(SKKN HAY NHẤT) ứng dụng định lý lagrange để giải bất phương trình,bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝLAGRANGE ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎMỤCNHẤTLỤC CỦA BIỂU THỨC Người thực hiện: Lê Thị Hương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2021 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC NỘI DUNG PHẦN I:MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Các SKKN áp dụng để giải vấn đề 3.1 Nội dung định lý Lagrange 3.2 Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình 3.3 Ứng dụng định lý Lagrange để chứng minh bất đẳng thức 3.4 Ứng dụng định lý Lagrange để tìm GTLN- GTNN biểu thức 14 Hiệu SKKN hoạt động dạy học, với thân, đồng nghiệp nhà trường 16 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phần I - MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình giảng dạy mơn Tốn học bậc trung học phổ thơng tốn bất phương trình bất đẳng thức chiếm vị trí quan trọng, xun suốt chương trình ba khối lớp Bên cạnh phong phú dạng tốn, từ bất phương trình, bất đẳng thức lớp10, bất phương trình lượng giác lớp 11 đến bất phương trình mũ, logarit lớp 12 Phương pháp để giải dạng tốn phong phú Đã có nhiều ý tưởng độc đáo bất ngờ phát để giải tốn bất phương trình, bất đẳng thức tạo nên hấp dẫn toán học người học người dạy Như ta biết bất phương trình, bất đẳng thức xây dựng sở khái niệm hàm số, mà phương pháp giải thiếu chúng dạng tốn sử dụng đạo hàm giải toán Cách sử dụng đạo hàm giải toán xuất nhiều tài liệu,từ chuyên đề hàm số đến chuyên đề bất phương trình đề thi đại học, thi học sinh giỏi cấp nhiên chưa toàn diện Hệ thống tập chuyên đề chưa hồn chỉnh, cịn rời rạc; việc khai thác khắc sâu ý tưởng giải chưa triệt để Điều gây khó khăn cho học sinh việc hình thành cho phương pháp giải hồn chỉnh dạng tốn bất phương trình bất đẳng thức Định lý Lagrange ứng dụng định lý chương trình tốn học chương trình tốn học phổ thơng đa dạng phong phú, đặc biệt tốn biện luận số nghiệm phương trình, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, Tuy vậy, tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT ứng dụng chưa trình bày cách hệ thống đầy đủ Trước định lý Lagrange trình bày sách giáo khoa Giải tích lớp 12 nhằm mục đích làm sở để chứng minh số định lý liên quan đến tính đồng biến, nghịch biến hàm số Hiện nay, sách giáo khoa mơn tốn chương trình THPT khơng đề cập đến định lý đề thi học sinh giỏi xuất tốn chứng minh tồn nghiệm phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, mà định lý Lagrange công cụ hiệu để giải dạng tốn Có số tốn giải phương pháp thơng thường lời giải dài phức tạp áp dụng định lý Lagrange cho lời giải ngắn gọn dễ hiểu Hơn nữa, với đối tượng học sinh khá, giỏi việc tiếp cận định lý khơng phải vấn đề khó mà trái lại thơng qua trình vận dụng định lý Lagrange để giải tập sáng tác tập học sinh rèn luyện khả UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tư duy, sử dụng kiến thức cách linh hoạt, tạo cho em hứng thú tìm tịi, khám phá tri thức phát huy tính chủ động, sáng tạo việc học Xuất phát từ thực tế cần có hệ thống tập theo chuyên đề hoàn chỉnh để giải dạng tốn bất phương trình bất đẳng thức tập hợp, bổ sung xếp toán dạng theo hệ thống rõ ràng; tạo thuận lợi cho người học ghi nhớ vận dụng để giải tập tương tự Qua thực tế giảng dạy, cách làm thu kết đáng ghi nhận nên viết thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: ‘’Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình,bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức’’ Để cung cấp cho thầy đồng nghiệp em học sinh đặc biệt học sinh khá, giỏi kiến thức định lý Lagrange để giải tốn.Tơi mong nhận góp ý, bổ sung thêm bạn đồng nghiệp để đề tài hồn thiện hơn; góp phần giúp giáo viên học sinh tiến tới “chân thiện mỹ” Tốn học MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm việc giải tốn bất phương trình bất đẳng thức Từ đạt kết cao q trình học tốn nói chung giải bất phương trình bất đẳng thức nói riêng ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các dạng tốn bất phương trình, bất đẳng thức chương trình tốn phổ thơng đặc biệt kỳ thi tuyển sinh vào Đại học, kỳ thi chọn học sinh giỏi - Phạm vi nghiên cứu: Phân loại dạng toán thường gặp phương pháp giải loại PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp sau - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát: Công việc dạy – học giáo viên học sinh Phương pháp đàm thoại