SKKN: Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số - Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt

Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số là một phương pháp rất rõ ràng và dễ áp dụng để giải một lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm số, một nội dung mà học sinh luôn gặp trong bất cứ kì thi nào và hầu hết các em học sinh đều gặp rất nhiều khó khăn trong việc xác định phương pháp giải. Hi vọng phương pháp này sẽ xoá tan tâm lí “ sợ “ gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm số của học sinh. Chính vì vậy mà đề tài này rất cần thiết cho các đối tượng là các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi, các em học sinh đang chuẩn bị cho kì thi đại học và tất cả các em học sinh muốn tìm hiểu một hướng sáng tác của các bài toán chứng minh bất đẳng thức và giới hạn hàm số. Mời quý thầy cô và các bạn tham khảo sáng kiến “Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số - Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt”.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - TRƯỜNG CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT A.Phần mở đầu Trong đời học sinh người, chí giáo viên tiếp xúc với nội dung bất đẳng thức quan tâm đến nguồn gốc xuất phát toán chứng minh bất đẳng thức Trong công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, thân tơi gặp tình mà học sinh đưa “ Tại người ta lại nghĩ toán chứng minh bất đẳng thức “ ; “ Tại để tính giới hạn người ta thêm bớt lượng không được, thêm bớt lượng lại giải “ Những câu hỏi ln xuất tâm trí tơi ln nhắc nhở tơi phải tìm hiểu Hình ảnh trực quan tiếp tuyến đường cong sở để giải thích câu hỏi em học sinh Cũng từ nảy sinh việc nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số mà gọi phương pháp tiếp tuyến Phương pháp thể nguồn gốc xuất phát tốn nên tơi chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số “ với mục đích cung cấp phương pháp giải tốn cho em học sinh quan trọng giúp em nhìn thấy chất việc, tượng, thấy sáng tạo toán đẹp từ kiến thức bản, từ hình ảnh trực quan Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số phương pháp rõ ràng dễ áp dụng để giải lớp toán chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số, nội dung mà học sinh ln gặp kì thi hầu hết em học sinh gặp nhiều khó khăn việc xác định phương pháp giải Hi vọng phương pháp xoá tan tâm lí “ sợ “ gặp tốn chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số học sinh Chính mà đề tài cần thiết cho đối tượng em học sinh đội tuyển học sinh giỏi, em học sinh chuẩn bị cho kì thi đại học tất em học sinh muốn tìm hiểu hướng sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức giới hạn hàm số B.Phần nội dung 1.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức a.Cơ sở lí thuyết : Nếu y  ax  b tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A  x0 ; f  x0   ( A điểm uốn ), tồn  ;   chứa x0 cho f ( x)  ax  b x   ;   f ( x)  ax  b x   ;   Đẳng thức xảy x  x0 Từ ta có f  x1   f  x2    f  xn   a ( x1  x2   xn )  nb f  x1   f  x2    f  xn   a ( x1  x2   xn )  nb với x1 , x2 , , xn   ;   đẳng thức xảy x1  x2   xn  x0 Nếu x1  x2   xn  k ( k khơng đổi ) f  x1   f  x2    f  xn   ak  nb f  x1   f  x2    f  xn   ak  nb với x1 , x2 , , xn   ;   b.Thực trạng vấn đề : Bất đẳng