QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016 CỦA CÁC DIỄN ĐÀN, TẠP CHÍ
F, BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Hầu hết bài tập dưới đây đều ít nhất một lần xuất hiện trong các đề thi, do đó chúng rất vừa sức với tất cả học sinh.
Bài tập 1: Xét số thực tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
√
√ ( √ ) √ ( √ )
Bài tập 2: Cho các số thực dương thay đổi thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Bài tập 3: Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài tập 4: Cho các số thực thoả mãn √ √ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
Bài tập 5: Cho ba số không âm đôi một phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(
*
Bài tập 6: Cho ba số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài tập 7: Xét các số thực không âm thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài tập 8: Cho là các số thực không đồng thời bằng 0 và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
VIETMATHS.NET
244
Bài tập 9: Cho là các số thực thoả mãn điều kiện và . Chứng minh rằng
Bài tập 10: Xét các số thực thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài tập 11: Xét là các số thực thuộc đoạn [ ] và thoả mãn . Chứng minh rằng:
Bài tập 12: Cho [ ]. Chứng minh rằng .
Bài tập 13: Cho là ba số dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài tập 14: Cho các số thực dương và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√
Bài tập 15: Giả sử không đồng thời bằng 0. Chứng minh:
√
√ Bài tập 16: Cho là ba số dương. Chứng minh rằng:
Bài tập 17: Cho là ba số dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√ √ √
Bài tập 18: Cho là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài tập 19: Cho các số thực không âm thoả mãn min { }. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
VIETMATHS.NET
245 √
Bài tập 20: Cho hai số thoả mãn
8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài tập 21: Cho ba số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( *
Cho là các số thực dương thoả mãn . Chứng minh bất đẳng thức:
( * √
Bài tập 22: Cho là các số thực không âm thoả mãn √ √ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
√ √ Bài tập 23: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
√ √
√ √ Trong đó là tham số thực và
Bài tập 24: Cho các số thực dương . Chứng minh rằng
√ √
√
√ √
√
√ √
√
√ √
Bài tập 25: Cho là các số không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
( √ )
Bài tập 26: Cho các số thuộc đoạn [ , ]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài tập 27: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
VIETMATHS.NET
246
√
√
√
Bài tập 28: Với là các số thực dương nhỏ hơn và thoả mãn . Chứng minh:
Bài tập 29: Cho là ba số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Bài tập 30: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
Bài tập 31: Cho ba số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng:
Bài tập 32: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
( *
Bài tập 33: Cho ba số thực thoả mãn √ . Chứng minh rằng:
Bài tập 34: Cho ba số thực dương thoả mãn . Chứng minh:
√ √
√ √
√
√
Bài tập 35: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
√
Bài tập 36: Cho các số thực dương và thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
Bài tập 37: Cho là các số thực lớn hơn 1 và thoả mãn . Chứng minh rằng
VIETMATHS.NET
247
√ √
Bài tập 38: Cho là ba số thực thoả mãn . Chứng minh rằng:
Bài tập 39: Cho là các số thực dương thoả mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài tập 40: Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài tập 41: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài tập 42: Cho thoả mãn . Chứng minh rằng:
Bài tập 43: Cho là các số dương thoả mãn . Chứng minh rằng:
Trong đó là số đo ba góc của tam giác bất kỳ.
