(Sáng kiến kinh nghiệm) ứng dụng bất đẳng thức cô si để chứng minh một số bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

SKKN Ứng dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh số bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN I Lời giới thiệu: Đất nước ta đường cơng nghiệp hóa - đại hóa, r ất cần người có tri thức, có l ực làm việc, có ph ẩm ch ất đ ạo đức tốt, nhiệm vụ ngành giáo dục đào tạo nh ững người Vì Đảng Nhà nước ln coi giáo dục quốc sách hàng đầu, chất lượng giáo dục liên tục đầu tư phát tri ển, t bậc h ọc mầm non sau đại học, hàng loạt cải cách giáo dục đ ược áp d ụng: chương trình thay sách giáo khoa mới, đổi m ới ph ương pháp d ạy học, nhằm mục đích đưa giáo dục nước nhà sánh ngang tầm khu vực giới Trong chương trình giáo dục THPT, mơn tốn coi nh ững môn học quan trọng hàng đầu, Tốn học có tiềm khai thác lớn, khơi dậy phát triển lực trí tuệ, rèn luyện phát tri ển thao tác phẩm chất tư góp phần l ớn vào m ục tiêu giáo dục toàn diện người thời đại Trong trình bồi dưỡng chuyên môn thông qua sinh ho ạt c ụm chuyên môn kỳ thi học sinh giỏi cấp chuyên đ ề bất đ ẳng thức cực trị chuyên đề hay bổ ích ngồi kiến th ức mang tính lý thuyết, loại tốn có tính ứng dụng liện hệ v ới th ực tế r ất l ớn, đơn cử tốn kinh tế tính tốn cho chi phí nh ất, nh ưng l ợi nhuận lớn chẳng hạn Chính lí mà th ường xuyên xuất kỳ thi học sinh giỏi cấp, thi vào THPT thi vào khối lớp 10 chuyên Có thể nói Bất đẳng thức cực trị nh ững ph ần tốn khó tốn sơ cấp cấp THCS, để làm cần có tảng kiến thức tốn học vững chắc, thành thạo ph ương pháp bi ến đổi, có tư nhạy bén, khả phán đốn xác Có nhi ều cách khác để giải toán bất đẳng thức cực trị, cách Sử dụng bất đẳng th ức Cơ-si Trong SGK l ớp ch ỉ đưa bất đẳng thức dạng giới thiệu, nhiều học sinh giỏi (trong phạm vi đại trà) hiểu hình th ức c bất đ ẳng th ức này, nên vận dụng để giải tốn cịn lúng túng, máy móc, khơng phát huy hiệu quả, chí đọc lời giải có sẵn tài liệu khơng hi ểu cách làm Sở dĩ em chưa th ực hiểu sâu s ắc v ề Với suy nghĩ tơi đưa đề tài: “ Ứng dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh số bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN ” II Mô tả chất sáng kiến: Kiến thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu: 1.1 Định nghĩa bất đẳng thức: Cho số a b ta có: ; (Với dấu : ³ ; £ ta có bất đẳng thức khơng chặt) 1.2 Một số tính chất bất đẳng thức: Tính chất 1: Tính chất 2: Tính chất 3: Tính chất 4: Tính chất 5: Tính chất : Tính chất 7: Tính chất 8: Tính chất 8: Tính chất 10: 1.3 Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) cho số, cho n số không âm: Dạng 1: * Cho a, b hai số khơng âm, ta có: (dấu xảy a = b) * Cho n số : a1; a2; ; an ta có: (dấu xảy a1 = a2 = = an) Dạng 2: * Cho a, b hai số không âm ta có: (dấu xảy a = b) * Cho n số : a1; a2; ; an không âm ta có (dấu xảy a1 = a2 = = an) Trong đó: gọi trung bình cộng gọi trung bình nhân Theo cách viết dạng dạng ta cách đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, viết theo chiều ngược lại ta có cách đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Ta hiểu bất đẳng thức Cơ-si theo ngôn ngữ đơn giản sau: + Nếu số khơng âm có tích khơng đổi tổng chúng nh ỏ nh ất tất số + Nếu số khơng âm có tổng khơng đổi tích chúng l ớn nh ất tất số 1.4 Giá trị lớn (GTLN) Giá trị nhỏ (GTNN): * Định nghĩa GTLN: Cho biểu thức f(x,y, ) xác định D Ta nói M giá tr ị l ớn nh ất c f(x,y, ) D, kí hiệu M = max f(x,y, ) hai ều ki ện