: ĐVH. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C): x y 2 2 ( 2) ( 3) 10 − + − = . Xác định toạ độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh AB đi qua điểm M(–3; –2) và điểm A có hoành độ xA > 0.
Trang 1Khóa học CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG FB: LyHung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C):
( −2) + −( 3) =10 Xác định toạ độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh AB đi qua điểm M(–3; –2)
và điểm A có hoành độ xA > 0
Lời giải :
•••• (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R= 10
PT AB đi qua M(–3; –2) có dạng ax+by+3a+2b=0 a( 2+b2 ≠0)
Ta có d I AB( , )=R ⇔ a b a b a b a b
2 2
2 3 3 2
10= + + + ⇔10( + ) 25(= + )
3 3
= −
= −
• Với a= −3b ⇒ AB: x3 − + =y 7 0 Gọi A t t( ;3 +7),(t>0)
Ta có IA=R 2 ⇒ t=0;t= −2 (không thoả mãn)
• Với b= −3a ⇒ AB: x−3y− =3 0 Gọi A t(3 3; ), (+ t t> −1)
Ta có IA=R 2 ⇒ t
1
1 ( )
=
= −
⇒ A(6; 1) ⇒ C(–2; 5)
Bài 2: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A( 2;6)− , đỉnh B thuộc
đường thẳng d x: −2y+ =6 0 Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên 2 cạnh BC, CD sao cho BM = CN Xác
định tọa độ đỉnh C, biết rằng AM cắt BN tại điểm I 2 14
;
5 5
Lời giải :
Giả sử B(2y−6; )y ∈d
Ta thấy AMB∆ = BNC∆ ⇒AI ⊥BI ⇒IA IB . =0⇒y=4⇒B(2;4)
Phương trình BC: 2x y− =0⇒C c c( ;2 ), AB=2 5, BC= (c−2)2+(2c−4)2
AB=BC⇒ c− =2 2⇒C(0;0); (4;8)C
Vì I nằm trong hình vuông nên I C , cùng phía với đường thẳng AB⇒C(0;0)
Bài 3: [ĐVH]. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của BC, phương
trình đường thẳng DM x: − − =y 2 0, đỉnh C(3; 3)− , đỉnh A nằm trên đường thẳng d: 3x+ − =y 2 0 Xác
định toạ độ các đỉnh còn lại của hình vuông đó
Lời giải :
Giả sử A t( ;2 3 )− t ∈d Ta có: d A DM( , ) 2 ( ,= d C DM) ⇔ 4t 4 2.4
t
3 1
=
= −
⇒ A(3; 7)− hoặc A( 1;5)− Mặt khác, A và C nằm về hai phía đối với DM nên chỉ có A( 1;5)− thoả mãn
Gọi D m m( ; − ∈2) DM ⇒ AD=(m+1;m−7)
, CD =(m−3;m+1)
ABCD là hình vuông nên DA DC
=
5
⇒ D(5;3) ; AB=DC ⇒B( 3; 1)− −
Vậy: A( 1;5)− , B( 3; 1)− − , D(5;3)
LUYỆN TẬP VỀ HÌNH VUÔNG, HÌNH CHỮ NHẬT
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
Trang 2Khóa học CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG FB: LyHung95
Bài 4: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn( ) ( ) (2 )2
C x− + −y = Tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông MNPQ, biết M trùng với tâm của đường tròn ( )C ; hai đỉnh N, Q thuộc đường tròn ( )C ; đường
thẳng PQ đi qua điểm E(−3;6)vàx Q >0
Lời giải :
Do M trùng với tâm của đường tròn ⇒M( )2;1 và EQ là tiếp tuyến của ( )C
Khi đó phương trình EQ có dạng: a x( + +3) (b y− = ⇔6) 0 ax by+ + −3a 6b=0
3
5 5
3
=
=
3
• = →phương trình EQ là: 3 x+ + =y 3 0 Khi đó đỉnh Q là nghiệm của hệ:
( ) (2 )2 ( )
1
0
x
L V x y
− + − = = −
=
3
• = →phương trình EQ: x+3y− =15 0 Khi đó đỉnh Q là nghiệm của hệ:
( ) (2 )2 ( )
3
3; 4 4
3 15 0
x
Q y
− + − = =
=
Do E∈PQ⇒P∈EQ x: +3y− =15 0⇒P(15 3 ;− x x)
P x
=
=
VớiP( ) ( )6;3 ;M 2;1 ⇒tâm của hình vuông là I( )4; 2 Mà Q( )3; 4 ⇒N( )5; 0
Với P( ) ( )0;5 ;M 2;1 ⇒tâm của hình vuông là I( )1;3 Mà Q( )3; 4 ⇒N(−1; 2)
Vậy có 2 bộ điểm các đỉnh hình vuông MNPQ thỏa mãn yêu cầu đề bài:
( ) ( ) ( ) ( )2;1 , 5;0 , 6;3 , 3; 4
M N P Q và M( ) (2;1 ,N −1; 2 ,) ( ) ( )P 0;5 ,Q 3; 4
Bài 5: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các đường thẳng AB, AD
lần lượt đi qua các điểm M(2;3), ( 1;2)N − Hãy lập phương trình các đường thẳng BC và CD, biết rằng hình
chữ nhật ABCD có tâm là I 5 3
;
2 2
và độ dài đường chéo AC bằng 26
Lời giải :
Giả sử đường thẳng AB có VTPT là nAB =( ; ) (a b a2+b2 ≠0)
, do AD vuông góc với AB nên đường thẳng
AD có vtpt là nAD =( ; )b a−
Do đó phương trình AB, AD lần lượt là AB a x: ( − +2) b y( − =3) 0; AD b x: ( + −1) a y( − =2) 0
2 ( ; ) − ; 2 ( ; ) +
2 2
( 3 ) (7 )
+
a
3
= −
=