thức vấn đề quan trọng khó học sinh cấp trung học phổ thơng Học sinh gặp nhiều khó khăn việc xác định phương pháp giải khơng có phương pháp đường rõ ràng Có cách giải từ trời rơi xuống Học sinh hiểu người ta lại nghĩ tốn vậy, lại có giải Trong đề tài xin trình bày phương pháp mà học sinh khơng nắm sở lí luận khơng hiểu lại có lời giải vậy, học sinh nắm sở lí luận phương pháp việc sử dụng phương pháp thật rõ ràng cụ thể, em tự chứng minh lớp bất đẳng thức tự sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức c.Các bước tiến hành Nếu gặp BĐT đồng bậc ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặc điểm mà ta có cách chuẩn hóa phù hợp để đưa bất đẳng thức dạng biến cô lập dạng f ( x1 )   f  xn    f ( x1 )   f  xn    Sau thực theo bước sau :  Xét xem dấu “=” xảy điều mong ước x1   xn  x0  Dựa vào hình thức BĐT, xét hàm số f ( x ) , viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) điểm có hồnh độ x0 , giả sử phương trình tiếp tuyến y  g ( x) k  Viết f ( x)  g ( x)   x  x0  h( x) , h  x0   , k  2, k  , kiểm nghiệm f ( x)  g ( x)  0x  D f ( x)  g ( x)  0x  D  Từ đưa lời giải : ta có f ( xi )  g ( xi )  f ( xi )  g ( xi )  0xi  D , xi  D, i  1, n  Cộng n bất đẳng thức theo vế ta điều phải chứng minh Các ví dụ làm rõ phương pháp 2  2a  b  c    2b  a  c    2c  a  b   Ví dụ 1: Cho a, b, c  CMR: 2 2 2a   b  c  2b   a  c  2c   a  b  Phân tích : Vì BĐT nên ta chuẩn hóa cách giả sử a  b  c  Khi BĐT cần chứng minh trở thành f (a)  f (b)  f (c)  với a, b, c   0;1 f ( x ) = x2  x  1 , x   0;1 Dấu “=” BĐT xảy a  b  c  3x  x  3 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x  : y  4x    3x  1  x  1 Ta xét f ( x)   x   =  0x   0;1 3  3x  x  Vì ta có lời giải sau: Vì BĐT nên ta chuẩn hóa cách giả sử a  b  c  Ta cần chứng minh bất đẳng thức  a  1 2a  (1  a )2   b  1 2b  (1  b)2 a, b, c   0;1 , a  b  c   a  1 2    3a  1  4a  1  Ta có   4a     0a   0;1 2 2a  (1  a )  3 3a  2a  2 2  b  1    3b  1  4b  1    4b     0b   0;1 2 2b  (1  b )  3 3b  2b   c  1    3c  1  4c  1    4c     0c   0;1 2 2c  (1  c)  3 3c  2c  Cộng ba BĐT theo vế ta  a  1 2a  (1  a )   b  1 2b  (1  b)   c  1 2c  (1  c) Ví dụ 2:Cho a, b, c   a  b  c  CMR: a b c    a  b  c  10 Phân tích : Dấu “=” xảy a  b  c    a  b  c     c  1 2c  (1  c)2 8 , Xét hàm f ( x)  y x , tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x 1 36 x  50 Ta có f ( x)  36 x    x  1 (4 x  3) =  0x   50 50  x  1 Vì ta có lời giải sau : a 36a    3a  1 (4a  3)  =  0a   2 a 1 50 50  a  1 b 36b    3b  1 (4b  3) =   0b   2 b 1 50 50  b  1 c 36c    3c  1 (4c  3)  =  0c   2 c 1 50 50  c  1 Cộng ba BĐT ta : a b c  a, b, c   a  b  c     a  b  c  10 Ví dụ 3:Cho a, b, c >0 a  b  c  CMR: a  b  c  ab  bc  ca Phân tích : Dấu “=” xảy a  b  c  BĐT  a  b  c   a  b  c Xét hàm f ( x)  x  x Tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x ) điểm có hồnh độ y  3x Ta có f ( x)  x  x  x  x =    x  x   0x   0;   x 1 Suy a  a b2  b c  c  Suy BĐT chứng minh Bài tập rèn luyện: 1.Cho số thực a, b, c >0 thỏa a  b  c  CMR: a b c     bc  ac  ab 10 HD: Ta có bc   b  c  , tương tự… Ta có đánh giá sau: a b c 4a 4b 4c       bc  ac  ab a  2a  b  2b  c  2c  2.Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1       4    a b c abc  ab bc ca  Phân tích: Ví BĐT thần nên khơng làm tính tổng qt ta giả sử a  b  c  Khi BĐT viết lại : 1 1       4    Dấu “=”xảy a  b  c  a b c  1 a 1 b 1 c  Dẫn đến việc xét hàm f ( x ) =  5x , tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có  x2  x y  18x  Ta xét hoành độ f ( x)   18 x   = 18 x3  21x  x   x  1  2 x  1 = x(1  x)  x2  x a, b, c độ dài cạnh tam giác ,  a  b  c > 2a suy a, b, c   0;   suy f ( x)   18 x    0x   0;   2 Từ có lời giải tốn ? 3.Cho a, b, c >0.CMR: b  c  a  (b  c )  a   a  c  b (a  c)  b  b  a  c  (b  a )  c  2 Phân tích : Vì BĐT cần chứng minh nên ta cần chứng minh BĐT với a, b, c >0 a  b  c  1  2a  BĐT viết lại thành 2  1  2b  2  1  2c  2 2a  2a  2b   2c  2c    1 27    2a  2a  2b  2b  2c  2c  Dấu “=” xảy a  b  c Từ liên tưởng đến hàm f ( x ) = hàm số điểm có hồnh độ Phương trình tiếp tuyến đồ thị 2x  x  54 x  27 y  25 54 x  27  3x  1 (12 x  2)  0x  0;1 Ta xét f ( x)  =   25 25  x  x  1 Từ ta có lời giải : Vì BĐT cần chứng minh nên ta cần chứng minh BĐT với a, b, c >0 a  b  c   3a  1 (12a  2)  0a  0;1 54a  27  =   2a  2a  25 25  2a  a  1  3b  1 (12b  2)  0b  0;1 54b  27  =   2b  2b  25 25  2b  2b  1  3c  1 (12c  2)  0c  0;1 54c  27  =   2c  2c  25 25  2c  2c  1 Cộng ba BĐT theo vế ta 1 54a  27 54b  27 54c  27 27 + +    = 2a  2a  2b  2b  2c  2c  25 25 25 4.Cho a, b, c >0 CMR: 1 1 1 a  b2  c2       a  b  c  a2  b2  c2  3 a b c Phân tích : Vì BĐT bậc nên ta chuẩn hóa cách giả sử a  b2  c  Khi BĐT cần chứng minh trở thành f (a)  f (b)  f (c)  với a, b, c   0;1 f ( x)  1  x, x   0;1 Dấu “=” BĐT xảy a  b  c  3 x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ y : 1 22 x 3 1 22 Ta xét f ( x)  x = 3   1    0x   0;1 3x  3x Vì ta có lời giải sau: Vì BĐT bậc nên ta chuẩn hóa cách giả sử a  b2  c  Ta có  1 1 2 a  a = 3 a 1 1 22 b  b = 3 b 1 1 22 c  c = 3 c   1    0a   0;1 3a  3a  1    0b   0;1 3b  3b   1    0c   0;1 3c  3c Cộng ba BĐT theo vế ta f ( a )  f (b )  f ( c )   1 1 3  a  b2  c     a  b  c     3 Cho a, b, c  : a  b  c  CMR: a  b4  c  2(a  b3  c ) Phân tích: Dấu “=” BĐT xảy a  b  c  BĐT   a  2a    b4  2b3    c  2c3   Ta xét hàm f ( x)  x  x3 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f(x) điểm có hồnh dộ y  x  16 Ta có f ( x)  (8 x  16) = x  x3  x  16 =  x  2  x  x    0x Vì ta có lời giải sau: Ta có a  2a3  8a  16 =  a    a  2a    0, a Tương tự ta có : b  2b3  8b  16 =  b   b  2b    0b  c  2c3  8c  16 =  c    c  2c    0c  Cộng ba BĐT lại với ta : a  b  c  2(a3  b3  c )  8(a  b  c)  48 Cho a, b, c >0 CMR: a b  c a  b  c  b  a  c b   a  c   abc a  b  c  a  b  c Cho a, b, c >0 CMR: a 2 b c   ab  bc  ca  c a  b c  a  b   3  n 8.Cho n số thực dương thỏa mãn a i  n CMR: i 1 x x1 1   n     x1  xn  x1  xn 9.Cho a.b.c.d>0 thỏa ab  bc  cd  da  CMR: a3 b3 c3 d3     bcd cd a d ab abc 10 Cho a, b, c >0 CMR: a b  c  b  a  c 11 Cho a, b, c >0, a  b2  c  CMR:  c a  b  a  b  c 1     ab  bc  ca a b c 12 Cho a, b, c >0, a  b2  c  CMR:     a  b  c   a b c 13 Cho a, b, c >0, a  b2  c  CMR:     a  b  c   14 Cho a, b, c >0 CMR: 3  3a  b  c    3b  a  c    3c  a  b   375 3 11 3a   b  c  3b   a  c  3c3   a  b  a3 15 Cho a, b, c >0 CMR: a3   b  c  b3   b3   a  c  c3 c3   a  b 1 16 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1 1      a b c a b c b c  a c  a b 17 Cho a, b, c, d  a  b  c  d  CMR: a2 a  1  b2 b  1  18 Cho a, b, c >0 CMR: c2 c  1  d2 d 2a 2a   b  c  2   1  16 25 2b2 2b   a  c  n a 19 Cho n số thực dương thỏa mãn  CMR: i i 1 2c  2c   a  b  1 x1 x n   n   x1  xn n  20.Cho a, b, c >0 a  b  c  CMR: 10  a3  b3  c3    a5  b5  c5   21.Cho a, b, c số thực dương cho a  b2  c  CMR: 1   1 2 a   a b   b c   c2 22.Cho a, b, c >0 a  b  c  CMR: 23 Cho a, b, c >0, a  b4  c  CMR: 24 Cho a, b, c >0 CMR: a  3a   b  3b   c  3c  3 1   1  ab  bc  ca 2  b  c  3a    a  c  3b    a  b  3c  2 2a   b  c  2b   a  c  2c   a  b   Rõ ràng phương pháp tiếp tuyến phương pháp chứng minh bất đẳng thức rõ ràng, hiệu quả, dễ áp dụng học sinh Giúp học sinh khơng cịn cảm giác “sợ “ gặp toán chứng minh bất đẳng thức, nội dung mà học sinh gặp kì thi cấp trung học phổ thơng, nội dung mà đa số học sinh gặp vướng mắc việc tìm phương pháp giải Qua phương pháp giúp học sinh thấy từ kiến thức đơn giản, từ hình ảnh trực quan tiếp tuyến đường cong phát tính chất từ tạo hướng sáng tạo toán đẹp phương pháp giải toán hiệu Phương pháp áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12T2 đội tuyển học sinh giỏi khối 12 chuyên đề ‘Một số phương pháp giải tích chứng minh bất đẳng thức” Trong chuyên đề em tự giải lớp tốn chứng minh bất đẳng thức bậc kì thi Olympic Quốc tế em có tập tành nghiên cứu khoa học tự sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức Mặc dù tốn chứng minh bất đẳng thức giải phương pháp giúp em có phương pháp rõ ràng, dễ thực lớp toán chứng minh bất đẳng thức khó quan trọng giúp em thấy xuất xứ toán chứng minh bất đẳng thức em tự sáng tác tốn chứng minh bất đẳng thức tạo hứng thú học tập sáng tạo cho em Từ tạo niềm tin học tập cho em, tạo thái độ học tập phải nắm cốt lõi vấn đề, điều giúp em em học sinh giỏi đội tuyển 12 đạt kết tốt kì thi học sinh giỏi tỉnh : giải nhất, giải nhì giải khuyến khích 2.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để tìm giới hạn dạng vơ định 0 a.Cơ sở lí thuyết : Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm x0 Ta biết tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  f ( x) M0   C  giới hạn cát tuyến M0M đồ thị (C ) M dần tới M0 ( M, M0 thuộc đồ thị (C ) ) Và thấy x  x0 f(x) f ' ( x0 )( x  x0 )  f  x0  hai lượng “vô bé tương đương” b.Thực trạng vấn đề : Trong q trình khử dạng vơ định m lim x  x0 f ( x)  n g ( x)  x  x0  k giới hạn dạng ( m, n, k tự nhiên,  k  m, n ), người ta thường có kĩ thuật xử lí thêm bớt lượng mà hay gọi phương pháp gọi số hạng vắng, ta thường gặp phải vấn đề khử dạng vô định 0 lại gặp phải dạng vô định    số hạng vắng số Nguyên nhân dạng vô định mà ta khử sau thêm bớt số vắng, hai lượng vô bé cấp Vấn đề đặt số hạng vắng tìm để thu dạng vô định mà vô bé tử vô bé mẫu cấp để khử dạng vơ định mà khơng phải gặp tình khử dạng vô định lại gặp dạng vô định khác Phương pháp tiếp tuyến giúp giải vấn đề c.Các bước thực : m Giả sử giới hạn lim l ( x )  n h( x )  x  x0  x  x0 k viết lại lim f ( x)  g ( x) x  x0  x  x0  k ( y  f ( x) y  g ( x) có đạo hàm x0 ) Khi ta thực theo bước sau :  Viết phương trình tiếp tuyến hàm số y  f ( x) y  g ( x) x0 , giả sử y  t ( x)  Tính xlim x m l ( x)  n h ( x)  x  x0  k  m l ( x)  t ( x) = xlim  x  Các ví dụ làm rõ phương pháp :  x  x0  k  t ( x )  n h( x )   k  x  x0   Ví dụ : Tìm giới hạn T= lim x 0 x3  x  x   x  27 x  27 x3 Lời