Câu 1: Cho ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[
]
Sở GD&ĐT Bà Rịa Vũng Tàu Lời giải:
Đặt khi đó bài toán đã cho trở thành: “Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [
] Trong đó là các số thực dương thỏa mãn ”
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta thu được:
Mặt khác vì nên √ Đặt √ ] và . Khi đó:
Do đó:
√ ] Ta lại có
( √ )
√ ] Suy ra là hàm nghịch biến trên miền √ ] , suy ra √ nên
( √ ) √ √ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
VIETMATHS.NET
39 {
( √ )
√ {
√
√ √
Vậy giá trị nhỏ nhất của √
√ đạt được khi √
Câu 2: Cho ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
(√ √ √ *
Sở GD&ĐT Bắc Giang, lần 1, ngày 08/4/2016 Lời giải:
Từ giả thiết suy ra Khi đó, đặt √ √ √ . Suy ra
cos cos cos [ cos ][ cos ] cos
Suy ra là số đo ba góc nhọn của một tam giác. Mặt khác, lại có:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
sin sin sin √ ( *
√ Sử dụng Côsi và các bất đẳng thức lượng giác quen thuộc ta được:
( ) √ Bài toán hoàn tất tại đây
Câu 3: Cho hai số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Sở GD&ĐT Bắc Giang, lần 2, ngày 18/6/2016
VIETMATHS.NET
40
Lời giải:
Biến đổi biểu thức cùng bổ đề , ta dễ thấy:
Bài toán hoàn tất tại đây, chú ý rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {
Câu 4: Cho các số thực không âm thỏa mãn , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
0
1
Sở GD&ĐT Bắc Ninh Lời giải:
Đặt Khi đó ta có một số bất đẳng thức sau:
( ) ( ) ( ) ( )
Khai triển tương đương các bất đẳng thức trên kết hợp cùng điều kiện , ta thấy luôn đúng Do vậy:
. /
,
Đẳng thức xảy ra khi chẳng hạn , . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là Chú ý rằng có thể đặt sau đó ét hàm cho nhẹ nhàng hơn
Câu 5: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Sở GD&ĐT Bình Dương, ngày 10/5/2016 Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bổ đề ta thu được:
∑
∑
∑
VIETMATHS.NET
41 Đẳng thức xảy ra khi Vậy bài toán được giải quyết hoàn toàn.
Chú ý rằng đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử số 5 của dethithu.net năm 2016.
Câu 6: Cho ba số thực không âm . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√ √ √
Sở GD&ĐT Bình Phước, lần 1 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có đánh giá:
√
√
Đánh giá tương tự ta cũng có √ . Đặt √ . Ta lại có:
.Vì
/ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị lớn nhất của là
Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Sóc Sơn, Hà Nội, lần , trường THPT Yên Lạc , Vĩnh Phúc, lần 4.
Câu 7: Cho [ ]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Bình Phước, lần 2 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc , ta thu được:
( ) (
)
VIETMATHS.NET
42
Đặt vì [ ] nên [ ]. Sử dụng kết quả vừa chứng minh thu được:
[ ] .vì
[ ]/
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {
[ ]
.
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là
, đạt được khi Câu 8: Cho là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
Sở GD&ĐT Bình Thuận Lời giải:
1. Trước tiên ta chứng minh Côsi cho 7 số: Với i , ̅̅̅̅ , ta luôn có: ∑ √∏ . Thật vậy áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Côsi cho 2 số ta thu được:
∑
√ √ √∏
Chọn ∑ , ta thu được điều phải chứng minh.
2. Trở lại bài toán chính, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 7 số ta có:
. √ /
Miền ác định của là , tính ta được √
Nếu thì √ (loại)
Nếu thì √ (loại)
Nếu thì √ , nên là nghiệm của
Lập biến thiên sau đó từ bảng biến thiên suy ra
0 4 0
75
29
VIETMATHS.NET
43
Đẳng thức xảy ra khi
{
{ Vậy giá trị nhỏ nhất của là đạt được khi ( ).
Câu 9: Cho các số thực dương khác nhau đôi một thoả mãn , và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Cà Mau Lời giải:
Đặt , suy ra ( +. Từ điều kiện đã cho ta có Thay vào và biến đổi ta được:
( )
Xét hiệu
( ]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 8
, chẳng hạn như
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là khi
Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, lần 2, ngày 20/3/2016 và trường THPT Hoà Bình, Bình Định.
