SKKN: Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức

Trong môn Toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực sự tích cực trau dồi mới đạt hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học sinh. Hơn nữa, với cấu trúc thi đại học mới ban hành, nhiều phần kiến thức giáo viên phải tìm tòi sáng tạo để học sinh có thể giải quyết các bài toán trong các đề thi. Bài SKKN dạng toán chứng minh bất đẳng thức, mời các bạn tham khảo.

Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm Phần 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Việc nâng cao phương pháp dạy học cần thiết thường xuyên giáo viên tất môn Trong môn tốn có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức phương pháp đạt hiệu truyền tải kiến thức cho học sinh Hơn nữa, thời điểm nay, với cấu trúc thi đại học ban hành, nhiều phần kiến thức giáo viên phải tìm tịi sáng tạo, tìm phương pháp để học sinh giải tốn đề thi học sinh giỏi, thi đại học cao đẳng Và toán chứng minh bất đẳng thức ứng dụng mơn tốn THPT khơng phải ngoại lệ Khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức, giáo viên thường củng cố nêu kiến thức phương pháp kinh điển, phương pháp có sẵn để giải tốn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm giới thiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà tác giả tìm tịi, học hỏi trang bị cho học sinh Qua học sinh có thêm cơng cụ giải tập, có hướng tìm sử dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức Bên cạnh đó, xuất phát từ thực tế giảng dạy nhiệm vụ giải tập chứng minh bất đẳng thức (nhất đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng giáo dục đào tạo) nhiệm vụ khó khăn Nhu cầu học sinh trước giải tập dạng có cách nhìn khái qt, định hướng phương pháp giải Nội dung sáng kiến kinh nghiệm nêu rõ phương pháp cách áp dụng chứng minh bất đẳng thức Với nội dung nêu trên, đề tài sáng kiến là: “Sử dụng phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức” Mục đích nghiên cứu : Khi kết thúc chương trình lớp 12, gặp toán chứng minh bất đẳng thức ứng dụng đòi hỏi học sinh phải nhận dạng toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng theo phương pháp Sự kết hợp phần kiến thức khác đại số, hình học, giải tích cho ta phương pháp chứng minh thích hợp Vận dụng tính chất tiếp tuyến đường cong, ứng dụng với tính chất bất đẳng thức cho ta phương pháp chứng minh mới, phù hợp mục đích sáng kiến kinh nghiệm Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu: Kết lớn sáng kiến tìm thêm phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ngồi việc tổng hợp 10 phương pháp làm tập chứng minh bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm Từ phân biệt phương pháp giải toán bất đẳng thức, liên quan đến bất đẳng thức (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, ) đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi cấp Khi giáo viên rút kinh nghiệm giảng sáng tạo toán Phương pháp nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm phân tích, tổng hợp hiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông thường Từ sáng tạo phương pháp mới, đồng thời phân tích, tổng hợp để làm rõ hiệu phương pháp Phạm vi đối tượng nghiên cứu: Về người thầy cô giáo giảng dạy mơn tốn THPT em học sinh học trường THPT tơi Trong phần tốn học, đối tượng nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà học sinh học chương trình phổ thơng Điểm sáng kiến kinh nghiệm: Là nêu phương pháp chứng minh bất đẳng thức, vận dụng tổng hợp kiến thức tính chất bất đẳng thức, ứng dụng đạo hàm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm bao gồm: Chương 1: Cơ sở lý luận (Phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức) 1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức 2) Rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức 3) Hướng dẫn học sinh tìm nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức 4) Phát hiện, khắc phục sửa chữa sai lầm chứng minh bất đẳng thức Chương 2: Cơ sở thực tiễn (Giải pháp cũ thường làm) 10 phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp Chương 3: (Giải pháp mới) Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Chương 4: Kết thực nghiệm trường công tác Phần 2: NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN Bất đẳng thức dạng tốn khó bậc trung học phổ thơng đại trà học sinh Điều đồng nghĩa với việc dạy học bất đẳng thức nội dung không đơn giản Nhiều giáo viên xác định không cần dành nhiều thời gian để củng cố ôn tập cho học sinh phần kiến thức này, chấp nhận từ bỏ toán chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Chưa hẳn điều đúng, nghiêm túc phân bậc đối tượng học sinh cần bồi dưỡng lực giải tập bất đẳng thức tùy theo mức độ nhóm học sinh khác 1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức: Sáng kiến kinh nghiệm Điều quan trọng, vào số lượng biến, phức tạp đối tượng, vào mức độ tường minh, phối hợp hay nhiều hoạt động để xây dựng hệ thống tốn từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nhằm rèn luyện phương pháp chứng minh bất đẳng thức Nhằm rèn luyện cho học sinh vận dụng Bất đẳng thức Cơ-si lấy hệ thống tốn phân bậc sau Ta lấy ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau: (1) 1 ( a  )(b  )  , với a, b  a b (2) a  b  c  ab  bc  ca với a, b, c  (3) a  b  c  d  e2  a(b  c  d  e) với a, b, c, d , e  (4) Cho x, y, z  0, xyz  chứng minh rằng:  x2  y  y2  z2  z  x2   3 xy yz zx (5) Cho x, y, z  0, 1    chứng minh rằng: x y z 1   1 2x  y  z y  z  x 2z  x  y Trong hệ thống tập mức độ vận dụng tốn khó dần: (1) cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho hai số (2) phải ghép đôi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số a a2 a a2 (3) phải biết tách a     ghép đôi 4 4 (4) vừa áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số căn, vừa áp dụng cho ba số hạng vế trái (5) câu khó đề thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng khối A năm 2002 Đòi hỏi vận dụng sáng tạo: Từ ( a  b)( 1 1 1  )  với a, b  đến (  )  Từ đó: a b a b ab 1 1  (   ) tương tự cho hai hạng tử lại x  y  z 16 x y z 2) Rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức: Bất đẳng thức ứng dụng thuận lợi để rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh: phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hố, khái qt hố,… Học sinh cần phải có cách giải toán, đồng thời cách suy nghĩ để giải toán, giải vấn đề Sáng kiến kinh nghiệm Ví dụ: Giáo viên nêu dấu hiệu gợi ý cho học sinh nghĩ đến bất đẳng thức Cơsi (đây hoạt động phân tích, so sánh) như: số tham gia bất đẳng thức dương; Có bậc 2, bậc 3; Vì phải sáng tạo, đặc biệt hố dấu xảy để làm gì?; Áp dụng bất đẳng thức (1) cho bất đẳng thức (2) hay ngược lại cách linh hoạt (1) Cho a, b, c  a  b  c  CMR: (2) Cho a, b, c  abc  CMR: 3 a  3b  b  3c  c  3a  a  3b  b  3c  c  3a  3) Hướng dẫn học sinh tìm nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Một tốn có nhiều cách giải khác nhau, bất đẳng thức ngoại lệ cách nhìn khác nhau, từ nhiều phương diện khác Ta tìm hiểu qua ví dụ sau đây: a) Ví dụ 1: Cho  x, y  Chứng minh rằng: x y  y x  Cách 1: Dựa vào điều kiện  x, y  ta có:VT  Lúc lại áp dụng bất đẳng thức Côsi: xy ( x  y )  y (1  y ) xy ( x  y )  y (1  y )  Cách 2: Đặc biệt hoá dấu xảy x = 4y Vậy biến đổi ta phải để ý điều VT  x y ( x  y )  x ( y  ( x  y) x x )   4 y  t x  x.t  Cách 3: Đặt t   Vế trái tam thức bậc t, có t  x2  x  nên ta ĐPCM 2 b) Ví dụ 2: Cho 36 x  16 y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau: T = y – 2x + 2 Cách 1: Ta có: 36 x  16 y   Ta có: T  y  x   (với cos  x2 y2   Đặt x  cos , y  sin  / / 16 (3sin   4cos  )   sin(   )  , 4 15 25 ,sin   ) Khi T  5 4 Ta GTLN T 25 15 sin(   )  , GTNN sin(   )  1 4 