Câu 114: Cho là ba số thực dương thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng:
THPT Lương Văn Cù, An Giang Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cùng điều kiện đã cho ta thu được:
√ Áp dụng kết quả này ta có:
∑ ∑
∑
∑
Bất đẳng thức được chứng minh, chú ý rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường trường THPT Đoàn Thị Điểm, Khánh Hoà, lần 2 Câu 115: Cho các số là các số thực dương và thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√
Trường THPT Yên Thế, Bắc Giang, lần 2 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc ta thu được suy ra √ và từ bổ đề 6 ta thu được: ( √ ) . Do đó:
√
√
√
với √ Điều kiện của là (vì ( ) ). Xét hiệu
Do đó:
VIETMATHS.NET
112
Đẳng thức xảy ra khi
Vậy là giá trị lớn nhất của và đẳng thức xảy ra khi
Chú ý rằng đây cũng là câu bất đẳng thức ở đề thi thử của trường THPT Nguyễn Đình Chiểu, Bình Định;
trường THPT Đức Hợp trường THPT Minh Châu, Hưng Yên, lần 2, trường THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang, lần 3 và trường THPT Cưmgar, Đắk Lắk.
Câu 116: Cho là ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang, lần 2 Lời giải:
Đặt √ , sử dụng bất đẳng thức Côsi thu được:
√ Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta tiếp tục thu được:
√ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương (ở bài 66) ta có:
√
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy giá trị nhỏ nhất của là
Câu 117: Cho các số thực thay đổi thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trường THPT Lục Ngạn số I, Bắc Giang Lời giải:
Theo đề suy ra . Lại có:
{
[ √ Do đó nếu đặt ( √ ) [ .
Nếu √ thì
VIETMATHS.NET
113 √ √ √
√ vô lý Suy ra . Viết lại biểu thức dưới dạng sau:
√
Tính ta thu được:
√ nghịch biến trên [
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi là các số thực thoả mãn
8
{
[
( √ √ * (√ √ * Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là
Câu 118: Cho là ba số thực dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : √ √ √
Trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh, lần 1 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi kết hợp cùng bổ đề , ta thu được đánh giá:
∑
√ ∑
Do đó, ét hiệu:
[ ] [ ] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy giá trị nhỏ nhất của là
Câu 119: Cho là 3 số dương thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
VIETMATHS.NET
114
Trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh, lần 2, ngày 15/01/2016 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức bất đẳng thức Côsi cho 2 số cùng bổ đề ta được:
Từ suy ra nên theo bất đẳng thức bunhiacopxky thì
Mặt khác, ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
{
{
Vậy giá trị lớn nhất của là 10 đạt được khi và chỉ khi ( ).
Câu 120: Cho các số dương thỏa mãn , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
In
Trường THPT Thuận Thành 1, Bắc Ninh, lần 1, Lời giải:
Sử dụng bổ đề cùng bất đẳng thức Côsi ta thu được chuỗi đánh giá sau:
(
*
√
Do đó
VIETMATHS.NET
115
In Với √ √ ( √ ). Lại có:
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng ta suy ra rằng
In Đẳng thức xảy ra khi Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là In
Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử THPT trường Lê Lợi, Thanh Hoá, lần , trường THPT Phước Bình, Bình Phước, lần , trường Hà Huy Tập, Khánh Hoà, lần 2 và trường THPT Đức Thọ, Hà Tĩnh, kì 1.
Câu 121: Cho ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh, lần 2 Lời giải:
Ta có các đánh giá sau: Với mọi [ ] thì:
{
Do đó ta đã có thể quy biểu thức về chỉ còn ẩn , tiếp theo xét
[ ] Đẳng thức xảy ra khi .
Bài toán hoàn tất tại đây và là giá trị nhỏ nhất cần tìm.
√ 4
( √ )
In
VIETMATHS.NET
116
Câu 122: Cho các số thực dương , , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√ √
Trường THPT Lương Tài , Bắc Ninh, lần 3, ngày 27/3/2016 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 hoặc 3 số thực dương ta thu được đánh giá:
√ √
Trong đó . Xét hiệu:
Đẳng thức xảy ra khi {
( ) Điều này cho phép kết luận rằng
Trong đề thi thử của trường THPT Phương Xá, Phú Thọ, lần có bài toán tương tự như sau:
“Cho các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√ √ Ý tưởng chính với dạng bài này là đưa về ẩn phụ
Câu 123: Giả sử là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh bất đẳng thức:
Trường THPT Yên Phong, Bắc Ninh Lời giải:
Biến đổi như câu 29) và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta được:
√ √ Do đó đề chứng minh bài toán ta chỉ cần chỉ ra rằng:
√
Thật vậy sử dụng Côsi ta có:
VIETMATHS.NET
117
√
√
Bài toán hoàn tất tại đây, chú ý rằng đẳng thức xảy ra khi √ , √ Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử của trang dethithu net, đề số 2.
