Bài toán thể tích khối đa diện có lời giải chi tiết (lớp 12 và ôn thi PTTHQG)

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Dạng : Tính thể thích cách áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích A - Lý thuyết Thể tích hình lăng trụ V= B.H với B diện tích đáy h chiều cao Thể tích hình chóp V= 1/3 B.h với B diện tích đáy h chiều cao Thể tích hình hộp chữ nhật V = a.b.c với a , b , c ba kích thước Thể tích hình lập phương V = a3 với a độ dài cạnh Thông thường đề thi đại học tính thể tích hình lăng trụ hình chóp Để tính thể tích phải xác định đường cao thể tích đáy Chú ý : - Xác định đường cao hình chóp Khối chóp có cạnh vuông góc với đáy cạnh đường cao Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy đường cao đường kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến đáy với mặt bên ( Nói đơn giản đường cao mặt bên ) Khối chóp có mặt bên kề vuông góc với đáy đường cao cạnh bên chung mặt Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy Ngoài số trường hợp khác khai thác tính chất khác đa diện để xác định đường cao Để tính độ dài đường cao thông thường gắn vào tam giác vuông ý Hệ thức lượng tam giác vuông : Cho ΔABC vuông A ta có : Định lý Pitago : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! AB.AC =BC.AH BC = 2AM SinB = , cosB = , tanB = , cotB = b = a.sinB = a.cosC , c = a.sinC = a.cosB , a = , b = c.tanB = c.cotC Hệ thức lượng tam giác thường Định lý hàm số Côsin : Định lý hàm số Sin : Xác định diện tích đáy ( quan trọng xác định rõ đáy hình ) - Công thức tính diện tích tam giác : S= √ ( = )( )( ) với p= Đặc biệt :  ΔABC vuông A : S =  ΔABC cạnh a : S = - Công thức tính diện tích tứ giác ABCD : Diện tích hình vuông : S = Diện tích hình chữ nhật : S = AB.AC - Diện tích hình thoi = AC.BD - Diện tích hình thang : S = (AB+CD).h - Diện tích hình bình hành : S = CD.h Diện tích hình tròn : S = π - Diện tích tứ giác : S = AC.BD.sin(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) √ B THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D ; AB = AD = 2a , CD = a , góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Cách : Hình thang ABCD có ̂ = ̂ AB = AD = 2a => IA = ID = a ΔAIB tam giác vuông  = ΔIDC vuông nên Từ C kẻ CH ⏊ AB  ΔCHB tam giác vuông CH = 2a , CD = a => HB = a =  ΔBIC tam giác vuông cân Kẻ IK ⏊ CB Gọi J trung điểm IC => IJ =  => BJ = √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! √ Ta có : BJ.IC = IK.BC => IK = √ √ √ (SIC) ⏊ (ABCD) => SI ⏊ (ABCD) IK ⏊ BC => SK ⏊ BC => ̂  SI = IK.tan ( = ) √ √ √ √ ( ) √ √ √ (SIB) ⏊ (ABCD) (SIC) ⏊ (ABCD) nên ta có SI ⏊ (ABCD) Vậy SI đường cao hình chóp S.ABCD Ta tính SI : Có diện tích hình thang ABCD : dt(ABCD) = >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! , Δ => Δ Δ BC = √( ) √ ) ta có BC ⏊ (SIK) => ̂ = Kẻ IK ⏊ BC ( K SI = IK.tan ̂ (Δ ) √ √ Suy thể tích khối chóp S.ABCD : V = √ (đvtt) Thí dụ : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a , góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) , tam giác ABC vuông C ̂ Hình chiếu vuông góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Giải : Gọi G trọng tâm ΔABC => B’G ⏊ (ABC) B’G = √ , BG = , BM = Đặt AB = 2x suy AC = x >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Gọi M trung điểm AC  MC = √ Vậy   √ Tính thể tích khối tứ diện A’ABC V = √ √ Thí dụ : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a , AA’ = 2a , A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’ , I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Giải : Cách : Ta có : => AC = a√ ; => BC = 2a H hình chiếu I xuống mặt phẳng (ABC) Ta có : IH ⏊ AC >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! (đvtt) Tam giác A’BC vuông B Nên √ √ Xét tam giác A’BC IBC , ta có IC = Vậy d(A,(IBC)) = √ √ √ √ Cách : Có BC = √ Kẻ IH ⏊ AC ( H AC ) => IH ⏊ (ABC) Kẻ HE ⏊ BC ( E BC ) => IE ⏊ BC ( Định lý đường vuông góc ) Ta có >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  HE = AB = Do Nên √ √ IE = √ √ Δ √ Gọi h khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) : h = √ Δ √ Thí dụ : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a , góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Giải : Gọi H trung điểm BC , theo giả thuyết ta có : ̂ Ta có : AH = √ , A’H = 2AH = a√ AA’ = √ √ Vậy thể tích khối lăng trụ : V= √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Kẻ đường trung trực GA trung điểm M GA mặt phẳng (A’AH) cắt GI J GJ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC Ta có : GM.GA = GJ.GI  R = GJ = Thí dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = a , hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC , AH = Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Giải : Ta có SH = √ SC = √ ( ( √ √ ) ) =√ √ = a√ Vậy ΔSCA cân C nên đường cao hạ từ C xuống ΔSAC trung điểm SA Từ M ta hạ K vuông góc với AC , nên MK = SH >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ( Ta có ) √ √ √ Nên Thí dụ : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a , BC = 2a , ̂ đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách hai đường thẳng A’B , CC’ theo a Giải : Trong (ABC) kẻ CH ⏊ AB ( H góc A’C lên (ABB’A’) Do : [ (̂ )] AB ) , suy CH ⏊ (ABB’A’) nên A’H hình chiếu vuông ( ̂ ) ̂ Áp dụng định lý hàm số cosin tam giác ABC ta có : √ Ta có : Δ = √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 Suy : IJ = 2OI = √ JH ⏊ (SAB) Do CD // AB => CD // (SAB) Suy : d(SA,CD) = d[CD,(SAB)] = d[J,(SAB)] = JH Xét tam giác vuông IJH ta : JH = IJ.sin Vậy d(SA,CD) = = √ √ √ Thí dụ : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang đáy lớn AB = , tam giác ACB vuông C , tam giác SAC SBD tam giác cạnh √ Tính thể tích hình chóp S.ABCD Giải : Vì tam giác SAC SBD cạnh √ nên AC = BD hay tứ giác ABCD hình thang cân Lại có góc ̂ = (giả thiết ) => ̂ ABCD ) nội tiếp đường tròn đường kính AB nên điểm A , B , C , D ( hay hình thang Gọi H trung điểm AB SH vuông góc (ABCD) ( hay SH trục đường tròn ngoại tiếp ) Hay SH đường cao hình chóp Trong tam giác vuông ACB C ta có : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 BC = √ √ Nên SH = √ Lại có √ √ ( Do ABCD nửa lục giác ) √ Vậy thể tích khối chóp √ √ ( đvtt ) Thí dụ : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , mặt bên tạo với đáy góc Mặt phẳng (P) chứa cạnh CD tạo với mặt phẳng đáy góc cắt SA , SB M N Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo a Giải : Gọi I K trung điểm CD AB H giao điểm SK MN  ̂ ̂ tam giác SIK tam giác cạnh a IH phân giác đồng thời đường cao SH đường cao nên SH = Tứ giác CDMN hình thang cân có HI đường cao >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 Ta có : IH = √ ( , MN = => √ Vậy : √ ) (đvtt) Thí dụ 10 : Cho hình chóp S.ABC có mặt SBC vuông góc với đáy , cạnh SB = SC = góc ̂ ̂ ̂ Tính thể tích hình chóp S.ABC Giải : Gọi H trung điểm BC => SH ⏊ BC (SBC) ⏊ (ABC) => SH ⏊ (ABC) ΔSBC cạnh => SH = √ ΔSAB = ΔSAC => AB = AC => AH ⏊ BC Đặt SA = x , x > Áp dụng định lý hàm số cosin tam giác SAC ta có ΔAHC vuông => >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15  x=  AH = √ = √ √ Vậy thể tích hình chóp Thí dụ 11 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , BC = 2a Hình chiếu vuông góc điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC , mặt phẳng (SAC) tạo với đáy (ABC) góc Tính thể tích hình chóp khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC) theo a , với I trung điểm SB Giải : Gọi H , J trung điểm BC , AC Ta có : ⏊( ⏊ ) } => AC ⏊ SJ Suy góc ̂ SH = HJ.tan AB = = √ √ √ √ Thể tích hình chóp √ (√ ) √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 16 ⏊ ⏊ Gọi E hình chiếu H lên SJ , ta có : } ⏊( ) Mặt khác , IH // SC => IH // (SAC) Suy d(I,(SAC)) = d(H,(SAC)) = HE = HJ.sin = √ Thí dụ 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác AB = BC = CD = a Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD , biết khoảng cách hai đường thẳng AB SD √ Giải : Gọi H giao điểm AC BD Do (SAC) (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với (ABCD) Gọi K hình chiếu vuông góc B lên đường thẳng SD Do ABCD nửa lục giác nên AB vuông góc với BD , kết hợp với AB vuông góc với SH suy AB ⏊ (SBD) => AB ⏊ BK => BK đoạn vuông góc chung AB SD Do BC // AD suy AC = BD = √ Mặt khác ta có : √ √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 17  2SH = √ => + => SH = √ Ta có : √ Vậy thể tích hình chóp √ Thí dụ 13 : Cho hình lăng trụ có M trung điểm cạnh AB , BC = 2a , ̂ ̂ , cạnh bên tạo với mặt phẳng (ABC) góc , hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (ABC) trung điểm CM Tính thể tích khối lăng trụ cho góc ) tạo hai mặt phẳng (ABC) ( Giải : Gọi H trung điểm CM ⏊ (ABC) Từ giả thiết =>  ̂ ( ̂ ( )) Từ tam giác vuông ABC với BC = 2a ̂ => AC = 2a√ AB = 4a , CM = => CH = a  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 18 √ Vậy thể tích lăng trụ Kẻ HK ⏊ AC => đường xiên ⏊ => (( )̂ ( √ )) ̂ Tam giác MCA cân M  ̂  ̂ => HK = HC.sin )̂ ( (( (̂) )) Thí dụ 14 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy A’B’C’ tam giác vuông B’ Gọi K hình chiếu vuông góc điểm A’ lên đường thẳng AC’ Biết góc đường thẳng A’K với mặt phẳng (C’AB’) A’B’ = a , A’C’ = a√ Tính thể tích khối tứ diện KA’BC Giải : Góc A’KH = => A’K = 2A’H Ta có :  A’K = √ , AA’ = √  OA’ = a√ , OK = , AC’ = A’C = 2a√ √ √ Δ Δ Dựng đường cao BI tam giác ABC BI ⏊ (CA’K) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 19 Nên BI đường cao khối chóp BA’CK BI = √ √ Vậy thể tích khối tứ diện KA’BC : Δ Thí dụ 15 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giá vuông A , AB = a , AC = a√ , hình chiếu vuông góc A’ mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC góc AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BC) Giải : Gọi M trung điểm BC Từ giả thiết ta có : ,̂ BC = 2a , AG =  A’G = AG.tan = √ Thể tích V khối lăng trụ tính : √ V= √ (đvtt) Dựng AK ⏊ BC K GI ⏊ BC I => GI // AK  => CI = = √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 20 Dựng GH ⏊ A’I H (1) ⏊ ⏊ Do : } => BC ⏊ GH (2) Từ (1) (2) => GH ⏊ (A’BC) Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) N trung điểm AB’ Từ d[ ( ( )) ( ( √ √ )] )) = 3GH √ = ( √ √ √ Thí dụ 16 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB = BC = a√ , khoảng cách từ A đến mặt phảng (SBC) a√ ̂ ̂ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a góc đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC) Giải : Gọi H hình chiếu vuông góc S mp(ABC) Ta có : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 21 + Ta có ⏊( ) } ( ) ⏊ ⏊ Tương tự HC ⏊ BC Suy tứ giác HABC hình vuông + Ta có : AH // BC  d( ( )) (SBC) => AH // (SBC) ( ( )) √ + Dựng HK ⏊ SC K (1) ⏊ ⏊ Do } => BC ⏊ (SHC) => BC ⏊ HK (2) Từ (1) (2) suy HK ⏊ (SBC) Từ d(H,(SBC)) = HK = a√  KC = √ √ √ tan ̂ √ √ Thể tích khối chóp S.ABC tính V= √ √ + Góc SB với mp(ABC) góc ̂ √ √ (đvtt) ( tam giác SHB vuông cân ) Thí dụ 17 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên a , đáy ABC tam giác , hình chiếu A (A’B’C’) trùng với trọng tâm G ΔA’B’C’ Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a Giải : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 22 Gọi M , M’ trung điểm BC , B’C’ => A’, G , M’ thẳng hàng AA’M’M hình bình hành A’M’⏊ B’C’ , AG ⏊ B’C’ => B’C’ ⏊ (AA’M’M) Suy góc (BCC’B’) (A’B’C’) góc A’M’ MM’ ̂ Đặt x = AB Ta có ΔABC cạnh x có AM đường cao  AM = √ √ Trong ΔAA’G vuông có AG = AA’sin A’G = AA’cos Δ Thể tích lăng trụ √ √ x= √ = √ ( Δ √ √ √ ) √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 23 Thí dụ 18 : Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC BCD tam giác cạnh a , góc AD mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a góc hai mặt phẳng (ABD) (ABC) Giải : Gọi H trung điểm BC Do ΔABC ΔBCD cạnh a nên : AH = DH = √ BC ⏊ (AHD) => (ABC) ⏊ (AHD) Kẻ DK ⏊ AH => DK ⏊ (ABC)  Góc ̂ ,̂  ΔDAK vuông cân K ΔDAH vuông cân H  K H => DH ⏊ (ABC) Diện tích tam giác ABC : √ Thể tích khối tứ diện ABCD V = DH = √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 24 Kẻ HE ⏊ AB => DE ⏊ AB Vậy góc mp(ABD) (ABC) góc hai đường thẳng DE HE góc ̂ Gọi CF đường cao xuất phát từ C tam giác ABC cạnh a nên có : CF = √ , HE = CF = √ nên tan ̂ = => ̂ Vậy góc hai mp(DAB) (ABC) góc ̂ Thí dụ 19 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ tích V Các mặt phẳng (ABC’) , (AB’C) , (A’BC) cắt O Tính thể tích khối tứ diện OABC theo V Giải : Gọi I = AC’ A’C , J = A’B ( ( ) ) ) ) ọ ( ( AB’ } => O điểm cần tìm Ta có O trọng tâm tam giác BA’C Gọi H hình chiếu O lên (ABC) Do ΔABC hình chiếu vuông góc ΔBA’C (ABC) nên H trọng tâm ΔABC >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 25 Gọi M trung điểm BC Ta có : OH HM AA AM  VOABC OH SΔABC 1 A A SΔABC V Thí dụ 20 : Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm tam giác ABC Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách cạnh AA’ cạnh BC theo a , biết góc mặt phẳng (A’BC) (ABC) Giải : Gọi M trung điểm BC ta có AM ⏊ BC (1) Mà A’H ⏊ BC suy A’M ⏊ BC (2) ̂ Từ (1) (2) ta có ((A BC) (ABC)) AM = tan a√3 a ̂ (A M AM) , HM = AM = 2√3 , AH = AM = AH MH AH Â MA a √3 a >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 26 Vậy thể tích lăng trụ : Vlt a a2 √3 A H dt(ABC) a3 √3 (đvtt) (AA’M) kẻ MK ⏊ A’A Do BC ⏊ (AMA’) => MK ⏊ BC d(AA BC) MK ΔAA’H đồng dạng ΔAMK  AH AA A H AM MK AM AA a2 Do AA’ = √ a2 = √12a 3a  Mk = 2√ 3a Vậy d(AA’,BC) = 2√ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 27 [...]