Trong quá trình dạy toán ở THCS, qua kinh nghiệm dạy bồi dưỡng học sinh giỏi và qua quá trình tìm tòi bản thân tôi thấy hai bài toán được áp dụng nhiều trong quá trình chứng minh bất đẳn[r]
(1)Môc lôc STT NỘI DUNG MỤC LỤC A PHẦN MỞ ĐẦU I.Lý chọn đề tài 1.Cở sở lý luận 2.Cơ sở thực tiễn II Mục đích nghiên cứu III.Phương pháp nghiên cứu IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ SỬ DỤNG B HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài I Bài II ÁP DỤNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG DẠNG DẠNG ÁP DỤNG TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TRANG 4-14 15 C.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM 1.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 2.BÀI HỌC KINH NGHIỆM D KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 17 A.PHẦN MỞ ĐẦU I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 1.Cơ sở khoa học: Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng khoa học kĩ thuật và đời sống, giúp người tiếp thu cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu Thông qua việc học toán, học sinh có thể nắm vững nội dung toán học và phương pháp giải toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác là các môn khoa học tự nhiên (2) Hơn Toán học còn là sở ngành khoa học khác, chính vì toán học có vai trò quan trọng trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy giáo lao động nghệ thuật sáng tạo để có phương pháp dạy học giúp học sinh học và giải bài toán Bất đẳng thức là nội dung quan trọng chương trình toán học THCS Trong quá trình dạy toán THCS, qua kinh nghiệm dạy bồi dưỡng học sinh giỏi và qua quá trình tìm tòi thân tôi thấy hai bài toán áp dụng nhiều quá trình chứng minh bất đẳng thức Thiết nghĩ giáo viên toán cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải tốt các bài toán bất đẳng thức góp phần nâng cao tư toán học, tạo diều kiện cho việc học toán nói riêng và quá trình học tập nói chung Cơ sở thực tiễn Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải đâu và phương pháp giải loại toán này nào Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều chương trình THCS, không trang bị số bài tập định gây cho học sinh nhiều khó khăn gặp và giải loại toán này Các bài toán có liên quan tới Bất đẳng thức có mặt đề thi kể các đề thi tốt nghiệp đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 trung học phổ thông Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phương pháp Bất đẳng thức bổ sung nhiều vào kho kiến thức mình Đối với học sinh khắc phục hạn chế trước đây giúp các em có tinh thần tự tin học tập môn toán Với kinh quỏ trỡnh dạy học thõn tôi xin giới thiệu bạn bè đồng nghiệp, các nhà chuyên môn và các cấp quản lý giáo dục đề tài kinh nghiệm: “ÁP DỤNG HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài này góp phần quan trọng việc giảng dạy toán học nói chung và Bất đẳng thức nói