giải : Đặt f ( x) = x  x  x  , g ( x) = x  27 x  27 Phương trình tiếp tuyến hàm số y  f ( x) điểm có hồnh độ y  x  Khi  x  x  x   ( x  3) ( x  3)  x  27 x  27    = x 0 x3 x3   T= lim    37    = lim   lim  x 0 x   f ( x )  x  3   x  2   x  3 g ( x)   g  x    27     Ví dụ 2: Tìm giới hạn T= lim x 0 cos x  x   x  x x2 Lời giải : Đặt f ( x) = cos x  x , g ( x) =  x  x Phương trình tiếp tuyến hàm số y  f ( x) điểm có hồnh độ y   x Khi cos x  x   x  x x2 T= lim x 0  cos x  x   x    1  x    x  x  x 0   x2 x2   = lim  = lim x 0  x4  x3  x2   (1   x2 )  x  2sin x  lim x   f ( x)   (1  x)  x 0 x 1  x 3  1  x  g ( x)  (1  x)  g ( x) 2   g ( x) 3    2 sin x x  x  6   (1   x ) x2 = lim  lim x 0   f ( x)   (1  x)  x0 1  x 3  1  x 2 g ( x)  (1  x)  g ( x) 2   g ( x) 3  1  =    Bài tập rèn luyện 1.Tìm giới hạn lim x 0 Tìm giới hạn lim x 0 Tìm giới hạn lim x 0 Tìm giới hạn lim x 0  x   3x ( Đại học Thuỷ Lợi Hà Nội 2001 ) x2  x  x  cos x   x  x   x x2  52 x  x ln 1  x    x 3x x3 1  x  1  x   1  3x  1  3x  Phương pháp tiếp tuyến giúp học sinh có phương pháp rõ ràng hiệu việc tìm giới hạn lớp hàm số khơng phải cách mị mẫm giải hệ tìm hàm Chính phần giới hạn hàm số, em học sinh lớp 11T2 năm học 2010-2011 học tập tốt chương giới hạn hàm số, đặc biệt giới hạn mà phải gọi hàm số vắng em thành thạo việc khử dạng vô định rõ chất hàm số vắng này, em hiểu C.Phần kết luận Trong trình áp dụng sáng kiến , thân rút kết luận  Phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức dành để vận dụng cho lớp bất đẳng thức bậc với phép chuẩn hố thích hợp để cô lập biến  Phương pháp tiếp tuyến dành để tìm giới hạn lim f ( x)  m l ( x) , g ( x) = n h( x) , giới hạn có dạng vô định x  x0 f ( x)  g ( x)  x  x0  k ,( m, n, k tự nhiên ,  k  m, n ) f ' ( x0 )  g ' ( x0 ) Việc vận dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số thật phương pháp giải tốn vơ hiệu việc giải lớp toán chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số Qua việc vận dụng phương pháp rèn luyện phương pháp tư khoa học, phát triển vấn đề từ vấn đề cuối rèn luyện cách nhìn nhận vấn đề cách sâu sắc từ gốc rễ, không qua loa đại khái, hời hợt bên Tài liệu tham khảo [1] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi tích phân, NXBGD 1997 [2]Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [3]Tài liệu mạng MỤC LỤC Trang A.Phần mở đầu…………………………………………………………1 B Nội dung…………………………………………………………… 1.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức……… 2.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến tìm giới hạn hàm số……………….11 C.Phần kết luận…………………………………………………………14 D.Tài liệu tham khảo……………………………………………………15 Rạch Giá, ngày 12 tháng năm 2012 Người viết ... kiến thức bản, từ hình ảnh trực quan Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số phương pháp rõ ràng dễ áp dụng để giải lớp toán chứng minh bất đẳng thức tìm giới. .. tác toán chứng minh bất đẳng thức giới hạn hàm số B.Phần nội dung 1 .Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức a.Cơ sở lí thuyết : Nếu y  ax  b tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm... luận  Phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức dành để vận dụng cho lớp bất đẳng thức bậc với phép chuẩn hố thích hợp để cô lập biến  Phương pháp tiếp tuyến dành để tìm giới hạn lim