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki Sáng kiến kinh nghiệm 1 1 25 ( y  x )  ( y  x)  (  )(16 y  36 y )  16 Khi đó: 5 15 25   y  2x    T  4 4 Cách 3: Từ giả thiết ta có tập giá trị T để hệ phương trình có nghiệm Thế y  T  x  vào 36 x  16 y   100 x  64(T  5) x  16(T  5)   Phương trình có nghiệm   15 25 T  4 => 4) Phát hiện, khắc phục sửa chữa sai lầm cho học sinh: 2 2 a) Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a  b  c  d  e  a (b  c  d  e) với số thực a, b, c, d , e Lời giải: Theo Cơ-si ta có: 2 a  b  ab, a  c  ac , a  d  ad , a  e  ae Cộng bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Đánh giá: Ở học sinh nhầm ví dụ với ví dụ phần I.1, vận dụng bất đẳng thức Cơ-si sai, số âm Tuy nhiên, bất đẳng thức theo Cô-si, mà ( a  b)  0, b) Ví dụ 2: Cho a, b, c, d cạnh tứ giác lồi Chứng minh diện tích tứ giác không lớn ( ab  cd ) Lời giải: Giả sử bốn cạnh tứ giác AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Lúc ta có: S  S ABC  SCDA  1 (ab sin B  cd sin D )  (ab  cd ) => ĐPCM 2 Đánh giá: Lời giải thiếu trường hợp hai cạnh có độ dài a, b đối diện c) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức M  x(2a  x )(2b  x ) với a, b dương, phân biệt < x < 2a, < x < 2b Lời giải: Vì M  x(2a  x)(2b  x) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số 2x, 2a - x, 2b - x nên M lớn chúng nhau, điều khơng xảy nên M khơng có giá trị lớn Sáng kiến kinh nghiệm Đánh giá: Điều sai logic số có giá trị lớn nhất, cịn khơng chưa kết luận d) Ví dụ 4: Cho  a  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 2a + a Lời giải: Sai lầm thường gặp: S  2a  1  a  a   3 a.a   S = a a a Nguyên nhân sai lầm: S =  a  a  1  mâu thuẫn với giả thiết  a  a Phân tích tìm tịi lời giải: Xét bảng sau để dự đốn Min S a 10 2.a 2 1 a2 100 81 64 49 36 25 16 S 100 81 64 49 36 25 16 Nhìn bảng ta thấy a tăng S nhỏ từ dẫn đến dự đốn a  S nhận giá trị nhỏ Theo phân tích ta sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho số a , a, : a2 Cách 1: Ta dự đoán sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số a, a, Sơ đồ điểm rơi 1: => 2a + 1   a  a    2   8  1 a       a2 a3 1  = a  a  2 a 8a  Với a = ta có:  a2 7.4      3 a.a    a 8a  8a giá trị nhỏ S Cách 2: Sáng kiến kinh nghiệm Ta dự đoán sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số  a ,  a, 1    a  a      8  1  a   a       a2 a3  Sơ đồ điểm rơi 2: => S = 2a + ta có: a2 1   =  8a  8a    14a  3 8a.8a  14a a a  a  = 12  14a  12  14 1  Với a = Min S = 2 Chương 2: GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM Thực tế giáo viên cố gắng để truyền thụ tới học sinh phương pháp giải tập chứng minh bất đẳng thức Việc thực đầy đủ phần theo ý kiến cách hợp lý để giải dạng toán Khi chứng minh bất đẳng thức theo quan điểm tơi có 10 phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường sử dụng Việc phân chia phương pháp hay phương pháp khác tương đối, tuỳ theo quan niệm người Trong phương pháp có phương pháp kia, khó rạch rịi phân biệt Ví dụ đặt a = cosx hiểu đặt ẩn phụ, gọi phương pháp lượng giác hoá Dưới giới thiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp biến đổi tương đương : Sử dụng tích chất bất đẳng thức, phép biến đổi kéo theo, tương đương Có dường quy nạp diễn dịch để có kết tốn Ví dụ : Bài 4(SGK CTC10Tr.79): 3 Chứng minh rằng: x  y  x y  xy 3 2 x, y  Giải: x  y  x y  xy  ( x  y ) ( x  y )  => ĐPCM Ví dụ 2: (CM bất đẳng thức Bunhiacopxki) 2 2 Với a,b,c,d thì: ( ac  bd )  (a  c )(b  d ) 2 2 2 2 Giải: ( ac  bd )  ( a  c )(b  d )  2abcd  a c  b d  (ac  bd )  => ĐPCM Dấu xảy ac  bd Phương pháp sử dụng bất đẳng thức bản: Các bất đẳng thức gồm bất đẳng thức Cô-si (cho số, cho số), bất đẳng thức trị tuyệt đối, … Sáng kiến kinh nghiệm Một số bất đẳng thức Cơ đây: 2 (1) Với a, b thì: ( a  b)   a  b  ab a,b  R (2) Với a, b, c dương (3) Với a, b thì: ab  ab ; a bc  