riêng, đặc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ụn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyờn và khụng chuyờn Đề tài này cũn giúp học sinh biết thêm phương pháp giải Bất đẳng thức cách nhanh chóng và hiệu quả, Phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh quá trình học tập III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Nghiên cứu hai bài toán và quen thuộc - Thông qua nội dung phương pháp và các bài tập mẫu nhằm rèn luyện kỹ và phát triển trí tuệ cho học sinh - Rèn kĩ cho học sinh qua các bài tập tương tự IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ SỬ DỤNG: - Hai bài toán - Bồi dưỡng cho giáo viên và học sinh THCS B NỘI DUNG ĐỀ TÀI : HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài I Víi a,b,c ,x,y > Chøng minh a b2 a b x y xy Gi¶i (3) a2 b2 a b (a y b x)( x y ) a b xy x y x y a y a xy b x b xy a xy b xy 2abxy a y b x 2abxy 0 ay bx 0 a b Luôn đúng với a,b,c ,x,y > dÊu “ =” xÈy x y Suy b¶ng sau: a b2 a b x y xy suy ( víi a,b,c ,x,y > 0) 1 x y x y a b x y dÊu = xÈy 1 1 x y 4 x y ( x y ) 4 xy x y 2 xy ( x y)2 x2 y2 Bµi II ¸p dông Bµi I ta chøng minh a b2 c a b c x y z x yz 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x yz Giải : x y z a b c x y z ( víi a,b,c ,x,y > 0) dÊu = xÈy (áp dụng bài toán I) Suy b¶ng sau: a b2 c2 a b c x y z xyz a b c dÊu = xÈy x y z 1 x y z xyz 1 1 9 x y z x y z ( víi a,b,c ,x,y,z > 0) Nhận xét: Khi áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức ta phải xác định rõ bài toán thuộc dạng nào các bài toán trên, xem có phải biến đổi bài toán áp dụng không, biến đổi nào cho phù hợp… ÁP DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Dạng Áp dụng bài toỏn 1 1 Bµi Cho a , b, c > 0, vµ a + b + c = chøng minh c a b 1 1 a b c 1 1 Gi¶i ¸p dông bµi to¸n I với x, y > ta có x y x y (4) 1 1 ( ) c a b c c a bc 1 1 a a b c a b a c 1 1 b a b c a b b c 1 1 1 1 1 c a b c a a b c b a b c c a b c a b a c a b b c 1 1 1 4 a b c Dấu “=” xẩy và a = b = c = 1/3 NhËn xÐt :NÕu bµi to¸n nµy ta ¸p dông trùc tiÕp tõ vÕ tr¸i th× kh«ng cho kÕt qu¶ mµ phải biến đổi mẫu trái c+1= c+ a+b+c áp dụng x = c+a, y= b+c thì bài toán trë nªn dÔ dµng A Bµi 2.Cho a, b > vµ a + b =1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt a b ab 11 1 Gi¶i : ¸p dông bµi to¸n I : x y x y với x, y > ta có 3.4 3 12 2 a b 2ab a b 1 2 2ab a b 2 A 3.4 3 2 12 14 2 2 a b ab a b 2ab 2ab a b a b ( v× ab (a+b)2/4 ) Min A = 14 vµ chØ a = b =1/2 NhËn xÐt : §èi víi bµi to¸n nµy ta ph¶i ®a mÉu vÒ d¹ng (a+b)2 th× míi cã kÕt qu¶ Bµi 3.Cho a, b, c,d,e > vµ a + b + c + d + e = T×m GTNN B a b c d a b c a b abcde Gi¶i ¸p dông bµi to¸n I a b c d e 4 a b c d e a b c d 4 a b c d a b c 4 a b c a b 4ab Nhân vế theo vế (5) 2 2 a b c d e a b c d a b c a b a b c d e.4 a b c d a b c.4ab ⇔ 16(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b) 44 abcde (a+b+ c+ d)(a+b+c )(a+ b) ⇒ B= ≥16 abcde Giá trị nhỏ B = 16 và a = b = 1/4; c = 1/2; d = ; e = ; Bµi 4.Cho a, b, c > CM 1 1 1 2a 3b 2b 3c 2c 3a a 2b 2c b 2a 2c c 2b 2a 1 1 Giải ¸p dông bµi to¸n I: với x, y > ta có x y x y 1 2a 3b b 2a 2c 4a 4b 2c 2a 2b c 1 2b 3c c 2b 2a 4b 4c 2a 2b 2c a 1 2c 3a a 2b 2c 4c 4a 2b 2a 2c a Cộng vế theo vế ta đpcm 1 1 1 2a 3b 2b 3c 2c 3a a 2b 2c b 2a 2c c 2b 2a Dấu “=” xẩy và a = b = c NhËn xÐt: Ta thÊy (2a+3b) + (b+2a+2c) = 2(2a+2b+c) nªn ph¶i nghÜ kÕt hîp hai biÓu thøc nµy l¹i a Bµi Cho a, b, c > vµ a b c CM a 1 b b 1 Gi¶i ¸p dông bµi to¸n I : ( x y ) 4 xy với x, y > a b c 3 ab bc ac ab bc ac 1; a a ab bc ac a a b a c b b ab bc ac b b c b a c c ab bc ac c c b c a a 1 b 1 c 1 a b a c b c b a 2 c b c a 1 a b 1 b c 1 c a a b a b b c c b c a a c c c 1 (6) Suy ®pcm Dấu “=” xẩy và a = b = c = √ Bµi ( §Ò thi HSG tØnh Hµ TÜnh n¨m 2012- 2013) Cho x, y, z > vµ x+y+z =1 x4 y4 z4 2 2 2 T×m MinF biÕt F = ( x y )( x y ) ( y z )( y z ) ( x z )( x z ) x4 y4 z4 2 2 2 Gi¶i Ta cã ( ( x y )( x y ) ( y z )( y z ) ( x z )( x z ) )y4 z4 x4 2 2 2 ( ( x y )( x y) ( y z )( y z) ( x z )( x z) ) = x4 y4 y4 z4 z x4 ( x y )( x y ) ( y z )( y z ) ( x z )( x z ) ( x − y ) ( x+ y ) ( x + y ) ( y − z ) ( z + y ) ( y + z ) ( z − x )( x + z ) ( x + z ) ¿ + + =x − y+ y − z + z − x = ( x + z 2) ( x + z ) ( x + y ) ( x 2+ y ) ( z+ y ) ( y + z ) ( x y )2 x2 y suy ¸p dông bµi to¸n I với x, y > ta cã 2F = x4 y y4 z4 z4 x4 ( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 ( x y )( x y ) ( y z )( y z ) ( x z )( x z ) 2( x y )( x y ) 2( y z )( y z ) 2( x z )( x z ) x2 y2 y2 z2 z x ( x y ) ( y z ) ( z x) 2( x y ) 2( y z ) 2( x z ) 4( x y ) 4( y z ) 4( x z ) 1 2( x y z ) F F 4 MinF =1/4 vµ chi x = y= z = 1/3 Nhận xét: Đây là bài toán để giải bài này ta phải phối hợp hai biến trên biểu thức, vì x2 +y2, x -y có x4 - y4 nên ta nghĩ phải thêm nó vào để làm cho bài toán gọn và dễ chứng minh Dạng Áp dụng bài toỏn Bµi 1.Cho a , b, c > vµ ab + bc + ac = 670 CM a b c a bc 2010 b ac 2010 c ab 2010 a b c Gi¶i ¸p dông bµi to¸n II a b c a2 b2 c2 a bc 2010 b2 ac 2010 c ab 2010 a(a bc 2010) b(b ac 2010) c(c ab 2010) a b c a b c a b3 c 3abc 2010( a b c ) (a b c)(a b c ab bc ac) 3.670(a b c) a b c (a b c) 3(ab bc ac ) 3(ab bc ac ) a b c Dấu “=” xẩy và a = b = c = √ 670 Nhận xét: Ta thấy tổng các biểu thức mẫu thì không cho ta được điều gì nên ta phải nghĩ hướng tạo xuất bình phương tử, từ đó cho ta tổng các mẫu có (7) xuất biểu thức a3 + b3+ c3 -3abc đây là bài toán quen thuộc lớp 8, phân tích thành nhân tử xuất biểu thức a+b+c và ab+bc+ac nên chứng minh bài toán dễ dàng Bµi Cho a,b,c > vµ abc = cm Gi¶i a b c 2 a b c ab a 1 bc b 1 ac c 1 a a 1 b ab ab a ab a abc b bc b abc bc b ac c b bc ab a c abc bc c ab a ab a a b c a ab 1 ab a cb b bc c ab a ab a ab a Ta cã ¸p dông bµi to¸n II a ab a 1 b bc b 1 c ac c 1 2 a b c ab a cb b bc c a b c a b c ab a cb b bc c a b c a b c Dấu “=” xẩy và a = b = c = Bài Cho a,b c >0 Chứng minh rằng: ab bc ca a+b+ c + + ≤ a+3 b+2 c a+b+ c