Câu 124: Cho là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:
(
*
Trường THPT Thuận Thành số 1, Bắc Ninh, lần 2 Hướng dẫn:
Đặt với , suy ra Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(
* (
* ∑ Phần còn lại giải tương tự bài 1.
Câu 125: Cho là hai số thực thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh, lần 2 Lời giải:
Theo giả thiết (vì , nên [ ]
Mặt khác sử dụng những bất đẳng thức đơn giản ta có:
[ ] [ ]
.Vì
/
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Điều này cho phép ta kết luận rằng giá trị nhỏ nhất cần tìm là
VIETMATHS.NET
118
Trong đề thi thử trường THPT Ngô Mây, Bình Định có bài toán hoàn toàn tương tự như sau:
“Cho các số thực thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 126: Cho là hai số thực dương thay đổi sao cho log log log . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
Trường THPT Nguyễn Diêu, Bình Định Lời giải:
Ta thấy rằng:
√
√
√
với Mặt khác sử dụng điều kiện đã cho ta có thêm:
log log log log log
Mà hiển nhiên nên suy ra √ . Xét bất đẳng thức sau:
√
(đú √ ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
,
{
[
. √ √ / . √ √
/ Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là
√
Qua lời giải này ta thấy rằng điều kiện log log log chỉ để xét dấu bằng mà thôi, nếu bỏ đi bài toán không thay đổi ý nghĩa nhưng sẽ dễ dàng hơn rất nhiều.
Câu 127: Cho ba số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng:
. √
/
Trường THPT Tăng Bạt Hổ, Bình Định Lời giải:
Ta có . Mặt khác, ta có bất đẳng thức luôn đúng sau:
VIETMATHS.NET
119 ( √ )(√ )
√
√ Xây dựng hai bất đẳng thức tương tự đối với ta thu được:
√
√
. √ / Bài toán hoàn tất tại đây
Câu 128: Cho các số thực không âm thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
Trường THPT Quy Nhơn, Bình Định Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky cùng một vài biến đổi đơn giản ta có:
√ √
Trong đó
[ ] Mặt khác ta tính được:
√
√ [ ] Suy ra
( *
√
Nên là hàm liên tục và đồng biến trên * + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,
cùng các hoán vị.
Vậy bài toán đã được giải quyết hoàn toàn và giá trị nhỏ nhất cần tìm là
Câu 129: Cho là ba số dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√ √ √
Trường THPT Nguyễn Hữu Quang, Bình Định Lời giải:
VIETMATHS.NET
120
Sử dụng bất đẳng thức CôSi cho ba số dương cùng bổ đề ta thu được chuỗi đánh giá:
∑
√ ∑
∑
Đẳng thức xảy ra tại tâm tức . Vậy và đẳng thức khi Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Ngọc Tảo, Hà Nội.
Câu 130: Cho là ba số dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trường THPT Phù Mỹ I, Bình Định Lời giải:
Từ điều kiện đã cho suy ra 8
Khi đó bằng một vài tính toán đơn giản, ta thấy
( * và
Suy ra √ ( ). Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên thu được:
√ Tiếp theo sử dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được:
√
Đẳng thức xảy ra khi
8
√
√
(
√ √ √ * Vậy giá trị lớn nhất của là , bài toán hoàn tất.
Câu 131: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√ √ √
Trường THPT Nguyễn Thái Học, Bình Định 0 0
VIETMATHS.NET
121 Lời giải:
Ta sẽ chứng minh rằng . Thật vậy áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Côsi, ta có:
4 √ √ √ 5 ∑ 4 √ 5 ∑
∑ 6 4√ √ 57 ∑ ∑ ∑ ∑
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi Câu 132: Cho 3 số thực dương, chứng minh rằng:
√ √
√
Trường THPT Hùng Vương, Bình Định Lời giải:
Ta chứng minh một bất đẳng thức phụ như sau: Với mọi thì
√ thật vậy sử dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được:
√ √ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (do ).