abc (BĐT Cô-si) a  b  ab  a  b Ta lấy số ví dụ: a b4 c4 Ví dụ 1: CMR với a,b,c dương thì:    3abc b c a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hạng tử vế trái => ĐPCM Ví dụ 2: Với a,b,c thì: a  b  c  ab  bc  ca 2 Giải: Với a,b,c thì: ( a  b)   a  b  2ab (b  c)2   b2  c  2bc (c  a)2   c  a  2ca Cộng tương ứng bất đẳng thức suy ĐPCM Phương pháp quy nạp toán học: Để chứng minh mệnh đề P(n) với n  no Ta làm bước: Bước 1: Kiểm tra tính sai mệnh đề với n=no Bước 2: Giả sử P(n) đến n = k  no Ta chứng minh với n = k+1 Hơn bất đẳng thức mệnh đề logic với điều kiện cho trước Vì hồn tồn áp dụng phương pháp Ví dụ: CMR với n nguyên dương lớn thì: Giải: Với n = BĐT trở thành: 1     n 1 n 1    Giả sử BĐT với đến n = k tức là: 1     k 1 k Ta chứng minh cho BĐT với n = k+1 Thật vậy: 1 1 k 2 k2      k 1     k 2 k k 1 k 1 k 1 k2 Phương pháp phản chứng: Ví dụ: Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: 1 a (1  b)  ; b(1  c)  ; c (1  a )  4 với  a, b, c  Sáng kiến kinh nghiệm Giải: Giả sử bất đẳng thức Nhân lại với ta có: a(1  b)b(1  c)c (1  a )  1  abc (1  a)(1  b)(1  c )  64 64 Nhưng theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: a (1  a )  Tương tự: b (1  b )  (1) 1 , c (1  c)  Khi đó: abc (1  a)(1  b )(1  c )  (2) 4 64 Mâu thuẫn (1) (2) Vậy điều giả sử sai Ta có ĐPCM Phương pháp lượng giác hố: Thơng thường từ kiện đề bài, ta đạt ẩn phụ theo giá trị luợng giác, chuyển toán chứng minh bất đẳng thức luợng giác Lấy ví dụ: b c Chứng minh rằng: ( a  )(b  )(c  Giải: Từ giả thiết tồn tại: x, y, z  (0; (cos x  1 1 )  (a  )(b  )(c  ) với a,b,c > a a b c  1 ) để a  ;b  ;c  cos x cos y cos z 1 1 1 )(cos y  )(cos z  )  (cos x  )(cos y  )(cos z  ) cos y cos z cos x cos x cos y cos z Ta có: cos( x  y )    cos x.cos y  sin x.sin y Tương tự:  cos y.cos z  sin y.sin z  cos z.cos x  sin z.sin x Nhân tương ứng ta có: (1  cos x.cos y )(1  cos y.cos z )(1  cos z.cos x )  sin x.sin y.sin z Từ suy điều phải chứng minh Phương pháp hình học: Áp dụng bất đẳng thức liên hệ điểm: AB + BC  AC Ví dụ 1: CMR với a,b,c,d ta có: a  b  c  d  (a  c)  (b  d ) Giải: Trong mặt phẳng toạ Oxy xét điểm A(a;b), B(-c;-d) ta có: OA + OB  AB Suy điều cần chứng minh Ta áp dụng chứng minh cho việc chúng minh bất đẳng thức sau: Ví dụ 2: CMR: a  ab  b  a  ac  c  b  bc  c (2) b Bởi BĐT (2)  ( a  )  3b c 3c b c 3b 3c  (a  )2   (  )2  (  ) 4 2 2 10 Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp hàm số: Ví dụ 1: CMR với a,b,c khơng âm thì: a  b  c2  2(cos a  cos b  cos c)   Lời giải: Xét hàm số: f (t )  t  2cos t , t   0;   Ta có: f '(t )  2t  2sin t , f ''(t )   2cos t f ''(t )  0, t   0;   Khi đó: f '(t ) đồng biến  0;  => f '(t )  f '(0)   f (t ) đồng biến 0;  Do f (t )  f (0)   f (a)  f (b)  f (c)  => ĐPCM Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (1  n1 )  (1  ) n với n  N* n 1 n x Lời giải: Xét hàm số f ( x)  (1  ) x , x  1 f '( x) 1  ln f ( x)  x ln(1  )   ln(1  )  x f ( x) x 1 x   f '( x)  f ( x) f ''( x) x( x  1)  f '( x) ( )'   0 f ( x) ( x  1)2  f ( x)  Ta có: f '( x) f '( x) f '(1) đồng biến 1;      f '( x)  f ( x) f ( x) f (1)  f ( x) đồng biến 1;  Nói riêng với n N* => ĐPCM Phương pháp đặt ẩn phụ: Đôi ta đặt ẩn phụ chuyển sang bất đẳng thức khác cần chứng minh trơng đẹp Lấy ví dụ: Bài 20(SGK NC Đại số 10 Tr112): 2 “Chứng minh x  y  x  y  2” Giải: Đặt x  sin  ; y  cos  x  y  sin   cos   sin(   ) Xét ví dụ khác: 2 “Cho số dương a,b,c thoả mãn: a  b  c  thì: Giải: Cần chứng minh: Đặt a2  ab bc ca    3” c a b ab bc ca     a 2b  b 2c  c a  3abc c a b 3x 3y 3z , b2  , c2  x yz x yz x yz 11 ( x, y , z  0) (1) Sáng kiến kinh nghiệm Khi đó:  xy  yz  zx  xyz ( x  y  z ) (1)  ( xy  yz  zx)2  3xyz ( x  y  z)  1 2  xy  yz    yz  zx    zx  xy    với x, y, z   => ĐPCM 9) Phương pháp đánh giá Ví dụ 1: 16 (SGK Đại số 10NC, Tr.112), chứng minh rằng: 1 1 1    n