a+2 b+c Giải ¸p dông bµi to¸n II ab ab ab 1 ab ab a (1) Tacó a 3b 2c (a c) (b c) 2b a c b c 2b a c b c Tương tự bc bc bc 1 2a b 3c (a b) (a c) 2c a c b c 2b bc bc b (2) a b b c ac ac ac 1 3a 2b c (a b) (b c) 2a a b b c 2a ac ac c (3) a b b c Từ (1) (2) (3) P≤ ac+ bc ab+ ac bc+ ab a+b+ c a+b +c + + + = a+b b +c a+c ( ) Dấu “=” xẩy và a = b = c Nhận xét: Ta thấy vai trò a, b,c bài toán này là nên ta tách 2a+b+3c = (a+b) +(a+c) + 2c áp dụng, nhiên đây không thấy kết liền mà phải cộng lại đặt nhân tử ta đpcm Bài (Olimpic 30/04): (8) a4 b4 c4 a b3 c Cho số dương a, b, c CMR: b c c a a b (2) a6 b6 c6 VT a (b c) b (c a ) c (a b) Giải: ¸p dông bµi to¸n II Ta có: ( a b3 c ) VT a (b c) b (c a) c (a b) Để chứng minh BĐT (2), ta phải chứng minh: (a b3 c3 ) a b3 c3 a (b c) b2 (c a ) c (a b) 2(a3 b3 c3 ) a (b c) b (c a) c ( a b) (a b3 a 2b b a ) (b3 c3 b 2c bc ) (a c a 2c ac ) 0 (a b) ( a b) (b c) (b c) (c a) (c a) 0 (luôn đúng) Dấu “ = ” xảy a = b = c Bài 5.(Đề thi HSG Tĩnh Hà Tĩnh 2011-2012) Cho a, b, c là số dương thõa mãn abc =1.Chứng minh a3 b3 c3 (b 1)(c 1) (a 1)(c 1) (b 1)(a 1) Giải ta có áp dụng bài toán II a3 b3 c3 (b 1)(c 1) (a 1)(c 1) (b 1)(a 1) a4 b4 c4 a (b 1)(c 1) b(a 1)(c 1) c(b 1)( a 1) a 2 b c a b c 2 a b c 2(ab bc ac) 3abc (a b c) a b c 3 t4 4t 18t 27t 81 0 t a b c 2t t 3 (t 3)(4t 12t 18t 27) 0(t a b c 3 abc 3) Luôn đúng Dấu “=” xẩy và a = b = c = Nhận xét: Đây là dạng toán áp dụng cần chú ý đổi biến chứng minh bài toán phụ Dạng Áp dụng bài toán và (9) 2009 670 2 Bµi Cho a, b, c > 0, vµ a +b+c 3 chøng minh a b c ab bc ac Gi¶i : a b2 a b x y x y C¸ch ¸p dông bµi to¸n I ( víi a,b,c ,x,y > 0) Ta chứng minh (a b) (b c) (c a ) 0 a b c 2ab 2bc 2ac 3(ab bc ac) Suy (a b c) 3(ab bc ac) Ta có 2007 670 2007 2 a b c 2ab 2bc 2ac ab bc ac a b c a b c 1 C¸ch ¸p dông bµi to¸n II : x y z x y z với x, y, z > a b c ab bc ac ab bc ac ( 1 ) 2 a b c ab bc ac ab bc ac 2007 2007 9 670 ab bc ac a b c ( v× a+b+c)2 3(ab+bc+ac) ) 2009 670 2 Suy a b c ab bc ac Dấu “=” xẩy và a = b = c = 1 1 C 2 a b c ab ab ab 30 Bµi 2.Cho a , b,c > vµ a + b + c =1.CM 1 Giải: ¸p dông bµi to¸n I vµ ¸p dông bµi to¸n II : x y z x y z , x, y, z > 1 7.3 ; ab bc ac ab bc ac ab bc ac (a b c ) 1 1 C 2 2 a b c 2(ab bc ac ) (a b c )2 a b c ab ab ab 2 22 7.3 2 2 30 2 2 a b c ab bc ac a b c 2(ab bc ac ) ab bc ac (a b c) (a b c) 2 Suy ®pcm Dấu “=” xẩy và a = b = c = 1/3 NhËn xÐt: §©y lµ mét bµi to¸n tho¹t qua nh×n rÊt dÔ nhng vµo chøng minh ta míi gÆp khã kh¨n nÕu kh«ng nắm v÷ng ph¬ng ph¸p chøng minh Trong bµi nµy ta nhÊt định làm xuất (a +b+c)2 thì cho kết đợc ÁP DỤNG ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Dạng 1: Áp dụng tìm cực trị hình học (10) Bài Cho tam giác ABC có ba cạnh có độ dài là a, b, c thỏa mãn điều kiện: 30ab + 4bc + 1977ca = 2012.abc Tìm giá trị nhỏ của: 2007 34 1981 Q p a p b p c a b c p Với Giải: Ta có: 1 1 4 1977 p a p b p b p c p c p a Q 30 Áp dụng bài toán I ta