Gọi M', N' lần lượt là điểm đối xứng của M, N qua I suy ra M′(3;0) (∈ CD), N′(6;1) (∈ BC)
+) Nếu a= −b , chọn a=1,b= −1 suy ra nAB = −(1; 1), nAD =(1;1)
PT đường thẳng CD có VTPT là nAB = −(1; 1)
và đi qua điểm M (3; 0)′ : CD) x( : − − =y 3 0
PT đường thẳng BC có VTPT là nAD =(1;1)
và đi qua điểm N (6;1)′ : BC( ) :x+ − =y 7 0 +) Nếu b
3
= , chọn a=4,b=3 suy ra nAB =(4;3),nAD =(3; 4)−
Trang 3Khóa học CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG FB: LyHung95
PT đường thẳng CD có VTPT là nAB =(4;3)
và đi qua điểm M (3; 0)′ : CD( ) : 4x+3y−12 0=
PT đường thẳng BC có VTPT là nAD =(3; 4)−
và đi qua điểm N (6;1)′ : BC( ) : 3x−4y−14 0=
Vậy: BC( ) :x+ − =y 7 0, CD) x( : − − =y 3 0 hoặc BC( ) : 3x−4y−14 0= , CD( ) : 4x+3y−12 0=
Bài 6: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm
9 3
;
2 2
và trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của đường thẳng d: x− − =y 3 0 với trục Ox Xác định
toạ độ của các điểm A, B, C, D biết y A >0
Lời giải :
Theo bài, suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 3 0 3 ( )
3; 0
M
Từ đó ta tính được: 3 2 3 2
2
Mà: S ABCD =AB AD =12⇒AD=2 2⇒ AM = 2
Ta có: MI=( )1;1
chính là vecto pháp tuyến của AD, M( )3; 0 ∈AD⇒ pt AD x: + − =y 3 0
Giả sử: A a( ;3−a) (a<3do y A>0) 2 ( )2 ( )2 4( )
2
a
=
=
Vậy ⇒A( )2;1 ,M là trung điểm của AD⇒D(4; 1− )
Mặt khác I là tâm hình chữ nhật, có tọa độ A và D nên dễ dàng tìm được tọa độ 2 điểm: B( ) ( )5; 4 ,C 7; 2
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: ⇒ A( ) ( ) ( ) (2;1 , B 5; 4 ,C 7; 2 , D 4; 1− )
Bài 7: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tọa độ đỉnh D( )1;1 và diện tích bằng 6
Phân giác trong góc A có phương trình: x− + =y 2 0 Tìm tọa độ đỉnh B của hình chữ nhật biết điểm A có
tung độ nhỏ hơn 3
Lời giải :
Gọi E là điểm đối xứng của D qua đường phân giác ( )d x− + =y 2 0thì điểm E thuộc AB
Khi đó phương trình DE dạng: DE x: + + =y m 0 Mà D∈DE⇒ pt DE x: + − =y 2 0
Giả sử I =( )d ∩DE⇒tọa độ I là nghiệm của hệ: 2 0 0 ( )0; 2 ( 1;3)
2,
ID
⇒ = đường tròn ( )C tâm I bán kính R=ID= 2 có phương trình: 2 ( )2
2 2
Vậy tọa độ A là nghiệm của hệ: 2 ( )2 ( )( )
1
2 2
1
x
y
+ − = = −
=
Suy ra ⇒AE=( )0; 2 ⇒nAE=nAB =( )2; 0
, và A∈AB→ pt AB x: + =1 0⇒B(−1;b)
Tính được: AD=2, mà ( )2 4 ( ( 1; 4) )
2 1; 2
ABCD
B b
−
=
Vậy có 2 tọa độ điểm B thõa mãn yêu cầu đề bài là: B(−1; 4)∨ B(− −1; 2)
Bài 8: [ĐVH] (Trích đề thi ĐH khối A năm 2009)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x
+ y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng AB
Đ/s: (AB): y − 5 = 0; x − 4y + 19 = 0
Trang 4Khóa học CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG FB: LyHung95 Bài 9: [ĐVH]. Trong mặt phẳng tọa độ cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao của hai
đường thẳng d: x – y – 3 = 0 và d’: x + y – 6 = 0 Trung điểm một cạnh là giao điểm của d với tia Ox Tìm
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
Đ/s: Tọa độ các đỉnh là (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; –1)
Bài 10: [ĐVH]. Cho hình chữ nhật ABCD có D(–1; 3), đường thẳng chứa phân giác trong góc A là
6 0
x− + =y Tìm tọa độ B biết x A = y A và dt(ABCD) = 18
Đ/s:B(− −3; 12)
Bài 11: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD, tâm I(−1; 2)
Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua M(−1;5), đường thẳng chứa CD đi qua N( )2;3 Viết pt cạnh BC
Đ/s: BC: 3x+4y−23=0
Bài 12: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B(1; 2− ) Trọng tâm
tam giác ABC nằm trên đường thẳng d: 2x− − =y 2 0 và N(5; 6) là trung điểm cạnh CD Tìm tọa độ các
đỉnh của hình chữ nhật đã cho
Đ/s: A(−3; 2 ,) (B 2;10 ,) ( ) ( )C 7; 4 ,D 3;8
Bài 13: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 2 2, điểm
( )0;1
M là trung điểm của BC, N là trung điểm CD Biết AN: 2 2x+ − =y 4 0. Tìm tọa độ điểm A
Đ/s: ( ) 2 8
2; 0 , ;
3 3
Thầy Đặng Việt Hùng