n( n  1) n  n Giải: Ta có:  1 1     2 n (n  N *) (n  1) 1 1 1 1 1               (n  1) 2 n 2 n 1 n n Ví dụ 2: Chứng minh rằng:  Giải: Đặt S  a b c d    2 abd abc bcd acd a b c d    abd abc bcd acd a a ac   a bcd abd a bc d Ta chứng minh được: b b ad   a bc d abc abcd Tương tự: c c ca   a bc d bcd a bc d d d d b   a bcd a bd a bc d Cộng vế ta có: 1< S < 10) Phương pháp dồn biến: Nội dung phương pháp tìm cách đưa tốn nhiều biến phức tạp, thành tốn ẩn số cách hợp lý 2 Ví dụ: Cho a  b  c  , ab  bc  ca  1, chứng minh  4 a 3 Giải: Từ giả thiết ta có ( a  b  c )   b  c    a (b  c ) ( 2  a) 3a  4a  a b c a  a   2 2 2 12 Sáng kiến kinh nghiệm 4  3a  a  Vậy   a  3 Tất nhiên thời lượng phân phối mơn khơng có đủ thời gian để giáo viên trang bị cho học sinh tất phương pháp nêu Nhưng giáo viên gợi mở, tăng sáng tạo học sinh Cụ thể tiếp cận với đề thi hoàn toàn giáo viên cần trang bị cho học sinh khả tái kiến thức phương pháp sáng tạo tìm cách giải tốn Ta xét câu hỏi bất đẳng thức đề thi đại học, cao đẳng năm 2009 năm 2012 - Thứ nhất: Đề thi tuyển sinh đại học khối A mơn tốn năm 2009, câu V: Chứng minh với x, y, z  thoả mãn x( x  y  z )  yz ta có: ( x  y )3  ( x  z )3  3( x  y )( x  z )( y  z )  5( y  z ) Phương pháp làm bài: Đặt a  x  y, b  x  z, c  y  z toán trở thành: Cho a, b, c  thoả mãn: c  a  b  ab chứng minh rằng: a  b3  3abc  5c3 Phương pháp đặt ẩn phụ giúp đưa toán toán đỡ phức tạp hơn, gần gũi Tuy nhiên câu đề thi khối A nên độ khó ta biết Các thầy tìm hiểu lời giải đáp án đề thi đại học khối a năm 2009 giáo dục đào tạo - Thứ hai: Đề thi tuyển sinh cao đẳng mơn tốn năm 2009, câu V : Cho a, b thoả mãn:  a  b  , chứng minh rằng: a ln b  b ln a  ln a  ln b Phương pháp làm bài: BĐT cần chứng minh tương đương với: Xét hàm số f (t )  ln a ln b (2)  2 a 1 b 1 ln t , t  (0;1) Ta chứng minh f '(t )  hàm f (t ) đồng biến t2 1 khoảng (0;1) Suy ĐPCM Bài tốn có lẽ khơng cịn cách khác ngồi việc sử dụng phương pháp hàm số Tuy nhiên học sinh cần luyện tập nhiều phát tương đồng vế BĐT (2) - Thứ ba: Đề thi tuyển sinh đại học khối D mơn tốn năm 2009, câu V Cho x, y  thoả mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau: S  (4 x  y )(4 y  x)  25 xy Phương pháp làm bài: Ta thấy đối xứng x, y biểu thức S điều kiện tốn.Dẫn đến hình thành tư liên hệ tổng tích x y Trong x  y  lúc gợi ý đặt xy=t Cần sử dụng đến BĐT  xy  ( x  y )2 1  đó:  t  Bài toán trở thành: 4 13 Sáng kiến kinh nghiệm  1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ S  f (t )  16t  2t  12, t   0;  Bài tập thực  4 khơng khó học sinh.tuy nhiên sau tìm xong 25 191 max f (t )  f ( )  ; f (t )  f ( )  cơng việc tìm xem có x, y thoả  1   0;  16 16 0;   4  4 mãn t  1 (t  ) hay không? Từ kết luận kết tốn 16 Trên câu hỏi đề thi đại học, cao đẳng năm 2009 Với phương pháp nêu trang bị cho học sinh Tôi tin học sinh thực tốt câu hỏi - Thứ tư: Đề thi tuyển sinh đại học khối A mơn tốn năm 2012, câu “Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy 3 y z 3 z x  6(x  y  z ) ” Trước toán này, câu hỏi đặt giải theo hướng nào? Các phương pháp kể có giải tốn hay khơng? Chương 3: GIẢI PHÁP MỚI Xuất phát yêu cầu kiến thức giai đoạn khác nhau, giáo viên bổ sung cho học sinh phương pháp, cách giải phù hợp Dạy học chứng minh bất đẳng thức Người giáo viên tìm tịi, bổ sung phương pháp chứng minh cho học sinh phương pháp hiệu điều cần thiết Ngoài phương pháp thường làm kể trên, học phần kiến thức Đạo hàm ứng dụng Ngay chương trình lớp 11, có khái niệm đạo hàm có ý nghĩa hình học quan trọng đạo hàm “Nếu tồn tại, f '(x ) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) điểm M (x ; f (x )) Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M y  y0  f '(x ).