... tứ diện ABCD có tam giác ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a , góc giữa AD và mặt phẳng (ABC) bằng Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ABC) Giải : Gọi H là trung điểm của BC Do ΔABC và ΔBCD đều cạnh a nên : AH = DH = √ và BC ⏊ (AHD) => (ABC) ⏊ (AHD) Kẻ DK ⏊ AH => DK ⏊ (ABC)  Góc ̂ ,̂  ΔDAK vuông cân tại K ΔDAH vuông cân tại H  K H => DH ⏊ (ABC) Diện tích. .. để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 19 Nên BI là đường cao của khối chóp BA’CK và BI = √ √ Vậy thể tích khối tứ diện KA’BC là : Δ Thí dụ 15 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giá vuông tại A , AB = a , AC = a√ , hình chi u vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng Tính thể tích khối lăng... giác vuông A’HC ta có : A’C = √ Xét tam giác vuông AA’C ta có : AA’ = √ Thể tích lăng trụ là : V = √ Δ √ Do CC’ // AA’ => CC’ // (ABB’A’) Suy ra : d(A’B , CC’) = d(CC’ , (ABB’A’)) = d(C,(ABB’A’)) = CH = √ Thí dụ 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc ̂ , hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy , góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng Tính thể tích khối chóp... mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD , biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng √ Giải : Gọi H là giao điểm của AC và BD Do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với (ABCD) Gọi K là hình chi u vuông góc của B lên đường thẳng SD Do ABCD là nửa lục giác đều nên AB vuông góc với BD ,... lượt tại M và N Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo a Giải : Gọi I và K là trung điểm của CD và AB và H là giao điểm của SK và MN  ̂ ̂ và tam giác SIK là tam giác đều cạnh a IH là phân giác đồng thời là đường cao SH là đường cao nên SH = Tứ giác CDMN là hình thang cân có HI là đường cao >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 Ta có : IH =... hình chi u vuông góc của lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc ) tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và ( Giải : Gọi H là trung điểm CM ⏊ (ABC) Từ giả thi t =>  ̂ ( ̂ ( )) Từ tam giác vuông ABC với BC = 2a ̂ => AC = 2a√ AB = 4a , CM = => CH = a  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 18 √ Vậy thể tích. .. ABC.A’B’C’ có thể tích V Các mặt phẳng (ABC’) , (AB’C) , (A’BC) cắt nhau tại O Tính thể tích khối tứ diện OABC theo V Giải : Gọi I = AC’ A’C , J = A’B ( ( ) ) ) ) ọ ( ( AB’ } => O là điểm cần tìm Ta có O là trọng tâm tam giác BA’C Gọi H là hình chi u của O lên (ABC) Do ΔABC là hình chi u vuông góc của ΔBA’C trên (ABC) nên H là trọng tâm ΔABC >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán –... vuông ACB tại C ta có : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 BC = √ √ Nên SH = √ Lại có √ √ ( Do ABCD là nửa lục giác đều ) √ Vậy thể tích khối chóp là √ √ ( đvtt ) Thí dụ 9 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt bên tạo với đáy một góc Mặt phẳng (P) chứa cạnh CD và tạo với mặt phẳng đáy một góc và. .. (1) và (2) => GH ⏊ (A’BC) Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung điểm của AB’ Từ đó d[ ( ( )) ( ( √ √ )] )) = 3GH √ = 3 ( √ √ √ Thí dụ 16 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = BC = a√ , khoảng cách từ A đến mặt phảng (SBC) bằng a√ và ̂ ̂ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC) Giải : Gọi H là hình chi u vuông góc... = √ √ Vậy thể tích hình chóp là Thí dụ 11 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC = 2a Hình chi u vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC , mặt phẳng (SAC) tạo với đáy (ABC) một góc Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC) theo a , với I là trung điểm SB Giải : Gọi H , J lần lượt là trung điểm của BC , AC Ta có : ⏊( ⏊