SKKN: Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm GTLN, GTNN và chứng minh bất đẳng thức

Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm GTLN, GTNN và chứng minh các bất đẳng thức là một trong các phương pháp đơn giản, dễ hiểu hơn so với đa số các phương pháp khác, phù hợp với học sinh lớp 10. Mời quý thầy cô và các bạn tham khảo sáng kiến “Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm GTLN, GTNN và chứng minh bất đẳng thức”.

Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Giáo viên: Đỗ Tất Thắng SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học mơn: TỐN Phương pháp giáo dục   Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mơ hình  Phần mềm  Phim ảnh Năm học: 2011-2012 -0-  Hiện vật khác Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Giáo viên: Đỗ Tất Thắng SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: ĐỖ TẤT THẮNG Ngày tháng năm sinh: 06/09/1981 Nam, nữ: Nam Địa chỉ: 149/7 Khu phố phường Trung Dũng, BH-Đồng Nai Điện thoại: 0918.306.113 E-mail: thangtatdo@yahoo.com Chức vụ: Gíao viên Tốn Đơn vị cơng tác: Trường THPT Ngơ Quyền II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Tốn - Năm nhận bằng: 2010 - Chuyên ngành đào tạo: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn www.MATHVN.com -1- www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hồ-Đồng Nai ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Ngày nay, bất đẳng thức(BĐT) đề cập đến nhiều chương trình tầm quan trọng cách giải độc đáo chúng BĐT kiến thức khơng thể thiếu kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi BĐT áp dụng nhiều trong sống nói chung tốn học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, toán cực trị - Đa số học sinh gặp BĐT thường hay lúng túng, nên xuất phát từ đâu? Phương pháp giải nào? Với vai trò giáo viên dạy mơn Tốn, tơi muốn học sinh lớp 10 tiếp cận số đề thi cao đẳng, đại học, BĐT hay từ kiến thức bình thường, dễ hiểu - Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm GTLN, GTNN chứng minh BĐT phương pháp đơn giản, dễ hiểu so với đa số phương pháp khác, phù hợp với học sinh lớp 10 II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Qua thực tế dạy học từ ghi nhận nhận thấy chương trình lớp 10 phần BĐT, số tập sách giáo khoa hạn chế thời lượng dành cho Do đó, tơi mạnh dạn làm SKKN với mong muốn tài liệu nhỏ giúp học sinh đỡ khó khăn gặp số BĐT có dạng III NỘI DUNG ĐỀ TÀI A) Sử dụng bất đẳng thức phụ chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức phụ: Cho số dương a, b ta có: 11 1 1 1      Hay      ab 4 a b a b ab Đẳng thức xẩy a  b Khi gặp số toán BĐT mà ta áp dụng BĐT phụ, lời giải trở nên ngắn gọn, dễ hiểu so với cách làm khác Để khách quan xét toán sau: www.MATHVN.com -2- www.MATHVN.com Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1   16 ac bc Lời giải 1: (Không dùng BĐT phụ) Áp dụng BĐT Bunnhiacốpski ta   2    ac    bc       1    ac bc ac  bc                 ac   bc     4   (a  b)c (1  c)c  16 Ta chứng minh (1  c )c 2  ac       ac   bc         bc     16(1  c)c  4(2c  1)  (đpcm) Vậy 1   16 ac bc  a  b   Đẳng thức xẩy   c   Áp dụng BĐT  ta có: Lời giải 2: (Áp dụng BĐT phụ) 1 1 1  4        16 ac bc c  a b  c(a  b)  c  a  b 2     Đẳng thức xảy  c  1 ,ab LG1 LG2 Bảng so sánh ưu, nhược điểm Lời giải Lời giải 2: Khó khăn hay thuận Kiến thức sử dụng Phạm vi kiến thức lợi HS 10 Ngồi chương trình BĐT Bunnhiacốpski SGK phổ thơng Khó khăn Biến đổi tương đương Lớp 10 Hàng đẳng thức đáng Lớp nhớ BĐT phụ Lớp 