Bài tập 44: Cho ba số dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài tập 45: Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
√
Bài tập 46: Cho các số dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài tập 47: Cho là các số thực thoả mãn và . Chứng minh rằng:
√
Bài tập 48: Cho ba số dương thoả mãn . Chứng minh rằng:
VIETMATHS.NET
248
Bài tập 49: Cho thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
Bài tập 50: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Trong đó là các số thực không âm và thoả mãn √
Bài tập 51: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài tập 52: Cho các số thực thuộc đoạn [ ] và thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 53: Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√
Bài tập 54: Cho là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
Bài tập 55: Cho các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(
* (
* √ Bài tập 56: Cho là ba số dương. Chứng minh rằng:
√ √ √
Bài tập 57: Cho là ba số thực thoả mãn . Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức:
√ √ √
Bài tập 58: Xét các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
VIETMATHS.NET
249
Bài tập 59: Cho ba số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng
Bài tập 60: Cho là ba số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài tập 61: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của √ √
√
Bài tập 62: Cho ba số thực dương tuỳ ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√
√
√ √
√ √
Bài tập 63: Cho là ba số thực dương và thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√ √ √
Bài tập 64: Xét ba số thực thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 65: Cho bốn số dương thoả mãn . Chứng minh rằng
Bài tập 66: Cho là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 67: Cho là các số thực dương thoả mãn
( * Chứng minh rằng
VIETMATHS.NET
250
( *
Bài tập 68: Với là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 69: Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
(
*
Bài tập 70: Cho các số thực thuộc đoạn [ ]. Chứng minh rằng:
Bài tập 71: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
√ √ √
Bài tập 72: Giả sử là các số thực không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
In
Bài tập 73: Giả sử là các số thực không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 74: Cho là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức √
√
Bài tập 75: Cho hai số thực thuộc khoảng thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
√
Bài tập 76: Cho là ba số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng:
( * (
* (
*
VIETMATHS.NET
251 Bài tập 77: Với là các số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 78: Cho các số dương thoả mãn . Chứng minh rằng
Bài tập 79: Cho các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng
Bài tập 80: Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 81: Cho thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
√ √ /
Bài tập 82: Cho là ba số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 83: Cho ba số dương thoả mãn . Chứng minh rằng
Bài tập 84: Cho là độ dài ba cạnh của 1 tam giác thoả mãn . Chứng minh rằng
(
*
Bài tập 85: Cho các số thực không âm thoả mãn √ √ √ Chứng minh rằng
√ Bài tập 86: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài tập 87: Cho ba số thực dương thay đổi thoả mãn √ (√ √ ) √ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
VIETMATHS.NET
252
Bài tập 88: Cho là ba số dương. Chứng minh rằng
. /
Bài tập 89: Cho là các số thực thuộc đoạn [ ]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 90: Cho là các số thực thuộc đoạn [ ] thoả mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài tập 91: Cho ba số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 92: Cho các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√ (
*
. /
Bài tập 93: Cho các số thực không âm thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
/
Bài tập 94: Cho ba số thực thoả mãn và √ √ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 95: Cho các số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√
√
√
Bài tập 96: Cho các số không âm thoả mãn ma { } . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√ √ √
VIETMATHS.NET
253 Bài tập 97: Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 98: Cho , . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 99: Cho các số thực thoả mãn
{ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 100: Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng
√( * ( * √
Bài tập 101: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 102: Cho là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (
* (
* (
* .
/ .
/ .
/
Bài tập 103: Cho ] và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 103: Cho là các số thực sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 104: Cho ba số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng
VIETMATHS.NET
254
Bài tập 105: Giả sử là các số thực lần lượt thoả mãn các phương trình với ; với . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( * Bài tập 106: Cho là các số thực dương thoả mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√ √
√ Bài tập 107: Cho các số thực dương . Chứng minh rằng
√
Bài tập 108: Cho các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức √
√
√ √
√ √
Bài tập 109: Với các số thực thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√ √ √
Bài tập 110: Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
/
Bài tập 111: Cho là ba số thực thuộc đoạn [ ]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
Bài tập 112: Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức In In In
Bài tập 113: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
VIETMATHS.NET
255
Bài tập 114: Cho các số thực dương thuộc [ ]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức |
|
Bài tập 115: Cho hai số dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( * ( *
Bài tập 116: Cho là các số thực không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√