VIETMATHS.NET
44
Câu 10: Cho các số thực không âm thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Cao Bằng Lời giải:
Do vai trò bình đẳng nên giả sử min { }. Từ giả thiết suy ra * + Mặt khác ta có ngay:
{
{
Khi đó, ta được:
(
*
(
* (vì
[ ]*
(vì
[ ]*
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 8
[
2
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
Câu 11: Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√ √ √
Sở GD&ĐT Đồng Tháp, ngày 23/5/2016 Lời giải:
Trước tiên ta sẽ chứng minh rằng với mọi số thực dương thì:
√
Thật vậy bất đẳng thức này tương đương với:
(√ *
0
√ (√ )1
VIETMATHS.NET
45
√
√ (√ )
√
√ (√ ) Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên chứng minh hoàn tất. Áp dụng ta được:
∑
(√ )
∑ [
( * ]
∑
∑
∑
Chú ý rằng ta đã sử dụng bất đẳng thức cơ bản và bổ đề cho các đánh giá trên.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
√
Vậy ta kết luận rằng giá trị nhỏ nhất cần tìm là đạt được khi
√
Câu 12: Cho các số thực thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Gia Lai Lời giải:
Biến đổi điều kiện đã cho ta được: . Mặt khác nên
{
[ ] Biến đổi biểu thức ta được:
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì
[ ] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {
( √ ) Vậy giá trị lớn nhất của là , đạt được khi ( √ )
VIETMATHS.NET
46
Câu 13: Cho là các số thực không âm thỏa mãn √ √ √ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Hà Nam Lời giải:
Trước tiên, ta có với hai số thực không âm ta có: √ √ √ Thật vậy (√ √ ) ( √ ) √ √ Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên luôn đúng
Áp dụng ta thu được:
√ √ √ √ √ √ Suy ra
Sử dụng kết quả này cùng chú ý thì
. / Mặt khác miền điều kiện của là [ √ ] Khi đó:
. /
Bất đẳng thức trên đúng do
{ √
[ √ ] Đẳng thức xảy ra khi
8
√ √ √
chẳng hạn như Kết luận
Trong đề thi thử trường THPT Xuân Trường, Nam Định, lần có bài toán hoàn toàn tương tự như sau:
“Cho là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện √ √ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
VIETMATHS.NET
47 √
Câu 14: Cho các số thực dương thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, ngày 22/4/2016 Lời giải:
Đặt , , , , và Khi đó điều kiện đã cho tương đương với:
Và biểu thức tương đương với:
Do đó, đạt giá trị lớn nhất. Lại có:
Vì vai trò bình đẳng nên giả sử min{ } ]
√
Lập bảng biến thiên của trên , ] thu được ( √ * √ . Suy ra √ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
{
√
{
√ √
√ {
√ √ Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là √ .
Câu 15: Cho là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(
* (
* (
*
Sở GD&ĐT Hậu Giang, ngày 01/06/2016 Lời giải:
Vận dụng những bất đẳng thức đơn giản ta thấy ngay:
VIETMATHS.NET
48
( * ( * ( *
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 4.
Câu 16: Cho [ ] và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√
Sở GD&ĐT Hoà Bình, lần 2 Lời giải:
Sử dụng những điều kiện đã cho ta có:
do
Lại có nên nếu đặt thì * +. Mặt khác:
Khai triển kết quả trên ta thu được:
Do đó:
√ [ ] Tính đạo hàm cấp một của ta có ngay:
√
√ [ ] Suy ra là hàm liên tục và đồng biến trên khoảng xác định nên
( * √
VIETMATHS.NET
49 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Bài toán hoàn tất tại đây.
Câu 17: Cho là các số thực dương thỏa mãn √ √ √ √ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√
√
Sở GD&ĐT Hưng Yên Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được
√ √ √ √ √ √ Đặt √ nên từ kết quả vừa chứng minh suy ra
√ √ ( ] Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có đánh giá:
√
√
√ √ √
√
√ √ √
√
√ (√ √ √ )
√
√ Lại có
√ ( √ )( √ )
( √ ) √ ( ] Do đó Đẳng thức xảy ra tại tâm
Vậy ta đi đến kết luận cuối cùng là giá trị lớn nhất cần tìm bằng
Câu 18: Cho là các số thực thoả mãn điều kiện và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Khánh Hoà, lần 1 Lời giải:
Sử dụng những điều kiện đã cho ta tìm được mối liên hệ giữa hai mẫu như sau:
Do đó:
VIETMATHS.NET
50
.vì
/ Đẳng thức xảy ra khi 8
chẳng hạn ( ).
Vậy ta có thể kết luận rằng giá trị lớn nhất cần tìm là 5.