sau tho ả mãn: - Với x, y, thuộc D f(x,y, ) ≤ M (M h ằng s ố) - Tồn x0; y0; thuộc D cho f(x0,y0, ) = M (1) (2) * Định nghĩa GTNN: Cho biểu thức f(x,y, ) xác định D Ta nói m giá tr ị nh ỏ nh ất c f(x,y, ) D, kí hiệu m = f(x,y, ) hai điều kiện sau tho ả mãn: - Với x, y, thuộc D f(x,y, ) ³ m (m số) - Tồn x0; y0; thuộc D cho f(x0,y0, ) = m (1’) (2’) Chú ý: - Nếu có điều kiện (1) hay (1’) ch ưa thể kết luận cực trị biểu thức - Để có thống chung chuyên đề đ ỡ ph ải nh ắc l ại nhi ều lần xét toán cực trị, tạm quy ước điều kiện (1) (1’) điều kiện 1, điều kiện (2) (2’) điều kiện - Ta sử dụng bất đẳng thức Cơ-si để tìm GTNN ho ặc tìm GTLN c biểu thức Tùy thuộc vào yêu cầu toán mà biến đổi biểu th ức để xuất số khơng âm có tích khơng đổi có tổng khơng đ ổi Ứng dụng bất đẳng thức Cô-si để ch ứng minh m ột số b ất đ ẳng thức: 2.1 Dạng tốn khơng có điều kiện ràng buộc biến: * Phương pháp chung: Một số ý xử dụng bất đẳng thức Cơ-si: Khi sử dụng bất đẳng thức Cơ-si số phải số không âm Điều kiện xảy dấu “=” số Bất đẳng thức Cô-si thường áp dụng bất đẳng th ức c ần ch ứng minh có dạng tổng tích Phương pháp thường dùng tách ghép cặp bất đẳng th ức Cô-si Bài 1: Cho a, b, c số không âm Chứng minh rằng: a) a3 + b3 ≥ ab(a + b) b) a4 + b4 ≥ ab(a2 + b2) c) a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) Giải: a) Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có: a3 + a + b3 ≥ a3 + b3 + b3 ≥ Do đó: 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b) hay a3 + b3 ≥ ab(a + b) b) Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có: a4 + a + a + b4 ≥ a3 + b4 + b4 + b4 ≥ Do đó: 4(a4 + b4) ≥ 4ab(a2 + b2) hay a4 + b4 ≥ ab(a2 + b2) c) Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có: a + a + b + c4 ≥ a + b + b + c4 ≥ a + b + c4 + c4 ≥ Do đó: 4(a4 + b4 + c4) ≥ 4abc(a + b + c) hay a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) Bài 2: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: a) b) c) d) Giải: a) Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có: Cộng theo vế ba BĐT ta được: b) Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có: Cộng theo vế ba BĐT ta được: Vậy c) Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: Cộng được: theo vế ba BĐT ta Mặt khác: (Cơ- si) Þ Do đó: Vậy d) Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có: Ta ; Do đó: Vậy lại có: ; Dấu “=” xảy Suy MinP = Bài 2: Cho Hãy tìm GTNN biểu thức Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương Dấu “=” xảy Vậy MinP = ta có: Bài 3: Cho Hãy tìm GTNN biểu thức Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có: Dấu “=” xảy Vậy MinP = Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy biểu thức cần xét có dạng tương đối giống nhau, thông thường cách để làm dễ hiểu là: - Phân tích biểu thức cho tử mẫu xuất th ừa số giống để áp dụng bất đẳng thức Cô-si biến bị tri ệt tiêu - Khi xét dấu xảy thường tìm giá trị biến ta chọn giá trị thỏa mãn điều kiện đề Bài 4: Cho x > Hãy tìm GTNN biểu thức Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương Bài 5: Cho ta có: ta có: Hãy tìm GTNN biểu thức Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương Bài 6: Cho x > Hãy tìm GTNN Giải: Bài 7: Cho Tìm GTNN biểu sau: Giải: Từ Suy ra: Vậy: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có: thức Dấu “=” xảy (Đến dùng Định lí Vi-Et) Hai số x, y nghiệm phương trình: (Tức hai số x y có số bằng Vậy MinP = ) số 3.2 Ứng dụng bất đẳng thức Cơ-si để tìm GTLN: *Phương pháp chung: Để áp dụng