Nghiên cứu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Tuấn NGHIÊN CỨU VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Tuấn NGHIÊN CỨU VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Lương Công Khanh, người truyền dạy những kiến thức quý báu tận tình dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Nguyễn Chí Thành, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Nguyễn Thị Nga, TS Vũ Như Thư Hương thầy cố đến từ Pháp nhiệt tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc, giúp tiếp thu tốt kiến thức chuyên ngành Didactic Toán Tôi xin chân thành cảm ơn: Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng Sau Đại học, ban chủ nhiệm giảng viên khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư Phạm TP.HCM tạo thuận lợi cho suốt khóa học Ban giám hiệu giáo viên hai trường THPT Phú Quốc THPT Dương Đông (huyện Phú Quốc, tỉnh Kiên Giang) tạo điều kiện cho thực dự giờ, quan sát nhiều tiết học tiến hành thực nghiệm cần thiết cho luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tha thiết đến gia đình bạn khóa, người yêu mến, ủng hộ, chia sẻ động viên suốt trình học tập Nguyễn Quốc Tuấn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Mục đích nghiên cứu phạm vi lý thuyết tham chiếu Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn 11 CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU VỀ QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 12 1.1 Giá trị lớn giá trị nhỏ lớp 11 12 1.1.1 Giá trị lớn giá trị nhỏ chương trình toán lớp 11 12 1.1.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ sách giáo khoa toán lớp 11 13 1.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ lớp 12 18 1.2.1 Giá trị lớn giá trị nhỏ chương trình toán lớp 12 18 1.2.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ sách giáo khoa toán lớp 12 19 1.3 Phân tích đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng từ năm 2003 đến 2013 28 1.3.1 Nhóm 1: Nhóm câu hỏi sử dụng đạo hàm “ngay từ ban đầu” 29 1.3.2 Nhóm 2: Nhóm câu hỏi không sử dụng đạo hàm 29 1.3.3 Nhóm 3: Nhóm câu hỏi biến đổi biểu thức hàm số biến, sau sử dụng đạo hàm để tìm đáp án 31 CHƯƠNG NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 37 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 60 3.1 Thực nghiệm giáo viên 60 3.1.1 Mục đích xây dựng thực nghiệm 60 3.1.2 Bộ câu hỏi thực nghiệm giáo viên 60 3.1.3 Phân tích câu trả lời giáo viên 61 3.2 Thực nghiệm học sinh 65 3.2.1 Các toán thực nghiệm 66 3.2.2 Phân tích tiên nghiệm 66 3.2.3 Phân tích hậu nghiệm 77 KẾT LUẬN 81 PHỤ LỤC 85 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THPT GV HS TXĐ SGV11 SGK11 SBT11 SGV12 SGK12 SBT12 : Trung học phổ thông : Giáo viên : Học sinh : Tập xác định : Sách giáo viên đại số giải tích 11 nâng cao : Sách giáo khoa đại số giải tích 11 nâng cao : Sách tập đại số giải tích 11 nâng cao : Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao : Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao : Sách tập giải tích 12 nâng cao MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Ghi nhận nhóm câu hỏi thứ Bài toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ loại toán có nhiều ứng dụng đời sống thực tế, chẳng hạn: làm để quản lý công ty cho chi phí, tài nguyên, nguồn lực tiết kiệm mà mang lại hiểu cao hay làm để sản xuất loại thùng inox dạng hình trụ tròn xoay tích cố định mà cho chiều cao bán kính đáy thùng tiết kiệm vật liệu nhất,.