vấn: Lấy ý kiến giáo viên học sinh thông qua trao đổi trực tiếp - Phương pháp thực nghiệm - Phần II: NỘI DUNG CƠ SỞ LÍ LUẬN: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài ” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn Tốn học cần thiết thiếu đời sống người Mơn tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng Muốn học tốt mơn tốn học sinh cần phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lí thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư lôgic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu môn tốn có hệ thống chương trình phổ thơng, liên hệ logic mảng kiến thức chương trình phổ thơng Vận dụng lí thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Trong sách giáo khoa đại số 10, 11, 12 nêu số cách giải bất phương trình, bất đẳng thức cách đơn giản Việc sử dụng đạo hàm dừng lại toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số, ứng dụng đạo hàm việc giải toán sơ cấp chưa sử dụng nhiều học sinh vận dụng hạn chế chưa linh hoạt, song đề thi đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi gần việc giải toán có ứng dụng đạo hàm nhiều Đặc biệt ứng dụng đạo hàm để giải tốn bất phương trình, bất đẳng thức giúp cho học sinh giải số toán đơn giản THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Qua thực tiễn học tập giảng dạy, thân nhận thấy ứng dụng đạo hàm giải toán cấp THPT đa dạng, đặc biệt giải bất phương trình vơ tỉ, mũ, lơgarit…nhưng học sinh chưa sử dụng nhiều kiến thức để giải tốn - Đạo hàm phần kiến thức học sinh, gắn với toán học đại, học sinh bắt đầu làm quen cuối chương trình lớp 11 Trong từ cấp Trung học sở đến cấp THPT học sinh tiếp xúc với nhiều tốn giải bất phương trình bất đẳng thức …và quen sử dụng phương pháp giải toán đại số để giải - Số lượng tốn giải bất phương trình bất dẳng thức nêu xuất ngày nhiều đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, kỳ thi học sinh giỏi phương pháp giải chủ yếu dùng đạo hàm CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Để giúp học sinh giải tốt bất phương trình kì thi, giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng sử dụng tốt phương pháp như: Các phương pháp biến đổi đại số học lớp 10, phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đây, đề cập đến vài khía cạnh nhỏ việc giải bất phương trình bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN hàm số phương pháp ứng dụng đạo hàm định lý Lagrange để giải toán:’’ Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình, bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức’’ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE Ở 3.1 Nội dung định lý Lagrange: Nếu hàm liên tục đoạn tồn , có đạo hàm khoảng cho Hệ 1: Nếu hàm số có đạo hàm ( số nguyên dương lớn 1) trên có nghiệm có nghiệm Hệ 2: Nếu hàm số có đạo hàm có nhiều nghiệm Hệ 3: Nếu có đạo hàm nghiệm ( số ngun dương) vơ nghiệm có nhiều có nhiều nghiệm 3.2 Dạng toán ứng dụng Cho hàm số thỏa mãn điều kiện định lý Lagrnge số điều kiện cho trước.Ta chứng minh hệ thức 3.3 Cách giải Bước 1: Chọn hàm số có liên hệ với , phù hợp với điều kiện toán thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange - Bước 2: Áp dụng định lý Lagrange cho (tùy vào yêu cầu hệ thức cần chứng minh) - Bước 3: Từ biến đổi đưa hệ thức cần chứng minh - 3.2 Ứng dụng định lý Lagrange việc giải bất phương trình 3.2.1 Nội dung ứng dụng UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giả sử cho bất phương trình Trước hết ta tìm nghiệm phương trình dựa vào vận dụng định lý Lagrange hệ Sau dựa vào tính liên tục suy dấu phương trình tập xác định để khoảng, từ tập nghiệm bất 3.2.2 Dạng toán ứng dụng Giải bất phương trình , 3.3.3 Cách giải Trước hết tìm nghiệm phương trình Lagrange hệ định lý dựa vào định lý - Giả sử nghiệm tính liên tục để suy dấu khoảng từ tập nghiệm bất phương trình 3.3 Ví dụ minh họa - Ta dựa vào , Ví dụ Giải bất phương trình Lời giải Điều kiện phương trình trở thành Do Đặt , bất , vơ nghiệm, suy phương trình nghiệm, từ suy phương trình có nhiều có không hai nghiệm phân UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com biệt.Ta lại có suy phương trình có hai nghiệm Do liên tục nên liên tục khoảng giữ ngun dấu khoảng Mà , ; Vậy nghiệm bất phương trình Ví dụ Giải bất phương trình Lời giải Tập xác định bất phương trình Đặt Bất phương trình trở thành Ta thấy vơ nghiệm, suy có nhiều nghiệm, từ suy có khơng q hai nghiệm phân biệt Ta lại có liên tục , , suy có hai nghiệm nên liên tục khoảng Do giữ nguyên dấu khoảng Ta có UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy tập nghiệm bất phương trình Ví dụ Giải bất phương trình Lời giải Xét hàm số , bất phương trình cho có dạng Ta có: từ suy phương trình có khơng q hai nghiệm phân biệt Mà liên tục nên có hai nghiệm phân biệt liên tục khoảng giữ nguyên dấu khoảng Ta có Vậy nghiệm bất phương trình Ví dụ Giải bất phương trình có nghiệm (Radian) khơng? Tại sao? Lời giải: Bất phương trình tương đương với Xét hàm đoạn Ta có: Dễ thấy (áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số ) UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số đoạn , tồn cho Vậy (Radian) nghiệm bất phương trình 3.2.5 Bài tập vận dụng Giải bất phương trình sau 3.3 Ứng dụng định lý Lagrange việc chứng minh bất đẳng thức 3.3.1 Nội dung ứng dụng Nếu giả thiết định lý Lagrange ta thêm vào giả thiết biến ta so sánh với với đồng Nếu nghịch biến Từ cho ta ý tưởng ứng dụng định lý Lagrange chứng minh bất đẳng thức đánh giá tổng hữu hạn Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức tham gia hàm số ( mà hàm số liên tục đoạn có , có đạo UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hàm khoảng ) Thông thường ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng Từ định lý Lagrange, khoảng nên tồn hàm liên tục đoạn , có đạo hàm cho Khi bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức 3.3.2 Dạng toán ứng dụng Chứng minh bất đẳng thức hàm số đó, mà có tham gia hàm số liên tục đoạn , có đạo hàm khoảng 3.3.3 Cách giải - Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng - Chọn xét hàm số sử dụng thỏa mãn điều kiện tốn Sau đó, định lý Lagrange, ta suy tồn cho Do ta có bất đẳng thức 3.3.4 Ví dụ minh họa - Ví dụ Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a < b Chứng minh Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Xét hàm số UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do hàm liên tục có đạo hàm theo định lý Lagrange tồn với hay mà ( đpcm) Ví dụ Chứng minh Lời giải Xét hàm số hàm với Ta thấy liên tục có đạo Theo định lý Lagrange ln tồn cho Do Hay Ví dụ Chứng minh Lời giải Ta có Đặt Ta có 10 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Áp dụng định lý Lagrange hàm số , tồn cho mà hàm số Ví dụ đồng biến Cho hàm số Đặt nên có đạo hàm hàm liên tục giả sử Chứng minh a Với , ta có , b Lời giải a Với , tồn Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số đoạn cho từ suy tương tự tồn cho 11 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy b Theo câu a, , , Nên ta có Từ suy (Bất đẳng thức Bernoulli) Với số thực x thỏa mãn chứng minh Ví dụ Lời giải - Khi xét , theo định lý Lagrange ta có thỏa mãn - Khi : xét , theo định lý Lagrange ta có thỏa mãn Đẳng thức xảy Vậy Ví dụ Cho Chứng minh Lời giải Xét hàm số với với 12 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Áp dụng định lý Lagrange, tồn cho Do Lần lượt thay vào ta Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta (đpcm) Ví dụ Cho a < b < c, chứng minh Lời giải Xét hàm số Theo định lý Lagrange tồn cho 13 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do đó, từ suy 3.3.5 Bài tập vận dụng Chứng minh với Chứng minh ta có Chứng minh Cho tam giác Cho , ln có nhọn Chứng minh Chứng minh với , ta có Cho số thực dương Chứng minh 4.Ứng dụng định lý Lagrange tìm GTLN, GTNN biểu thức 3.4.1 Nội dung ứng dụng Để dùng định lý Lagrange tìm giá trị lớn (GTLN); giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức, ta phải chọn hàm số thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange, sau áp dụng định lý Lagrange kết hợp với giả thiết tốn để đánh giá biểu thức cần tìm GTLN, GTNN 3.4.2 Dạng tốn ứng dụng Tìm GTLN, GTNN hàm số tập xác định 3.4.3 Cách giải 14 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Chọn xét hàm số thỏa mãn điều kiện tốn - Sau đó, sử dụng định lý Lagrange, ta suy tồn - Kết hợp cho: với điều kiện đầu để dẫn tới bất đẳng thức - Ta dấu xảy ra, từ suy GTLN hàm GTNN hàm , cịn 3.4.4 Ví dụ minh họa Ví dụ Cho , tìm giá trị lớn hàm số Lời giải Xét hàm số Ta có , thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange, nên tồn cho , Dấu bẳng xảy Ví dụ Tìm giá trị nhỏ hàm số 15 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đoạn Lời giải Xét hàm số với Ta có suy hàm đồng biến nên Theo định lý Lagrange, Với , ta có cho Vậy Ví dụ Cho số thực khơng âm thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Khơng tính tổng quát, ta giả sử hàm số , Xét Ta có 16 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Áp dụng định lý Lagrange, ta ; Đẳng thức xảy 3.4.5 Bài tập vận dụng hốn vị Vậy Tìm giá trị nhỏ hàm số Cho đoạn số đo góc tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức Cho số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức 4.