bất đẳng thức Cơ-si tìm GTLN P = a 1.a2 an ( > 0) + Ta biến đổi tích: P = a1.a2 an ( > 0) - Lũy thừa hai vế tích với số mũ hợp lí - Nhân hai vế tích với số dương hợp lí Ta tích mới: P1 = b1.b2 bm (có nghiệm) Thỏa mãn: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: P1£ P0 Xét dấu = xảy kết luân Điều kiện xảy dấu “ =’’ kết luận Bài 1: Cho x, y, z ³ x + y + z =1 Tìm GTLN P = xy + yz + zx Giải: Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho số khơng âm x, y, z ta có: ; ; Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: Dấu “=” xảy Vậy MaxP = Bài Giải: Vì Vậy nên: 2: Cho Tìm GTLN áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số dương: , ta có: Tương tự ta có : Cộng vế (1), (2) (3) ta có: (4) Dấu “=” (4) xảy dấu “=” (1), (2) (3) đ ồng th ời x ảy ra: Vậy MaxP = Nhận xét : Cách đánh giá dùng từ trung bình nhân sang trung bình c ộng để loại trừ dấu căn, việc phán đoán chọn điểm rơi t ương đ ối dễ nhìn biểu thức đối xứng theo biến, c ứ t ại đưa vào dấu Lưu ý số học sinh biết cách loại trừ dấu m ắc sai lầm chứng minh điều kiện Bài 3: Cho Tìm GTLN Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số dương ta có: Từ (1)và(2) suy ra: (3) Dấu “=” (3) xảy dấu “=” (1) (2) đồng th ời x ảy ra: Vậy MaxP = 16 Bài 4: Tìm GTLN với Giải: Có thể thấy B8 , ta lập bảng giá trị để dự đoán: 0 10 Dự đoán với MaxP = Bài 5: Cho x, y, z ba số dương thoả mãn: x3 + y3 + z3 = Tìm GTLN biểu thức: P = 3xy + 3yz + 3zx - xyz Giải: Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có: Suy ra: Ta lại có: x3 + y3 + z3 - 3xyz Þ Vậy max P = Bài 6: Tìm giá trị lớn biểu thức: P= Giải: Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: Do đó: P ≤ (với x ³ 1, y ≥ , z ≥ 3) Vậy max P = Bài 7: Cho hàm số Xác định trên: Tìm giá trị lớn D Giải: Áp dụng bất thức Cơ-si ta có: (1) (2) (3) Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được: (4) Nhận thấy (4) xảy (1), (2) (3) đồng th ời xảy Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: (5) (6) Từ (5), (6) đưa đến: (7) Dấu “=” (7) xảy (5) (6) đồng thời xảy Từ (4) (7) suy Ta lại có Do đó: max = III Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng ki ến theo ý ki ến c tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp d ụng sáng kiến: Qua tìm hiểu, thu thập tư liệu trường THCS Vĩnh Thịnh, năm học 2015 - 2016 việc học sinh tiếp thu vận dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh số bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN cịn nhiều hạn chế, kết chưa cao Đa số em chưa chủ động việc giải tập, đa số em mị mẫm tìm đường mà khơng có định h ướng cho m ột d ạng cụ thể, khả phân tích đề, tổng hợp đề y ếu … Từ hạn chế yếu, nghiên cứu thực viết sáng kiến: “Ứng dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh số bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN ” ... tài: “ Ứng dụng bất đẳng thức Cô- si để chứng minh số bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN ” II Mô tả chất sáng kiến: Kiến thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu: 1.1 Định nghĩa bất đẳng thức: Cho số a b ta... + y + z) Vậy x3 + y3 + z3 ³ x + y + z Ứng dụng bất đẳng thức Cơ -si để tìm GTLN, GTNN 3.1 Ứng dụng bất đẳng thức Cơ -si để tìm GTNN: *Phương pháp chung: Tìm GTNN của: S = a1 + a2 + + am (ai > 0)... “=” số Bất đẳng thức Cô- si thường áp dụng bất đẳng th ức c ần ch ứng minh có dạng tổng tích Phương pháp thường dùng tách ghép cặp bất đẳng th ức Cô- si Bài 1: Cho a, b, c số không âm Chứng minh