(x  x ) ” Ta có nhận xét sau: Nếu đường thẳng (d): y  ax  b tiếp tuyến đồ thị (C): y  f (x) điểm M (x ;f (x )) ( không điểm uốn), tồn khoảng D chứa điểm x cho đồ thị (C) nằm phía đồ thị (d) nằm phía đồ thị (d) Tức f (x)  ax  bx  D f (x)  ax  bx  D Và đẳng thức xảy x  x Hơn ta phân tích f (x)  (ax  b)  (x  x ) k g(x) với k  N, k  Khi ta xét dấu g(x) để so sánh f (x) (ax  b) Từ việc phân tích ta thấy, để chứng minh bất đẳng thức hay nhiều biến ta biến đổi bất đẳng thức dạng chẳng hạn f (a1 )  f (a )   f (a n )  E Khi điểm rơi 14 Sáng kiến kinh nghiệm a1  a   a n  x Khi ta viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) x  x sử dụng nhận xét kể Ta xét số ví dụ để làm rõ điều này: Bài 1: Cho số dương a,b,c,d thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh 6(a  b3  c3  d )  a  b  c2  d  Nhận xét Dấu xảy a  b  c  d  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (6a  a )  (6b  b )  (6c3  c )  (6d  d )  1  f (a)  f (b)  f (c)  f (d)  8 Trong f (x)  6x  x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) x  1 5x  y  f '( ).(x  )  f ( )  x  Ta cần so sánh f (x) x  (0;1) 4 8 Lời giải Ta có 6a  a  5a   48a  8a  5a    (4a  1)2 (3a  1)  a  (0;1) (Dấu xảy a  ) Vai trò a, b, c, d bình đẳng nên ta có (6a  a )  (6b  b )  (6c  c )  (6d  d )  (Dấu xảy a  b  c  d  5(a  b  c  d)   =>ĐPCM 8 ) 4 Bài 2: Cho a, b,c   ;a  b  c  Chứng minh Nhận xét Dấu xảy a  b  c  f (x)  x x liên tục x 1 a b c    a  b  c  10 , f (a)  f (b)  f (c)  với hàm số 10     ;   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) 36x  y  Từ gợi ý cho ta dẫn đến lời giải toán 50 Lời giải Ta có 36a  a (3a  1) (4a  3) 36a  a    0a     2 50 a 1 50(a  1) 50 a 1 15 Sáng kiến kinh nghiệm Suy a b c 36(a  b  c)  9      ĐPCM a 1 b 1 c 1 50 10 (Dấu xảy a  b  c  ) Qua tập ta nhận thấy phương trình tiếp tuyến đường lối sở để dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh Điều quan trọng biến đổi để có hàm số điểm rơi cần thiết Qua cho thấy hạn chế phương pháp Tuy nhiên công cụ giúp ta giải tập chứng minh bất đẳng thức cách tự nhiên Người đọc giải thích câu hỏi như: Tại lai có bất đẳng thức đó? Nó xảy nào? Cách để tìm Thực tế giải tập, khơng thiết phải trình bày chi tiết cách tìm bất đẳng thức sở, từ suy điều phải chứng minh Ta tiếp tục xét số toán thuộc dạng Bài Cho số dương a, b,c biết a  b  c  Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca (1) Nhận xét (1)  a  b  c  2( a  b  c)  (a  b  c)  Do ta xét hàm số f (x)  x  x viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) đồ thị hàm số điểm có hồnh độ Và làm tương tự làm tập tập Lời giải Ta có: a  a  3a  ( a  1) (a  a )   a  a  3a Tương tự ta có b  b  3b;c  c  3c Cộng bất đẳng thức ta ĐPCM (Dấu xảy a  b  c  ) Bài Cho a, b, c  Chứng minh a b c    2 (b  c) (c  a) (a  b) 4(a  b  c) Lời giải Không tính tổng quát với số a, b, c ta đặt a  b  c  ta cần chứng minh a b c x (0;1)    Xét hàm số f (x)  2 (1  a) (1  b) (1  c) (1  x) Ta viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  y x điểm có hồnh độ x  (1  x) 18x  18x  (3x  1)2 (3  2x) Lại có f (x)    0x  (0;1) 4 4(1  x)2 16 Sáng kiến kinh nghiệm  f (x)  18x  18(a  b  c)  9  f (a)  f (b)  f (c)    ĐPCM 4 Nếu a  b  c  t   a b c    , ta chứng minh tương tự cho số t t t a b c a '  ;b '  ;c '  Từ ta có điều cần chứng minh t t t Trên ta đề cập đến số tập có sử dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức dự vào phương trình tiếp tuyến đường cong Phương pháp khơng tối ưu trường hợp qua giúp ta giải nhiều toán chứng minh bất đẳng thức cách khó khăn theo cách giải khác Một số toán thực theo cách giải tự nhiên hơn, mang đến nhìn đơn giản Qua phần đáp ứng việc làm đơn giản hóa tốn chứng minh bất đẳng thức trước học sinh Ta xét toán tổng hợp Câu đề thi đại học khối A năm 2012, tập tương đối khó “Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy 3 y z 3 z x  6(x  y  z ) ” Ta tìm hiểu đáp án chi tiết Bộ Giáo dục Đào tạo: “ Ta chứng minh 3t  t  t  (*) Xét hàm số f (t)  3t  t   f '(t)  3t ln   0t  