Bài tập 117: Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
√
Bài tập 118: Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 119: Cho các số thực thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
Bài tập 120: Cho ba số dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài tập 121: Cho các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√ √
Bài tập 122: Cho , không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √
VIETMATHS.NET
256
Bài tập 123: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
√ √
Bài tập 124: Cho ba số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√
Bài tập 125: Cho là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng ( *
Bài tập 126: Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 127: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√
√
√
Bài tập 128: Cho ba số thực dương thoả mãn √ √ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 129: Xét các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 130: Chứng minh rằng với các số thuộc khoảng , luôn có
Bài tập 131: Cho các số thực không âm . Chứng minh bất đẳng thức sau
Bài tập 132: Cho là các số dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
VIETMATHS.NET
257 Bài tập 133: Cho hai số thực dương . Chứng minh
√
Bài tập 134: Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 135: Cho ba số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√ √ √ Bài tập 136: Cho ba số thực dương . Chứng minh rằng
Bài tập 137: Cho các số thực không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 138: Cho là các số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 139: Cho là các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng ( * ( * ( *
Bài tập 140: Cho là các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng
Bài tập 141: Cho các số dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 142: Cho các số thực dương thoả mãn , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 143: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
VIETMATHS.NET
258
Bài tập 144: Cho ]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
log log log Bài tập 145: Cho ba số thực . Chứng minh rằng
Bài tập 146: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
Bài tập 147: Cho các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√
Bài tập 148: Cho là ba số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ √ √ √ √
Bài tập 149: Giả sử là các số thực không âm và thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 150: Cho các số thực với và thoả mãn đẳng thức Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√ √ √
Bài tập 151: Cho ba số thực dương thay đổi thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
In
Bài tập 152: Cho các số không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ √
Bài tập 153: Cho số thực . Chứng minh rằng
√ ( √ ) √ ( √ ) √ √
VIETMATHS.NET
259 Bài tập 154: Cho ba số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của
√ Bài tập 155: Cho . Chứng minh rằng
(√ √ √ )
Bài tập 156: Cho các số thực dương sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài tập 157: Cho các số thực dương thoả mãn
( *
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
. / ( *
Bài tập 158: Cho các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 159: Chứng minh rằng với mọi số thực . Bất đẳng thức sau luôn đúng
Bài tập 160: Cho là các số thực không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 161: Cho là các số thực bất kỳ. Chứng minh rằng
|
| √
Bài tập 162: Cho các số thực không âm và thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
√
Bài tập 163: Cho là ba số thực thuộc ]. Chứng minh rằng
VIETMATHS.NET
260
Bài tập 164: Cho các số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức √ √ √
Bài tập 165: Cho là ba số thực dương có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 166: Cho ba số thực thoả mãn . Chứng minh rằng
Bài tập 167: Cho các số thực dương . Chứng minh rằng
Bài tập 168: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 169: Cho các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( *
Bài tập 170: Cho ba số thực thoả mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 171: Chứng minh rằng với thì
√ √ √ √ (
√ √ √ * Bài tập 172: Cho . Chứng minh rằng
( * ( * ( * ( * Bài tập 173: Cho các số thực thoả mãn . Chứng minh rằng
√ √
Bài tập 174: Cho là các số thực dương thoả mãn . Chứng minh
VIETMATHS.NET
261
Bài tập 175: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 176: Cho các số thực dương thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng
Bài tập 177: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức
( √ )
( √ )
( √ )
Bài tập 178: Cho các số thực không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√
Bài tập 179: Cho là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi là 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài tập 180: Cho và . Tìm giá trị lớn nhất của
Bài tập 181: Cho các số dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 182: Cho các số dương thoả mãn . Chứng minh rằng
Bài tập 183: Cho ba số dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
Bài tập 184: Cho là các số thực thoả mãn . Chứng minh rằng
Bài tập 185: Cho thoả mãn . Chứng minh rằng
VIETMATHS.NET
262
Bài tập 186: Cho thoả mãn . Chứng minh rằng
Bài tập 187: Cho là các số dương thoả mãn
( * Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
Bài tập 188: Cho các số thực không âm thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của √ √ √
Bài tập 189: Cho là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 190: Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
Bài tập 191: Cho các số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
Bài tập 192: Cho ba số thực sao cho min{ } . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
Bài tập 193: Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất (
*
Bài tập 194: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài tập 195: Cho là các số thực không âm thoả mãn . Chứng minh rằng
VIETMATHS.NET