… Bài toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có mặt đủ cấp học, từ cấp tiểu học, trung học sở đến trung học phổ thông cao Đặc biệt, kì thi tốt nghiệp, kì thi vào Đại học, Cao đẳng hàng năm gần đây, toán liên quan đến việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ thường xuyên xuất đề thi Thực tế giảng dạy cho thấy, toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ giải nhiều kỹ thuật khác từ sơ cấp đến cao cấp với nhiều trình độ khác Trong chương trình toán trung học phổ thông, dạng toán xuất khối lớp 10, khối lớp 11 khối lớp 12 Mặc dù giá trí lớn giá trị nhỏ chưa định nghĩa thức sách giáo khoa 10 11 dạng toán xuất để giải chúng công cụ chủ yếu sử dụng kỹ thuật “bất đẳng thức” Cho đến khối lớp 12, giá trị lớn giá trị nhỏ định nghĩa đưa vào giảng dạy cách thức chương trình việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số chủ yếu dùng kỹ thuật “đạo hàm”, sử dụng tính đơn điệu cực trị hàm số Đặt trọng tâm vào khối lớp 12, nhận thấy việc sử dụng đạo hàm kỹ thuật chủ yếu để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nên tiến hành khảo sát nhỏ 71 học sinh lớp 12 trường THPT Phú Quốc nhằm tìm kiếm ứng xử học sinh dạng toán thông qua tập sau: Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + đoạn [0 ; 5] Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 𝑦= 3𝑥 −5𝑥+2 𝑥 +1 , với x∈ R Sau phân tích làm học sinh, nhận thấy đa số học sinh sử dụng kỹ thuật đạo hàm để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Bảng trình bày kỹ thuật mà học sinh sử dụng Câu hỏi Kỹ thuật đạo hàm Kỹ thuật bất đẳng thức Không giải HS Tỉ lệ HS Tỉ lệ HS Tỉ lệ 71 100% 0% 0% 64 90% 3% 7% Trong : - Cột “kỹ thuật đạo hàm” dùng cho lời giải có sử dụng đạo hàm - Cột “Kỹ thuật bất đẳng thức” dùng cho lời giải sử dụng định nghĩa, sử dụng bất đẳng thức,… không sử dụng đạo hàm - Cột “Không giải” cho lời giải Đối với câu 1, 100% học sinh sử dụng kỹ thuật đạo hàm để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, sau lấy đạo hàm có cách tiếp cận để tiếp tục tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, thứ nhất: lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận, thứ hai: sử dụng quy tắc mà sách giáo khoa đưa Nhưng qua quan sát, nhận thấy phần lớn em học sinh sử dụng quy tắc mà sách giáo khoa đưa (69/71 học sinh chọn, chiếm 97.2%), học sinh sử dụng bảng biến thiên (2/71 học sinh chọn, chiếm 2.8%) Từ nhận định rằng: toán yêu cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn đa số học sinh sử dụng “quy tắc” mà sách giáo khoa đưa để tìm đáp án Đối với câu 2, tiếp tục cho thấy ưu tiên học sinh việc sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” Nhưng qua quan sát làm học sinh đa số học sinh không tìm đáp án, cụ thể có học sinh trình bày cách giải sau: Bài giải: 𝑦= 3𝑥 − 5𝑥 + 𝑥2 + Tập xác định: D=R 𝑦′ = 5𝑥 + 2𝑥 − (𝑥 + 1)2 ⎡𝑥 = −1 + √26 𝑦 ′ = ⟺ 5𝑥 + 2𝑥 − = ⟺ ⎢⎢ ⎢𝑥 = −1 − √26 ⎣ 𝑙𝑖𝑚 𝑦 = 𝑥→±∞ Bảng biến thiên: x −1 − √26 -∞ y’ + 𝑦( y - −1 − √26 ) −1 + √26 +∞ + 𝑦( −1 + √26 ) Suy ra: 𝑚𝑎𝑥 𝑦 = 𝑦( 𝑥∈𝑅 𝑚𝑖𝑛 𝑦 = 𝑦( 𝑥∈𝑅 y( −1 − −1 + √26 √26 ) ) Học sinh hầu hết học sinh khác tính hai giá trị −1−√26 ) y( −1+√26 ), nhiên có số học sinh sử dụng máy tính cầm tay tính gần hai giá trị đến kết luận max y = y( x∈R −1 − √26 ) ≈ 5.0495 −1 + √26 � ≈ −0,0495 𝑦 = 𝑦 � 𝑥∈𝑅 Trở lại bảng thống kê, ta thấy có hai học sinh sử dụng kỹ thuật “bất đẳng thức” (trong trường hợp gọi kỹ thuật “tập giá trị” mà đề cập phần sau) cho kết xác Tuy nhiên, qua quan sát làm hai học sinh này, ban đầu hai học sinh tính đạo hàm không tìm kết quả, sau hai học sinh gạch bỏ phần làm làm lại với kỹ thuật khác Một điều cần lưu ý, câu việc sử dụng kỹ thuật “tập giá trị” cho kết xác dễ dàng Từ kết việc khảo sát dẫn đến câu hỏi: Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số chương trình sách giáo khoa 12 lựa chọn kỹ thuật để giải ? Sự lựa chọn chương trình, sách giáo khoa ảnh hưởng đến thực tế dạy học ? Liệu giáo viên có quan tâm đến việc đa dạng hóa kỹ thuật để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số hay không? Ghi nhận nhóm câu hỏi thứ hai Từ ghi nhận ban đầu trên, cho thấy đa số học sinh lớp 12 tập trung vào kỹ thuật “đạo hàm” để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, điều làm cho tự hỏi rằng: Liệu học sinh có thật làm chủ kỹ thuật đạo hàm việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số hay không ? Từ đó, đề xuất toán sau đây: ; 3) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 + khoảng (Chúng dự đoán học sinh đưa cách giải sau: Giải Ta có 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 − ; 𝑓 ′ (𝑥) = ⟺ 𝑥 = ±1 Sau bảng biến thiên f khoảng (-3;3) x f’(x) -3 -1 + - + f(x) -1 Từ bảng biến thiên, ta 𝑚𝑎𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑓 (−1) = 𝑥∈(−3;3) 𝑚𝑖𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑓 (1) = −1 𝑥∈(−3;3) Bài toán không tồn giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, nhiên lựa chọn học sinh hoàn toàn sai, từ dẫn đến nhóm câu hỏi thứ hai: Khi sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số học sinh có thật làm chủ kỹ thuật hay không ? Học sinh mắc phải sai lầm ? Các sai lầm xuất phát từ đâu ? Có quy tắc hợp đồng hình thành từ thể chế ? Sau phân tích ghi nhân đưa câu hỏi cần giải đáp, định chọn đề tài “Nghiên cứu giá trị lớn giá trị nhỏ Trung học phổ thông” làm chủ đề cho luận văn Tuy nhiên, thời gian có hạn nên tập trung nghiên cứu giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khối lớp 12 Đồng thời để thấy tiến trình hình thành khái niệm giá trị lớn giá trị nhỏ khối lớp 12, xuất kỹ thuật “tập giá trị” nên định phân tích cách tổng quát vấn đề liên quan đến giá trị lớn giá trị nhỏ khối lớp 11 Mục đích nghiên cứu phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích luận văn nghiên cứu tìm lời giải cho phép trả lời câu hỏi mà nêu Để làm điều đó, vận dụng công cụ lý thuyết didactic toán, cụ thể thuyết nhân học với khái niệm quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế, tổ chức toán học, tổ chức didactic khái niệm hợp đồng didactic để phục vụ cho trình nghiên cứu Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) thể chế I với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Nó cho biết O xuất đâu, nào, tồn sao, có vai trò gì,…trong thể chế I Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) cá nhân X với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu O, thao tác O sao? Việc học tập nhân X đối tượng tri thức O trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O) Hiển nhiên, tri thức O, quan hệ thể chế I mà cá nhân X thành phần, luôn để lại dấu ấn quan hệ R(X,O) Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt R(I,O) Tổ chức toán học Theo lý thuyết nhân học, tổ chức toán học phận gồm thành phần [Τ, 𝜏, 𝜃, Θ] Τ kiểm nhiệm vụ, 𝜏 kỹ thuật cho phép giải kiểm nhiệm vụ T, 𝜃 công nghệ giải thích cho kỹ thuật 𝜏, Θ lý thuyết giải thích cho công nghệ 𝜃 Việc phân tích tổ chức toán học liên quan đến đối tượng trị thức O cho phép vạch rõ mối quan hệ R(I,O), từ hiểu quan hệ mà cá nhân X trì tri thức O Đồng thời, thông qua việc phân tích này, ta xác định số quy tắc hợp đồng dạy học Hợp đồng dạy học Hợp đồng dạy học mô hình hóa quyền lợi nghĩa vụ ngầm ẩn giáo viên học sinh đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy “Trong buổi học có mục đích dạy cho học sinh kiến thức định, học sinh hiểu tình giới thiệu, câu hỏi đặt ra, thông tin cung cấp, ràng buộc áp đặt, tùy theo giáo viên thực hiện, có ý thức hay không, cách lặp lặp lại thực tiễn giảng dạy Trong thói quen này, ta quan tâm đặc biệt đến đặc thù cho kiến thức giảng dạy: ta gọi hợp đồng dạy học tập hợp cách ứng xử (chuyên biệt) thầy học sinh trông đợi tập hợp ứng xử học sinh mà thầy trông đợi” G.Brousseau (1980) Hợp đồng dạy học tập hợp quy tắc phân chia hạn chế trách nhiệm bên, học sinh giáo viên, tri thức toán học giảng dạy Khái niệm hợp đồng dạy học cho phép ta giải thích ứng xử giáo viên học sinh, tìm ỹ nghĩa hoạt động mà họ tiến hành, từ giải thích cách rõ ràng xác kiện quan sát lớp học Sau trình bày sơ lược cộng cụ didactic, giải thích ngắn gọn lý chúng tội lại sử dụng công cụ cho mục đích nghiên cứu Đối tượng O : giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Cá nhân X : người vị trí giáo viên hay học sinh Thể chế I : thể chế dạy học theo chương trình giải tích 12 hành Các thuật ngữ quan hệ R(I,O), quan hệ R(X,O) gắn liền với nhóm câu hỏi liên quan đến lựa chọn chương trình sách giáo khoa ảnh hưởng lên hoạt động dạy giáo viên học học sinh O Đồng thời, việc phân tích tổ chức toán học liên quan đến O cho phép làm rõ R(I,O) công cụ đắc lực để phân tích thực tế dạy học Liên quan đến việc giáo viên có quan tâm đến việc đa dạng kỹ thuật tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hay không? Những kiểu nhiệm vụ mà giáo viên muốn học sinh biết, Chúng sử dụng khái niệm tổ chức Didactic để nghiên cứu thực hành giảng dạy 10 giáo viên, phân tích hoạt động giáo viên lớp học Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic cho phép giải thích cách ứng xử giáo viên học sinh, cho phép giải thích số kiện lớp học số sai lầm mà học sinh mắc phải Từ việc dựa theo khung lý thuyết tham chiếu chọn phân tích ban đầu, đề câu hỏi nghiên cứu sau đây: CH1: Trong chương trình sách giáo khoa toán lớp 12, đối tượng giá trị lớn giá trị nhỏ tồn sao? Những kỹ thuật giải lựa chọn? Những kỹ thuật thể chế ưu tiên? Có giải thích đưa cho lựa chọn đó? CH2: Trong thực tế dạy học, giáo viên thiết lập tổ chức didactic để tiến hành giảng dạy tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số? Có khác biệt tổ chức toán học dạy với tổ chức toán học cần dạy ? CH3: Cách trình bày sách giáo khoa giá trị lớn giá trị nhỏ có ảnh hưởng quan hệ cá nhân giáo viên học sinh với đối tượng này? Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Để đạt mục tiêu nghiên cứu, tiến hành phương pháp sau: Trước hết tiến hành phân tích chương trình sách giáo khoa toán 11 12 để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị lớn giá trị nhỏ nhằm để trả lời cho câu hỏi CH1 Đối với câu hỏi CH2 liên quan đến thực hành dạy học giáo viên nên tiến hành quan sát lớp học, phân tích điều kiện ràng buộc ảnh hưởng đến hoạt động giáo viên Cuối cùng, thông qua nghiên cứu thực nghiệm đối tượng giáo viên học sinh, kiểm chứng giả thuyết rút sau phân tích chương trình sách giáo khoa, từ giúp tìm yếu tố để trả lời cho câu hỏi CH3 lại Với tiến trình vậy, chia luận văn thành phần sau: Mở đầu Chương Nghiên cứu quan hệ thể chế giá trị lớn giá trị nhỏ Chương Nghiên cứu thực hành giảng dạy giáo viên giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Chương Thực nghiệm sư phạm Kết luận 11 CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU VỀ QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Mục tiêu chương nghiên cứu quan hệ thể chế với đối tượng giá trị lớn giá trị nhỏ Để đạt mục tiêu trên, chọn phân tích chương trình sách giáo khoa toán 11 12 hành theo chương trình nâng cao (sử dụng sách giáo khoa nâng cao) nhằm trả lời câu hỏi: CH1: Trong chương trình sách giáo khoa toán lớp 12, đối tượng giá trị lớn giá trị nhỏ tồn sao? Những kỹ thuật giải lựa chọn? Những kỹ thuật thể chế ưu tiên? Có giải thích đưa cho lựa chọn đó? 1.1 Giá trị lớn giá trị nhỏ lớp 11 1.1.1 Giá trị lớn giá trị nhỏ chương trình toán lớp 11 Chương trình Đại số Giải tích 11 nâng cao gồm chương: Chương I Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Chương II Tổ hợp xác suất Chương III Dãy số, cấp số cộng cấp số nhân Chương IV Giới hạn Chương V Đạo hàm Trong chương này, toán giá trị lớn giá trị nhỏ chủ yếu đề cập chương I với học sau: Bài Các hàm số lượng giác Bài Phương trình lượng giác Bài Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản Sau xem xét sách giáo khoa nhận thấy toán giá trị lớn giá trị nhỏ chủ yếu nằm phần tập học Các khái niệm giá trị lớn giá trị nhỏ chưa định nghĩa đưa vào giảng dạy cách thức, có lẽ phần trọng tâm chương này, mục tiêu mà sách giáo viên nhấn mạnh rằng: “Về kiến thức Giúp học sinh - Hiểu khái niệm hàm số lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx tính chất tuần hoàn chúng; 12 - Nắm biến thiên hình dáng đồ thị hàm số lượng giác nêu trên; - Hiểu cách tìm nghiệm phương trình lượng giác phương pháp giải số dạng phương trình lượng giác đơn giản Về kĩ Giúp học sinh - Biết xét biến thiên, vẽ đồ thị hàm số lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx số hàm lượng giác đơn giản khác; - Giải thành thạo phương trình lượng giác bản; - Biết cách giải số dạng phương trình lượng giác không phức tạp quy phương trình bậc bậc hai hàm số lượng giác.” [15, tr.15] 1.1.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ sách giáo khoa toán lớp 11 Khái niệm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số chưa định nghĩa toán liên quan đến đối tượng lại xuất sách giáo khoa để tìm kiếm vấn đề liên quan đến giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, có lưu ý đến vài nhận xét mà sách giáo khoa trình bày: “Khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận giá trị thuộc đoạn [-1 ; 1] Ta nói tập giá trị hàm số y = sinx đoạn [-1 ; 1].” “Khi x thay đổi, hàm số y = cosx nhận giá trị thuộc đoạn [-1 ; 1] Ta nói tập giá trị hàm số y = sinx đoạn [-1 ; 1].” Sách giáo khoa có đề cập đến khái niệm tập giá trị hàm số y = sinx, y = cosx cách đơn giản cách nêu lên nhận xét Từ nhận thấy, có ngầm ẩn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sinx y = cosx thông qua khái niệm tập giá trị Chẳng hạn: 𝜋 Hàm số y = sinx có giá trị lớn 𝑥 = + 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛) giá trị nhỏ 𝜋 -1 𝑥 = − + 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛) Hàm số y = cosx có giá trị lớn 𝑥 = 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛) giá trị nhỏ -1 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛) 13 Với nhận xét trên, cho công nghệ để giải thích cho kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ liên quan đến giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác Các tổ chức toán học gắn với giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Kiểu nhiệm vụ Tlg1: “Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số chứa sinu (hoặc cosu), với u hàm số theo biến x” Ví dụ: Bài tập [14, tr.14] với hướng dẫn nêu [15, tr.22] “Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: 𝜋 b) 𝑦 = �1 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥 ) − a) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 �𝑥 + � + 3 c) 𝑦 = 4𝑠𝑖𝑛√𝑥 Hướng dẫn: 𝜋 a) Do hàm số 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 �𝑥 + � đạt giá trị lớn 1, giá trị nhỏ -1 (để ý 𝜋 𝑢 = 𝑥 + lấy giá trị thực tùy ý x thay đổi) nên hàm số 𝜋 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 �𝑥 + � + đạt giá trị lớn 5, giá trị nhỏ 𝜋 b) Do 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 ) đạt giá trị lớn (khi 𝑥 = + 𝑘2𝜋, k nguyên không âm), 𝜋 đạt giá trị nhỏ -1 (khi 𝑥 = − + 𝑘2𝜋, k nguyên dương) nên hàm số 𝑦 = �1 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥 ) − đạt giá trị lớn √2 − giá trị nhỏ -1 𝜋 c) Do 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛�√𝑥� đạt giá trị lớn (khi √𝑥 = + 𝑘2𝜋, k nguyên không âm), 𝜋 đạt giá trị nhỏ -1 (khi √𝑥 = − + 𝑘2𝜋, k nguyên dương) nên hàm số 𝑦 = 4𝑠𝑖𝑛√𝑥 đạt giá trị lớn giá trị nhỏ -4.” Kỹ thuật τlg1: 𝜋 - Hàm số y = sinu có giá trị lớn 𝑢 = + 𝑘2𝜋, 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 giá trị nhỏ 𝜋 -1 𝑢 = − + 𝑘2𝜋, 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 (hoặc hàm số y = cosu có giá trị lớn 𝑢 = 𝑘2𝜋, 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 giá trị nhỏ -1 𝑢 = 𝜋 + 𝑘2𝜋, 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛) - Sử dụng phép toán đại số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Công nghệ θlg1: Từ nhận xét: 14 “Khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận giá trị thuộc đoạn [-1;1] Ta nói tập giá trị hàm số y = sinx đoạn [-1;1].” “Khi x thay đổi, hàm số y = cosx nhận giá trị thuộc đoạn [-1;1] Ta nói tập giá trị hàm số y = sinx đoạn [-1;1].” Kiểu nhiệm vụ Tlg2: “Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 𝒚 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒙+𝒃𝒔𝒊𝒏𝒙+𝒄 𝒂′𝒄𝒐𝒔𝒙+𝒃′𝒔𝒊𝒏𝒙+𝒄′ có tập xác định R” Ví dụ: Bài tập 1.31 [16, tr.12] “1.31.a) Từ khẳng định “khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận giá trị tùy ý thuộc đoạn [-1;1]”, chứng minh rằng: x thay đổi, hàm số y = asinx + bcosx (a,b số, 𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0) lấy giá trị tùy ý thuộc đoạn �−√𝑎2 + 𝑏2 ; √𝑎2 + 𝑏2 � b)Xét hàm số 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥−1 Viết đẳng thức thành 𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥+3 (𝑦 − 1)𝑠𝑖𝑛𝑥 − (𝑦 + 1)𝑐𝑜𝑠𝑥 = −3𝑦 − 1, để suy x thay đổi, hàm số lấy giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện (𝑦 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 ≥ (3𝑦 + 1)2 Từ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho c)Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 𝑦 = Hướng dẫn: 𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥+3 2𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥+4 a) Ta có 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑎) nên dễ thấy hàm số y nhận giá trị tùy ý thuộc đoạn �−√𝑎2 + 𝑏2 ; √𝑎2 + 𝑏2 � b) Do |𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥| ≤ √2 nên sinx – cosx + ≠ với x Vậy cặp số (x, y) thỏa mãn 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥−1 𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥+3 khi: (y – 1)sinx – (y + 1)cosx = – (3y +1) Với giá trị y cho trước, biểu thức vế trái đẳng thức lấy giá trị tùy ý thuộc đoạn �−�(𝑦 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 ; �(𝑦 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 � Đẳng thức cho thấy –(3y+1) phải thuộc đoạn đó, tức là: (3𝑦 + 1)2 ≤ (𝑦 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 Vậy với y thỏa mãn điều kiện này, tồn x để (𝑦 – 1)𝑠𝑖𝑛𝑥 – (𝑦 + 1)𝑐𝑜𝑠𝑥 = – (3𝑦 + 1) 15 Để ý bất đẳng thức tương đương với 7𝑦 + 6𝑦 − ≤ tức −1 ≤ 𝑦 ≤ Từ ta suy giá trị lớn giá trị nhỏ y theo thứ tự –1 c) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥+3 2𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥+4 Để ý |2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 | ≤ √5, nên 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + ≠ với x Vậy (x, y) thỏa mãn đẳng thức (𝑦 + 2)𝑠𝑖𝑛𝑥 + (1 − 2𝑦)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 4𝑦 − Lập luận tương tự câu b), hàm số y lấy giá trị cho (4𝑦 − 3)2 ≤ (𝑦 + 2)2 + (1 − 2𝑦)2 Bất đẳng thức tương đương với 11𝑦 − 24𝑦 + ≤ tức 11 ≤𝑦≤2 Vậy giá trị lớn giá trị nhỏ y theo thứ tự Kỹ thuật τlg2: “Tập giá trị” - Biến đổi hàm số 𝑦 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐 𝑎′𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑏′𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐′ 11 ” thành phương trình (𝑦𝑏′ − 𝑏)𝑠𝑖𝑛𝑥 + (𝑦𝑎′ − 𝑎)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐 − 𝑦𝑐′ - Suy điều kiện phương trình là: (c − yc′)2 ≤ (yb′ − b)2 + (ya′ − a)2 (*) - Giải bất phương trình theo ẩn y, kết luận giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Công nghệ θlg2: Nhận xét “khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận giá trị tùy ý thuộc đoạn [-1;1]” Thông qua tập này, sách giáo khoa hình thành nên kỹ thuật, kỹ thuật dựa việc biến đổi hàm số lượng giác thành phương trình lượng giác dạng bậc sinx cosx, sau áp dụng khái niệm tập giá trị quy tắc bất đẳng thức để tìm lời giải đáp Chính vậy, gọi kỹ thuật giải kỹ thuật tập giá trị Một điều cần lưu ý toán Sau tìm hai giá trị m M cho 𝑚 ≤ 𝑦 ≤ 𝑀, không tìm thấy có giải thích việc tồn điểm x ∈ D cho y(x) = m (hoặc y(x) = M) Nhưng ta hiểu rằng: Để tìm điểm x ∈ D cho y(x) = m, ta giải phương trình (𝑚𝑏′ − 𝑏)𝑠𝑖𝑛𝑥 + (𝑚𝑎′ − 𝑎)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐 − 𝑚𝑐′ 16 (1) Để tìm điểm x ∈ D cho y(x) = M, ta giải phương trình (𝑀𝑏′ − 𝑏)𝑠𝑖𝑛𝑥 + (𝑀𝑎′ − 𝑎)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐 − 𝑀𝑐′ (2) Do phương trình (1) (2) có nghiệm (do thỏa mãn điều kiện (*)) nên ta có đủ điều kiện để kết luận giá trị lớn hàm số M giá trị nhỏ hàm số m Từ đó, cho phép phát biểu qui tắc hợp đồng: Khi sử dụng kỹ thuật tập giá trị để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, sau tìm hai giá trị m M cho 𝑚 ≤ 𝑦 ≤ 𝑀, học sinh không quan tâm đến việc tồn x ∈ D cho y(x) = M (hoặc y(x) = m) mà kết luận giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số tương ứng M m Cụ thể, tập 1.31c) sau tìm giá trị y thỏa ta cần phải tìm giá trị x cho y = 𝑦 = 4𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 11 11 ≤ 𝑦 ≤ 2, chúng tức giải phương trình: 24𝑠𝑖𝑛𝑥 + 7𝑐𝑜𝑠𝑥 = −25 Do phương trình có nghiệm, tức tồn giá trị x nên ta có đủ điều kiện để kết luận giá trị lớn hàm số cần tìm giá trị nhỏ hàm số 11 Theo tác giả Nguyễn Hồng Tú “…Các toán giải kỹ thuật tập giá trị nằm sách tập chiếm số lượng ỏi so với toán giải kỹ thuật bất đẳng thức (2 so với 18) Từ đó, cho học sinh đến kỹ thuật tập giá trị họ học sách giáo khoa” Chúng đồng ý với nhận xét này, đồng thời nhận định rằng, việc sử dụng kỹ thuật tập giá trị để giải toán trên, ta kỹ thuật giải không ? Chẳng hạn, sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” (chúng phân tích phần sau), kỹ thuật “thuận lợi” việc tìm lời giải học sinh ưu tiên lựa chọn kỹ thuật nhiều hơn? Vì sao? Nhận xét Qua phân tích sơ lược chương trình sách giáo khoa khối 11 nâng cao, liên quan đến giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, nhận thấy chủ yếu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác, đặc biệt có lưu ý đến hai tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, cụ thể có kiểu nhiệm vụ sau: 17 Kiểu nhiệm vụ Tlg1: “Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số chứa sinu (hoặc cosu) với u hàm số theo biến x” Kiểu nhiệm vụ Tlg2: “Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y= acosx+bsinx+c a′cosx+b′sinx+c′ có tập xác định R” Trong hai kiểu nhiệm vụ liên quan đến toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, quan tâm đến kiểu nhiệm vụ Tlg2 để giải chúng sách giáo khoa 11 sử dụng kỹ thuật “tập giá trị” chủ yếu, xuất kiểu nhiệm vụ nên dự đoán sau học sinh sử dụng kỹ thuật nữa, học sinh khối lớp 12, chủ yếu sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” để giải kiểu nhiệm vụ Theo dự đoán chúng tôi, tập 1.31c) hầu hết học sinh khối lớp 12 giải sau: cosx + 2sinx + 2cosx − sinx + y= Tập xác định: D = R (vì 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + ≠ với x) y′ = 2sinx + 11cosx + (2cosx − sinx + 4)2 Giải phương trình: 2sinx + 11cosx + = Đến đây, học sinh gặp khó việc giải phương trình để tìm nghiệm, lập bảng biến thiên kết luận Từ đó, cho thấy tùy thuộc vào loại toán mà có kỹ thuật khác nhau, thích hợp cho loại Và để tìm hiểu thêm kỹ thuật đạo hàm tiến trình xuất toán giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, tiếp tục phân tích chương trình sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao 1.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ lớp 12 1.2.1 Giá trị lớn giá trị nhỏ chương trình toán lớp 12 Chương trình sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao bao gồm chương: Chương I Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Chương II Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit Chương III Nguyên hàm, tích phân ứng dụng Chương IV Số phức Bài toán liên quan đến giá trị lớn giá trị nhỏ chủ yếu nằm chương I chương trình với mục tiêu chương là: 18 [...]... trên và đưa ra các câu hỏi cần giải đáp, chúng tôi quyết định chọn đề tài Nghiên cứu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở Trung học phổ thông làm chủ đề cho luận văn của mình Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ở khối lớp 12 Đồng thời để thấy được tiến trình hình thành khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. .. giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số lượng giác, đặc biệt chúng tôi có lưu ý đến hai tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, cụ thể là có các kiểu nhiệm vụ sau: 17 Kiểu nhiệm vụ Tlg1: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa sinu (hoặc cosu) với u là hàm số theo biến x” Kiểu nhiệm vụ Tlg2: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. .. nhau, thích hợp cho từng loại đó Và để tìm hiểu thêm về kỹ thuật đạo hàm cũng như tiến trình xuất hiện bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chúng tôi tiếp tục phân tích chương trình và sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao 1.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 12 1.2.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán lớp 12 Chương trình sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao... giá trị lớn nhất là 1 khi 𝑥 = 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛) và giá trị nhỏ nhất là -1 khi 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛) 13 Với những nhận xét trên, chúng tôi cho đây chính là công nghệ để giải thích cho kỹ thuật giải các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác Các tổ chức toán học gắn với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Kiểu nhiệm vụ Tlg1: “Tìm giá trị lớn nhất. .. học liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số? Có sự khác biệt nào giữa tổ chức toán học được dạy với tổ chức toán học cần dạy ? CH3: Cách trình bày của sách giáo khoa về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có ảnh hưởng như thế nào đối với quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh với đối tượng này? 3 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Để đạt được mục tiêu nghiên cứu, ... chương trình và sách giáo khoa toán lớp 12, đối tượng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tồn tại ra sao? Những kỹ thuật giải nào đã được lựa chọn? Những kỹ thuật nào được thể chế ưu tiên? Có sự giải thích nào được đưa ra cho sự lựa chọn đó? 1.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 11 1.1.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán lớp 11 Chương trình Đại số và Giải tích 11... giá trị thực tùy ý khi x thay đổi) nên hàm số 3 𝜋 𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠 �𝑥 + � + 3 đạt giá trị lớn nhất là 5, giá trị nhỏ nhất là 1 3 𝜋 b) Do 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 2 ) đạt giá trị lớn nhất là 1 (khi 𝑥 2 = + 𝑘2𝜋, k nguyên không âm), 2 𝜋 đạt giá trị nhỏ nhất là -1 (khi 𝑥 2 = − + 𝑘2𝜋, k nguyên dương) nên hàm số 𝑦 = 2 �1 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥 2 ) − 1 đạt giá trị lớn nhất là √2 − 1 và giá trị nhỏ nhất là -1 𝜋 c) Do 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛�√𝑥� đạt giá trị lớn. .. xem xét sách giáo khoa chúng tôi nhận thấy các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chủ yếu nằm ở phần bài tập của các bài học Các khái niệm về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chưa được định nghĩa và đưa vào giảng dạy một cách chính thức, có lẽ đây không phải là phần trọng tâm của chương này, bởi vì mục tiêu chính mà sách giáo viên đã nhấn mạnh rằng: Về kiến thức Giúp học sinh - Hiểu... sau khi phân tích chương trình và sách giáo khoa, từ đó giúp chúng tôi tìm ra các yếu tố để trả lời cho câu hỏi CH3 còn lại Với tiến trình như vậy, chúng tôi chia luận văn thành các phần sau: Mở đầu Chương 1 Nghiên cứu về quan hệ thể chế đối với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Chương 2 Nghiên cứu thực hành giảng dạy của giáo viên về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Chương 3 Thực... nghiệm sư phạm Kết luận 11 CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU VỀ QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Mục tiêu của chương này là nghiên cứu quan hệ thể chế với đối tượng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi chọn phân tích chương trình và sách giáo khoa toán 11 và 12 hiện hành theo chương trình nâng cao (sử dụng bộ sách giáo khoa nâng cao) nhằm trả lời các