8,9,10 Thuận lợi www.MATHVN.com -3- www.MATHVN.com Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Qua bảng so sánh ta thấy : + Áp dụng LG1 phải dùng tới kiến thức chương trình(BĐT Bunnhiacốpski), lời giải dài dịng, gây khó hiểu đối với HS lớp 10 + Áp dụng LG2 dùng BĐT phụ chương trình, lời giải ngắn gọn, dễ hiểu đối với HS lớp 10 Từ BĐT phụ chứng minh tốn BĐT khó Sau số ví dụ minh họa 1 1 1    (   ) Ví dụ Cho ba số dương a, b, c, ta có: ab bc ca a b c Lời giải: Áp dụng BĐT ta có 11 1     (1) ab 4 a b 11 1     (2) bc 4b c 11 1     (3) ca 4c a 1 1 1    (   ) (đpcm) Cộng (1)+(2)+(3) ta ab bc ca a b c Đẳng thức xẩy  a  b  c Ví dụ Với a, b, c số dương Chứng minh rằng: 1 1 1    (   ) a  2b  c b  c  a c  a  b a b c Lời giải: Áp dụng BĐT ta có 1 1 1 1 1 1      (  )   (  )  (  )      a  2b  c  a  b    b  c  a  b b  c  a b b c  16  a b c  1 1 1      (1) a  2b  c 16  a b c  1 1 2      (2) tương tự: b  2c  a 16  a b c  1  1      (3) c  2a  b 16  a b c   Cộng (1)+(2)+(3) ta được: www.MATHVN.com 1 1 1    (   ) (đpcm) a  2b  c b  c  a c  a  b a b c -4- www.MATHVN.com Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Đẳng thức xẩy a=b=c Nhận xét: + Trong Ví dụ cho 1    đổi biến a,b,c thành x,y,z tốn trở a b c thành đề thi đại học năm 2005 khối A Cho x, y , z số dương thỏa mãn 1    x y z Chứng minh rằng: 1   1 2x  y  z x  y  z x  y  2z + 1 1     Cho ba số dương a, b, c theo Ví dụ ta có: (   )    a b c  ab bc ca  Nếu áp dụng liên tiếp BĐT 2n lần 1 1   (   )  21     a b c  ab bc ca  1    22      a  2b  c a  b  2c 2a  b  c  1    23      a  3b  3c 3a  2b  3c 3a  3b  2c  1    24      5a  5b  6c 6a  5b  5c 5a  6b  5c  1    25      11a  10b  11c 11a  11b  10c 10a  11b  11c  1    26      22 a  21b  21c 21a  22b  21c 21a  21b  22c       1  22 n  n    2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n   a   b   c  a   b   c  a   b   c  Từ    3 3 3 3  quan sát tổng quát hóa ta có BĐT mở rộng : Cho ba số dương a, b, c , n  N *    1 2n  1     2n    2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n a b c  2 a 1b 1c 1a 2b 1c 1a 1b 2c    3 3 3 3   www.MATHVN.com -5- www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Có thể chứng minh BĐT BĐT VD2 kết hợp với phương pháp chứng minh qui nạp 1 1 1    (   ) + Cho ba số dương a, b, c theo Ví dụ ta có: ab bc ca a b c Nếu áp dụng liên tiếp BĐT 2n+1 lần 1 1   (   )  21     a b c a  b b  c c  a  1    22      a  2b  c a  b  2c 2a  b  c  1    23      2a  3b  3c 3a  2b  3c 3a  3b  2c  1    24      5a  5b  6c 6a  5b  5c 5a  6b  5c  1    25      11a  10b  11c 11a  11b  10c 10a  11b  11c       1  22n 1  2n 1    n1 n1 n1 n1 n1 2n 1 n1 n1   a   b   c  a   b  1 c 1 a  1 b   c    3 3 3 3   BĐT mở rộng 2: Cho ba số dương a, b, c , n  N * , ta    1 2n1  1     2n1  2n1  2n1  2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 a b c  2a 1b 1c 1a 2b 1c 1a 1b 2c    3 3 3 3   Từ BĐT mở rộng ta nhận thấy, áp dụng BĐT VD2 nhiều lần vế phải nhỏ dần Bằng cách áp dụng BĐT VD2 phương pháp qui nạp thu BĐT mở rộng 3, theo hay sau BĐT mở rộng 3a: www.MATHVN.com -6- www.MATHVN.com Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Giáo viên: Đỗ Tất Thắng * Cho ba số dương a, b, c , n, k  N : k  n , ta có:     1 2k  2k  2k  2k  2k 2k 2k 2k 2k 2k  2a 1b 1c 1a 2b 1c 1a 1b 2c    3 3 3 3       1  22n  2n    2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n  2 a 1b 1c 1a 2b 1c 1a 1b 2c    3 3 3 3   BĐT mở rộng 3b: Cho ba số dương a, b, c , n, k  N * : k  n , ta có:     1 22k1  2k1    2k1 2k1 2k1 