Câu 19: Cho ba số thực dương thoả mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Khánh Hoà, lần 2, ngày 25/5/2016 Lời giải:
Trước tiên đề đưa điều kiện về dạng quen thuộc ta đặt
( * và Rút theo ta được: , tương tự: .
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: . Sử dụng kết quả này cùng bổ đề , ta có đánh giá:
∑
( )
∑
∑
∑ ∑ ∑ ( ì ∑
∑ *
Đẳng thức xảy ra tại tâm tức Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là khi Câu 20: Cho là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√ √
Sở GD&ĐT Kiên Giang, ngày 26/05/2016 Lời giải:
Vận dụng những bất đẳng thức đơn giản, ta có ngay:
√ √
VIETMATHS.NET
51 .
/ √
Sử dụng kết quả vừa chứng minh cùng bất đẳng thức Côsi cho ba số thực dương, ta được:
√ √ √
√ √ √
trong đó
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 8
√ .
Vậy giá trị nhỏ nhất của là , đạt được khi
Câu 21: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(√ √ √ )
Sở GD&ĐT Lâm Đồng Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta được:
√ √ √ √ √ √ √ √
Chứng minh tương tự ta thu được:
√
√ Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên:
√ √ √ Đẳng thức xảy ra khi ,
√ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 3.
Câu 22: Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Lào Cai Lời giải
Sử dụng liên tiếp các bất đẳng thức cơ bản và bổ đề ta thu được:
VIETMATHS.NET
52
0
1 (
* 0
1 (
* ( * Do đó:
(
* Ta lại có:
( *
[ ]
Lập bảng biến thiên ta được:
Dấu bằng xảy ra khi cả ba biến bằng nhau và bằng Vậy giá trị nhỏ nhất của là đạt được khi .
Chú ý rằng đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử của trường THPT Yên Việt II, Bắc Giang, lần 1 và trường THPT Cao Lãnh , Đồng Tháp.
Câu 23: Xét là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( * ( *
Sở GD&ĐT Nam Định Lời giải:
Đặt khi đó và biểu thức trở thành:
( * ( * ( * Sử dụng kết hợp hai bất đẳng thức Côsi và Bunhiacopxky ta được:
( * ( * .
√ / (
* (
* Lại có vì nên
0 1 0
0
VIETMATHS.NET
53 (
* (
* Ta có:
Lập bảng biến thiên ta được:
Từ bảng biến thiên suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi thoả mãn hệ {
( * ( * Vậy đạt được khi ( )
Câu 24: Cho các số thực dương thỏa mãn ( ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
Sở GD&ĐT Ninh Bình Lời giải:
Sử dụng bổ đề cùng điều kiện đã cho ta có:
( *
Ta biến đổi tổng hai phân thức đầu như sau:
Tới đây, ta chú ý đến các bất đẳng thức quen thuộc sau:
Do đó:
√
√
√
√
0 1 0
VIETMATHS.NET
54
√ √
√ √ √
Ta sẽ chứng minh rằng , từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của , thật vậy:
√
(√ √ ) √ √ √ √ (√ √ ) √ Bất đẳng thức này đúng do √ √ và
√
√ √ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) Suy ra đồng biến trên [ nên Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
8
{
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là khi , bài toán hoàn tất tại đây
Câu 25: Cho ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Quảng Nam Lời giải:
Đặt Khi đó điều kiện đã cho tương đương với:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức
ta được:
Mặt khác biểu thức tương đương với:
(
*
VIETMATHS.NET
55 Dễ thấy Khi đó tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
( *
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
{
Vậy bài toán hoàn tất tại đây và
Chú ý rằng đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi của trường THPT Võ Giữ, Bình Định.
Câu 26: Cho các số dương và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(
) (
*
Sở GD&ĐT Quảng Ngãi Lời giải:
Với bài toán này điều kiện chỉ để đẹp mà thôi , cách ra đề thế như vậy thật không hiểu nổi!
Trước tiên ta chứng minh nhận xét sau: với mọi thì
Thật vậy:
luôn đúng Mặt khác đặt và sử dụng kết quả vừa chứng minh ta được:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.vì
/ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 8
. Vậy giá trị nhỏ nhất của là đạt được khi
VIETMATHS.NET
56
Trong đề thi thử trường THPT Quỳ Hợp 2, Nghệ An, lần 1 có bài toán hoàn toàn tương tự như sau:
“Cho các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(
) ( *
Câu 27: Cho các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Quảng Ngãi, đề tham khảo số 1 Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta được:
{
√ √ √ √ √ √ √ √
Mặt khác, áp dụng bổ đề ta có:
( * ( *
Do đó suy ra:
Đẳng thức xảy ra khi: ,
2
. Vậy ta kết luận giá trị nhỏ nhất của là Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử của trường số 1 Bảo Yên, Lào Cai, trường THPT Khoái Châu, Hưng Yên, lần 2.
