Tỉ số thể tích khối đa diện có lời giải chi tiết

Tỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiếtTỉ số thể tích khối đa diện File word có lời giải chi tiết

TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

SĐT 0935.785.115 Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế

I – PHƯƠNG PHÁP

Kết quả 1: Cho tam giác OAB , trên cạnh OA chọn A  , trên cạnh OB chọn ' 0 B ' 0

Lúc đó: OA B' ' ' '

OAB

S  OA OB

Chứng minh:

Gọi H H, ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A' lên

OB

Lúc đó: 0 ' ' 1 ' ' '

2

A B

2

OAB

Suy ra:

OA B

OAB

S  OA OB  OA OB (Định lý thales)

Kết quả 2:

Cho hình chóp S ABC , trên cạnh SA chọn A  , trên cạnh SB chọn ' 0 B ' 0trên cạnh SC chọn C  ' 0

Lúc đó: ' ' '

.

S A B C

S ABC

V  SA SB  SC

Chứng minh:

Gọi H H, ' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A' lên

mp SBC 

Lúc đó:

1

' '.S

3

3

Suy ra:

.

V  AH  S  SA SB SC (Định lý thales)

II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Tỉ số thể tích khối AA B C' ' ' và khối ABCC' là

1

2

3

Lời giải

Ta có:

' ' ' ' ' '

'.

1

; ' ' ' 3

1

; 3

A B C

AA B C

C ABC

ABC

V

Do S ABC S A B' 'C' và

nên (1): ' ' '

'.

1

AA B C

C ABC

V

 Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SB SD, Mặt phẳng

AMN cắt SC tại E Gọi  V2 là thể tích của khối chóp S AMEN và V1 là thể tích khối chóp S ABCD

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A 2 1 1

3

4

8

6

V  V

Lời giải

1 2

SB SD SO   Qua O dựng OK AE

2

AEC





 



 Suy ra: K là trung điểm EC

2

IE OK SOK





 



 Suy ra : E là trung điểm của S Vậy

1 3

SE

SC 

1

6

6

V  V

 Chọn đáp án D.

Ví dụ 3 : Cho tứ diện đều ABCD Điểm M là trung điểm AB và N trên cạnh CD sao cho CN 2ND

Tỉ số thể tích của khối ABCD và khối MNBC bằng

1

4

3

Lời giải

Ta có

;

3

3

 Chọn đáp án A.

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S ABC Gọi M N, lần lượt thuộc các cạnh SB SC, sao cho

SM MB SN   CN Mặt phẳng AMN chia khối chóp thành hai phần, gọi  V1V S AMN. và

V V Khẳng định nào sau đây đúng ?

A V1 V2 B 1 1 2

3

2

3

V  V

Lời giải

Ta có : .

.

1 2 1

2 3 3

S AMN

S ABC

Vậy 1 1 2

2

V  V  Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Gọi M N, lần lượt là trung điểm các cạnh BC SM, Mặt phẳng ABN cắt SC tại  E Gọi V2 là thể tích của khốối chóp S.ABE và V1 là thể tích khối chóp

S ABC Khảng định nào sau đây đúng?

A 2 1 1

3

4

8

6

V  V

Lời giải

 Qua M dựng MK BE Xét tam giác BEC :

2





 

 Suy ra E là trung điểm SK

3

SE

SC 

Ta có: .

.

S ABE

S ABC

hay 2 1 1

3

V  V  Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Chp hình lăng trụ ABC A B C Gọi ' ' ' E F, lần lượt là trung điểm của các cạnh AA' và BB'

Đường thẳng CE cắt đường thẳng ' ' C A tại E' Đường thẳng CF cắt đường thẳng B C tại ' ' F' Gọi 2

V là thể tích khối chóp C ABFE và V1 là thể tích khối lăng trụ ABC A B C Khẳng định nào sau đây ' ' ' đúng?

A 2 1 1

3

4

8

6

V  V

Lời giải

Hình chóp ' 'C A B C' và lăng trụ ABC A B C ' ' 'có

đường cao và đáy bằng nhau nên

Do EF là đường trung bình của hình bình hành

' '

hay 2 1 1

3

V  V  Chọn đáp án A.

Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABC , trên AB BC SC, , lần lượt lấy các điểm M N P, , sao cho

2 , 4 ,

AM  MB BN NC SPPC Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S BMN và A CPN là:

A 4

5

8

Lời giải

3 5 15

5 2 10

.

.

15 10 3

S BMN

A CNP

V

V

 Chọn đáp án C.

Ví dụ 8: (Đề minh họa Bộ GD&ĐT) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB AC, và AD đôi một vuông góc

với nhau; AB6 ,a AC7a và AD4a Gọi M N P, , tương ứng là trung điểm các cạnh BC CD DB, ,

Tính thể tích V của tứ diện AMNP

2

3

V  a D V 7a3

Lời giải

6

ABCD

Dễ thấy MNP được tạo nên bởi các đường

trung bình của BCD  chúng đồng dạng với nhau theo tỉ số

3

7

 Chọn đáp án D.

Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi O là tâm của ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của ' ' ' ' ' '

A B và A D Tỉ số thể tích của khối ' ' A ABD và khối ' OMND C B bằng ' ' '

A 4

4

5

3

7

Lời giải

Do S ABDS A B' 'D' S MND C B' ' ' S B C D' ' 'S MND B' '

' '

 

Mặt khác ta có:

'

' ' ' ' ' ' ' '

A MN

A B D

S

Suy ra: 'C'B' 7

4

Ta có:

'

' ' '

' ' '

1 '; 3

1

; ' ' ' ' 3

ABD

A ABD

OMND C B

MND C B

V

V

' ' '

4

7

ABD

MND C B

S

S

Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA a, ABC đều cạnh 2a Gọi M N,

lần lượt thuộc các cạnh SB SC, sao cho SM MB SN,  2CN Tính thể tích khối AMNCB

A

3

2 3

9

a

3 3 9

a

3

4 3 9

a

3

2 3 3

a

Lời giải

Ta có:

2

Ta có: .

.

S AMN

S ABC

3

a

 Chọn đáp án A.

Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh SA Mặt phẳng

  qua M và song song với ABCD , cắt các cạnh  SB SC SD, , lần lượt tại N P Q, , Gọi V1 V S ABCD.

A V18V2 B.V16V2 C V116V2 D V14V2

Lời giải

Dễ thấy N P Q, , lần lượt là trung điểm các cạnh

, ,

SB SC SD

.

2 2





1 8 2

   Chọn đáp án A.

Ví dụ 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng

  chứa AM và song song với BD , cắt các cạnh SB SD, lần lượt tại N P, Gọi V1V S ANMP. và

V V Khẳng định nào sau đây đúng?

A V2 3V1 B 2 3 1

2

2

V  V

Lời giải

Gọi BDAC O ;AMSO I là

trọng tâm SAC và SBD Qua I dựng

PN BD  Thiết diện là tứ giác ANMP

S ANM

V

1 2 2 1

2

 Chọn đáp án C.

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N P Q, , , lần lượt

thuộc các cạnh SA SB SC SD, , , sao cho ; 2 ; 3 ; 1

3

SM MA SN  NB SP PC SQ SD Tính thể tích khối

SMNPQ

A

3

3 2

16

a

3 2 48

a

3 2 16

a

3 2 32

a

Lời giải

Ta có .

.

1 2 3 1

2 3 4 4

S MNP

S ABC

V  SA SB SC    

Tương tự: .

.

1 3 1 1

2 4 3 8

S MPQ

S ACD

V  SA SC SD     

16

Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC A B C Gọi ' ' ' V1V A A B C ' ' ' và V2V ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 3 2

4

2

3

3

V  V

Lời giải

Ta có: ' ' '     ' ' '

1

; ' ' ' 3

Và V ABC A B C ' ' ' d A A B C ; ' ' '  SA B C' ' '

Suy ra: 1

2

1

3

V

V   Chọn đáp án D.

Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ ABC A B C Điểm ' ' ' M trên cạnh AA' sao cho: AM 2MA' Gọi

1 M BCC B ' '

A 1 3 2

4

2

3

3

V  V

Lời giải

Do AA' BCC B' 'V M BCC B ' ' V A BCC B ' '

Ta có : ' ' ' 1 ' ' ' . ' ' 2 ' ' '

Suy ra: 1

2

2

3

V

V   Chọn đáp án D.

Nhận xét: Điểm M có vẻ như có thể nằm bất kì trên đường thẳng AA' ? Kết quả tỉ số thể tích trên vẫn đúng!

Ví dụ 16: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi V1V BACB'và V2V ABCD A B C D ' ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 5 2

9

6

3

3

V  V

Lời giải

1

3

3d A BCB C 2SBCB C

 

6d A BCB C SBCB C 6V ABCD A B C D

Suy ra: 1

2

1

6

V

V   Chọn đáp án B.

Ví dụ 17: Cho hình hộp ABCD A B C D .Gọi M là trung điểm cạnh AB Gọi ' ' ' ' V1V MBCB' và

2 ABCD A B C D ' ' ' '

V V Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 5 2

12

6

12

3

V  V

Lời giải

Ta có:

 Chọn đáp án C.

Ví dụ 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA B C' ' ' , đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABC song song với BC cắt AB tại D , cắt AC tại E Mặt phẳng đi qua A D E', , chia khối lăng trụ thành hai phần, tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) của chúng bằng:

A 2

4

4

4

27

Lời giải

ADE

ABC

S  AB AC   

Mặt khác:

'

' ' ' ' ' ' '

' ' '

A ADE

A B C CEDB

V

V

 Chọn đáp án B.

Ví dụ 19: Xét khối chóp tứ giác đều S ABCD , mặt phẳng chứa đường thẳng AB đi qua điểm C của '

cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau Tính tỉ số SC'

SC

A 1

2

5 1 2



5

Lời giải

Đặt SC' x;

SC  0  x 1

Ta có :

2

' '

.

2

S AD C

S ADC

Và '

.

'

2

S ABC

S ABC

2

2

Theo đề bài ta suy ra

2

  

1 0

2

 Chọn đáp án C.

Ví dụ 20: Cho khối hộp ABCD A B C D có thể tích V Tính thể tích khối chóp ' ' ' ' ACB D ' '

A

3

V

2

V

3

V

D.3 4

V

Lời giải

Hình hộp đã cho là hợp của khối chóp đang xét với 4

khối chóp A AB D B AB C C B CD D ACD' ' '; ' ; ' ' '; ' ; 4

khối cuối này cùng có thể tích bằng

6

V

nên thể tích

cần tìm bằng 4

V    Chọn đáp án A.

Nhận xét: Hoàn toàn có thể “thử: trường hợp đặt biệt, khi hình hộp đặt biệt trở thành hình lập phương

cạnh a thì dễ thấy thể tích khối lập phương là a3 , còn khối ACB D là khối tứ diện đều cạnh ' ' a 2 

thể tích tương ứng là  3

3

2 2

12 3

 So sánh ta đưa ra kết quả

Ví dụ 21: Cho hình chóp S ABCD đáy là hình chữ nhật ABCD có BC2AB , SA vuông góc với đáy Gọi M là điểm trên cạnh AD sao cho AM AB Gọi V V1, 2 lần lượt là thể tích của hai khối chóp

S ABM và S ABC Tính 1

2

V

V 

A 1

1

1

1

2

Lời giải

Ta có:

AD

2

V

V

 Chọn đáp án D.

Ví dụ 22: Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng

0

60 Gọi A B C'; '; ' tương ứng là điểm đối xứng của A B C; ; qua S Tính thể tích khối bát diện có các

mặt ABC A B C A BC B CA C AB AB C BC A CA B; ' ' '; ' ; ' ; ' ; ' '; ' '; ' '

A 2 3a3 B

3 3 2

a

3

2 3 3

a

3

4 3 3

a

Lời giải

Thể tích khối bát diện đã cho là

1

3

SA ABC SAG

Xét SGA vuông tại G

: tanSAG SG SG SA.tanSAG a

SA

Vậy

V   SG S    a 

 Chọn đáp án C.