2k1 2k1 2k1 2k1 2k1  2a 1b 1c 1a 2b 1c 1a 1b 2c    3 3 3 3       1  22n1  2n1    2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1  2a 1b 1c 1a 2b 1c 1a 1b 2c   3 3 3 3   BĐT mở rộng 3c: * Cho ba số dương a, b, c , n, k  N : k  n , ta có:     1 22k  2k  2k  2k  2k 2k 2k 2k 2k 2k  2a 1b 1c 1a 2b 1c 1a 1b 2c    3 3 3 3       1  22n1  2n1    2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1  2a 1b 1c 1a 2b 1c 1a 1b 2c    3 3 3 3   BĐT mở rộng 3d: www.MATHVN.com -7- www.MATHVN.com Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai Giáo viên: Đỗ Tất Thắng * Cho ba số dương a, b, c , n, k  N : k  n , ta có:     1 22k1  2k1    2k1 2k1 2k1 2k1 2k1 2k1 2k1 2k1  2a 1b 1c 1a 2b 1c 1a 1b 2c   3 3 3 3       1  22n  2n    2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n  2a 1b 1c 1a 2b 1c 1a 1b 2c   3 3 3 3   Tất BĐT mở rộng 1,2,3a,3b,3c,3d chứng minh BĐT VD2 kết hợp với phương pháp qui nạp Ví dụ Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1      a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  3b b  3c c  3a Lời giải: Vận dụng BĐT  ta có: 1    a  3b b  2c  a (a  3b)  (b  2c  a) a  2b  c 1    b  3c c  2a  b (b  3c)  (c  2a  b) b  2c  a 1    c  3a a  2b  c (c  3a)  (a  2b  c) c  2a  b Cộng vế theo vế BĐT rút gọn ta có BĐT cần phải chứng minh a  3b  b  2c  a  Đẳng thức xảy khi: b  3c  c  2a  b  a  b  c c  3a  a  2b  c  Sau số tập tương tự để luyện tập: Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác ( p nửa chu vi) Chứng minh rằng: 1 1 1    2    pa pb pc a b c (Đề HK2 Khối 10A Trường Ngô Quyền 2007-2008) Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 1 1 1      2a  b  c 2b  a  c 2c  a  b 4a b 4c www.MATHVN.com -8- www.MATHVN.com Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Bài Chứng minh a, b, c số thực dương thỏa abc = ab + bc + ca thì: 1 17    a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 96 Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1      4    2a  3(b  c ) 2b  3(c  a ) 2c  3(a  b)  10 a  11b  11c 11a  10b  11c 11a  11b  10c  Bài Cho ba số dương a, b, c , n  N * cmr     1 2n 1     2n    2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n a b c  2 a 1b 1c 1a 2b 1c 1a  1b 2c    3 3 3 3   Bài Cho ba số dương a, b, c , n  N * cmr     1 2n1 1   2  2n1    2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 a b c  2a 1b 1c 1a 2b 1c 1a 1b 2 c   3 3 3 3   1 abc Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 1  1  1     a b b c c a ab bc ca abc    ab bc ca 2 xy 8yz xz    Bài Cho x, y, z > thoả x  y  z  12 Chứng minh: x  y 2y  4z 4z  x Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Bài 10 Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: ac bd ca d b    4 ab bc cd d a B) Sử dụng bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức Trong nhiều trường hợp áp dụng BĐT phụ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đem lại hiệu cao, lời giải ngắn gọn, xúc tích, phù hợp với học sinh lớp 10 THCS Ví dụ Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y1 Tìm giá trị x nhỏ biểu thức A   xy (Đề Cao Đẳng 2010) Lời giải 1:(Không dùng BĐT phụ) www.MATHVN.com -9- www.MATHVN.com Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Giáo viên: Đỗ Tất Thắng 3x  y   y   x    Do A     Ta có  x  x xy x x (1  x) y  0  x   Áp dụng BĐT Côsi số 1 1      x x(1  x) x x   x x  x 2  , x  (0; ) x 1 2x 4x 1  Ta có f '( x )    2 x 1  x  x 1  x  Lập BBT Xét hàm số f ( x)  x  f’(x) -  +  f(x) Ta có Min f(x)=8 x  1 Vậy Min A=8 x  y  4 Lời giải 2:(Áp