Trong đề thi thử của trung tâm GDTX-HN Cam Ranh, Khánh Hoà trường THPT Cồn Tiên, Quảng Trị có bài toán hoàn toàn tương tự như sau:
“Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Câu 28: Cho các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√ √
Sở GD&ĐT Quảng Ngãi, đề tham khảo số 2
VIETMATHS.NET
57 Lời giải:
Sử dụng bổ đề 5, ta có ngay kết quả sau đây:
√ √ √ √ √ √
Sử dụng kết quả này cùng phép chia trường hợp ta xét:
Nếu nên
√
√ √( * √ (
√ * √
Đánh giá trên có được là dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxky , chú ý rằng trong trường hợp này đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (
√ *.
Nếu thì dễ thấy:
√ √ √
Bài toán hoàn tất tại đây và ta có thể kết luận rằng giá trị √ là giá trị nhỏ nhất cần tìm.
Câu 29: Cho là các số thực thỏa mãn √ √ và [ ]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√ √
Sở GD&ĐT Quảng Ninh Lời giải:
Biến đổi điều kiện đã cho ta thu được:
√ √
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Sử dụng kết quả này thì √ √ Tập ác định của là [ ] Khi đó
VIETMATHS.NET
58
√
√ Do đó Suy ra
{
{ ( * } { ( * } ( * √
Vậy giá trị lớn nhất của , đạt được khi Giá trị nhỏ nhất của √ , đạt được khi
Câu 30: Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Sơn La, lần 1 Lời giải:
Đặt Khi đó: và biểu thức trở thành:
(
* Sử dụng bổ đề thu được:
(∑
∑
* Ta sẽ chứng minh rằng
∑ ∑
Thật vậy:
Chứng minh : Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky và Côsi ta được:
∑
∑ (√ √ √ ) (√ √ √ )
(√ √ √ )
Chứng minh : Biến đổi kết hợp sử dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
luôn đúng
Suy ra Đẳng thức xảy ra khi Vậy giá trị lớn nhất của là
VIETMATHS.NET
59 Câu 31: Cho là ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
√ √ √ √
Sở GD&ĐT Sơn La, lần 2 Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bổ đề 5 cùng bổ đề thu được:
√ ( * √ √ ( *
√ (
* √ Trong đó ].
Mà theo bất đẳng thức Côsi ta có:
( *
Suy ra √
Bài toán hoàn tất tại đây, chú ý đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Câu 32: Cho là ba số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.√
/
Sở GD&ĐT Tây Ninh Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky cho 2 bộ ba số và 2 bộ hai số ta được:
(√ )
Trong đó . Xét hiệu:
VIETMATHS.NET
60
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {
√
√
Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là 4
Câu 33: Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
(
*
Sở GD&ĐT Thanh Hóa Lời giải:
Đặt với , suy ra Khi đó:
(
* (
* ∑
∑
∑ (
* ∑ (
* ∑ Mặt khác, ta có bất đẳng thức
Thật vậy
(luôn đúng *
Theo đề là độ dài ba cạnh của một tam giác nên . Do đó áp dụng ta được:
∑
Dấu bằng xảy ra khi 8
Điều này cho phép ta kết luận giá trị lớn nhất của là 9.
Chú ý rằng trong đề thi thử toán trường THPT chuyên Vĩnh Phúc, lần 2 xuất hiện bài toán hoàn toàn tương tự:
“Cho là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
VIETMATHS.NET
61 Câu 34: Cho 2 số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất và của biểu thức:
√ √
Sở GD&ĐT Tiền Giang Lời giải:
Ta có bất đẳng thức hiển nhiên đúng sau:
Và theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta lại có: √ Do đó:
√
√ với Mặt khác
Tính ta được:
√ √
√ ] là hàm nghịch biến trên ]
Nên √ , đẳng thức xảy ra khi
{
[ Vậy giá trị nhỏ nhất là √ , đạt được khi
Đây cũng là câu bất đẳng thức trong đề thi thử trường THPT Tương Dương , Nghệ An, lần 1 và trường Phan Thúc Trực, Nghệ An, lần 1.
Câu 35: Cho thỏa mãn {
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc, lần 1 Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc ta được:
VIETMATHS.NET