Câu 1 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N P Q, , , lần lượt

thuộc các cạnh SA SB SC SD, , , sao cho ; 2 ; 3 ; 1

3

SM MA SN  NB SP PC SQ SD Tính tỉ số thể tích giữa khối SMNPQ và khối S ABCD

A 3

16 B

3

8 C

3

1

12

Câu 2 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1 V A BCC B. ' ' và V2V ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 3 2

4

2

3

3

V  V

Câu 3 Cho tứ diện ABCD Gọi B và ' C lần lượt là trung điểm của AB và AC Khi đó tỉ số thể tích ' của khối tứ diện AB C D và khối tứ diện ABCD bằng ' '

A 1

1

1

1

8

Câu 4 Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE A B C D E Gọi ' ' ' ' ' A B C D E", '', '', '', '' lần lượt là trung điểm của AA BB CC DD EE', ', ', ', ' Khi đó tỉ số thể tích của khối lăng trụ ABCDE A B C D E và khối lăng '' '' '' '' '' trụABCDE A B C D E bằng: ' ' ' ' '

A 1

1

1

1

10

Câu 5 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể tích bằng V Lấy điểm A' trên cạnh SA sao cho

1

'

3

SA  SA Mặt phẳng qua A' và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB SC SD, , lần lượt tại

', ', '

B C D Khi đó thể tích khối chóp ' 'S A B C D bằng: ' '

A

3

V

9

V

27

V

81

V

Câu 6 Cho hình chóp S ABC có A và ' B lần lượt là trung điểm của các cạnh ' SA SB, Tỉ số thể tích .

' ' '

S ABC

S A B C

V

A 1

1

Câu 7 Cho hình chóp S ABC Gọi A và ' B lần lượt là trung điểm của SA và SASB Khi đó tỉ số thể ' tích của hai khối chóp ' 'S A B C và S ABC bằng:

A 1

1

1

1

8

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD Gọi A B C D', ', ', ' lần lượt là trung điểm của SA SB SC SD, , , Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp ' 'S A B C D và ' ' S ABCD bằng:

A 1

1

1

1

16

Câu 9 Cho hình hộp ABCD A B C D Tỉ số thể tích của khối tứ diện ' ' ' ' ACB D và khối hộp ' '

' ' ' '

ABCD A B C D bằng:

A 1

1

1

1

6

Câu 10 Cho hình hộp ABCD A B C D , gọi O là giao điểm của AC và BD Tỉ số thể tích của khối ' ' ' ' chóp ' 'O A B C'D' và khối hộp ABCD A B C D bằng: ' ' ' '

A 1

1

1

1

6

Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O Khi đó, tỉ số .

.

A ABC

S ABCD

V

A 1

1

1

1

8

Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O Khi đó, tỉ số .

.

S OAB

S ABCD

V

A 1

1

1

1

8

Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O Khi đó, tỉ số .

.

S OAB

S ABC

V

V bằng

A 1

1

1

1

8

Câu 14 Cho tứ diện SABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnh AB BC AC, , Gọi

V V V V Lựa chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:

A V12V2 B V18V2 C.V14V2 D V16V2

Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M N, lần lượt là trung điểm của

SA và SB Tính tỉ số thể tích .

.

S CDMN

S CDAB

V

A 1

5

3

1

2

Câu 16 Cho hình chóp S ABC có SA9;SB4;SC8 và đôi một vuông góc Các điểm A B C; '; ' thỏa mãn SA2SA SB'; 3SB SC'; 4SC' Tính thể tích của khối chóp ' 'S A B C '

A 24 B 16 C.2 D.12

Câu 17 Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng ' ' ' ' a Tính thể tích khối tứ diện ACD B ' '

A

3

3

a

3 2 3

a

3

4

a

3 6 4

a