dụng BĐT phụ) Áp dụng BĐT  ta có 1 4     8 x xy x  xy x  x  y x  y Vậy Min A= x  y  LG1 LG2 Bảng so sánh ưu, nhược điểm Lời giải Lời giải Khó khăn hay thuận Kiến thức sử dụng Phạm vi kiến thức lợi HS 10 BĐT Cơsi số Lớp 10 Ngồi chương trình Khó khăn Điểm rơi BĐT Cơsi Địi hỏi khả phân tích tổng hợp HS Ứng dụng đạo hàm Lớp 12 BĐT phụ Lớp 8,9,10 Thuận lợi Qua bảng so sánh ta thấy toán trên: www.MATHVN.com - 10 - www.MATHVN.com Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai Giáo viên: Đỗ Tất Thắng + Áp dụng LG1 phải dùng tới kiến thức lớp 12(Ứng dụng đạo hàm) kiến thức ngồi chương trình(Điểm rơi BĐT Cơ si địi hỏi khả phân tích tổng hợp cao học sinh dự đoán điểm rơi), dài dịng Do gây khó hiểu HS lớp 10 + Áp dụng LG2 dùng BĐT phụ chương trình, lời giải ngắn gọn Do đó, dễ hiểu HS lớp 10 Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, x y z   > 0, z + > Hãy tìm giá trị lớn Q  x 1 y 1 z  Lời giải: Ví dụ a  x    x  a  Đặt b  y     y  b  c  z    z  c    Ta có: a + b + c = Q  a 1 b 1 c  1 4    3    a b c a b c Theo bất đẳng thức  ta có: 1 4 16 (  )     a b c a b c abc  x  y   Vậy MaxQ   z  1  Q  3  3 Sau số tập tương tự để luyện tập: Bài Cho x > 0, y > thỏa mãn x + y  Tìm giá trị nhỏ của: A   xy x  y xy Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức B x 1 1 y y  z z  x    t  y y z z  x xt Bài Cho a, b, c > thỏa: a+b+c= Tìm GTLN biểu thức: C  ab bc ca   ab bc ca Bài Cho x, y, z > thoả x  y  z  12 www.MATHVN.com - 11 - www.MATHVN.com y+ Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Tìm GTLN biểu thức: D xy 8yz xz   x  y y  4z 4z  x E ac bd ca d b    ab bc cd d a Bài Cho a, b, c, d > Tìm GTLN biểu thức: IV KẾT QUẢ Khi áp dụng chuyên đề cho HS 10 tơi thấy HS thích thú, đồng thời em đỡ lúng túng gặp dạng tập V BÀI HỌC KINH NGHIỆM Nếu có thêm thời gian mở rộng tơi nghĩ đề tài trở nên có nhiều tác dụng hỗ trợ thiết thực việc rèn luyện phát triển tư góp phần giải nhiều dạng tốn q trình dạy học sinh nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi nói riêng VI KẾT LUẬN - Sử dụng BĐT phụ, đổi biến phương pháp ngắn gọn, dễ hiểu, hiệu cho lớp toán rộng BĐT, phù hợp với học sinh lớp 10 thi đại học - Phương pháp giải cho HS cách giải khác tư duy, sáng tạo Tạo động lực cho HS đam mê Toán - Tuy nhiên, dạng phương pháp lựa chọn chưa hẳn tối ưu đầy đủ, chắn phải bổ sung thêm cho việc giảng dạy tốt Rất mong có đóng góp q đồng nghiệp VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số trang web như: www.maths.vn , www.nxbgd.vn/toanhoctuoitre Nguyễn Minh Nhiên, Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức có chứa biến mẫu, trang số 393 tháng năm 2010, Báo Toán học với tuổi trẻ VIII LỜI KẾT Để hoàn tất chuyên đề Ngoài nỗ lực thân cịn phải kể đến góp ý thầy Tổ Tốn Trường THPT Ngơ Quyền Đặc biệt, cô Lê Thanh Hà tổ trưởng Thầy Lê Văn Đắc Mai tổ phó nhiệt tình giúp đỡ, tư vấn để tơi hồn thiện sáng kiến kinh nghiệm NGƯỜI THỰC HIỆN ĐỖ TẤT THẮNG www.MATHVN.com - 12 - www.MATHVN.com ... phương pháp dạy học mơn Tốn www.MATHVN.com -1- www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC... đề thi cao đẳng, đại học, BĐT hay từ kiến thức bình thường, dễ hiểu - Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm GTLN, GTNN chứng minh BĐT phương pháp đơn giản, dễ hiểu so với đa số phương pháp khác, phù... DUNG ĐỀ TÀI A) Sử dụng bất đẳng thức phụ chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức phụ: Cho số dương a, b ta có: 11 1 1 1      Hay      ab 4 a b a b ab Đẳng thức xẩy a  b Khi