Câu 45: Cho là các số thực dương thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trường THPT chuyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, lần 1 Lời giải:
Trước tiên ta có bất đẳng thức sau:
Thật vậy luôn đúng
Do đó, ta thu được:
Vì luôn đúng nên .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là Câu 46: Cho các số dương . Chứng minh rằng:
√ √
Trường THPT chuyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, lần 2 Lời giải:
Ta biến đổi bất đẳng thức đã cho như sau:
√ √
(√ √ ) 4√
√ 5
(√ √ )
√ √ √ √ (√ √ )
VIETMATHS.NET
70
√ luôn đúng Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng Câu 47: Với các số thực dương . Chứng minh bất đẳng thức:
Trường THPT chuyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, lần 3 Lời giải:
Quy đồng, khai triển và rút gọn bất đẳng thức đã cho, ta thu được:
[ ]
Ta sẽ chứng minh khi đó bài toán được giải quyết hoàn toàn (Vì hiển nhiên ).
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
√ √ Đặt √ , xét hàm , ta có √ Do đó
2 . √
/ . √
/ 3 nên suy ra điều phải chứng minh. Bài toán hoàn tất tại đây
Câu 48: Xét các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Trường THPT chuyên KHTN, Đại học KHTN Hà Nội, lần 1 Lời giải:
Với các số thực dương ta có những bất đẳng thức luôn đúng sau:
8
8
Bất đẳng thức cuối cúng đúng vì theo điều kiện đã cho . Đẳng thức xảy ra khi
8
VIETMATHS.NET
71 Vậy ta đã hoàn tất chứng minh
Câu 49: Cho là các số thực đôi một phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(
* (
* ( *
Trường THPT chuyên KHTN, Đại học KHTN Hà Nội, lần 2, ngày 24/1/2016 Lời giải:
Đặt . Dễ thấy khai triển ta được
Mặt khác, với các đặt trên thì biểu thức trở thành:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
. Có thể lấy ví dụ như , , . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là đạt được khi chẳng hạn
Câu 50: Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trường THPT chuyên KHTN, Đại học KHTN Hà Nội, lần 3 Lời giải:
Trở lại bài toán, chú ý rằng
và nên ta có:
Trong đó ( ) . Ta lại có:
(Vì
* Do đó là hàm nghịch biến trên [ suy ra
VIETMATHS.NET
72
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {
( )
.
Vậy giá trị lớn nhất của là
đạt được khi
Câu 51: Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT chuyên KHTN, Đại học KHTN Hà Nội, lần 4 Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 và 3 số dương ta được:
.
/ .
/ (
* (
*
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ( ) Vậy
Câu 52: Xét là các số không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
(√ √ √ ) { }
Trường THPT chuyên KHTN, Đại học KHTN Hà Nội, lần 5 Lời giải:
Không mất tính tổng quát giả sử { } Khi đó sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky được:
√ √
√
√ (√ √ )
√
√ √ Sử dụng kết quả này cùng bất đẳng thức Côsi ta có tiếp:
(√ √ ) (√ √ )√
√ √
VIETMATHS.NET
73 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {
( ) cùng các hoán vị khi đảo vai trò.
Vậy ta đi đến kết luận cuối cùng là xảy ra khi ( )
Câu 53: Giả sử là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trường THPT chuyên, trường Đại học Vinh, lần 1 Lời giải:
Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta được:
√
√
√ √ Do đó:
√ Lập bảng biến thiên ta thu được (√ ) .
Đẳng thức xảy ra {
√
2 √
√ . Bài toán hoàn tất tại đây và Câu 54: Tìm số thực lớn nhất sao cho tồn tại các số thực không âm thỏa mãn:
{
Trường THPT chuyên, trường Đại học Vinh, lần 2 Lời giải:
Ta sẽ chứng minh lại một bất đẳng thức rất quen thuộc sau: Với mọi số thực không âm thỏa mãn . Ta luôn có:
Thật vậy do có vai trò hoán vị nên giả sử nằm giữa khi đó:
Cộng hai vế với ta thu được .
Trở lại với bài toán chính: cần tìm chính là giá trị lớn nhất của
VIETMATHS.NET
74
với , Áp dụng bổ đề với mọi [ ] thì ta thu được:
Chú ý rằng Do đó:
[ ]
Vì [ ]. Đẳng thức xảy ra tại {
cùng các hoán vị khi đổi vai trò.
Vậy giá trị lớn nhất của là 100.
Câu 55: Cho các số thực thuộc khoảng . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√
√
Trường THPT chuyên, trường Đại học Vinh, lần 3 Lời giải:
Đặt √ √ √ , khi đó nên tồn tại có độ dài ba cạnh là và
√
√ √ √
cos √ cos √ cos
√
√ √ √ √
Mặt khác, giả sử có tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp là và Khi đó:
(√ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
√ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ √ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
( √ cos( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) cos( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) √ cos( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )) √ √
Suy ra √ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
VIETMATHS.NET
75 {
8
√
(√ √ ) {
( √ ) ( ( √ )) Vậy ta kết luận giá trị lớn nhất của là √ Bài toán hoàn tất tại đây Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
√ √ √
√ √
Trường THPT chuyên Quốc học Huế, lần 1 Lời giải:
Tập ác định của là * + Để dễ tính toán đặt √ √ Khi đó, ta tính:
( √ √ * (
√ √ * (√ √ )
√ ( √ )
√
√
√ √ , [ ] Suy ra là hàm nghịch biến trên * +
Suy ra giá trị nhỏ nhất của ( ) đạt được khi và giá trị lớn nhất của , đạt được khi .
