40 bài tập phương trình, bất phương trình mũ logarit (có lời giải chi tiết)

Vậy phương trình có hai nghiệm x 1.

40 BÀI TẬP PHƯƠNG TRINH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

3

2

3

x

x



 ĐK: x > 1

3

3 x2.3x3 log x  1 3 2.3x3 x 3x 3 3 x1 log 3x  1 1 0

4

3









 



3

x

2 Giải phương trình: ( )log 3 ( )log 3 2

3

ĐK: x > 0

3

log log

log

2

3

x

√ - √ =

Đặt t = √ ; t > 0 ; Phương trình trở thành:

 3t2 – 2t -3 = 0

√

√

3

vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3

3 iải phương trình au :

log (4x 8x4)log x 2x 4x2

 Đi u iện : x0

2

2

4

x

2

VT VP







4 4

1 ( / )

x

x x



  



Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

4 Giải phương trình: 2 2 6 3 2 3 1 2 2 6 3

2 6

3 x  x  x  x  x  x

3 6 2 1 3 3

6

2 6

2 6

3 x  x   x x  x  x 

3 1 3 1 3 1

3.9x  x 6x  x 2.4x  x

Chia 2 vế phương trình cho 2 3 1

4x  x ta được:

 

0 2 2

3 2

3 3

1 3 1

3





























 x  x x  x

2

2













t

x x

3t   t 2 0 

 















3 2

1

t

l t

Với

3

2



t , ta được : x2 3x20  x = 1  x = 2

Tập nghiệm của phương trình là S  2 ;1

5 Giải phương trình: 1log9 x 3log9 x log3 x1

Đi u iện ác định: ≥

1 log log

3 log

12log9 x2log9 x1  1log9 x 3 log9 x 2log9x1  1log9 x3 log9x 10

 2log9 x1 vì: 1log9 x 3log9 x10

 x = 3

Vậy nghiệm phương trình đã cho là: 3

6 Giải bất phương trình: 3

1

2

x x  x 

7 Giải bất phương trình : 6log (24 x3)22log (2 x1)3log (22 x1)3.

ĐK:



    

   

    

x

1

2

2

Ta có:

TH1: 1 x 3

(1) (2 3)( 1) 2 1 2 4 0

Kết hợp với đi u iện 1    x 3 1 x  1 33

TH2: x 3

2

2

2 (1) (2 3)( 1) 2 1 2 3 2 0 1

2

x

x







  



Kết hợp với đi u iện x  3 x 2

2

ĐK: x0

3

3

3

Đặt t 6

0

x Ta được BPT

3t     t 2 0 (t 1)(3t  2t 2)  0 t 1

Thay lại ta có tập nghiệm S [0; ]

KL: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là      



2

log x 2 log x 5 log 80

5

x

x





  



Phương trình log2 x 2 log2 x 5 log 82 log2x2 x5log 82  x 2 x 5 8

  



6

x

x





2

2

x

x

  







        

  







thỏa mãn

2

9 Giải phương trình log (4 x 3) log2 x  1 2 3log 24

Đ đ: x1

3

1

x

x





3

2

1

x

x



   x 3 2x  2 x 5 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm là x5

10 Giải phương trình: 1log 2( 3) 1log (4 1)8 3log (4 )8

iải phương trình:

) 4 ( log 3 ) 1 ( log 4

1 ) 3

(

log

2

1

8 8

4

2 x  x  x

(1) Điều kiện:

3

0

x

x

 



    



 



Khi đĩ

 1 log2x3 x1log2 4x

x  x x  x  x   x







2

2

 

 

x

x

 









     

  





   



1 loại

3 2 3 loại

Tập nghiệm của phương trình

11 Giải bất phương trình au log 3 log 3 2

3

12 Giải bất phương trình

2

0



6

x

 



 



Đi u iện: x0

3

log log

3

x

3

x

t



Bất phương trình trở thành:

2

t



        Vì t0)

Từ đĩ ta cĩ: log3 x  1 x 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S 3;)

2 3

2

0

3 3

3

log 4

0

x x



 

  

0

x

3

0 6

x

x



 3 

2 log 4 3

0 1

x





  

Kết hợp đ uy ra nghiệm của bất phương trình là: 0 x 6

13 iải phương trình : log (x 3) 5

ĐK : x > 0

PT đã cho tương đương với : log5( x + 3) = log2x (1)

Đặt t log2x, suy ra x = 2t

5

ptlog 2     3 t 2 3 5

t t

   

     

Xét hàm ố : f(t) =

t t

3

    

   

   

f'(t) =

       

Suy ra f t nghịch biến trên R

Lại có : f nên PT 2 có nghiệm duy nhất t hay log2x = 1

Vậy nghiệm của PT đã cho là : 2

1

2

Đi u iện: x3

Bất phương trình đã cho tương đương:

2

  

2

3

x

x



      



  (Do x   3 x 2 0)

3

x

x



 2

9 1

x

10

x x

  

 





Kết hợp với đi u iện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là: x 10

15 Giải phương trình: 3 2x x3x2x1

Ta có: 3 2x x  3x  2 x  1  3 (2x x   1) 2 x  1 (1)

-Nhận ét: 1

2 hông là nghiệm của phương trình

2

x



x





2

 

'( ) 3 ln 3x 0

f x    f x là hàm luôn đồng biến trên ( ) ;1

2

 

 

 2

4

x



1

; 2

 

 

Suy ra phương trình 2 có nghiệm duy nhất trên ;1

2

 

  Ta thấy: x 1là nghiệm duy nhất của

2

 

 

+ Xét trên hoảng 1;

2

 

'( ) 3 ln 3x 0

f x    f x là hàm luôn đồng biến trên ( ) 1;

2

 

 

 2

2

x

1

; 2

 

 

Suy ra phương trình 2 có nghiệm duy nhất trên 1;

2

 

  Ta thấy: x1là nghiệm duy nhất của

phương trình trên 1,

2

 

 

Vậy phương trình có hai nghiệm x 1

16 Giải phương trình: (x1) log 3 log (37  7 x1 3) log (11.37 x9)

Đi u iện:

1

3

x

x





 



Khi đó phương trình tương đương với:

1 1

2

 

2

x

x

x x

    thỏa mãn

Kết luận : Nghiệm phương trình là : 0; 2

17 Giải bất phương trình au 4

2

log (2 x) log (4 18x)0

2

log (2 x) log (4 18x)0

0 18

4

0 18

, 0 2





















x x

x x

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

2

2 x   x  2x4418x Đặt t418x Khi đó 0t4 20 và bất phương trình trở thành : 20t4 4t

t t

                    

Suy ra 418x2x2

Kết hợp với đi u iện, ta có nghiệm của bất phương trình là 2x2

2

x x

2 x  x ta được

4

2

Đặt

2

2

2

x x



  

ta được t216t 1 0

iải ra

2

2

2

2

t

t



     







Suy ra

2

2





 

 

2

2

2 3

2

x

x

x x

x

  











(*)

Biến đổi pt đã cho ta được:

2 2

4

2

x

x



3

 

4

t







 2  2 3

x

   

  



Vậy nghiệm của phương trình là x  2 3

20 iải phương trình: 12 6 x 4.3x3.2x

pt4 3 x 3 2 3 3x  x0

3 3 0

x

x

  

 



1

2

x

x







Vậy PT có hai nghiệm x1,x2

21 iải bất phương trình : 5.36x2.81x3.16x 0

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho 8 x ta được bất phương trình tương đương:

2

9

x

    , đ t0

Bất phương trình trở thành: 3t2

-5t+20

2 3 1

t t

 











Kết hợp với đ ta được:

2 0

3 1

t t

  









Suy ra

1

2

1 9

x

x

x x

  

    



 



2

log x  2 log x log 4 x  log x  6  0 ĐK: >0

3

2 3

2

2

2

x x

 





4

x

x







 

 

4

x x









 



23 Giải phương trình log (38  x) log (1 2 )27  x

log (3 x) log (1 2 ) x

2

x

  

Đặt

 

t

t

x

x

  





Xét hàm ố ( ) 2.8f t  t27t

Với f t'( )2.8 ln 8 27 ln 27t  t   0, t

Nên ( )f t là hàm ố đồng biến trên phương trình có nghiệm duy nhất

f   f t  t

3

t vào ta được x 1thoả mãn đi u kiện

Vậy, x 1là nghiệm của phương trình

24 Giải bất phương trình log2 3x 1 6    1 log27 10 x 

3

3

   bất phương trình tương đương với 49x2 418x 369 0 1 x 369

49

49

 

1

x

x

  

 

 1 log2 x  1 2 log24 x log2x4

 

 

2 2

2

 2

2

2 6

2 2 6

2 2 6

x x

x

x

 

  

      



  

2

2 2 6

x x





   

Kết hợp với đi u iện uy ra nghiệm của là 2 4

x x

 



   

log (x 3x 2) log (x 5 x 6)  2 log 3

Đi u iện:

2 2

2

3

x

x





  

  

log (x 3x 2) log (x 5 x 6)  2 log 3

(x 2)(x 1)(x 2)(x 3) 12

4

tx  x phương trình trở thành (t2)(t 2) 12

4

t

t







2

2

  







       

  











Kêt luận :

