41 SKKN toán ỨNG DỤNG bất ĐẲNG THỨC COSI tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Tên đề tài: ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Đề nghị công nhận sáng kiến kinh nghiệm cấp sở năm học 2018-2019 -I CĨ TÍNH MỚI VÀ SÁNG TẠO: Lí mục đích: – Lí do: Bất đẳng thức mảng khó tốn học phổ thơng Nhưng thông qua tập bất đẳng thức người học toán hiểu kĩ sâu sắc mối quan hệ bất đẳng thức dạng tập tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Trong nhiều năm liền, hầu hết đề thi học sinh giỏi đề thi vào lớp chuyên có dạng tập: chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Nhưng hầu hết em nhận định dạng tốn khó đề thi mà em gặp Ở chương trình THCS học sinh làm quen với số bất đẳng thức Cosi, Bunhiacopski, Nhưng vận dụng bất đẳng thức vào giài tốn cịn hạn chế thường có sai lầm đáng tiếc – Mục đích: Xuất phát từ vấn đề nêu tơi nghiên cứu nêu vài dạng toán tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) nhờ áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Côsi để tham khảo Tính sáng tạo: a) Tính mới: - Phân tích sai lầm học sinh sử dụng bất đẳng thức Cơsi thực tế giảng dạy từ đề giải pháp khắc phục sai lầm - Đưa thêm giải pháp sử dụng bất đẳng thức Cơ si giải tốn cực trị cách linh hoạt b) Tính sáng tạo: - Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu bất đẳng thức cosi hệ thống tập quen thuộc để học sinh rèn luyện kỹ tìm giá trị lớn nhỏ - Phương pháp nghiên cứu: + Nghiên cứu lí luận: đọc sách giáo khoa toán 8,9 số sách bồi dưỡng học sinh giỏi + Nghiên cứu thực tế: Quan sát, kiểm tra tập, cách ghi học sinh; phương pháp thực nghiệm; phương pháp kiểm tra, đánh giá; phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm Bản thống kê ( cuối tháng 9/2018) Sử dụng BĐT Sai lầm cách điều kiện thứ máy móc SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ Sĩ số 15 34% Sai lầm điều kiện thứ hai SL Tỷ lệ 26% Sai lầm chọn điểm rơi SL Tỷ lệ 20% 20% Sử dụng BĐT cách linh hoạt SL Tỷ lệ 0% Nguyên nhân dẫn đến kết + Đa số học sinh chưa hiểu thuật ngữ toán + Chưa vững kỹ sử dụng dụng bất đẳng thức + Yếu mặt tư toán học + Thời gian giảng dạy lớp hạn chế việc rèn luyện kỹ  Biện pháp: * Học sinh: - Tích cực tham gia hoạt động thảo luận nhóm Rèn luyện thói quen tự học - Thực tốt chuẩn bị nội dung theo yêu cầu giáo viên đề * Giáo viên: - Thống kê sai lầm học sinh sử dụng bất đẳng thức Cô si - Các giải pháp khắc phục sai lầm học sinh sử dụng bất đẳng thức Cô si - Đưa giải pháp sử dụng bất đẳng thức Cô si linh hoạt II/ NỘI DUNG: A Kiến thức cần nhớ BĐT Cô si: Với hai số không âm a, b: Dấu xảy a = b a b ab BĐT Cô si: Với ba số không âm a, b, c: a b c a b c Dấu xảy a = b = c B Những lỗi sai biện pháp khắc phục ♥ Sai lầm thứ nhất: Sử dụng BĐT Côsi cách máy móc Ví dụ Cho x 0, A x x Học sinh (HS) giải: A x 2 x , tìm minA x x 2 x x 2 x x x x Vậy A=3  Giải pháp: Không sử dụng bất đẳng thức Cơsi cách máy móc, phải ý vào điều kiện bất đẳng thức Côsi ♥ Sai lầm thứ hai: Sử dụng nhiều bất đẳng thức khác tốn Ví dụ : Cho x, y số dương thỏa x+y = 1.Tìm giá trị nhỏ A x y HS giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương 4 x y xy x y x ; y 1 4 x y xy A xy (2) m in A 2 Sai lầm (1) dấu “=” xảy x y 4x y Sai lầm (2) dấu “=” xảy ra: x = y Vậy x = y = trái với giả thiết x+y = Nếu kết luận khơng có A sai  Giải pháp: Khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khác tốn ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời xảy dấu không ♥ Sai lầm thứ ba: Không sử dụng hết điều kiện tốn Ví dụ 3: Cho x,y số dương thỏa x+y =1 Tìm giá trị nhỏ A 2 A x y x y HS giải: Áp dụng bất đẳng thức cosi: x , y + x A Dấu “=” xảy x x x y y m in A x (2 ) y y 1 y Sai lầm chỗ đề cho x+y = mà đáp án x = y =  Giải pháp: Khi giải tốn mà khơng sử dụng hết điều kiện đề cần kiểm tra lại giả thiết ♥ Sai lầm thứ tư: Sai lầm điều kiện Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ A x y biết x+y = HS giải: A x y 2 xy suy A đạt giá trị nhỏ x y 2 xy x x y y Khi A=8 Sai lầm f(x,y) g(x,y) chưa phải f(x,y) m (m số)  Giải pháp: Nhấn kỉ điều kiện 1: f(x,y) m (m số) ♥ Sai