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 1.Kết từ thực tiễn: 17 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng phương trình, hệ phương trình nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích tốn để lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa ứng dụng định lý Lagrange để học sinh có cơng cụ để giải tốn Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập số đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải giải lượng lớn tập 4.2 Kết thực nghiệm: Sáng kiến áp dụng năm học 2020-2021 Sau đưa chuyên đề vào thực tế giảng dạy lớp thu kết lần kiểm tra đánh sau Thời gian kiểm tra Trước áp dụng chuyên đề Sau áp dụng chuyên đề Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải tốn bât phương trình bất đẳng thức em hiểu chất vấn đề khơng tính rập khn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Phần III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Hàm số có nhiều ứng dụng ứng dụng sử dụng giải bất phương trình bất đẳng thức Đề tài nêu phương pháp chung cho dạng minh họa toán cụ thể, đồng thời đưa cho dạng số tập với mức độ khác để đối tượng học sinh tiếp cận cách thuận lợi Bên cạnh ứng dụng bất phương trình đạo hàm cịn có nhiều ứng dụng khác giải toán toán chứng minh bất đẳng thức, toán 18 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tìm max,min tốn có tham số Chính ta mở rộng thêm chuyên đề ứng dụng đạo hàm Để việc sử dụng “Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình, bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức ’’ có hiệu - Giáo viên phải hướng em xoáy sâu vào trọng tâm học tùy vào bài, nội dung mà áp dụng phương pháp giải cách phù hợp - Cần phải ý đến đối tượng học sinh, nên để học sinh tìm tịi, khám phá - Giáo viên cần chủ động khuyến khích em làm tốn áp dụng từ dể đến khó - Cho học sinh tự suy nghĩ đưa tập bất phương trình, bất đẳng thức phương pháp đạo hàm công cụ định lý qua giúp học sinh có hứng thú việc tìm toán Tuy nhiều nguyên nhân khác nhau, khách quan chủ quan nên đề tài không tránh khỏi sai sót hạn chế định Rất mong nhận góp ý đồng nghiệp hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm để hồn thiện nội dung góp phần tích cực vào giáo dục kiến thức cho học sinh Cuối xin cảm bạn đồng nghiệp đọc góp ý để tơi hồn thiện chun đề Kiến nghị Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sử dụng định lý Lagrange vào việc giải bất phương trình bất đẳng thức ….Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo thể loại sách để học sinh có thêm nguồn tư liệu giải tốn Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2021 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết: Lê Thị Hương DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sách giáo khoa: Đại số giải tích 10- 11-12 Các chuyên đề hàm số - Lê Hồng Đức Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán – Trần Phương Phương pháp giải tốn đại số - Lê Hồng Đức-Lê Hữu Trí- Lê Bích Ngọc Đề thi học sinh giỏi số tỉnh Một số tư liệu mạng DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả:Lê Thị Hương Chức vụ đơn vị công tác:Giáo viên Trường THPT Triệu Sơn TT Tên đề tài SKKN Nhìn nhận toán bất đẳng thức “ Con mắt” lượng giác Ứng dụng đạo hàm, định lý Rolle để giải phương trình hệ phương trình 20 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 21 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... đến vài khía cạnh nhỏ việc giải bất phương trình bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN hàm số phương pháp ứng dụng đạo hàm định lý Lagrange để giải toán:’’ Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương. .. Lagrange 3.2 Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình 3.3 Ứng dụng định lý Lagrange để chứng minh bất đẳng thức 3.4 Ứng dụng định lý Lagrange để tìm GTLN- GTNN biểu thức 14 Hiệu SKKN hoạt... tài: ‘? ?Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình ,bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức? ??’ Để cung cấp cho thầy đồng nghiệp em học sinh đặc biệt học sinh khá, giỏi kiến thức định lý Lagrange