Bài toán được giải quyết trọn vẹn.
Chú ý rằng ta có hướng giải quyết khác dựa vào phép đặt ẩn phụ.
Câu 57: Cho [ ] thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
√
Trường THPT chuyên Quốc học Huế, lần 2 Lời giải:
Đặt , theo đề [ ] nên . Mặt khác ta lại có
√ [ ] Ta biến đổi biểu thức như sau:
√
( )
√( )
√ ( ì )
VIETMATHS.NET
76
Tính ta được:
√ [ ] Suy ra là hàm liên tục và nghịch biến trên * + nên
( *
√ khi ( √ ) , ( √ ) và
√ khi Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lần lượt là
√ ,
√ . Bài toán hoàn tất tại đây Câu 58: Cho a, b, c là các số thực không nhỏ hơn Chứng minh rằng:
Trường THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam Lời giải:
Trước tiên ta chứng minh
. Thật vậy ( ) luôn đúng với mọi . Chứng minh tương tự với , sau đó cộng lại ta được:
Do đó ta cần chỉ ra rằng
Bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi .
Bài toán được chứng minh trọn vẹn Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Câu 59: Giả sử là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội, lần 1 Lời giải:
Không mất tính tổng quát giả sử min{ } * + Lại có
[ ]
VIETMATHS.NET
77 ( *
( *
( * ( * ( * Bất đẳng thức trên đúng vì
( * và (
* ( * Mặt khác ta lại có:
[ ]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
{
( *
{
Do đó ta kết luận rằng đạt được khi và chỉ khi ba biến bằng nhau và bằng Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Hàm Nghi, Hà Tĩnh, lần 2.
Câu 60: Cho , , và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội, lần 2 Lời giải:
Ta thực hiện biến đổi điều kiện đã cho như sau
Mặt khác sử dụng kết quả cơ bản ta được:
, Xét hiệu
VIETMATHS.NET
78
Do đó Đẳng thức khi 8
( )
Vậy bài toán được giải trọn vẹn và giá trị lớn nhất của là 16 khi ( )
Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử của trường THPT chuyên Lào Cai, lần , trường THPT Trần Thị Tâm, Quảng Trị, lần 1 và trường THPT Phương Xá, Phú Thọ, lần 2.
Câu 61: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√
Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, lần 1 Lời giải:
Bài dạng này có rất nhiều và hướng làm cũng rất đơn giản, dùng bất đẳng thức , ta được:
(
)
Đặt suy ra * + và khi đó biểu thức tương đương với:
√
(
*
√ Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức sau luôn đúng:
√ ( *
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi * + nên suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {
.
Vậy là giá trị lớn nhất phải tìm.
VIETMATHS.NET
79 Câu 62: Cho là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, lần 1 Lời giải:
Đặt Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương, ta được:
Chia cả tử và mẫu của cho sau đó sử dụng các kết quả trên, ta được:
( )
Xét hiệu
Suy ra
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của là
Câu 63: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
√
√
√
√
√
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, đề ôn tập 1 Lời giải:
Với hai số thực dương ta luôn có: .
Thật vậy bất đẳng thức này tương đương với luôn đúng
Sử dụng kết quả trên cùng hai bất đẳng thức Bunhiacopxky và Côsi cùng bổ đề 1 ta được:
√ ∑√
√ √ √ ∑
√
√ ∑
√ ∑
√ ∑ √ ∑
√ ∑ Đánh giá cuối cùng có được vì với thì
luôn đúng
VIETMATHS.NET
80
Đẳng thức khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của là đạt được khi Câu 64: Cho các số dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
. √
/ . √
/ . √ /
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang, lần 1 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta thu được đánh giá sau:
∑ . √
/ ∑( √ ) ∑( √ )
( √ )
∑
∑ vì theo đề
Dễ thấy . Suy ra .
Đẳng thức xảy ra tại tâm tức Vậy bài toán đã được giải quyết trọn vẹn.
Câu 65: Cho các số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang, lần 3 Lời giải:
Đặt thì và biểu thức đã cho trở thành:
√
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có , ngoài ra ta cũng có:
[ ] với Khi đó, ta thu được:
Đẳng thức xảy ra khi ,
.
VIETMATHS.NET
81 Vậy ta kết luận rằng giá trị lớn nhất của là đạt được khi .
Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh, lần 1 và trường THPT Bố Hạ, Bắc Giang, lần 2.
Trong đề thi thử trường THPT Đồng Xoài, Bình Phước, lần 2 và trường TGPT Cẩm Lý, Bắc Giang, lần 1 có bài toán hoàn toàn tương tự như sau:
“Cho là ba số dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√
Còn trường THPT Lý Tự Trọng, Hà Tĩnh, lần 1 lại phát biểu dưới dạng khác như sau:
“Cho ba số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√
√
( √ ) Câu 66: Cho ba số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
√
√
√
Trường THPT chuyên Bắc Giang, lần 1 Lời giải:
Ta chứng minh bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương với , ̅̅̅̅ , ta luôn có:
∑ √∏ .