lầm thứ năm: Sai lầm điều kiện Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn A= xyz(x+y)(y+z)(z+x) với x,y,z không âm x +y + z = HS giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi xy (x y) x(z y) (x y z) y(z x) (x y z) 4z(x 64 xyz ( x y )( y y) z )( z (x x) y z) 2 xyz ( x y )( y z )( z x) 64 Vậy max A=1/64 Sai lầm chưa khả dấu “=” xảy  Giải pháp: Cần kiểm tra dấu xảy nào, có thỏa điều kiện đề không ♥ Sai lầm thứ sáu: Chọn điểm rơi bất đẳng thức Ví dụ 6: Cho x, y hai số dương thỏa x y Tìm M = x 2y y x Bạn A giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có M = x 2y y x x 2y y x 2 Dấu xảy Vậy giá trị nhỏ M Bạn B giải: Suy M = x y x y y x x y y x y y x x y x x 2y y x 2y x x y y x Dấu xảy x = y Hai bạn sai Bạn A: x 2y nên x y 2y y y y mâu thuẫn với Bạn B: Dấu xảy x = y mâu thuẫn với y x x y  Giải pháp: Dạy kỉ cách chọn điểm rơi bất đẳng thức Cô si  Không phải lúc dùng trực tiếp bất đẳng thức Cơsi, ta dùng số phép biến đổi biểu thức sau dùng bất đẳng thức Cơsi linh hoạt  Giải pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức (Ví dụ 7)  Giải pháp 2: Nhân chia biểu thức với số khác khơng (Ví dụ 8)  Giải pháp 3: Biến đổi biểu thức thành tổng biểu thức cho tích chúng số a) Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử b) Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho ( Ví dụ 9)  Giải pháp 3: Thêm hạng tử vào biểu thức cho ( Ví dụ 10) Tự chấm điểm: 30 điểm II KHẢ NĂNG ÁP DỤNG: Đề tài có khả áp dụng, triển khai cho khối lớp 8, trường nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi trường, huyện vì: dễ áp dụng, dễ hiểu, dễ phổ biến áp dụng lớp học, nhà trường Để giúp học sinh biết cách làm tập tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tiến hành đọc sách, tham khảo tài liệu để đưa số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số, kiểm tra lại kiến thức lý thuyết học có liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử; đẳng thức đáng nhớ; giá trị tuyệt đối; lũy thừa bậc chẵn số; chia đa thức cho đa thức… Từ giúp học sinh vận dụng kiến thức hợp lý vào dạng tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Bản thống kê ( cuối tháng 5/2019) Sĩ số 15 Sử dụng BĐT Sai lầm cách điều kiện thứ máy móc SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ 0% 0% Sai lầm điều kiện thứ hai SL Tỷ lệ 6% Sai lầm chọn điểm rơi SL Tỷ lệ 14% Sử dụng BĐT cách linh hoạt SL Tỷ lệ 12 80% III HIỆU QUẢ KINH TẾ XÃ HỘI: Về hiệu kinh tế: Về hiệu xã hội: Thực tế cho thấy học sinh học bất đẳng thức việc rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức, vận dụng bất đẳng thức vào việc giải tốn mà cịn nâng cao mặt tư logic lập luận vấn đề chặt chẽ, phát huy tính sáng tạo, tích cực học tập Khi nghiên cứu viết đề tài thân thấy trình độ chun mơn nâng lên Hơn làm cho thân có lịng say mê chun môn ngày cao Tự chấm điểm: 30 điểm PHỤ LỤC Ví dụ 7: Tìm max ĐKXĐ: A x Với A ; A 2 2x (2 x )(7 x) x (2 x 2x , áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số (2x –5) ; (7 –2x) 5) (7 x) A 2 (2 x )(7 x) 2 (2 x )(7 x) Dấu “=” xảy 2x– = 7– 2x, x = x Ví dụ 8: Tìm max A, A (x 4) 5x x x A= 4 2 5x ( x x 2) 5x 20 5x 5x Dấu “=” xảy x 2, x x Ví dụ 9: Cho x 9x 3, B = 9x B 3 x x 1 x x x 9x 3 9x minB = 3 x x x x , tìm B x x x Ví dụ 10: Cho số dương x,y,z thỏa x+y+z = Tìm P x P y x y y z z z z x x y x x z 2 y x x x y x z x x M in P y z z x x x y z z z x z y y z y z z y y y x y P x x z z z y y z y 4 z y x x y x z z y z y x y z y x ... vào điều kiện bất đẳng thức Côsi ♥ Sai lầm thứ hai: Sử dụng nhiều bất đẳng thức khác tốn Ví dụ : Cho x, y số dương thỏa x+y = 1 .Tìm giá trị nhỏ A x y HS giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho... cầu giáo viên đề * Giáo viên: - Thống kê sai lầm học sinh sử dụng bất đẳng thức Cô si - Các giải pháp khắc phục sai lầm học sinh sử dụng bất đẳng thức Cô si - Đưa giải pháp sử dụng bất đẳng thức. .. rơi bất đẳng thức Cô si  Không phải lúc dùng trực tiếp bất đẳng thức Cơsi, ta dùng số phép biến đổi biểu thức sau dùng bất đẳng thức Cơsi linh hoạt  Giải pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm