333 bài toán (có giải chi tiết) về bất đẳng thức – giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ôn thi PTTHQG

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 8: Cho là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 9: Cho các số thực dương khác nhau đôi một thoả mãn , và Tìm giá trị lớn

Trang 1

Mục lục

Trang

A, Đề bài BĐT trong đề thi thử THPT QG năm học 2015-2016 trên cả nước……… ……… 6

B, Lời giải BĐT trong đề thi thử THPT QG năm học 2015-2016 của các sở GD&ĐT……… ………… 38

C, Lời giải BĐT trong đề thi thử THPT QG năm học 2015-2016 của các trường THPT chuyên………69

D, Lời giải BĐT trong đề thi thử THPT QG năm học 2015-2016 của các trường THPT không chuyên 111

E, Lời giải BĐT trong đề thi thử THPT QG năm học 2015-2016 của các diễn đàn, tạp chí………214

F, Bài tập tự luyện……….243 Phụ lục

1, Các kết quả, bổ đề được sử dụng trong tài liệu……… 264

2, 4 vấn đề về bất đẳng thức trong các kỳ thi thử……… 268

3, Một phong trào thú vị………272

VIETMATHS.NET

Trang 2

A, ĐỀ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ

THÔNG QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016 TRÊN CẢ NƯỚC

Câu 1: Cho ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 4: Cho các số thực không âm thỏa mãn , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

0

1 Câu 5: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Câu 6: Cho ba số thực không âm Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √ √ Câu 7: Cho [ ] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 8: Cho là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 9: Cho các số thực dương khác nhau đôi một thoả mãn , và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 10: Cho các số thực không âm thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 3

Câu 14: Cho các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 15: Cho là ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(

* ( * ( * Câu 16: Cho [ ] và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ Câu 17: Cho là các số thực dương thỏa mãn √ √ √ √ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ Câu 18: Cho là các số thực thoả mãn điều kiện và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 19: Cho ba số thực dương thoả mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 20: Cho là ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 4

√ √

Câu 23: Xét là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

( * (

* Câu 24: Cho các số thực dương thỏa mãn ( ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ Câu 25: Cho ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 26: Cho các số dương và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( ) ( *

Câu 27: Cho các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 28: Cho các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ √ Câu 29: Cho là các số thực thỏa mãn √ √ và [ ] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ √ Câu 30: Cho là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 31: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

VIETMATHS.NET

Trang 5

√ √ √ √ Câu 32: Cho là ba số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ / Câu 33: Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(

* Câu 34: Cho 2 số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất và của biểu thức:

√ √

Câu 35: Cho thỏa mãn {

Câu 36: Cho dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 37: Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

In In[ ] √ ( * Câu 38: Cho các số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 39: Cho ba số thực dương thoả mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ √

√ Câu 40: Cho là các số thực dương thoả mãn Chứng minh rằng:

Câu 41: Cho các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 6

Câu 42: Cho các số thực thoả mãn ( * Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ Câu 43: Cho các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 44: Xét các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 45: Cho là các số thực dương thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 46: Cho các số dương Chứng minh rằng:

√ √ Câu 47: Với các số thực dương Chứng minh bất đẳng thức:

Câu 48: Xét các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Câu 49: Cho là các số thực đôi một phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 51: Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 52: Xét là các số không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(√ √ √ ) { }

VIETMATHS.NET

Trang 7

Câu 53: Giả sử là các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √ √

√ √ Câu 57: Cho [ ] thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 60: Cho , , và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 61: Cho các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√

Câu 62: Cho là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 63: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 8

Câu 64: Cho các số dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √ √ √

Câu 67: Cho ba số thực dương thỏa mãn min { } Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 68: Cho ba số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

√ √ √ Câu 69: Cho ba số thực không âm thỏa mãn với ma { } đồng thời Tìm nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 70: Cho ba số thực không âm thỏa mãn với min { } Tìm lớn nhất của biểu thức:

Câu 73: Cho là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(√ √ √ )

Câu 74: Cho các số không âm thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 9

Câu 75: Cho thuộc đoạn [ ] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 76: Cho là các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√

/ √

/ Câu 77: Cho là các số thực dương thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 78: Cho là ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ Câu 79: Cho ba số thực dương , , thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 80: Cho ba số thực thoả mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( √ ) √ Câu 82: Cho và thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(

√ √ * Câu 84: Cho các số không âm sao cho tổng hai số bất kỳ đều dương Chứng minh rằng:

√ √ √

√ Câu 85: Cho 3 số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 10

Câu 86: Cho các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 87: Giả sử là các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 88: Cho hai số thực thuộc khoảng và thỏa mãn điều kiện

√ √ Câu 89: Cho là ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( * Câu 90: Cho là các số thực dương thoả mãn Chứng minh rằng:

√ √ √ Câu 91: Cho tam giác , tìm giá trị nhỏ nhất của biết rằng các góc thoả mãn điều kiện:

( * ( * Câu 92: Cho 2 số thực dương phân biệt thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 93: Cho là các số thực thuộc đoạn [ ] và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 94: Cho các số thực không âm thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√

Câu 95: Cho là các số thực không âm thoả mãn và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ Câu 96: Cho Chứng minh rằng: In log

VIETMATHS.NET

Trang 11

Câu 97: Cho là các số thực dương và Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 98: Cho [ thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 100: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:

√ √ Câu 102: Cho là các số thực dương thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √ Câu 103: Cho các số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 104: Cho là các số dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 105: Cho thoả mãn Chứng minh rằng:

√

Câu 106: Cho các số là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 107: Cho dương thoả mãn Chứng minh rằng:

VIETMATHS.NET

Trang 12

√

√ √

Câu 108: Cho là các số thực dương Chứng minh rằng:

Câu 109: Cho ba số thực [ ] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 110: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: √ √ √ √

Câu 112: Cho là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 113: Cho 3 số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: √

Câu 114: Cho là ba số thực dương thoả mãn điều kiện Chứng minh rằng:

Câu 115: Cho các số là các số thực dương và thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: √

Câu 116: Cho là ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 117: Cho các số thực thay đổi thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 118: Cho là ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

VIETMATHS.NET

Trang 13

√ √ √ Câu 119: Cho là 3 số dương thỏa mãn

Câu 120: Cho các số dương thỏa mãn , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

In Câu 121: Cho ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 122: Cho các số thực dương , , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ √ Câu 123: Giả sử là các số thực không âm thỏa mãn Chứng minh bất đẳng thức:

Câu 124: Cho là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng:

( * Câu 125: Cho là hai số thực thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 126: Cho là hai số thực dương thay đổi sao cho log log log Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√

Câu 127: Cho ba số thực dương thoả mãn Chứng minh rằng:

√

/Câu 128: Cho các số thực không âm thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 14

√ Câu 129: Cho là ba số dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ √ √ Câu 130: Cho là ba số dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 132: Cho 3 số thực dương, chứng minh rằng:

√ √ √

Câu 134: Cho thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 135: Cho là các số thực không âm thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √

Câu 136: Cho là các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √

√

Câu 137: Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 138: Cho là các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 15

√ Câu 140: Cho là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 141: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của P, với:

√ Câu 142: Cho thỏa mãn và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 143: Cho là các số thực dương và thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 144: Cho các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ Câu 145: Cho các số thực dương luôn thoả mãn Chứng minh rằng:

Câu 146: Cho là hai số thực dương Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 16

Câu 150: Cho ba số thực dương Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √ Câu 151: Cho là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ √ √ Câu 152: Cho ba số thực dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

( *

Câu 153: Cho hai số thực dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 154: Cho ba số dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của:

√ √ √ Câu 156: Cho ba số dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Câu 157: Cho và thỏa mãn min{ } Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ √

In ( )

√ Câu 158: Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(

* Câu 160: Cho thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 17

Câu 163: Cho các số thực thoả mãn và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 164: Cho ba số dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 169: Cho là ba số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của:

Câu 170: Cho , , là các số thực dương thỏa mãn và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ Câu 171: Cho , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 18

Câu 172: Cho các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Câu 173: Cho là ba số thuộc đoạn [ ] Chứng minh rằng:

Câu 174: Cho là các số thực thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√

Câu 175: Các số thực không âm thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 176: Các là các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√( * ( *

Câu 177: Cho các số thực dương , thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 178: Cho các số thực dương thoả mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 179: Cho ba số dương , , thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ Câu 180: Cho các số thực thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ Câu 181: Cho là các số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 19

√ √ √ √ Câu 182: Cho và không có hai số nào đồng thời bằng 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√

Câu 183: Cho các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 184: Cho các số thực thoả mãn √ √ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

√

√ Câu 185: Cho là các số thực dương thỏa mãn: Chứng minh:

Câu 186: Cho là ba số thực không âm thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 187: Cho là các số thực dương thoả mãn Chứng minh rằng:

Câu 190: Cho 3 số thực , thay đổi thỏa mãn {

Câu 191: Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 192: Cho các số thực dương Chứng minh rằng:

VIETMATHS.NET

Trang 20

Câu 193: Cho là các số thực thoả mãn điều kiện √ √ Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√

√ Câu 194: Cho là các số thực thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 195: Cho ba số thực dương thoả mãn điều kiện Chứng minh rằng

√ Câu 196: Cho là ba số dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ √ √ √ √ √ √ Câu 200: Xét là các số thực dương thoả mãn √ Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu 201: Xét , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

( * Câu 202: Cho các số thực dương thoả mãn Chứng minh rằng:

Câu 203: Cho là các số thực dương lớn hơn thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 21

√ √

√ √ Câu 205: Cho các số thực thoả mãn và Chứng minh rằng:

Câu 206: Cho là những số dương thoả mãn Chứng minh bất đẳng thức:

Câu 207: Cho là những số thực dương thoả mãn √ √ √ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 208: Cho là những số thực dương thay đổi thoả mãn Chứng minh rằng:

Câu 209: Cho các số thực thoả mãn điều kiện √ √ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Câu 210: Xét các số thực dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 211: Cho là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Câu 212: Cho là hai số thực dương và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

√ √ Câu 213: Cho , là các số dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Câu 215: Cho thuộc khoảng thoả mãn ( ) ( ) ( ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

VIETMATHS.NET

Trang 22

Câu 216: Cho là ba số thực dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Câu 217: Cho ba số thực không âm thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(√ )

Câu 218: Cho các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ √

Câu 223: Cho [ ] thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √ √ Câu 224: Cho là ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 225: Cho các số dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Câu 226: Xét ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 23

√ √ √ Câu 227: Cho ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 228: Cho là ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √ √

Câu 232: Cho các số thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 233: Biết rằng , , Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 234: Cho là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 235: Cho các số thực không âm thoả mãn Chứng minh rằng:

Câu 236: Cho các số thực dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 237: Cho là các số thực thoả mãn [ ] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 24

(

* ( √ ) Câu 239: Cho ba số thực dương thoả mãn Chứng minh rằng:

Câu 240: Cho hai số thực thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Câu 243: Cho các số thực dương Chứng minh bất đẳng thức:

* ( * ( * Câu 244: Cho các số thực thoả mãn Chứng minh bất đẳng thức:

(√ √ ) ( √ √ )

Câu 245: Cho ba số thực dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √ √ Câu 246: Cho ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 247: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 249: Cho là các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của

VIETMATHS.NET

Trang 25

Câu 250: Cho ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√log √log √log Câu 251: Cho tam giác không có góc tù Tìm giá trị lớn nhất của:

cos √ cos cos Câu 252: Cho là ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√

Câu 253: Cho là các số thực thoả mãn √ √ , và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 255: Cho các số thực thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ Câu 256: Cho là các số thực dương thuộc đoạn [ ] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 257: Cho là ba số thực dương Chứng minh rằng:

Câu 258: Cho là ba số thực dương thoả mãn Chứng minh rằng:

√ √ √ √ √ √ √ Câu 259: Cho là ba số thực thay đổi thuộc [ ] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 26

( *

Câu 262: Cho các số thực khác nhau thỏa mãn điều kiện và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(

* √ Câu 263: Cho là ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 264: Cho các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức:

Câu 265: Cho là các số thực dương, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 266: Cho ba số dương thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √

√

Câu 267: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

√(

* ( * ( *Câu 268: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

√

Câu 269: Cho các số thực thoả mãn và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

√ √ √

Câu 270: Cho là các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 27

/

√ Câu 271: Cho các số thực dương thỏa mãn: √ √ √ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 272: Cho , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 273: Cho các số thực không âm và thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 274: Cho các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 275: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ Câu 276: Cho là các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của:

Câu 277: Cho là những số thực dương và thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 279: Cho là ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√

VIETMATHS.NET

Trang 28

Câu 281: Cho hai số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 282: Cho là ba số thực không âm và thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √ √ Câu 283: Cho các số thực dương thay đổi thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 284: Cho là các số dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ √ √ Câu 285: Cho các số dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 286: Cho 2 số thực thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 287: Cho các số thực không âm thoả mãn và Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 288: Cho ba số thực , thuộc khoảng và thoả mãn √ Chứng minh rằng:

√ √ √

√

Câu 291: Cho là hai số thực thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 29

Câu 292: Cho ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 293: Cho Chứng minh rằng với mọi số thực , ta có:

Câu 294: Cho là ba số thực dương thoả mãn √ √ √ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

/

Câu 295: Cho các số thực dương thoả mãn điều kiện

Câu 296: Xét các số thực thay đổi sao cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √ √ √ √ √ /

Câu 297: Cho ba số thực thoả mãn {

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 298: Cho số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√

√ √

√ √ √ Câu 299: Cho [ ] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 300: Cho không âm thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√

Câu 301: Cho ba số thực không đồng thời bằng 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 30

Câu 302: Cho các số thực [ ] và min { } Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 303: Cho các số thực thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 304: Cho các số thực không âm thoả mãn

Câu 307: Cho các số thực dương và thoả mãn √ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√

Câu 308: Cho ba số thực thoả mãn log a log b log c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √ √ Câu 309: Cho các số thực dương thoả mãn Chứng minh rằng:

Câu 310: Cho các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 311: Cho các số thực không âm Chứng minh rằng:

VIETMATHS.NET

Trang 31

Câu 312: Cho Chứng minh rằng:

| √ ( √ ) ( √ ) √ | Câu 313: Cho các số thực thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ √

√ Câu 314: Cho các số thực [ ] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 315: Cho các số thực thoả mãn Chứng minh rằng:

√

√ Câu 316: Cho các số thực , [ ] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(

* ( ) ( *

Câu 319: Cho các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√ √ √

√ Câu 320: Cho các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(

* Câu 321: Cho hai số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VIETMATHS.NET

Trang 32

( √ ) ( √ ) In√

√

√ Câu 327: Cho các số thực dương thoả mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(

( ) ( )

Câu 330: Cho là các số thực thoả mãn , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 331: Cho các số thực [ ] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( * Câu 332: Cho Chứng minh rằng

Trang 33

VIETMATHS.NET

Trang 34

B, LỜI GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016 CỦA CÁC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu 1: Cho ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trong đó là các số thực dương thỏa mãn ”

Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được:

Mặt khác vì nên √ Đặt √ ] và Khi đó:

Do đó:

√ ]

Ta lại có

( √ )

√ ] Suy ra là hàm nghịch biến trên miền √ ] , suy ra √ nên

( √ ) √

√ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

VIETMATHS.NET

Trang 35

√

Vậy giá trị nhỏ nhất của √

√ đạt được khi √ Câu 2: Cho ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Suy ra là số đo ba góc nhọn của một tam giác Mặt khác, lại có:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

sin sin sin √ ( *

( ) √ Bài toán hoàn tất tại đây

Câu 3: Cho hai số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Sở GD&ĐT Bắc Giang, lần 2, ngày 18/6/2016

VIETMATHS.NET

Trang 36

Lời giải:

Biến đổi biểu thức cùng bổ đề , ta dễ thấy:

Bài toán hoàn tất tại đây, chú ý rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {

Câu 4: Cho các số thực không âm thỏa mãn , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

0

1

Sở GD&ĐT Bắc Ninh Lời giải:

Đẳng thức xảy ra khi chẳng hạn , Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là Chú ý rằng có thể đặt sau đó ét hàm cho nhẹ nhàng hơn

Câu 5: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Trang 37

Đẳng thức xảy ra khi Vậy bài toán được giải quyết hoàn toàn

Chú ý rằng đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử số 5 của dethithu.net năm 2016

Câu 6: Cho ba số thực không âm Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

√ √ √

Sở GD&ĐT Bình Phước, lần 1 Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có đánh giá:

√ √

Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Sóc Sơn, Hà Nội, lần , trường THPT Yên Lạc , Vĩnh Phúc, lần 4

Câu 7: Cho [ ] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Sở GD&ĐT Bình Phước, lần 2 Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc , ta thu được:

( ) ( )

VIETMATHS.NET

Trang 38

Đặt vì [ ] nên [ ] Sử dụng kết quả vừa chứng minh thu được:

[ ] vì

[ ]/

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {

[ ]

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là

, đạt được khi Câu 8: Cho là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 Trước tiên ta chứng minh Côsi cho 7 số: Với i , ̅̅̅̅ , ta luôn có: ∑ √∏ Thật vậy áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Côsi cho 2 số ta thu được:

∑

√ √ √∏

Chọn ∑ , ta thu được điều phải chứng minh

2 Trở lại bài toán chính, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 7 số ta có:

√

/ Miền ác định của là , tính ta được √

75

29

VIETMATHS.NET

Trang 39

Đẳng thức xảy ra khi

{

Vậy giá trị nhỏ nhất của là đạt được khi ( )

Câu 9: Cho các số thực dương khác nhau đôi một thoả mãn , và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Sở GD&ĐT Cà Mau Lời giải:

Đặt , suy ra ( + Từ điều kiện đã cho ta có Thay vào và biến đổi ta được:

( ]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 8

, chẳng hạn như

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là khi

Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, lần 2, ngày 20/3/2016 và trường THPT Hoà Bình, Bình Định

VIETMATHS.NET

Trang 40

Sở GD&ĐT Cao Bằng Lời giải:

Do vai trò bình đẳng nên giả sử min { } Từ giả thiết suy ra * +

Mặt khác ta có ngay:

{ {

Khi đó, ta được:

( *

[

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

Câu 11: Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Sở GD&ĐT Đồng Tháp, ngày 23/5/2016 Lời giải:

Trước tiên ta sẽ chứng minh rằng với mọi số thực dương thì:

√

Thật vậy bất đẳng thức này tương đương với:

(

√ * 0

√ (√ )1

VIETMATHS.NET

Định dạng
Số trang	266
Dung lượng	7,54 MB