x x x x              + − − = ⇔ − + = ⇔ =     ÷  ÷  ÷  ÷  ÷                 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1. Ví dụ 11: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng d có phương trình 1 2 2 1 2 x y z− − = = . Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( α ) lớn nhất. (Trích đề thi ĐH - CĐ khối A năm 2008). Giải: Đường thẳng d đi qua 2 điểm M(1; 0; 2) và N(−1; −1; 0). Phương trình (α) có dạng: ax + by + cz + d = 0 với a 2 + b 2 + c 2 > 0 (*). Do d ⊂ (α) nên có hệ 2 0 2 2 0 2 a c d b a c a b d d a c + + = = − −   ⇔   − − + = = − −   Khi đó phương trình (α) trở thành: ax – 2(a + c)y + cz – a – 2c = 0. 2 2 2 2 2 2 10( ) 3 2 9 ( ,( )) 4( ) 5 8 5 a a c c a c a c d A a a c c a ac c α − + + − − + = = + + + + + . Nếu a = 0 thì c ≠ 0 (vì (*)) và 9 ( ,( )) 5 d A α = (1) Trang 9 Nguyễn Lê Quỳnh Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT Nếu a ≠ 0 thì 2 2 9 1 91 ( ,( )) 5 8 5 5 8 5 c c a a a d A c c c c a a a a a α + + = =     + + + +  ÷  ÷     . Đặt c x a = ta có: 2 9 1 ( ,( )) , 5 8 5 x d A x x α + = + + coi 2 2 2 2 2 9 1 81( 1) ( ) ( ,( )) 5 8 5 5 8 5 x x f x d A x x x x α   + + = = =  ÷ + + + +   . Ta cần tìm x để hàm số f đạt giá trị lớn nhất. Thật vậy ( ) 2 2 2 162(1 ) '( ) . '( ) 0 1 5 8 5 x f x f x x x x − = = ⇔ = ± + + . Ta có BBT Dựa vào BBT suy ra max ( ) 18 R f x = khi x = 1 khi đó ( ,( )) 3 2d A α = (2). So sánh (1) và (2) ta có max ( ,( )) 3 2d A α = . Do đó 1 c c a a = ⇔ = , chọn a = 1 ⇒ c = 1 thì phương trình của mặt phẳng (α) thỏa yêu cầu bài toán là: x – 4y + z – 3 = 0. * Nhận xét: Lời giải này dài hơn đáp án đã có, tuy nhiên qua đó cũng rèn luyện thêm cho học sinh kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề theo cách này cũng rất bổ ích cho học sinh lớp 12 trong việc luyện thi đại học và cao đẳng. Bài tập tương tự: 1) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) , A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết cos α = 1 6 . (Trích đề thi ĐH - CĐ khối A năm 2006) 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(−1;1;0), N(0;0;−2) và I(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M, N và khoảng cách từ điểm I đến (P) bằng 3 . 3) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình 1 2 2 x t y t z t = −   = − +   =  . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và (P) tạo với Oy một góc lớn nhất. III. HIỆU QỦA CỦA ĐỀ TÀI Sáng kiến kinh nghiệm này mới được hoàn thành, nhưng trước đây và bây giờ tôi đang áp dụng trong quá trình giảng dạy toán. Trang 10 Nguyễn Lê Quỳnh [...].. .Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài tốn trong chương trình THPT Giúp học sinh khá, giỏi sáng tạo trong thực hành giải tốn có sử dụng kĩ năng này và nó liên thơng trong hình học giải tích lượng giác và đại số Bổ sung thêm cho học sinh một kỹ năng giải tốn tương đối phổ dụng cho học sinh cấp THPT Tạo ra một tài liệu nhỏ cung cấp cho học sinh tham khảo Ở tổ chun mơn được đồng nghiệp... NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học 2013 - 2014 Tên sáng kiến kinh nghiệm: KHAI THÁC YẾU TỐ ĐỒNG BẬC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT Họ và tên tác giả: NGUYỄN LÊ QUỲNH Chức vụ: Giáo viên Đơn vị tổ: Tốn - Tin Lĩnh vực: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ mơn:  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  SKKN đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong ngành  1... đường lối, chính sách: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành  Trang 12 Nguyễn Lê Quỳnh Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài tốn trong chương trình THPT - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu... và Đào tạo các năm trước đây  Sử dụng phương trình tổng qt của mặt phẳng để viết phương trình mặt phẳng - của Nguyễn Thành Long trên www.MATHVN.com Trảng Bom, ngày 17 tháng 4 năm 2014 Người thực hiện Nguyễn Lê Quỳnh Trang 11 Nguyễn Lê Quỳnh Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài tốn trong chương trình THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT THỐNG NHẤT A -  - Trảng Bom, ngày CỘNG... mới, đã được thực hiện trong tồn ngành có hiệu quả cao  -Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong tồn ngành có hiệu quả cao  -Giải pháp thay thế hồn tồn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao  -Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả  -Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn... ra giải pháp thay thế hồn tồn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn  -Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn  -Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị  2 Hiệu quả -Giải pháp thay thế hồn tồn mới, đã được thực hiện trong tồn ngành có hiệu quả cao  -Giải. .. trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Trong ngành  Khơng xếp loại  Tơi cam kết và chịu trách nhiệm khơng sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại ngun văn nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUN MƠN THỦ... là tài liệu tham khảo nội bộ của tổ chun mơn trong giảng dạy từ năm học 2013 − 2014 IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài xem như tài liệu tham khảo dành cho học sinh và giáo viên dạy tốn Sau khi được thẩm định của hội đồng khoa học của Sở Giáo dục đề nghị được chia sẻ dưới mọi hình thức với học sinh và đồng nghiệp V TÀI LIỆU THAM KHẢO  SGK mơn Tốn 10, 11, 12 (nâng cao) của Bộ Giáo dục và . Lê Quỳnh Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong chương trình THPT KHAI THÁC YẾU TỐ ĐỒNG BẬC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT Tác giả: Nguyễn Lê Quỳnh Tổ Toán – Tin,. thức đồng bậc giữa hai biến. 2. Khai thác yếu tố đồng bậc vào giải một số bài toán. Trong bài viết này, tôi chủ yếu khai thác các bài toán trong SGK có liên quan từ đó giải một số bài toán có trong. kinh nghiệm: Giảng dạy Toán THPT. - Số năm kinh nghiệm: 13 năm. - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 6 năm gần đây: 1) Năm 2013 - 2014: Khai thác yếu tố đồng bậc để giải một số bài toán trong