0;f (0)   (*) Áp dụng (*) ta có xy 3 y z 3 z x  3 x  y  yz  z  x Áp dụng bất đẳng thức a  b  a  b ta có 2 ( x  y  y  z  z  x )2  x  y  y  z  z  x  x  y ( y  z  z  x )  2  y  z ( x  y  z  x )  z  x ( x  y  y  z )  2( x  y  y  z  z  x ) Do 2 x  y  y  z  z  x  2( x  y  y  z  z  x )  6(x  y  z )  2(x  y  z)  x  y  y  z  z  x  6(x  y  z )  P  Khi x  y  z  dấu xảy Vậy giá trị nhỏ (P) 3.” (Theo đáp án mơn tốn khối A, đề thi tuyển sinh đại học năm 2012) Theo đáp án đây, việc tìm giá trị nhỏ tốn phụ thuộc nhiều vào việc tìm bất đẳng thức (*) sử dụng Theo đáp án lời giải không thấy tự nhiên Nhưng chúng t ta xét theo phương pháp giải sử dụng phương trình tiếp tuyến đường y  e điểm có hồnh độ 17 Sáng kiến kinh nghiệm y '  e t  y '(0)   PTTT : y  y '(0).(t  0)  y(0)  t  e t t t t Lại có ( )  1t    e , việc chứng minh e  t  1t  có tập chương trình phổ thơng Bên cạnh cúng cần phải nhớ x  y  0, y  z  0, z  x  Rõ ràng thực theo phương pháp giải kể lý giải việc dẫn đến bất đẳng thức (*) toán đơn giản nhiều Đây tốn điển hình thể điểm thuận lợi sử dụng phương pháp chứng minh so với phương pháp thường dùng trước Tất nhiên để giải toán cần phối hợp nhiều phương pháp khác nhau, kĩ thuật khác nhau, yêu cầu toán phân hóa học sinh giỏi xuất sắc đề thi đại học khối A Ngồi tốn kể trên, sử dụng phương pháp chứng minh giải tập sau nhanh chóng thuận tiện: Bài Cho a, b, c  a  b  c2  Chứng minh b  c2 c2  a a  b   2 a b c (*)  a  b2  c2 1 x2 HD (*)     Ta viết PTTT đồ thị hàm só y  a b c x điểm có hồnh độ x  sử dụng phương pháp 11 Bài Cho tam giác có độ dài cạnh a, b,c Chứng minh 1 1     4(   ) a b c abc a b bc ca (**) HD Do vai trò a, b, c bình đẳng nhất, ta đặt a  b  c  (trong trường hợp có tổng t > ta giải tập chương 3) Khi ta xét hàm số f (x)  hoành độ x  viết PTTT đồ thị hàm số y  f (x) điểm có  1 x x  vận dụng phương pháp 11 Bài Cho số dương a, b, c Chứng minh a3 b3 c3 abc    2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a HD Dấu xảy a  b  c 18 Sáng kiến kinh nghiệm Xét hàm số f (x)  x3 x  2bx  3b x viết phương trình tiếp  f '(x)  x  bx  b (x  bx  b ) tuyến y  f (x) x = b Từ chứng minh a3 2a  b  2 a  ab  b Tương tự với biểu thức lại ta có đpcm Chương 4: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM I THỰC NGHIỆM 1: Bài kiểm tra chương giải tích 12 Tôi dõi tổng hợp kết học sinh lớp trực tiếp giảng dạy lớp đối chứng Tuy việc phân hóa lớp tương đối tương đồng hiệu làm rõ ràng với hướng làm mới, em vận dụng theo phương pháp 11 kết tốt nhiều Ta thống kê số liệu học sinh làm tôt câu phần tự luận ĐỀ KIỂM TRA TIẾT MƠN TỐN LỚP 12 (CHƯƠNG 1) Ma trận đề: Chủ đề Tính đơn điệu Cực trị, GTLN,GTNN Tiệm cận Nhận biết TNKQ TL 0,5 0,5 0,5 Thông hiểu TNKQ TL Vận dụng TNKQ TL Tổng 1,5 1,5 1,0 Khảo sát hàm số 3,0 19 3,0 Sáng kiến kinh nghiệm Các toán liên quan Tổng 4,0 3,0 3,0 3,0 3,0 10,0 Nội dung: A Phần trắc nghiệm: (4 điểm) Câu 1: Hàm số y  x  3x  đồng biến khoảng: A (0; 2) B (  ; 0) (2;  ) C (  ; 2) D (0; +∞) Câu 2: Hàm số y   x  x  đồng biến khoảng: A (–∞; 0) B (–∞; –1) C (1; +∞) 1 x Câu 3: Hàm số y  nghịch biến khoảng: x2 A (–∞; +∞) B (–∞; 2) C (2; +∞) D (0; +∞) D (–2; +∞) Câu 4: Hàm số y  x  3x  đạt cực tiểu điểm: A x = B x = C x = D khơng có Câu 5: Hàm số y   x  x  đạt cực đại điểm: A x = –1 B x = C x = x 1 Câu 6: Hàm số y  có điểm cực trị: 2 x A B C Câu 7: Đồ thị hàm số y  A Câu 8: Đồ thị hàm số y  A B Phần tự luận: (6 điểm) x 1 x  3x B x 3 D x = D có tiệm cận: C x2  x  B D có tiệm cận đứng: C D Bài Cho hàm số : y  x  3x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x  x  m Bài Cho số dương x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy 1  x y Kết quả: Thống kê số học sinh làm tự luận thứ Việc thống kê cịn cho ta biết học sinh giải phần tự luận theo phương pháp chứng minh 11.Qua giáo viên điều chỉnh, rút kinh nghiệm cho học sinh: + Năm học 2010 – 2011: Lớp Tên Sĩ số Hoàn thành 100% Hoàn thành 50% Thực nghiệm 12A1 51 35 Đối chứng 12A2 56 20 Ghi Sáng kiến kinh nghiệm Đối chứng 12A3 51 Hoàn thành 100% Hoàn thành 50% + Năm học 2011 – 2012: Lớp Sĩ số Tên Thực nghiệm 12A1 49 32 13 Đối chứng 12A2 48 10 15 Đối chứng 12A3 50 Sĩ số Hoàn thành 100% Hoàn thành 50% Ghi + Năm học 2012 – 2013: Lớp Tên Thực nghiệm 12A1 48 34 Đối chứng 12A2 44 16 11 Thực nghiệm 12A3 49 Đối chứng 12A4 43 Ghi Các kết phản ánh phần học sinh trang bi tốt kiến thức phương pháp giải tơt u cầu tốn Ở ta nói đến tập số phần tự luận Học sinh chưa biết thêm phương pháp sử dụng phương trình tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức học sinh cách vận dụng tốt bất đẳng thức cosi với điểm rơi phù hợp, học sinh có kết khơng cao Qua ta thấy ưu điểm phương pháp toán cụ thể II THỰC NGHIỆM 2: Cuối năm học 2011 – 2012, đề thi sát hạch khối 10 11, nội dung đề thi bám sát yêu cầu đề thi đại học cao đẳng Bộ giáo dục đàò tạo Mục kiểm tra đánh giá kết học tập em giáo viên năm học, đồng thời sở phân luồng học sinh Chúng lựa chọn tập bất đẳng thức ứng dụng đề mục tiêu kể trên, kiểm tra xem học sinh lớp 11 trang bị phương pháp kết em thay đổi Kết thi khối đặc biệt khối 11 đáp ứng phần kì vọng chúng tơi Kết thi sát hạch cuối năm Năm học 2011 - 2012 khối 10: Điểm thi Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu, Số luợng 19 60 123 208 Làm tốt BĐT 23 18 0 Kết thi sát hạch cuối năm Năm học 2011 - 2012 khối 11: Điểm thi Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu, Số luợng 45 78 172 101 Làm tốt BĐT 38 25 04 21 Sáng kiến kinh nghiệm Qua số liệu ta thấy số học sinh làm tốt câu bất đẳng thức tăng lên đáng kể có thêm phương pháp làm Tất nhiên phụ thuộc vào nội dung đề Ta phải công nhận nhiều tập bất đẳng thức ứng dụng có hướng giải đặc biệt, khó áp dụng phương pháp giải khác Do phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào phương trình tiếp tuyến đường cong hướng giải mà người giáo viên nên trang bị cho học sinh Phần 3: KẾT LUẬN Qua sáng kiến kinh nghiệm nghĩ rằng: Để học sinh làm tốt toán chứng minh bất đẳng thức, việc giáo viên truyền đạt cho học sinh kiến thức bản, giáo viên nên trang bị cho em kiến thức, phương pháp làm chứng minh bất đẳng thức Thường xuyên nhắc lại phần kiến thức khác nhau, rút học sau dạy Khi kết thúc chương trình THPT học sinh có nhìn toàn diện toàn phương pháp làm chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Đồng thời tổ chuyên môn thường xuyên tổ chức buổi sinh hoạt chuyên môn phương pháp dạy học bất đẳng thức để tìm đường hướng dẫn học sinh khơng cịn q lo sợ trước dạng tốn Ngồi phương pháp chứng minh thơng thường, giáo viên nên tìm tịi, sáng tạo tìm phương pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp với nhận thức học sinh giai đoạn Rất mong có đóng góp ý kiến thầy 22 Sáng kiến kinh nghiệm TÀI LIỆU THAM KHẢO: - Bộ sách giáo khoa, sách tập mơn tốn THPT - Quyển phương pháp giảng dạy mơn tốn nhà xuất giáo dục - Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng - Những viên kim cương chứng minh bất đẳng thức - Trần Phương - Các chuyên đề toán THPT- tác giả Phan Huy Khải - Tạp chí tốn học tuổi trẻ - Nhà xuất giáo dục - Một số tài liệu bạn bè đồng nghiệp khai thác internet 23 ... kinh nghiệm nêu rõ phương pháp cách áp dụng chứng minh bất đẳng thức Với nội dung nêu trên, đề tài sáng kiến là: ? ?Sử dụng phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức? ?? Mục đích... xảy ac  bd Phương pháp sử dụng bất đẳng thức bản: Các bất đẳng thức gồm bất đẳng thức Cô-si (cho số, cho số) , bất đẳng thức trị tuyệt đối, … Sáng kiến kinh nghiệm Một số bất đẳng thức Cơ đây:... phương pháp chứng minh bất đẳng thức 4) Phát hiện, khắc phục sửa chữa sai lầm chứng minh bất đẳng thức Chương 2: Cơ sở thực tiễn (Giải pháp cũ thường làm) 10 phương pháp chứng minh bất đẳng thức