có: 1 30 2p a b p a p b 30 1 p b p c 4 4 2p b c 1 p c p a 1977 1977 2p c a (1) (2) (3) Từ (1), (2), (3) ta có: 30 1977 30ab 4bc 1977ca 2012abc 4 4 8048 b abc abc c a Q 4 2011 a b c 2012 Vậy Q = 8048 đạt và khi: Nhận xét: Bài toán này ta không áp dụng trực tiếp, vì ta nghĩ cách ghép 1 hai biểu thức p c p a lại với ta thấy 2p-c-a = b…nên đây là hướng để giải dạng toán thuộc loại này Bài 2.Cho ABC Điểm M nằm ABC Kẻ MA1 BC , MB1 CA , MC1 AB Tìm vị trí điểm M để biểu thức: A BC CA AB MA1 MB1 MC1 có giá trị nhỏ B1 C1 M Giải: Ta có: MA1.BC = 2SMBC, MB1.CA = 2SMAC, MC1.AB = 2SMAB B A1 C (11) Do đó: MA1.BC + MB1.CA + MC1.AB = 2SMBC + 2SMAC + 2SMAB = 2SABC BC CA AB BC CA2 AB Mặt khác: MA1 MB1 MC1 = MA1.BC MB1.CA MC1 AB Áp dụng bài toán II ta có: BC CA AB BC CA AB BC CA AB MA1 MB1 MC1 MA1.BC MB1.CA MC1 AB 2S ABC BC CA AB BC CA AB MA1 MB1 MC1 đạt giá trị nhỏ S ABC không đổi Suy ra: và khi: MA1 = MB1 = MC1 M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Nhận xét: Đây là bài toán hình học chúng ta không nhận để áp dụng bài toán II thì việc giải khó khăn vì tìm cực trị hình học cần lưu ý tới vận dụng bất đẳng thức Dạng 2: Áp dụng tìm cực trị cho biểu thức Q 0x x x với Bài Tìm giá trị nhỏ 0x Giải: Vì x 1 x , Áp dụng bài toán I ta có: Q 2 2x 1 2x Q 8 2x 1 2x x 1 x x Vậy giá trị nhỏ Q là 2 2 x 1 x 8 , x Bài Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ R a c b d c a b d a b b c c d d a R ( a c) (b d ) a b c d b c d a Giải: Ta có: Có: a b 0, c d 0, b c 0, d a , Áp dụng bài toán I , ta có: (12) (1 1) (1 1) R (a c) (b d ) a b c d b c d a 4 R (a c) (b d ) (a c b d ) 4 a b c d b c d a a b c d R 4 a= b = c = d Vậy: giá trị nhỏ R là a=b = c = d Bài Cho các số thực dương x,y,z B Tìm giá trị lớn của: yz zx xy x yz y xz z xy Giải: Áp dụng bài toán II với các số thực dương x,y,z có: x2 y2 z2 x y z A x2 yz y xz z xy x y z x2 A 2B x yz Mà y2 1 z2 yz zx xy y xz z xy x yz y zx z xy A B 3 (**) Kết hợp (*) và (**) ta B 1 Vậy giá trị lớn B = x = y = z Bài Cho a, b, c là các số dương và thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ a b c T a 8bc b 8ca c 8ab biểu thức: Giải: Áp dụng bài toán II a b c a2 b2 c2 T 2 a 8abc b 8abc c 8abc a b c 24abc Ta có: (a + b + c)3 a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) - 3abc 3 a + b + c + 27 abc abc - 3abc = a3 + b3 + c3 + 24abc T a b c = 1.Vậy giá trị nhỏ T khi: a = b = c = 1/3 Từ đó suy ra: Nhận xét: Trong bài toán này chúng ta áp dụng bài toán II không cho kết mà ta suy nghi xem a2 +b2 +c2 +24abc có nhỏ (a+b+c) hay không, đây là cách làm thường gặp số bài chứng minh bất đẳng thức Bài tập tương tự (13) 1 9 Bµi 1.Cho a, b, c > vµ a + b + c = CM a 2bc b 2ac c 2ab 1 1 x y z 9 x y z ¸p dông bµi to¸n II : ( víi x,y,z > 0) ta có Bµi 2.Cho a,b,c > vµ ab + bc + ac =3abc ab bc ac a b 1 c b 1 a c 1 Chøng minh HD ¸p dông bµi to¸n II: 1 1 1 3, x ; y ; z c a b a b c ab bc ac a b 1 c b 1 a c 1 1 x y xy z y yz x z zx 1 x y y z z x Ta cã (x+y+1) 3(xy+ x+y) nên ta phải chứng minh Bµi Cho a, b, c > vµ a2 +b2 + c2 = chøng minh 1 4 a b b c c a a 7 b 7 c 7 1 2 2 HD ¸p dông bµi to¸n I : a b b c a b c b b a b c suy ®pcm Bµi 4.Cho a, b, c > vµ a + b + c = chøng minh b + c 16abc HD ¸p dông bµi to¸n I ( x y ) 4 xy với x, y > 1 Bài Cho số dương a, b, c thoả mãn: a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = a + b + c a b N 2a 2b Bài Cho số dương a, b thoả mãn: a + b = Tìm GTLN của: Khi đẳng thức xảy thì tam giác có đặc điểm gì? Bài Một tam giác có diện tích S và độ dài cạnh là a, b, c Gọi , hb , hc là độ dài các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c CMR: 1 a b c hb hb hc hc 4S Bài Gọi a, b, c là độ dài cạnh tam giác có p là nửa chu vi và S là diện tích CMR: a 3b b 3c c 3a abc (a b c ) ab bc ca abc (14) Bài Một tam giác có độ dài cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi CMR: 1 1 1 2 p a p b p c a b c Khi đẳng thức xảy thì tam giác có đặc điểm gì? Bài 10 Cho các số dương a, b, c, , , CMR: a2 b2 c2 a b c a b c b c a c a b C KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM 1.Kết đạt Đề tài này giúp học sinh có thêm cách chứng minh bất đẳng thức cách hiệu Số liệu và kết thực đề tài Năm học Tổng số Số học sinh vận dụng 2011-2012 30 23 2012-2013 33 28 2.Bài học kinh nghiệm Trong quá trình vận dụng đề tài tôi rút kinh nghiệm : Việc rèn luyện kỹ cho học sinh phải theo lộ trình *Bài tập mẫu, phân tích, hướng dẫn *Bài tập tương tự HS tự làm *Cho hs đề xuất hướng giải có *Rút phương pháp chung *Kiểm tra, sữa chữa đánh giá kết D KẾT LUẬN Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này, tôi mong muốn đựợc đóng góp phần nhỏ bé công sức mỡnh việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác bất đẳng thức làm toán, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho các em học toán Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 8-9, áp dụng các dạng bài tập trên thì tôi thấy hiệu học tập học sinh tăng lên rõ rệt Tôi mạnh dạn đưa vấn đề này, các bài tập tôi đưa có thể chưa khai thác hết triệt để các tình nó là việc làm hữu ích cho cô giáo và học sinh Trên đây là số kinh nghiệm quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi Những kinh nghiệm mang màu sắc cỏ nhõn, chắn khụng trỏnh khỏi tồn tại, hạn chế Tôi mong đóng góp, bổ sung ý kiến đồng nghiệp, cỏc nhà chuyờn mụn, cỏc cấp quản lý giỏo dục để đề tài này sớm ỏp dụng rộng rói vào thực tiễn dạy- học bất đẳng thức trường THCS (15) Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Tĩnh, ngày 25 tháng năm 2014 Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Duy Hưng Trường THCS Nguyễn Tuấn Thiện – Hương Sơn – Hà Tĩnh TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Nõng cõo phỏt triển toỏn – Vũ Hữu Bỡnh – Nhà xuất GD 2.Chuyên đề Bất đẳng thức – Vừ Giang Giai- Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 3.Một số đề thi HSG toán cỏc tỉnh (16)