Trở lại bài toán chính: Biến đổi đơn giản, và sử dụng ta có đánh giá sau:
∑
√ ( )
∑
( )
∑
∑
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy bài toán đã được chứng minh trọn vẹn.
Câu 133: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT số Tuy Phước, Bình Định Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky cùng điều kiện đã cho ta thu được:
VIETMATHS.NET
122
Mặt khác, sử dụng bổ đề , ta tiếp tục có đánh giá:
Ta sẽ chứng minh rằng , thật vậy luôn đúng
Tương tự .
Do đó, vừa sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky vừa sử dụng các đánh giá trên, ta được:
√ √ √
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi √ Vậy giá trị nhỏ nhất của là √
Câu 134: Cho thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT Hoài Ân, Bình Định Lời giải:
Trước tiên ta sử dụng bổ đề để đánh giá điều kiện đã cho như sau:
trong đó Mặt khác từ , suy ra
Sử dụng các kết quả trên và biến đổi biểu thức ta được:
( * .Vì
/
VIETMATHS.NET
123 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy ta có thể kết luận rằng giá trị nhỏ nhất cần tìm là và đẳng thức xảy ra khi
Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Lộc Ninh, Bình Phước, lần 2.
Câu 135: Cho là các số thực không âm thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√ √
Trường THCS-THPT Nguyễn Khuyến, Bình Dương, lần 1, ngày 10/3/2016 Lời giải:
Với điều kiện là các số thực không âm thoả mãn điều kiện thì ta có chuỗi bất đẳng thức sau:
, Viết lại biểu thức dưới dạng sau:
√ √ Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có kết quả sau:
√ √ √ √ ( ) Chú ý rằng ta có , vận dụng các kết quả này thu được:
√
√ √
√
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {
.
Vậy giá trị lớn nhất của là xảy ra khi
Câu 136: Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√
√
√
Trường THCS-THPT Nguyễn Khuyến, Bình Dương, lần 2, ngày 24/4/2016 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương, ta được:
VIETMATHS.NET
124
√ (√ ) √ √ Tiếp theo sử dụng Bunhiacopxky cùng điều kiện đã cho ta thấy:
√ √ √ √ √ (√ ) Do đó:
√ √
√
√ √ (√ )
√
√
√
√
√
√ Trong đó
√
Xét hiệu:
√ (
* (
√ *
√
( √ )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
{
√ √
√
(
√ √ √ *
Vậy ta kết luận rằng giá trị lớn nhất của biểu thức là
Câu 137: Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT Phước Bình, Bình Phước, lần 1 Lời giải:
Sử dụng bổ đề cùng vài biến đổi đơn giản ta thấy rằng:
(
* (
* Mặt khác từ giả thiết cùng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta suy ra:
VIETMATHS.NET
125
( *
( * √
Đẳng thức xảy ra tại tâm √ . Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là √ khi √ Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử của trường THPT Lam Kinh, Thanh Hoá, lần 1.
Câu 138: Cho là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT Phước Bình, Bình Phước, lần 2 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi và điều kiện đã cho ta thu được đánh giá:
( *
Mặt khác sử dụng liên tiếp bổ đề 2 ta tiếp tục thu được:
[
( )
] [
(
) ] (
)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy giá trị nhỏ nhất của là 1 khi Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử của trường THPT Phan Bội Châu, Bình Định, trường THPT Quảng Xương , Thanh Hoá, lần 4 và trường THPT Triệu Sơn , Thanh Hóa, lần 1.
Trong đề thi thử trường THPT Nam Duyên Hà, Thái Bình, lần 2 có bài toán hoàn toàn tương tự sau:
“Cho ba số thực không âm thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Câu 139: Cho là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
Trường THPT Phước Bình, Bình Phước, lần 3 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cùng bổ đề ta thu được đánh giá:
√
VIETMATHS.NET
126
Trong đó , xét tổng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {
{
. Điều này cho phép kết luận rằng
Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT số 1, Bảo Yên, Lào Cai, trường THPT Việt Trì, Phú Thọ, lần 2 và trường THPT Như Xuân, Thanh Hoá, lần 2.
Câu 140: Cho là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trường THPT Phước Bình, Bình Phước, lần 4 Lời giải:
Đặt sau đó rút theo Ta được {
Thay vào bất đẳng thức đề cho và thực hiện phép nhóm, chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của (
* (
* Áp dụng bất đẳng thức Côsi, tìm được giá trị √ .
Đẳng thức xảy ra khi 2 ( √ )
( √ ) Điều này cho phép kết luận rằng √ Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Hậu Lộc 2, Thanh Hóa, lần 1.
Câu 141: Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của P, với:
√
Trường THPT Hùng Vương, Bình Phước, lần 1 Lời giải:
VIETMATHS.NET
127 Theo đề bài ta có:
Mặt khác
Ta sử dụng bổ đề để xử lý như sau:
(
*
√
Xét hiệu
Đẳng thức xảy ra khi
Bài toán hoàn tất tại đây, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là , đẳng thức xảy ra tại tâm Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Hoàng Hoa Thám, Khánh Hoà, lần 2.
Câu 142: Cho thỏa mãn và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trường THPT Hùng Vương, Bình Phước ,lần 2 Lời giải:
Sử dụng điều kiện đã cho cùng một vài bất đẳng thức đơn giản ta thu được:
Áp dụng kết quả trên cùng bất đẳng thức Côsi ta có:
Trong đó . Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi
{
√
√
VIETMATHS.NET
128
Kết luận cuối cùng
Câu 143: Cho là các số thực dương và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trường THPT Hùng Vương, Bình Phước, lần 3 Lời giải:
Trước tiên ta biến đổi điều kiện đã cho như sau:
vì Sử dụng kết quả này cùng một số biến đổi đơn giản ta viết lại dưới dạng sau:
[ ] [ ] Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 và 4 số thực dương ta thu được:
{
√ √( )
√( ) {
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , điều này cho phép kết luận rằng giá trị lớn nhất cần tìm là và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Câu 144: Cho các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√
Trường THPT Lộc Ninh, Bình Phước, lần 1 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cùng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có các đánh giá sau:
(
*
VIETMATHS.NET
129 . √ / .
√ / Do đó:
.
√ / √ .
√ / √ [ ] Ta sẽ chứng minh rằng liên tục và nghịch biến trên [ ]. Thật vậy, ta tính:
√ (√ ) √ [ ] Do đó
√ Đẳng thức xảy ra khi
√ . Vậy giá trị lớn nhất là √ đạt được khi
√
Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh, lần 1.
Câu 145: Cho các số thực dương luôn thoả mãn . Chứng minh rằng:
Trường THPT Lộc Ninh, Bình Phước, lần 3 Lời giải:
Sử dụng điều kiện đã cho ta thấy bất đẳng thức đã cho tương đương với:
∑
∑ .
/ ∑
∑ ∑ Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc , cùng bổ đề 7, ta dễ thấy:
∑
∑
[∑ ]
∑ ∑ ∑
Như vậy bài toán đã được giải quyết hoàn toàn, chú ý rằng đẳng thức xảy ra khi Câu 146: Cho là hai số thực dương Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT Phú Riềng, Bình Phước, lần 1 Lời giải:
VIETMATHS.NET
130
Đặt . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky cùng bổ đề ta thu được:
.Vì
/
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy ta kết luận rằng giá trị nhỏ nhất của là 4.
Câu 147: Cho các số thực thoả mãn * +. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT Phú Riềng, Bình Phước, lần 3 Lời giải:
Đặt , do * + [ ].
Theo giả thiết ta có:
Từ kết quả này cùng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta được:
( * Và
Suy ra
Bất đẳng thức này đúng vì:
[ ] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là đạt được khi
Câu 148: Cho là các số thực dương thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh, Bình Phước, lần 1
VIETMATHS.NET
131 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cùng điều kiện đã cho chú ý rằng ta thu được:
( ) ( *
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 8
. Vậy giá trị nhỏ nhất của là 5 khi
Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử của trường THPT Kẻ Sặt, Hải Dương, lần 1 và trường THPT Phú Riềng, Bình Phước, lần 2.
Câu 149: Cho ba số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh, Bình Phước , lần 2 Lời giải:
Từ điều kiện đã cho ta có: . Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky cùng phép cân bằng hệ số ta thu được:
[ ] [ ] Do đó ta có kết quả sau
Biểu thức đạt giá trị khi ( ), đạt giá trị 10 khi ( ) Điều này cho phép kết luận rằng giá trị lớn nhất của là 10, giá trị nhỏ nhất của là .
Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Nguyễn Huệ, Khánh Hoà, lần 1.
Câu 150: Cho ba số thực dương Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√ √
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh, Bình Phước , lần 3 Lời giải:
Sử dụng hai bất đẳng thức quen thuộc là Bunhiacopxky và Côsi ta thu được:
VIETMATHS.NET