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm 0, 1, 1 33, 1 33

27 Tìm các giá trị của m để bất phương trình au có nghiệm đúng với mọi x0

81 x 2 9 3m x x(2m3).9 x 0

Đi u iện: x0 Chia cả 2 vế cho 2

3 x ta được: 32(24x x)2 3m 24x x2m 3 0

Bài toán tương đương là tìm m để:

2

3

t m t

 



 với mọi t, 0 t 3

Xét hàm ố:

2

3

t y

t

 



 với 0 t 3,

2 2

y

t



2

m 

2

log 2 logx  x4log x8

Đi u iện:

1

2





( )

Với đi u iện ( ) phương trình tương đương với

2

1

1 log 2

x



1

3 3

1

3

2

x

29 Giải phương trình:   2  2

2 1

x

Đặt

2

2

x

t

5

t

t







2

3 5 2

2

0

5 2

x

x

x

x





  



30 Giải bất phương trình: log22 xlog2 x2 3 5(log4 x2 3)

ĐK:















0 3 log

log

0

2 2 2

2 x x

x

Bất phương trình đã cho tương đương với log22 xlog2x2 3  5(log2 x3) (1)

Đặt t = log2x,

BPT (1) t2 2t3 5(t3) (t3)(t1)  5(t3)

  

2 2

2 2

1

3 3

1

t t

t t

x t

 





 





 





















16 8

2

1 0

x

x

2

  

 

 

ĐK x0

1 log log 2 log

log

x

Chia cả hai vế của (1) cho log 3

3

log

x

 

Đặt

3

log

3

5

x

5

t

t





Với

3

log

3

3

5

x

Với

3

3 5

log

log 5

5

3

5

x

log 5

32 Giải bất phương trình au log2log4xlog4log2x.

4

0

x

x









+ Ta có

1

2



16

x

+ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 16;

Đi u iện:

2 1

1

x

x x

x

x

 

        

log x  x 2 log (x  1) 1 log x  x 2  log (x 1) 1

2

Vì theo đi u iện x2)

x

x

  

 

 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1 2;

34 Giải phương trình:

2

2

Có :

2

2

0, x R.

 

  

PT log ( x 4 2 x 2 ) log ( 2x 4 2 4x4 )2( 2x 2 4x4 ) 2( x 2 x 2 )

Xét hàm f ( t )log t 4 2t trên ( 0;) ; f '( t ) 1 2 0, t 0

t ln 4

f ( t )

f ( 2x 4x4 ) f ( x  x 2 ) và 2x 24x 4 0; x 2  x 2 0

2x 2 4x 4 x 2     x 2 x 1; x 2

Vậy phương trình có hai nghiệm : x 1; x 2

35 Giải phương trình: log 2 2x 1  x 1 log 45x 10 

Đi u iện:

1

1 0

2

x

x

 



     



  



1

2

2

x

 





4

x

 



 



4

2

2

x

 







 

 

 





2

x 

x

x

Đi u iện: x  log 75

2 5 24

x

  



Xét hàm ố f t ( )  5t2  t trên  0;  

2

'( ) 2 5 ln 5 1 0t

uy ra hàm ố f t ( )  5t2  t đồng biến trên  0;  

Phương trình 2

(*)  2.5x  48  2.5x  2 5 x  49 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x  2

) 3 ( log

) 4 ( log 2 6 log

2 4 1









x

x

x

1 ) 3 ( log

) 4 ( log

2

6

log

2 4 1









x

x

x

Đi u iện:

















2

4 3

x

x

Phương trình  log3x6.log2(3x)log2(4x)log2(3x)

 log26log2(4x)log2(3x)

 log26log2(4x)(3x)

 6(4x)(3x)x2x60















)

(

3

)

(

2

tm

x

l

x

vậy phương trình có nghiệm duy nhất 3

38 Giải phương trình: x22x  6 x  12  6 x2  x 2x  2x1

x

x

Đi u iện: x  log 75

2

x

 

 

  



2

log 6

1

2

x

x

x











Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: T   log 6; 1;22  

   

2 5 24

x

  



Xét hàm ố f t ( )  5t2  t trên  0;  

2

'( ) 2 5 ln 5 1 0t

uy ra hàm ố f t ( )  5t2  t đồng biến trên  0;  

(*)  2.5x  48  2.5x  2 5 x  49 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x  2

) 3 ( log

) 4 ( log 2 6 log

2 4 1









x

x

x

1 ) 3 ( log

) 4 ( log

2

6

log

2 4 1









x

x

x

Điều kiện:

















2

4 3

x

x

Phương trình  log3x6.log2(3x)log2(4x)log2(3x)

 log26log2(4x)log2(3x)

 log26log2(4x)(3x)

 6(4x)(3x)x2x60















)

(

3

)

(

2

tm

x

l

x

vậy phương trình có nghiệm duy nhất 3